专题08 二次函数 十四大题型突破-2026-2027学年北师大版九年级数学上册高 满分必刷题

专题08 二次函数十四大题型突破 【题型01 ：二次函数的概念】 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】 【题型03：列出二次函数关系式】 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 【题型09：二次函数的平移变换】 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【题型11：抛物线与x轴的交点问题】 【题型12：二次函数的交点个数问题】 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【题型14：根据交点确定不等式的解集】 【题型01 ：二次函数的概念】 1．下列函数中，y是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义逐一判断各选项． 【详解】解：A、未明确，当时不含二次项，不是二次函数，不符合题意； B、中的最高次数均为1，是一次函数，不符合题意； C、中的最高次数为2，且二次项系数不为0，是二次函数，符合题意； D、中的最高次数均为1，是一次函数，不符合题意． 2．下列各式中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不能仅通过表达式表面是否含判断，需先化简各选项，再结合二次函数的定义逐一验证． 【详解】解：A选项，的右边为分式，不是整式，不是二次函数． B选项，化简得，的最高次数为1，是一次函数． C选项，化简得，右边为整式，的最高次数为2，且二次项系数为，是二次函数． D选项，中的最高次数为1，是一次函数． 3．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（） A．3，2，5 B．3，，5 C．3，2， D．3，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义：形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据二次函数一般形式，直接读取系数即可． 【详解】解：∵， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：C． 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】 4．若是关于的二次函数，则的值是（     ） A． B．3 C．2 D．2或 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，需同时满足自变量最高次数为2，二次项系数不为0，联立求解a的值． 【详解】解：∵是关于的二次函数． ∴，且， 由得 ． 由得 ， ∴． 5．若关于x的函数是二次函数，则m的值为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：∵ 函数是二次函数， ∴ ， 解得． 6．已知是关于的二次函数，则（   ） A．3 B．2 C．3或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题关键，注意二次项的系数不等于零． 根据二次函数的定义，x的指数必须为2且二次项系数不为0，得到且，据此即可解答． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴且， 解得或且， ∴． 故选：A． 7．若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故选：D． 【题型03：列出二次函数关系式】 8．某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：1月的研发资金题目直接给出，为10万元； 2月比1月增长率为x，因此2月研发资金月资金×（增长率），即万元； 3月比2月增长率同样为x，因此3月研发资金月资金×（增长率），即 万元； 把三个月的资金相加，得到一季度总研发资金的函数关系式：． 9．一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为， ∴另一条直角边长为， ∵面积为， ∴与的函数解析式是． 10．如图，正方形的边长为2，点分别在边上，，设，五边形的面积，则关于的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，进而可得，再观察图形可得五边形的面积正方形的面积三角形的面积，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴五边形的面积正方形的面积三角形的面积 ， ∵正方形的边长为2，， ∴ 解得， ∴x的取值范围为． 11．2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意，每个队伍参加场比赛，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为． 即． 故答案为：． 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 12．二次函数的图象经过的象限是（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】D 【分析】根据二次项系数的符号判断抛物线开口方向，结合顶点位置确定图象经过的象限． 【详解】解：二次函数的一般形式为（），二次项系数a的符号决定开口方向：当时，抛物线开口向下．本题中函数为，其中，因此抛物线开口向下． 对于形式的二次函数，对称轴为直线（即y轴），顶点坐标为，即原点． 抛物线开口向下，顶点在原点，因此当时，函数值： 当时，对应点横坐标为正、纵坐标为负，位于第四象限； 当时，对应点横坐标为负、纵坐标为负，位于第三象限． 因此该二次函数图象经过第三、四象限． 13．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向下，对称轴 B．开口向上，有最大值3 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，有最小值3 【答案】C 【详解】已知抛物线解析式为，， 则的开口向下，有最大值3， 故选项B、D错误． 的顶点坐标为，对称轴为直线， 故选项A错误，C正确． 14．已知点是抛物线上的两点，则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：由得抛物线对称轴为直线． ∵，即点、到对称轴的距离相等， ∴点、关于抛物线对称轴对称， ∴． 15．如图，二次函数的图象（未画出）与x轴交于，B两点，下列说法错误的是（      ） A． B．图象的对称轴为直线 C．点B的坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式确定对称轴和顶点，结合图象开口方向及对称性逐一判断即可． 【详解】解：由二次函数解析式可知，图象的对称轴为直线，顶点坐标为，故选项B说法正确； 顶点在轴上方，且图象与轴交于、两点， 抛物线开口向下，即，故选项A说法正确； 抛物线对称轴为直线，点坐标为， 点与点关于直线对称， 设点坐标为，则， 解得， 点的坐标为，故选项C说法正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，m 选项D说法错误，符合题意． 