【专题 02】一元二次方程根的判别式与根与系数关系 2026-2027学年人教版九年级数学上册期中复习专项训练

2026-2027学年人教版九年级上册数学期中专项训练 【专题02】一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 班级： 姓名： 成绩： （本试卷满分90分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若x₁、x₂是一元二次方程x²-5x+3=0的两根，则x₁-x₂的值是（ ） A.5　 B.-5　 C.√13　 D.±√13 2. 若一元二次方程(k-2)x²+2x+1=0有实数根，则 k 的取值范围是（） A.k≤3　 B.k<3且k≠2　 C.k≤3且k≠2　D.k≥3 3. 等腰三角形的三边长为方程x²-6x+8=0的根，则该三角形的周长为（） A.10　 B.8 或 10　 C.12　 D.8 4.已知关于 x 的方程x²+ax+a-2=0，下列说法正确的是（） A. 方程没有实数根 B. 方程一定有两个不相等的实数根 C. 方程一定有两个相等的实数根 D. 当 a 取任意实数时，方程都有实数根 5. 若关于 x 的一元二次方程ax²+2bx+a=0（a≠0）有两个相等实数根，则代数式 a²+b²-2ab的值为（ ） A.0 B.4　 C.2　 D.0或4a² 6. 关于x的一元二次方程x²+（m-2）x+m=0的两根分别是x₁、x₂，且x₁²+x₂²=11，则m的值是（ ） A.7 B.-1　 C.-1或7　 D.-7或1 7.已知 a,b,c 是△ABC 的三边长，方程(a+b)x²+2cx+(a+b)=0的根的情况是（） A. 没有实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个不相等实数根 D. 无法判断 8.定义新运算：a☆b=a²-a+b，若关于 x 的方程x☆2=k有实数根，则 k 的取值范围是（） A.k≥ 　 B.k> 　 C.k≤ 　D.k< 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.若关于x的一元二次方程(k-1)x²+kx+1=0有两个相等的实数根，则k的值为______。 10．已知x₁、x₂是一元二次方程x²-4x+k=0的两个根，且x₁²x₂+x₁x₂²=12，则k的值为______。 11．若方程x²-3x+m=0的一个根是1，则它的另一个根是______，m的值为______。 12．已知α、β是一元二次方程x²+3x-1=0的两根，则α²+β²+3αβ的值为______。 13．若关于x的一元二次方程x²-(m+2)x+2m=0的两个实数根之和等于两根之积，则m的值为______。 三、解答题（本大题共5小题，共51分） 14.（9分）已知关于x的一元二次方程3x² + 5x -2 = 0 ，求以下式子的值： （1） + （2）x₁²+x₂² （3）x₁-x₂ 15. （8分）已知关于x的一元二次方程 x² + (2m - 1)x + m² = 0 有两个不相等的实数根。 （1） 求m的取值范围； （2） 若方程的两个实数根的平方和为7，求m的值。 16.已知关于x的方程x²-(2k-3)x+k²+1=0有两个不相等的实数根x₁、x₂。 （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得x₁·x₂=5？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。 17.某社区计划修建一个面积为600m²的矩形绿地，其一边比另一边长10m。设较短的一边长为x m。 （1）根据题意列出关于x的一元二次方程（并化成一般形式）； （2）判断该方程根的情况，并据此说明能否修建出这样的矩形绿地。 18.已知关于x的一元二次方程x²-2(a-1)x+a(a-2)=0。 （1）求证：无论a取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根x₁、x₂满足(x₁-1)(x₂-1)=5，求a的值。 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D 【解析】x₁+x₂=5，x₁x₂=3，则(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=25-12=13，故x₁-x₂=±√13，选D。 2.【答案】C 【解析】方程为一元二次方程，须k-2≠0即k≠2；Δ=4-4(k-2)≥0，解得k≤3，故k≤3且k≠2，选C。 3.【答案】A 【解析】解方程x²-6x+8=0得x₁=2，x₂=4；由三角形三边关系，三边只能取4、4、2，周长为4+4+2=10，选A。 