专题05 相似三角形重难点九大题型突破-2026-2027学年北师大版九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题

专题05 相似三角形重难点九大题型突破 【题型01：比例的性质】 【题型02：黄金分割】 【题型03：平行线分线段成比例】 【题型04：相似多边形】 【题型05：相似三角形的性质】 【题型06：相似三角形的判定】 【题型07：相似三角形的性质与判定】 【题型08：相似三角形的应用】 【题型09：位似变换】 【题型01：比例的性质】 1．下列四条线段是成比例线段的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据成比例线段的定义，若最短线段与最长线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段是成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】解：、，不是成比例线段，故选项不符合题意； B、，不是成比例线段，故选项不符合题意； C、，不是成比例线段，故选项不符合题意． D、，是成比例线段，故选项符合题意． 2．四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 3．若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例中项的概念可得，由此即可求得答案． 【详解】解：∵b是a、c的比例中项， ∴， ∴． 4．如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握定理的内容并能灵活运用，特别注意定理中线段的对应．设，则，再根据求解即可． 【详解】解：，， ． 设． ， ． ， ， 解得，即． 故选：B． 【题型02：黄金分割】 5．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据黄金分割比例求出的长，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵线段，点，是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴． 7．大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．即，据此求解即可． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴，即， ∴， ∴．（负值不合题意已经舍去） 8．黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，在很多艺术品以及大自然中都能找到它，如图1的希腊雅典帕特农神庙也应用了该比例布局．如图2，当以黄金矩形的宽为边在矩形内部作正方形时，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 先根据黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，计算出矩形的宽，在根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比， ， ， ， 根据矩形的性质得：， , 故选：A 【题型03：平行线分线段成比例】 9．在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 【答案】B 【分析】利用时，或，逐一判断即可． 【详解】解：当时，或，由此可得： A：∵，， ∴， ∴，， ∴，故A错误； B：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴，故B正确； C：缺少或的长度，无法计算与的比值关系，无法判断，故C错误； D：由可知为中点，但仅凭无法确定点位置及比例关系，无法判断，故D错误； 10．如下是嘉嘉的作业，其中括号内应填的内容是（   ） 嘉嘉的作业： ∵， ∴ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 11．如图，在中，、分别是边、上的点，连接，，若，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题关键是识别平行线对应的线段比例关系． 由，得，结合的比例计算，进而得． 【详解】， ． ， ． 故选：C． 12．如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，即可解题． 【详解】解： ， ，， 即A选项正确，符合题意；B、C、D选项错误，不符合题意； 故选：A． 13．如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握该性质． 根据平行线分线段成比例逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵，， ∴， 该选项正确； B. ∵，， ∴， ∴； 该选项正确； C. ∵，， ∴， ∴， 该选项正确； D.根据给出条件无法得出， 该选项不一定正确； 故选：D． 【题型04：相似多边形】 14．下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 【答案】D 【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A．任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不符合题意； B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； D．任意两个正多边形的对应角相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 15．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 16．下列说法中错误的是（    ） A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．对应边成比例的两个多边形一定是相似多边形 【答案】D 【分析】此题考查了多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及定义解答，熟练掌握相似多边形的定义和性质是解题的关键． 【详解】、 相似多边形的对应边成比例，此选项说法正确，不符合题意； 、 相似多边形的对应角相等，此选项说法正确，不符合题意； 、相似多边形的边数相同，此选项说法正确，不符合题意； 、 对应边成比例，且对应角相等的两个多边形是相似多边形，此选项说法错误，符合题意； 故选：． 17．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 【答案】A 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示， 甲：设原矩形边长为，， 向外扩张一个单位后边长变为，， 则， ∴新矩形与原矩形不相似，甲说法不正确； 乙：将边长为的菱形按图2的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行， 因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故乙正确． 18．下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个正五边形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形：相似图形需对应角相等且对应边成比例，熟练掌握相似图形的定义是解题关键．根据相似图形需对应角相等且对应边成比例逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，则两个等腰三角形不一定相似，此项不符合题意； B、两个正五边形的所有对应角相等（每个内角均为），且所有对应边成比例（边长比相同），则两个正五边形一定相似，此项符合题意； C、两个矩形的所有对应角相等（每个内角均为），但对应边不一定成比例，则两个矩形不一定相似，此项不符合题意； D、两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，则两个平行四边形不一定相似，此项不符合题意； 故选：B． 【题型05：相似三角形的性质】 19．两个相似三角形的对应边之比为，若较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边之比为， ∴它们的周长之比为， 设较大三角形的周长为， ∵较小三角形的周长为， ∴， 解得， ∴较大三角形的周长为. 20．如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用网格平行线性质证明，得出线段比例关系，结合勾股定理求解． 【详解】解：由图可知， ， ， ， ， 由网格可知， ∴， ， 由勾股定理得 ， ． 21．如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】过点B作轴于点C，推导出，得到，继而求出，代入求出即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，如图 ∴， ∵利用光的反射定律（入射角等于反射角）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 22．如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（     ） A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．3:2 【答案】B 【详解】四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． 