16．在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：∵二次函数为， ∴顶点为，即交于y轴，且抛物线开口向上， A、由抛物线可知，图象顶点与y轴交在负半轴， ∴ ∴， 又∵， ∴直线图象应过一、二、三象限，故此选项错误； B、抛物线开口应朝上，故此选项错误； C、由抛物线可知，图象顶点与y轴交在负半轴， ∴， ∵又∵， ∴直线图象应过一、二、三象限，故此选项正确； D、由抛物线可知，图象顶点与y轴交在负半轴， ∴， ∵又∵， ∴直线图象应过一、二、三象限，故此选项错误． 17．关于二次函数，以下说法正确的是（     ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．可以由抛物线向右平移2个单位长度得到 D．当时，y随x的增大而增大． 【答案】D 【详解】解：二次函数为顶点式，对应，，. 对称轴为直线，顶点坐标为，故A、B错误. 将抛物线向右平移2个单位长度，得，与题中函数不符，故C错误. ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故D正确. 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 18．c如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则___________． 【答案】 【分析】连接，交y轴于点D，根据二次函数图象的性质和正方形的性质得，进而得到，将A的坐标代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D，    当时，则，即， 四边形是正方形， ，， 点， ∵点A在抛物线上， ， 整理得：， ∵， ∴， 解得：． 19．如图，已知顶点A的坐标为，点B在y轴上，且轴，过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为，则的面积为___________． 【答案】 【分析】根据抛物线顶点坐标设出顶点式，利用平行四边形性质及抛物线对称性确定长度，进而得到长度及点坐标，求出抛物线解析式后得到点纵坐标，最后利用平行四边形面积公式求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 四边形是平行四边形， 轴，， 点与点关于抛物线对称轴对称， 点在轴上， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， 点的坐标为，轴， 点的坐标为， 将点代入抛物线中得， 解得． 抛物线的表达式为， 令，得， 点的坐标为， 边上的高为， 平行四边形的面积为． 20．如图，抛物线经过正方形的三个顶点，且点为抛物线的顶点，则的值为________． 【答案】2 【分析】先由抛物线得到顶点，利用正方形对角线性质得出点，再将点C代入抛物线解析式列方程求解，最后结合舍去，得到． 【详解】解：连结， 由题意，得，点，关于y轴对称， 因为四边形是正方形， 所以，与互相平分． 令，则， 所以． 所以， 则． 把代入，得， 解得或． 因为， 所以． 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 21．将二次函数化为的形式，则，的值分别为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法整理求解即可．利用配方法先提出二次项的系数，凑成完全平方式即可求解． 【详解】解：. ∵顶点式为， ∴，． 22．对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．函数的最小值是4 【答案】C 【详解】解：， ∵，∴抛物线开口向下，A错误； ∵抛物线的顶点式为，∴对称轴为直线，B错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，随的增大而减小，C正确； ∵抛物线开口向下，顶点坐标为，∴函数有最大值4，无最小值，D错误． 23．若二次函数的图象过，，三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别将，，代入算出结果，进行比较即可． 【详解】解：分别将，，代入，得 ，，， ， ． 24．在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据 的符号判断直线经过的象限及抛物线开口方向、对称轴位置，逐一排查选项． 【详解】解： 由二次函数 可知对称轴为直线 ． 选项A中：抛物线开口向下， ， 对称轴 ，应在 轴右侧，与图象矛盾． 选项B中：抛物线开口向上， ， ∵对称轴为直线 ， 对称轴应在 轴左侧，与图象矛盾． 选项C中： 抛物线开口向下， ， 直线 应随 增大而减小，与图象矛盾． 选项D中： 抛物线开口向上， ， 对称轴 ，且直线 随 增大而增大，与 轴交点 在负半轴，与图象相符． 故选：． 25．已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如表所示，则下列说法正确的是（     ） A．这个函数的图象开口向下 B．当时， C．这个函数的最大值是 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：∵和时，的值均为， ∴该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． ∵时， ∴抛物线开口向上．故A项错误；开口向上时函数有最小值，无最大值，故C项错误． 选项B：∵与关于对称轴对称，且时， ∴时，故B项错误． 选项D：∵开口向上，对称轴为直线， ∴时随的增大而增大， ∴时随的增大而增大，故D项正确． 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 26．二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（     ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据二次函数的开口方向与对称轴，判断区间内最小值对应的自变量取值，代入解析式求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴在范围内，离对称轴越远的点函数值越小， ∵， ∴当时，取最小值，代入得 ， 解得． 27．已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，取得最大值； ∵当时，；当时，， ∵， ∴的最小值为． ∴的取值范围是． 28．二次函数当自变量在范围内有最小值，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将二次函数化为顶点式，结合开口方向，按对称轴与区间的位置关系分类讨论最小值的表达式，再求解的最大值． 【详解】解：将二次函数配方得， ∴图象开口向上，对称轴为直线， 当时，在范围内，随的增大而增大， ∴当时，， ∵， ∴， 当时， ∴当时，， ∵， ∴当时，取得最大值； 当时，在范围内，随的增大而减小， ∴当时，， ∵， ∴； 综上，的最大值为． 29．已知二次函数，当时，的最大值是7，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，根据抛物线开口方向，分类讨论，进而求解． 【详解】解：， 对称轴为直线， 当时， 在中，时取最大， 此时, 解得； 当时， 在中，时取最大， 此时, 解得， 综上，的值为或． 