4.【答案】B 【解析】Δ=a²-4(a-2)=a²-4a+8=(a-2)²+4>0恒成立，方程总有两个不相等的实数根，选B。 5.【答案】D 【解析】方程有两个相等实数根，则Δ=4b²-4a²=0，即b=±a，故a²+b²-2ab=（a-b）²=0或4a²，选D。 6.【答案】B 【解析】x₁+x₂=2-m，x₁x₂=m，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=m²-6m+4=11，得m²-6m-7=0，m=7或-1；当m=7时Δ=m²-8m+4=49-56+4=-3<0，无实数根，舍去，故m=-1，选B。 7.【答案】A 【解析】Δ=(2c)²-4(a+b)(a+b)=4[c-(a+b)][c+(a+b)]，由三角形三边关系a+b>c，故Δ<0，方程没有实数根，选A。 8.【答案】A 【解析】x☆2=x²-x+2，方程化为x²-x+2-k=0，Δ≥0，解得k≥，选A。 二、填空题 9．【答案】 2 【解析】方程为一元二次方程，须k-1≠0，即k≠1；Δ=k²-4(k-1)·1=k²-4k+4=(k-2)²=0，解得k=2。 10．【答案】3【解析】x₁+x₂=4，x₁x₂=k，则x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂(x₁+x₂)=4k=12，k=3；此时Δ=16-4×3=4>0，符合，故k=3． 11．【答案】 2 【解析】设另一根为x₂，则1+x₂=3，得x₂=2；由两根之积等于常数项，m=1×2=2。 12．【答案】8【解析】α+β=-3，αβ=-1，则α²+β²+3αβ=(α+β)²+αβ=(-3)²+(-1)=8。 13．【答案】2【解析】x₁+x₂=m+2，x₁x₂=2m，由x₁+x₂=x₁x₂得m+2=2m，m=2；此时Δ=(m+2)²-8m=m²-4m+4=(m-2)²≥0，符合有两实数根，故m=2。 三、解答题 14.【答案】（1）1/x₁+1/x₂=5/2；（2）x₁²+x₂²=37/9；（3）x₁-x₂=±7/3。 【解析】方程3x²+5x-2=0，由根与系数的关系，x₁+x₂=-5/3，x₁x₂=-2/3。（1）1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)=(-5/3)/(-2/3)=5/2；（2）x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=25/9+4/3=37/9；（3）(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=25/9+8/3=49/9，故|x₁-x₂|=7/3，即x₁-x₂=±7/3。 15.【答案】 (1) Δ=(2m-1)²-4×1×m² =4m²-4m+1-4m² =-4m+1 因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0 即-4m+1>0，解得m<1/4 (2) 由韦达定理：x₁+x₂=-(2m-1)=1-2m，x₁·x₂=m² x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂ =(1-2m)²-2m² =1-4m+4m²-2m² =2m²-4m+1 由题意2m²-4m+1=7 2m²-4m-6=0 m²-2m-3=0 (m-3)(m+1)=0 m₁=3, m₂=-1 因为m<1/4，所以m=-1 当m=-1时，方程为x²-3x+1=0 验证：x₁+x₂=3，x₁x₂=1 x₁²+x₂²=3²-2×1=9-2=7 16.解：（1）方程有两个不相等的实数根，所以Δ=(2k-3)²-4(k²+1)=-12k+5>0，解得k<5/12。（2）由x₁·x₂=k²+1=5，得k²=4，k=±2。但由（1）知k<5/12，而2、-2均大于5/12，不满足k的取值范围，故不存在满足条件的k。 17.解：（1）较长一边为(x+10)m，由x(x+10)=600，化得一般形式x²+10x-600=0。 （2）Δ=10²-4×1×(-600)=2500>0，方程有两个不相等的实数根。解方程得x=20或x=-30，因边长不能为负，取x=20，长边为30。所以能修建出长30m、宽20m的矩形绿地。 18.解：（1）Δ=[-2(a-1)]²-4a(a-2)=4a²-8a+4-4a²+8a=4>0，所以无论a取何值，方程都有两个不相等的实数根。 （2）x₁+x₂=2(a-1)，x₁x₂=a(a-2)，则(x₁-1)(x₂-1)=x₁x₂-(x₁+x₂)+1=a²-2a-2a+2+1=a²-4a+3。由a²-4a+3=5，得a²-4a-2=0，解得a=2±√6。 1 学科网（北京）股份有限公司 $