23．如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理得出，，根据平行四边形的性质得出，，，进而得出，，证明可得出，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，上的中线， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．如图所示，在平行四边形中，是的平分线，且交于E，与相交于O，已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义，证得为等腰三角形，从而求出的长；再利用得出对应边成比例，进而求得的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 25．如图，在中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．3 【答案】A 【分析】证明，求出的长，再证明，求出的长即可. 【详解】解：∵D、E为边的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型06：相似三角形的判定】 26．如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， 在和中， ，， ， 【分析】先由勾股定理求出，再证明，最后由斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似证得． 【详解】略 27．如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，再证明出，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由（1）可得，再由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵为等边三角形， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 28．如图，四边形中，平分，，E为的中点， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)证明：∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）先证明，再结合，即可证明，再利用相似三角形对应边成比例，即可得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，推出，由（1），推出，结合，得证． 【详解】（1）略 （2）略 29．如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2)． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，即可证明； （2）根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】（1）略； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 【题型07：相似三角形的性质与判定】 30．如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接、，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵E为边上一点，与相交于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)3 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，因为，所以，而，则，再根据相似三角形的性质即可证明结论； （2）由且、，求得，则． 【详解】（1）略 （2）解：∵且、， ∴， ∴． 31．如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； (2)的长为 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解． （1）根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明； （2）设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即的长． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形的边长为，则，． ∵， ∴，即，解得， ∴的长为． 32．如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴； (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 33．如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1) 证明：平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， 又， ， 即； (2) 【分析】本题考查的知识点是平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质与判定． （1）结合平行四边形性质推得，后可证，再由相似三角形性质即可得证； （2）先由平行四边形性质中的推得，结合相似三角形性质推得，再证，由相似三角形性质即可求出，从而得出的长． 【详解】（1）略 （2）解：平行四边形中，，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 即， ， 解得， ． 34．如图，在中，，． (1)求证： (2)已知，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)10 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理． （1）由，求得，由求得，据此即可得到； （2）设，，求得，，再根据可求得，再根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的长为10． 【题型08：相似三角形的应用】 35．如图，为一块铁板余料．已知，高．要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形的边长为多少厘米？ 【答案】48厘米 【分析】设这个正方形的边长为厘米，可证明四边形是矩形，得到，则，证明，得到，据此建立比例式求解即可． 【详解】解：设这个正方形的边长为厘米， ∵四边形是正方形， ∴； ∵是的高，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵，即， ∴， ∴，即， 解得， 答：这个正方形的边长为48厘米． 36．如图，为测量电视塔的高度（包括台阶高），小亮在他与电视塔之间竖立一根高的标杆（即），当他距标杆时（即点D处），塔尖A、标杆的顶端E与小亮的眼睛F恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆距电视塔的距离是，求电视塔的高度． 【答案】 【分析】过点F作于点H，交于点G，可证明四边形是矩形，四边形是矩形，则可推出的长，证明，得到，据此求出的长，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点F作于点H，交于点G， ∴； 由题意得，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 答：电视塔的高度为． 37．为了测量某金字塔的高度，在太阳光下，先竖一根已知长度的标杆，然后测量标杆和金字塔影子的长度，就可以近似求出金字塔的高度．如图，某时刻测得金字塔的影端A到点B的长，标杆的影长．已知标杆的长度为，求金字塔的高度． 【答案】 【分析】根据题意可证明，则，据此求出的长即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：金字塔的高度为． 38．【学科融合】如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离．图中，，，在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 【答案】(1)的长为； (2)点到地面的高度的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解题的关键． （）由题意得，，，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可； （）先求出，由题意得，，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意， ∴的长为； （2）解：由（）得，， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意， ∴点到地面的高度的长为． 39．如图，小明和小亮打算用不同的方法测量学校操场边一个垂直于路面的路灯的高度．他们分别在白天和晚上利用太阳光和路灯的灯光进行测量． (1)如图1，若垂直于地面的标杆的长为，在太阳光下小明测得它的影长为，同一时刻，小亮测得路灯的影长为，求路灯的高度． (2)如图2，小亮在晚上路灯亮后来到路灯附近，他先蹲在点处，在路灯的照射下，小亮的头顶最高处的影子落在点处，，小明测得，接下来小亮站起来，在路灯的照射下，小亮的头顶最高处的影子落在点处，，小明测得，求路灯的高度． 【答案】(1)路灯的高度为 (2)路灯的高度为 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影，也考查了相似三角形的判定与性质． （1）由题意得，再根据相似的性质求解即可； （2）根据题意，先证，得到，再代入相关值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ，即，解得． 答：路灯的高度为. （2）解：， ， ， 即， ， ， ． 答：路灯的高度为． 【题型09：位似变换】 40．下列相似图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断是否是位似图形时注意：①两个图形必须是相似图形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行（或共线），据此逐项判断即可求得答案． 【详解】解：由各选项图形可知，A，B，C选项的相似图形是位似图形，D选项的相似图形不是位似图形． 41．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 42．如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质可知，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵三角板与其投影的三角形是位似图形， ∴，且相似比为， ∴三角板的面积与其投影的三角形的面积比是． 43．如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． 44．如图，正方形和正方形是位似形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】位似图形的对应边互相平行，对应点的连线所在的直线交于位似中心． 根据点的对应点分类讨论，利用待定系数法求出直线的函数解析式，联立求出交点坐标，即位似中心的坐标． 【详解】解： ①当点的对应点为点时，如图， ∵四边形是正方形， 又∵点C的坐标为， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴位似中心的坐标为； ②当点的对应点为点时，如图， 对应点的连线所在的直线未交于同一个点，不满足位似形的性质，故舍去； ③当点的对应点为点时，如图， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴位似中心的坐标为； ④当点的对应点为点时，如图， 对应点的连线所在的直线未交于同一个点，不满足位似形的性质，故舍去； 综上所述，位似中心的坐标为或 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似三角形重难点九大题型突破 【题型01：比例的性质】 【题型02：黄金分割】 【题型03：平行线分线段成比例】 【题型04：相似多边形】 【题型05：相似三角形的性质】 【题型06：相似三角形的判定】 【题型07：相似三角形的性质与判定】 【题型08：相似三角形的应用】 【题型09：位似变换】 【题型01：比例的性质】 1．下列四条线段是成比例线段的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 3．若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 【题型02：黄金分割】 5．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C．D． 6．已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（   ） A． B． C．D． 8．黄金矩形的宽与长之比为黄金分割比，在很多艺术品以及大自然中都能找到它，如图1的希腊雅典帕特农神庙也应用了该比例布局．如图2，当以黄金矩形的宽为边在矩形内部作正方形时，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型03：平行线分线段成比例】 9．在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 10．如下是嘉嘉的作业，其中括号内应填的内容是（   ） 嘉嘉的作业： ∵， ∴ A． B． C． D． 11．如图，在中，、分别是边、上的点，连接，，若，则（） A． B． C． D． 12．如图，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型04：相似多边形】 14．下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形D．两个正五边形 15．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙D．甲、乙、丙 16．下列说法中错误的是（    ） A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同D．对应边成比例的两个多边形一定是相似多边形 17．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 18．下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个正五边形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【题型05：相似三角形的性质】 19．两个相似三角形的对应边之比为，若较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 20．如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 21．如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 22．如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（     ） A．2:3 B．2:5 C．3:5 D．3:2 23．如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 24．如图所示，在平行四边形中，是的平分线，且交于E，与相交于O，已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 25．如图，在中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则（     ） A．1 B．2 C．1.5 D．3 【题型06：相似三角形的判定】 26．如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 27．如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 28．如图，四边形中，平分，，E为的中点， (1)求证：； (2)求证：． 29．如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型07：相似三角形的性质与判定】 30．如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接、，它们相交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 31．如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 32．如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 33．如图，在平行四边形中，点在边上，交于点，． (1)求证：； (2)如果，求的长． 34．如图，在中，，． (1)求证： (2)已知，，求的长． 【题型08：相似三角形的应用】 35．如图，为一块铁板余料．已知，高．要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形的边长为多少厘米？ 36．如图，为测量电视塔的高度（包括台阶高），小亮在他与电视塔之间竖立一根高的标杆（即），当他距标杆时（即点D处），塔尖A、标杆的顶端E与小亮的眼睛F恰好在一条直线上．已知小亮的眼睛距地面的高度是，标杆距电视塔的距离是，求电视塔的高度． 37．为了测量某金字塔的高度，在太阳光下，先竖一根已知长度的标杆，然后测量标杆和金字塔影子的长度，就可以近似求出金字塔的高度．如图，某时刻测得金字塔的影端A到点B的长，标杆的影长．已知标杆的长度为，求金字塔的高度． 38．【学科融合】如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离．图中，，，在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 39．如图，小明和小亮打算用不同的方法测量学校操场边一个垂直于路面的路灯的高度．他们分别在白天和晚上利用太阳光和路灯的灯光进行测量． (1)如图1，若垂直于地面的标杆的长为，在太阳光下小明测得它的影长为，同一时刻，小亮测得路灯的影长为，求路灯的高度． (2)如图2，小亮在晚上路灯亮后来到路灯附近，他先蹲在点处，在路灯的照射下，小亮的头顶最高处的影子落在点处，，小明测得，接下来小亮站起来，在路灯的照射下，小亮的头顶最高处的影子落在点处，，小明测得，求路灯的高度． 【题型09：位似变换】 40．下列相似图形不是位似图形的是（    ） A． B．C．D． 41．如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 42．如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 43．如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 44．如图，正方形和正方形是位似形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是（   ）． A． B． C．或 D．或 1 学科网（北京）股份有限公司 $