30．已知二次函数，当时y有最小值，则m的值为（     ） A． B． C．4 D．4或 【答案】C 【分析】由二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，结合给定范围内找到最小值对应点，代入求解即可． 【详解】解：∵ 二次函数为，， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线 ∵ ，且在该区间内， ∴ 当时，取得最小值 由题意得 解得． 31．已知二次函数，当时，其最大值为4，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，从而可得二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，再结合题意即可得出结果． 【详解】解：二次函数， ∵， ∴二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，其最大值为4， ∴． 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 32．某过原点的抛物线如图所示，有以下四个结论，其中正确的有（     ）个 ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据开口朝向可以确定a的符号，再根据抛物线经过原点，可得，根据对称轴确定a、b的数量关系，再逐项判断即可． 【详解】解：抛物线开口朝下，即有， 抛物线经过原点，即，则， 由图可知抛物线的对称轴为：，即， ∴， ∴，即①正确； ∵，， ∴，即②错误； ∵，， ∴，即③正确； ∵，， ∴，即④错误； 即正确的有2个． 33．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】先得出，，再得出，由此可得①错误；得出二次函数的最大值为，则对于任意实数，都有，由此可得②正确；根据函数图象可得当时，，由此可得③正确；根据二次函数的对称性即可得④错误． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，则结论①错误； 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， ∴对于任意实数，都有，即，则结论②正确； 由二次函数的图象可知，当时，， ∴， 又∵， ∴，则结论③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴点、关于这个二次函数的对称轴对称， ∴， ∴，则结论④错误； 综上，正确的结论有②③． 34．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系；利用时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①由图象可知：抛物线开口向下，则； 对称轴在轴右侧，则，故； 抛物线与轴交点在轴上方，则． ，故此结论正确； ②当时，图象在轴下方，即， ，故此结论错误； ③由对称轴为直线可知，当时的函数值与时的函数值相等． 时， 当时，，故此结论正确； ④对称轴为直线， ． 又当时，， ， 即， ，故此结论正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， 即． ，即，故此结论错误． 综上所述，正确的结论是①③④． 35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点B的坐标为，下列结论：①；②； ③； ④其中正确的结论有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． ①根据抛物线图象确定参数的取值即可； ②根据对称轴确定点坐标，然后当时，确定函数值的取值即可； ③根据对称轴确定参数的数量关系即可； ④根据抛物线顶点坐标即可确定不等式． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴位于轴右侧， ∴异号， ∴； ∵抛物线交轴于正半轴， ∴； ∴， 故①正确； ②∵对称轴为直线，且， ∴， 结合抛物线图象可得，当时，， 即， 故②正确； ③∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故③错误； ④∵抛物线开口向下， ∴顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 当时，， 当时，， ∴， 即， 故④正确； 综上，正确选项为①②④， 故选：C． 36．如图，已知抛物线c（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（   ）个 ①；②；③；④若方程两根为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②正确；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴的交点，即可判断④正确． 【详解】解：由图可知， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，， 则， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， 则，故①错误； 设抛物线与轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，解得， 则，故②错误； ∵，，， ∴，解得，故③正确； 根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图， 方程两根为满足，故④正确； 故选：B． 【题型09：二次函数的平移变换】 37．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数图象的平移规律“左加右减,上加下减”,进而得出答案． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，得， 再向上平移3个单位长度，得. 38．若抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新抛物线的解析式为，则，，的值计算正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据平移方式和平移后的解析式即可由二次函数图象的平移规律写出原抛物线的顶点式，再整理成一般式即可． 【详解】解：由题意得向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到原抛物线， ∴原抛物线解析式为， ∴， ∴，，． 39．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减． 【详解】解：将的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为． 40．若抛物线平移得到，则需要（     ） A．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 B．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 C．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图像的平移规律，将抛物线平移转化为顶点的平移，对比顶点坐标确定平移方式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点坐标为， 又∵点向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴抛物线需先向左平移2个单位，再向下平移3个单位． 故选：A. 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】 41．二次函数的图象经过点和，则该二次函数的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】利用二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点和， ∴两点为抛物线上纵坐标相等的点，关于对称轴对称， ∴对称轴为直线． 42．某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格： x …… 0 1 2 3 …… y …… 5 0 m …… 那么m的值为（    ） A． B． C．0 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象的性质．根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可． 【详解】解：由上表可知函数图象经过点和点， ∴对称轴为， ∴当时的函数值等于当时的函数值， ∵当时，， ∴当时，． 故选：C． 43．已知抛物线y＝x2+bx+4经过（﹣1，n）和（3，n）两点，则b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据抛物线y＝x2+bx+4经过（﹣1，n）和（3，n）两点，可得抛物线的对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：∵抛物线y＝x2+bx+4经过（﹣1，n）和（3，n）两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 44．若抛物线经过和两点，则______． 【答案】 /0.5 【分析】两点纵坐标相等，说明两点关于抛物线对称轴对称，先根据抛物线顶点式得到对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的平均值列方程求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过和两点，且两点纵坐标相等 ， ∴两点关于对称轴对称， ∴， 整理得，， 解得． 【题型11：抛物线与x轴的交点问题】 45．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为的直线．则抛物线与x轴的另一个交点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，利用中点坐标公式求解即可． 【详解】解：设抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴， ∴， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为． 46．抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】明确抛物线与轴交点的纵坐标为，通过令函数，求解对应的值，进而得到交点坐标． 【详解】解：令，得， ∵， ∴或，解得，， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，． 47．抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数与坐标轴的交点，熟练二次函数与轴和轴的交点的求法以及仔细审题是解决本题的关键．已知二次函数的解析式，分别令，，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴令，则，故与轴有一个交点， 令，则， ， ∴与轴有两个交点， 即：图象与坐标轴的交点有3个， 故选：D． 48．已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据抛物线的对称轴求出点A的坐标； 先求出抛物线的对称轴，再根据，两点，关于直线对称，求出A点的坐标，即可得出答案． 【详解】解： 的对称轴为， 与关于直线对称．A点的坐标是∶， 线段的长度； 故选：B． 【题型12：二次函数的交点个数问题】 49．二次函数与轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】与轴交点的横坐标为，代入解析式计算纵坐标即可． 【详解】解：将代入，得 ， 即二次函数与轴的交点坐标为． 50．若直线与抛物线只有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】联立两函数方程，根据只有一个公共点可知对应一元二次方程判别式为，代入求解的值． 【详解】解：将代入，得 ， 整理得． ∵直线与抛物线只有一个公共点， ∴该一元二次方程有两个相等的实数根，即． ∵， ∴， 解得． 51．已知二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】结合二次函数的定义与图象和轴无交点的条件，列不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， ∵图象与轴没有交点， ∴，解得， ∴综上可得，的取值范围为． 52．若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D．0 【答案】A 【分析】根据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 解得． 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 53．已知二次函数的部分图像如图所示，那么关于的一元二次方程的根为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：由二次函数可知，其对称轴为直线． 图像显示抛物线与轴的一个交点为，且抛物线关于对称轴对称， 抛物线与轴的另一个交点与关于直线对称． 设另一个交点的横坐标为，则， 解得． 关于的一元二次方程的根为，． 54．根据表格对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 关于x的方程的一个解x的范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】一元二次方程的解，就是二次函数的函数值时对应的x的取值，根据函数值与3的大小关系变化判断对应一元二次方程解的取值范围． 【详解】解：分析表格中函数值的变化： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 可知x在1.1到1.4之间逐渐增大时，y的值也逐渐增大，函数呈递增趋势；因此当函数值从2.29上升到3.76的过程中，必然存在一个x使得，该x的取值在1.3和1.4之间． 55．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 【分析】根据的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案． 【详解】解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根， 56．二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线经过点，即或得到，所以一元二次方程的两个根为，，把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程得到方程的根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线经过点， 一元二次方程的两个根为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得， 方程的根是． 【题型14：根据交点确定不等式的解集】 57．如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，抛物线与x轴交点坐标，二次函数与一元二次方程的关系，理解抛物线的轴对称性质是解题的关键． 令方程的正数解为，根据在x轴的位置确定的位置即可． 【详解】解：令方程的正数解为， 如图可知，， 点关于直线的对称点坐标为， 抛物线关于直线对称， ． 故选：B． 58．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，利用图象法求出x的取值范围即可． 【详解】解：由图象知，抛物线与轴交于，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 时，函数的图象位于轴的下方，且当时函数图象位于轴的下方， 当时，． 59．抛物线的部分图像如图所示，若则x的取值范围是 （     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】观察图象确定对称轴及经过的特殊点，利用抛物线的对称性求解． 【详解】解：由函数图象得：二次函数开口向下，二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是：． 60．如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：由图可知，当或时，抛物线在直线下方，因此不等式的解集是或． 61．已知抛物线的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，，当时，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数图象与性质求解即可． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，对称轴是直线，则当时，随的增大而减小， 抛物线图象经过点，， 当时，；当时，， 则当时，则的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次函数十四大题型突破 【题型01 ：二次函数的概念】 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】 【题型03：列出二次函数关系式】 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 【题型09：二次函数的平移变换】 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【题型11：抛物线与x轴的交点问题】 【题型12：二次函数的交点个数问题】 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【题型14：根据交点确定不等式的解集】 【题型01 ：二次函数的概念】 1．下列函数中，y是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，y是x的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（） A．3，2，5 B．3，，5 C．3，2， D．3，， 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】 4．若是关于的二次函数，则的值是（     ） A． B．3 C．2 D．2或 5．若关于x的函数是二次函数，则m的值为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．已知是关于的二次函数，则（   ） A．3 B．2 C．3或 D． 7．若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（   ） A．1 B． C．2 D．2或 【题型03：列出二次函数关系式】 8．某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 9．一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的边长为2，点分别在边上，，设，五边形的面积，则关于的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 11．2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 12．二次函数的图象经过的象限是（     ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限D．第三、四象限 13．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向下，对称轴 B．开口向上，有最大值3 C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，有最小值3 14．已知点是抛物线上的两点，则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 15．如图，二次函数的图象（未画出）与x轴交于，B两点，下列说法错误的是（      ） A． B．图象的对称轴为直线 C．点B的坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 16．在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B．C．D． 17．关于二次函数，以下说法正确的是（     ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．可以由抛物线向右平移2个单位长度得到 D．当时，y随x的增大而增大． 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 18．c如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则___________． 19．如图，已知顶点A的坐标为，点B在y轴上，且轴，过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为，则的面积为___________． 20．如图，抛物线经过正方形的三个顶点，且点为抛物线的顶点，则的值为________． 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 21．将二次函数化为的形式，则，的值分别为（     ） A． B． C． D． 22．对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．函数的最小值是4 23．若二次函数的图象过，，三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 24．在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（     ） A．B．C．D． 25．已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如表所示，则下列说法正确的是（     ） A．这个函数的图象开口向下 B．当时， C．这个函数的最大值是 D．当时，随的增大而增大 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 26．二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（     ） A． B． C． D．2 27．已知二次函数，当自变量x满足时，y的取值范围是（     ） A． B． C．D． 28．二次函数当自变量在范围内有最小值，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 29．已知二次函数，当时，的最大值是7，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 30．已知二次函数，当时y有最小值，则m的值为（     ） A． B． C．4 D．4或 31．已知二次函数，当时，其最大值为4，则m的取值范围是______． 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 32．某过原点的抛物线如图所示，有以下四个结论，其中正确的有（     ）个 ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 33．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 34．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤D．①③④⑤ 35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，点B的坐标为，下列结论：①；②； ③； ④其中正确的结论有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36．如图，已知抛物线c（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在，之间（不含端点），则下列结论正确的有（   ）个 ①；②；③；④若方程两根为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【题型09：二次函数的平移变换】 37．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 38．若抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新抛物线的解析式为，则，，的值计算正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 39．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（     ） A． B． C． D． 40．若抛物线平移得到，则需要（     ） A．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 B．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 C．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】 41．二次函数的图象经过点和，则该二次函数的对称轴是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 42．某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格： x …… 0 1 2 3 …… y …… 5 0 m …… 那么m的值为（    ） A． B． C．0 D．5 43．已知抛物线y＝x2+bx+4经过（﹣1，n）和（3，n）两点，则b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4 44．若抛物线经过和两点，则______． 【题型11：抛物线与x轴的交点问题】 45．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为的直线．则抛物线与x轴的另一个交点是（     ） A． B． C． D． 46．抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（     ） A．， B．， C．，D．， 47．抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 48．已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型12：二次函数的交点个数问题】 49．二次函数与轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 50．若直线与抛物线只有一个公共点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 51．已知二次函数的图象与轴没有交点，则的取值范围为（     ） A． B．且 C． D．且 52．若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D．0 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 53．已知二次函数的部分图像如图所示，那么关于的一元二次方程的根为（     ） A．， B．， C．， D．， 54．根据表格对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 关于x的方程的一个解x的范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 55．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 56．二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【题型14：根据交点确定不等式的解集】 57．如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（   ） A． B．C．D． 58．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A． B．C．或D．或 59．抛物线的部分图像如图所示，若则x的取值范围是 （     ） A． B． C． D．或 60．如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A． B． C．或 D． 61．已知抛物线的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，，当时，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $