湖北省武汉市2026-2027学年人教版八年级数学上册期中模拟试卷（三）

湖北省武汉市2026-2027学年度第一学期人教版八年级期中模拟试卷（三） 一．选择题（共10小题） 1．人工智能AI改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（　　） A．B． C． D． 2．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段AD是AB边上的高 B．线段BE是AC边上的高 C．线段CF是AC边上的高 D．线段CF是BC边上的高 4．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要量出A'B'的长，就可以知道内槽宽AB是多少，那么△OAB≌△OA′B′理由是（　　） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 5．如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BC摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　　） A．△ABC与△ABD不全等 B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 6．等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 7．已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，则一定符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 9．如图，∠AOB是一钢架，且∠O＝15°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加﹣一些钢管EF、FG、GH…，添加的钢管都与OE相等，则最多能添加这样的钢管（　　） A．4根 B．5根 C．6根 D．无数根 10．如图，BD是等边△ABC的中线，E是直线BD上一点，连接AE，以AE为边，向下方作等边△AEF，连接DF．若AB＝8，则DF的最小值为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 二．填空题（共6小题） 11．点A（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是__________ ． 12．等腰三角形的一个角的度数为100°，则它的底角的度数是________ ． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB，若CD＝2，则BD的长度为 _____ ． 14．如图①，②，∠A＝α，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠M+∠P的度数为 _________ ． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，∠ABE＝∠CBE，若△ABC的面积是12，AC+CD＝8，则DE的长是 __________________ ． 16．如图，在等腰△ABC中，顶角∠B＝42°，点D为AC边上一定点，E，F分别为边AB和BC上两动点，当DE+DF的值最小时，∠EDF的大小是 _________ ． 三．解答题（共8小题） 17．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝24°，求∠B和∠C的度数． 18．如图，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：AB＝DE． 19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF．求证： （1）CF＝EB； （2）AB＝AF+2EB． 20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AE是∠BAD的平分线，∠AEB＝90°， （1）求证：E在∠ABC的平分线上， （2）请写出AB，BC，AD的数量关系，并说明理由； （3）若AD＝4，BC＝9，试求出四边形ABCD的面积． 21．如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中，先画格点F，使得BF∥AC，画出线段BF，再在线段AF上画点O，使得CQ＝AB； （2）在图2中，点D是边AC与网格线的交点，先画点C关于AB的对称点E，再在AB上画点P，使∠APD＝∠BPC． 22．【问题情景】如图1，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（1，3），在y轴上找一点C，使得AC+BC的值最小，请你探究C点的坐标． 【方法分析】小刚的做法是先画出点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，则此时AC+BC的值最小．请在图1中按照小刚的方法完成作图．小刚进一步发现：连接OB，利用S△A′OB＝S△A'OC+S△BOC列方程，可求出点C的坐标．请按照小刚的思路求出点C的坐标； 【问题解决】为响应“秉承节能减排理念，共筑生态环保家园”的号召，现考虑为某化工厂设计一个工业运输用桥方案（平面示意图如图2）．假定长江两岸为互相平行的直线l1，l2，且l1与l2相距1200m，铁路所在直线垂直于l1．位于点A处的化工厂与l1相距600m，与铁路相距2400m，位于点B处的火车站与l2相距2400m．若桥与长江两岸垂直，则在何处修建运输桥可以使A，B两点之间的路径最短？请你完成作图，并通过计算求出桥与铁路的距离． 23．（1）已知△ABC，△CDE均为等边三角形． ①如图1，求证：△BCD≌△ACE； ②如图2，连接AE并延长至点N，使得AN＝2AE，连接BD并延长至点M，使得BM＝2BD，连接CM、CN、MN．猜想△CMN的形状，并证明； （2）如图3，等腰△ABC中，∠A＝120°，BD，CE为△ABC的中线．延长BD至M，使得BM＝2BD，延长EC至N，使得EN＝2EC，连接CM、MN．证明：CM⊥MN． 24．在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），且满足|a﹣4|+（b﹣4）2＝0，连接AB． （1）直接写出A，B两点的坐标：A __________ ，B __________ ； （2）如图1，点C为线段AB上一点，且点C的横坐标为1，点D为第四象限一点，满足OC＝OD且OC⊥OD，求点D的坐标； （3）如图2，BM为∠ABO的角平分线，点C为BM上一点，以OC为直角边作等腰Rt△OCD，其中∠OCD＝90°，且点D在第四象限，∠OBD＝45°，求证：BD+OB＝AB． 湖北省武汉市2026-2027学年度第一学期人教版八年级期中模拟试卷（三） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．人工智能AI改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形具有稳定性判断即可． 【解答】解：A、应用到三角形的稳定性，不符合题意； B、应用到三角形的稳定性，不符合题意； C、应用到三角形的稳定性，不符合题意； D、没有应用到三角形的稳定性，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段AD是AB边上的高 B．线段BE是AC边上的高 C．线段CF是AC边上的高 D．线段CF是BC边上的高 【分析】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：∵AD⊥BC于点D， ∴△ABC中，AD是BC边上的高，故A不符合题意， ∵BE⊥AC，线段BE是AC边上的高，B选项符合题意； ∵CF⊥AB于点F， ∴CF是AB边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键． 4．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要量出A'B'的长，就可以知道内槽宽AB是多少，那么△OAB≌△OA′B′理由是（　　） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【分析】根据边角边证明△AOB≌△A′OB′（SAS）即可． 【解答】解：连接A′B′， ∵O是AA′，BB′的中点， ∴AO＝A′O，BO＝B′O， 又∵∠AOB与∠A′OB′是对顶角， ∴∠AOB＝∠A′OB′， 在△AOB和△A′OB′中， ， ∴△AOB≌△A′OB′（SAS）， ∴A′B′＝AB， ∴只要量出A′B′的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准， ∴判定△OAB≌△OA′B′的理由是边角边． 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 5．如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BC摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　　） A．△ABC与△ABD不全等 B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断； 【解答】解：由题意可知：AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD， 满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是△ABC与△ABD不全等， 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定，记住有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 6．等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【分析】根据题意，分两种情况讨论腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【解答】解：分两种情况讨论： ①当该等腰三角形的腰长为3时，则底边为7， 此时该该等腰三角形的三边长为：3，3，7， ∵3+3＜7，不满足构成三角形的条件， ∴此种情况不存在； ②当该等腰三角形的腰长为7时，则底边为3， 此时该该等腰三角形的三边长为：7，7，3， ∵3+7＞7，满足构成三角形的条件， ∴该等腰三角形的周长为：7+7+3＝17． 故选：C． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 7．已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，则一定符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【分析】选项D中，连接AP．证明PA+PB＝BC即可． 【解答】解：选项D中，连接AP． 由作图可知PA＝PC， ∴PA+PB＝PC+PB＝BC，满足条件． 故选：D． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．15 【分析】连接DC，则DC＝BD，AD+BD＝AD+DC≥AC，若要△ABD的周长最小，则A，D，C三点共线，即D为AC与MN的交点，△ABD的周长为AB+AC，问题可解． 【解答】解：连接DC，如图， ∵AD，CD，AC是△ACD的三条边， ∴AD+DC≥AC， ∵MN为边BC的垂直平分线，AB＝5，BC＝10，AC＝9， ∴DC＝BD， ∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC≥AB+AC＝5+9＝14， 故选：C． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段的垂直平分线的对称性质是解题的关键． 9．如图，∠AOB是一钢架，且∠O＝15°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加﹣一些钢管EF、FG、GH…，添加的钢管都与OE相等，则最多能添加这样的钢管（　　） A．4根 B．5根 C．6根 D．无数根 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质，通过计算即可求解． 【解答】解：∵OE＝FE， ∴∠OFE＝∠AOB＝15°， ∴∠GEF＝∠AOB+∠OFE＝30°， ∵EF＝GF， ∴∠EGF＝∠GEF＝30°， ∴∠GFH＝15°+30°＝45°， ∵GH＝GF， ∴∠GHF＝∠GFH＝45°， ∴∠HGA＝45°+15°＝60°， ∵GH＝HQ， ∴∠GQH＝∠HGA＝60°，∠QHB＝60°+15°＝75°， ∵QH＝QP， ∴∠QPH＝∠QHB＝75°， ∴∠OQP＝180°﹣15°﹣75°＝90°， 再作与PQ相等的线段时，90°的角不能是底角，则最多能作出的钢管是：EF、FG、GH、HQ、QP，共有5根． 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，弄清题意，发现规律，正确求得图中各角的度数是解题的关键． 10．如图，BD是等边△ABC的中线，E是直线BD上一点，连接AE，以AE为边，向下方作等边△AEF，连接DF．若AB＝8，则DF的最小值为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【分析】连接CF，由等边三角形的性质可得AB＝AC，AE＝AF，∠ABC＝∠BAC＝∠FAE＝60°，进而可得∠BAE＝∠FAD，利用SAS可证得△BAE≌∠FAC，于是可得BE＝CF，∠ABE＝∠ACF，由三线合一可得，，于是推出点F在CA以点C为旋转点逆时针旋转30°的射线上运动，由垂线段最短可知，当DF⊥CF时，DF有最小值，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出DF的最小值． 【解答】解：如图，连接CF， ∵△ABC是等边三角形，△AEF是等边三角形， ∴AB＝AC，AE＝AF，∠ABC＝∠BAC＝∠FAE＝60°， ∴∠BAE+∠EAD＝∠FAD+∠EAD＝60°， ∴∠BAE＝∠FAD， 在△BAE和∠CAF中， ， ∴△BAE≌∠CAF（SAS）， ∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF， ∵BD是等边△ABC的中线， ∴，， ∴点F在CA以点C为旋转点逆时针旋转30°的射线上运动， ∴当DF⊥CF时，DF有最小值， ∵∠ACF＝30°， ∴， 故选：C． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短，等边三角形的性质点，熟练掌握全等三角形的判定定理解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．点A（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是　（2，1）　 ． 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案． 【解答】解：点A（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是（2，1）， 故答案为：（2，1）． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 12．等腰三角形的一个角的度数为100°，则它的底角的度数是　40°　 ． 【分析】当等腰三角形的一个角的度数为100°时，这个角一定是顶角，不可能是底角，然后利用三角形内角和定理即可得出答案． 【解答】解：∵当等腰三角形的一个角的度数为100°时， 这个角一定是顶角，不可能是底角， ∴它的底角的度数是：（180﹣100）÷2＝40°． 故答案为：40° 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，此类题目要用分类讨论的思想进行分析，不能遗漏． 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB，若CD＝2，则BD的长度为 　4　 ． 【分析】首先利用条件和三角形内角和定理求出∠B＝30°，∠CAB＝60°，然后利用AD平分∠CAB可以推出∠B＝∠DAB，从而得到AD＝BD，最后利用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°， 而∠CAB＝2∠B， ∴∠B＝30°，∠CAB＝60°， 又AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∴∠B＝∠DAB， ∴AD＝BD， 而CD＝2， ∴BD＝AD＝2CD＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查三角形的内角和定理、直角三角形中30°角所对的直角边与斜边的关系，解题的关键是找出所求问题需要的条件，灵活变化，进行解答． 14．如图①，②，∠A＝α，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠M+∠P的度数为 　180°　 ． 【分析】在图①中，用含有α的式子表示出∠2+∠4，进而求出∠M，在图②中，先用含有α的式子表示出∠ABC+∠ACB，进而表示出∠CBD+∠BCE，再表示出∠2+∠3，然后表示出∠P，即可求解． 【解答】解：图①中， ∵∠A＝α，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°﹣∠A， ∴， ∴， 图②中，∠A＝α， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α， ∵∠CBD＝180°﹣∠ABC，∠BCE＝180°﹣∠ACB， ∴∠CBD+∠BCE＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（180°﹣α）＝180°+α， 即∠1+∠2+∠3+∠4＝180°+α， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴， ∴， ∴， 故答案为：180°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和定理． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AD上一点，∠ABE＝∠CBE，若△ABC的面积是12，AC+CD＝8，则DE的长是 　　 ． 【分析】过点E分别作EF⊥AB，EG⊥AC，根据AB＝AC，AD⊥BC，可得AD垂直平分BC，推出BE＝CE，BD＝CD，结合AC+CD＝8，可得AB+BC+AC＝16，根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，∠EBC＝∠ECB，结合∠ABE＝∠CBE，推出BE、CE分别平分∠ABC、∠ACB，得到DE＝DF＝DG，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：过点E分别作EF⊥AB，EG⊥AC， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC， ∴BE＝CE，BD＝CD， ∵AC+CD＝8， ∴AB+BC+AC＝AB+BD+CD+AC＝2（AC+CD）＝16， ∵AB＝AC，BE＝CE， ∴∠ABE＝∠ACE， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ECB＝∠ACE，即BE、CE分别平分∠ABC、∠ACB， ∴DE＝DF＝DG， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识． 16．如图，在等腰△ABC中，顶角∠B＝42°，点D为AC边上一定点，E，F分别为边AB和BC上两动点，当DE+DF的值最小时，∠EDF的大小是 　138°　 ． 【分析】过点B作BO⊥AC并延长，交过点A作AQ∥BC于点Q，由题意易得△AOQ≌△COB（AAS）、△AOB≌△AOQ（SAS），作点E关于AC的对称点M，则点M在AQ上，连接DM，要使DE+DF＝DM+DF的值最小，则需满足点M、D、F三点共线，且DF⊥BC，此时点M与点H，点F与点N重合，则点E与点G重合，进而问题可求解． 【解答】解：过点B作BO⊥AC并延长，交过点A作AQ∥BC于点Q，如图1： ∵△ABC是等腰三角形，且顶角∠B＝42°， ∴∠A＝∠C＝69°，AO＝CO，∠BOC＝∠QOA＝90°， ∵AQ∥BC， ∴∠Q＝∠CBO， 在△AOQ和△COB中， ， ∴△AOQ≌△COB（AAS）， ∴∠C＝∠QAO＝∠BAC，AQ＝BC＝AB， 在△AOB和△AOQ中， ， ∴△AOB≌△AOQ（SAS），且为轴对称图形， 作点E关于AC的对称点M，则点M在AQ上，连接DM，要使DE+DF＝DM+DF的值最小，则需满足点M、D、F三点共线，且DF⊥BC，此时点M与点H，点F与点N重合，则点E与点G重合，如图1， ∴∠CDN＝90°﹣∠C＝21°， ∴∠ADH＝∠CDN＝21°＝∠ADG， ∴∠EDF＝∠GDN＝180°﹣2×21°＝138°； 解法二：根据垂线段最短，DE⊥AB时，DE最小，DF⊥BC时，DF最小，如图2， ∴DE+DF最小时，∠EDF＝360°﹣90°﹣90°﹣42°＝138°， 故答案为：138°． 【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及轴对称的性质是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝24°，求∠B和∠C的度数． 【分析】根据AB＝AD，∠BAD＝24°可得∠B＝∠ADB＝78°，进而得∠ADC＝102°，再根据AD＝DC可的∠C的度数． 【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝24°， ∴∠B＝∠ADB（180°﹣∠BAD）（180°﹣24°）＝78°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣78°＝102°， ∴∠C+∠DAC＝180°﹣∠ADC＝78°， ∵AD＝DC， ∴∠C＝∠DAC＝39°． 故∠B＝78°；∠C＝39°． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键． 18．如图，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：AB＝DE． 【分析】由∠1＝∠2可以得出∠ACB＝∠DCE．再证明△ABC≌△DEC就可以得出结论． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠ECA＝∠2+∠ACE， 即∠ACB＝∠DCE， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）． ∴DE＝AB． 【点评】本题考查了运用SAS的判定方法证明三角形全等的运用，全等三角形的性质的运用，解答时证明∠ACB＝∠DCE是关键． 19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF．求证： （1）CF＝EB； （2）AB＝AF+2EB． 【分析】（1）先证明△ADC≌△ADE得到CD＝ED，再证明Rt△CDF≌Rt△EDB即可证明CF＝EB； （2）由全等三角形的性质可得AE＝AC，再由线段的和差关系证明即可． 【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAC＝∠DAE， ∵DE⊥AB， ∴∠ACD＝∠AED＝90°， 在△ADC和△ADE中， ， ∴△ADC≌△ADE（AAS）， ∴CD＝ED， 在Rt△CDF和Rt△EDB中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， ∴CF＝EB； （2）∵△ADC≌△ADE， ∴AE＝AC， ∵AB＝AE+BE， ∴AB＝AC+BE， ∵AC＝AF+CF， ∴AB＝AF+CF+BE＝AF+2EB． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，关键是相关性质和定义的熟练掌握． 20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AE是∠BAD的平分线，∠AEB＝90°， （1）求证：E在∠ABC的平分线上， （2）请写出AB，BC，AD的数量关系，并说明理由； （3）若AD＝4，BC＝9，试求出四边形ABCD的面积． 【分析】（1）作EF⊥AB于点F，则∠AFE＝∠BFE＝90°，由AD∥BC，AD⊥DC，得∠D＝90°，则∠C＝90°，所以∠AFE＝∠D，∠BFE＝∠C，而∠FAE＝∠DAE，AE＝AE，可证明△AEF≌△AED，得∠AEF＝∠AED，由∠AEB＝90°，推导出∠BEF＝∠BEC，再证明△BEF≌△BEC，得EF＝EC，即可证明E在∠ABC的平分线上． （2）由全等三角形的性质得AF＝AD，BF＝BC，则AB＝AF+BF＝AD+BC． （3）作AH⊥BC于点H，则∠AHB＝90°，由AD＝4，BC＝9，得HC＝AD＝4，AB＝AD+BC＝13，则BH＝BC﹣HC＝5，求得DC＝AH12，则S四边形ABCD（4+9）×12＝78． 【解答】（1）证明：作EF⊥AB于点F，则∠AFE＝∠BFE＝90°， ∵AD∥BC，AD⊥DC， ∴∠D＝90°， ∴∠C＝180°﹣∠D＝90°， ∴∠AFE＝∠D，∠BFE＝∠C， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠FAE＝∠DAE， 在△AEF和△AED中， ， ∴△AEF≌△AED（AAS）， ∴∠AEF＝∠AED， ∵∠AEB＝90°， ∴∠BEF+∠AEF＝90°，∠BEC+∠AED＝90°， ∴∠BEF＝∠BEC， 在△BEF和△BEC中， ， ∴△BEF≌△BEC（AAS）， ∴EF＝EC， ∵EF⊥BA于点F，EC⊥BC于点C，且EF＝EC， ∴E在∠ABC的平分线上． （2）解：AB＝AD+BC， 理由：由（1）得△AEF≌△AED，△BEF≌△BEC， ∴AF＝AD，BF＝BC， ∴AB＝AF+BF＝AD+BC． （3）解：作AH⊥BC于点H，则∠AHB＝90°，AH∥DC， ∵AD⊥DC，HC⊥DC，AD＝4，BC＝9， ∴HC＝AD＝4，AB＝AD+BC＝4+9＝13， ∴BH＝BC﹣HC＝9﹣4＝5， ∴DC＝AH12， ∴S四边形ABCD（4+9）×12＝78， ∴四边形ABCD的面积为78． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 21．如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中，先画格点F，使得BF∥AC，画出线段BF，再在线段AF上画点O，使得CQ＝AB； （2）在图2中，点D是边AC与网格线的交点，先画点C关于AB的对称点E，再在AB上画点P，使∠APD＝∠BPC． 【分析】（1）利用平移的性质可作出线段BF；由于，作出两条直角边分别为3和4的Rt△CDQ即可； （2）取格点E，由AE＝AC，BE＝BC知AB是线段CE的垂直平分线，即点C与点E关于AB对称；点F是边AE与网格线的交点，连接CF交AB于点P，点P即为所作的点． 【解答】解：（1）线段BF，点Q如图所示； （2）点E，点P如图所示． 【点评】本题考查了格点作图，平移的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识点．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 22．【问题情景】如图1，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（1，3），在y轴上找一点C，使得AC+BC的值最小，请你探究C点的坐标． 【方法分析】小刚的做法是先画出点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，则此时AC+BC的值最小．请在图1中按照小刚的方法完成作图．小刚进一步发现：连接OB，利用S△A′OB＝S△A'OC+S△BOC列方程，可求出点C的坐标．请按照小刚的思路求出点C的坐标； 【问题解决】为响应“秉承节能减排理念，共筑生态环保家园”的号召，现考虑为某化工厂设计一个工业运输用桥方案（平面示意图如图2）．假定长江两岸为互相平行的直线l1，l2，且l1与l2相距1200m，铁路所在直线垂直于l1．位于点A处的化工厂与l1相距600m，与铁路相距2400m，位于点B处的火车站与l2相距2400m．若桥与长江两岸垂直，则在何处修建运输桥可以使A，B两点之间的路径最短？请你完成作图，并通过计算求出桥与铁路的距离． 【分析】【方法分析】作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，则此时AC+BC的值最小．由S△A'OB＝S△A'OC+S△BOC可求出OC的长，则可得出答案； 【问题解决】将点A向右平移1200m至点A'，连接A'B交l2于点N，作MN⊥l2交l1于点M，则桥修在M处，作A'E⊥MN，交铁路所在的直线于点E，由S△A'BE＝S△NBF+S梯形A'EFN可求出DE的长，则可得出答案． 【解答】解：【方法分析】作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，则此时AC+BC的值最小． ∴OA'＝3， ∵S△A'OB＝S△A'OC+S△BOC， ∴， ∴OC， ∴C（0，）； 【问题解决】将点A向右平移1200m至点A'，连接A'B交l2于点N，作MN⊥l2交l1于点M，则桥修在M处， 作A'E⊥MN，交铁路所在的直线于点E， 设DE＝xm， ∵S△A'BE＝S△NBF+S梯形A'EFN， ∴， ∴x＝1920， ∴桥与铁路的距离为1920m． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了轴对称的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 23．（1）已知△ABC，△CDE均为等边三角形． ①如图1，求证：△BCD≌△ACE； ②如图2，连接AE并延长至点N，使得AN＝2AE，连接BD并延长至点M，使得BM＝2BD，连接CM、CN、MN．猜想△CMN的形状，并证明； （2）如图3，等腰△ABC中，∠A＝120°，BD，CE为△ABC的中线．延长BD至M，使得BM＝2BD，延长EC至N，使得EN＝2EC，连接CM、MN．证明：CM⊥MN． 【分析】（1）①可推出∠BCD＝∠ACE，AC＝BC，CE＝CD，从而得出结论； ②由①知：△BCD≌△ACE，从而∠CBD＝∠CAE，BD＝AE，进而证得△ACN≌△BCM（SAS），从而∠BCM＝∠ACN，CM＝CN，从而推出∠MCN＝∠BCA＝60°，从而△CMN是等边三角形； （2）延长AC至F，使CF＝AC，连接FM，MN，延长BC交FM于点G，连接NG，可推出△ABD≌△CMD，从而CM＝AB，∠A＝∠DCM，从而CM∥AB，CM＝AC＝CF，进而证得△CFM是等边三角形，从而∠CMF ＝∠CFM＝60°，FM＝CM＝CF，GM＝FGFM，同理可得△FCN≌△ACE，从而得出∠CFN＝∠A＝120°，FN＝AEAB，进而得出△GFN是等边三角形，从而得出∠FGN＝60°，GN＝FG＝GM，进一步得出∠GMN＝∠GNM＝30°，进一步得出结论． 【解答】（1）①证明：∵△ABC，△CDE均为等边三角形． ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， ∴△BCD≌△ACE（SAS）； ②解：△CMN是等边三角形，理由如下： 由①知， △BCD≌△ACE， ∴∠CBD＝∠CAE，BD＝AE， ∵AN＝2AE，BM＝2BD， ∴AN＝BM， ∵AC＝BC， ∴△ACN≌△BCM（SAS）， ∴∠BCM＝∠ACN，CM＝CN， ∴∠ACM﹣∠ACM＝∠ACN﹣∠ACM， ∴∠MCN＝∠BCA＝60°， ∴△CMN是等边三角形； （2）证明：如图， 延长AC至F，使CF＝AC，连接FM，MN，延长BC交FM于点G，连接NG， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠FCG＝∠ACB＝30°， ∵D是AC的中点， ∴AD＝CD， ∵DM＝BD，∠CDM＝∠ADB， ∴△ABD≌△CMD（SAS）， ∴CM＝AB，∠A＝∠DCM， ∴CM∥AB，CM＝AC＝CF， ∴∠MCG＝∠ABC＝30°， ∴∠FCM＝∠MCG+∠FCG＝60°， ∴△CFM是等边三角形， ∴∠CMF ＝∠CFM＝60°，FM＝CM＝CF，GM＝FGFM， 同理可得， △FCN≌△ACE， ∴∠CFN＝∠A＝120°，FN＝AEAB， ∴∠MFN＝∠CFN﹣∠CFM＝60°，FN＝FG， ∴△GFN是等边三角形， ∴∠FGN＝60°，GN＝FG＝GM， ∴∠GMN＝∠GNM， ∵∠GMN+∠GNM＝∠FGN＝60°， ∴∠GMN＝∠GNM＝30°， ∴∠CNM＝∠CMF+∠GMN＝60°+30°＝90°， ∴CM⊥MN． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 24．在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），且满足|a﹣4|+（b﹣4）2＝0，连接AB． （1）直接写出A，B两点的坐标：A　（0，4）　 ，B　（4，0）　 ； （2）如图1，点C为线段AB上一点，且点C的横坐标为1，点D为第四象限一点，满足OC＝OD且OC⊥OD，求点D的坐标； （3）如图2，BM为∠ABO的角平分线，点C为BM上一点，以OC为直角边作等腰Rt△OCD，其中∠OCD＝90°，且点D在第四象限，∠OBD＝45°，求证：BD+OB＝AB． 【分析】（1）由非负性可求a，b的值； （2）由“AAS”可证△COH≌△DOG，可得OG＝OH＝3，HC＝DG＝1，即可求解； （3）由“ASA”可证△AOE≌△BOD，可得AE＝BD，OD＝OE，由“SAS”可证△COE≌△COD，可得EC＝CD，∠OCD＝∠OCE＝90°，由“ASA”可证△CBO≌△CBE，可得OB＝BE，即可求解． 【解答】（1）解：∵|a﹣4|+（b﹣4）2＝0， ∴a＝b＝4， ∴点A（0，4），点B（4，0）， 故答案为：（0，4），（4，0）； （2）解：如图1，过点C作CH⊥AO于H，过点D作DG⊥OB于G， ∵点A（0，4），点B（4，0）， ∴OA＝OB＝4， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， ∵CH⊥OA， ∴△AHC是等腰直角三角形， ∴AH＝CH， ∵点C的横坐标为1， ∴AH＝CH＝1， ∴OH＝3， ∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°＝∠AOB＝∠OHC＝∠OGD， ∴∠COH＝∠DOG， 又∵OC＝OD， ∴△COH≌△DOG（AAS）， ∴OG＝OH＝3，HC＝DG＝1， ∴点D（3，﹣1）； （3）证明：如图2，过点O作OE⊥OD，交AB于E，连接EC， ∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°＝∠AOB， ∵∠OBD＝45°，∠OAB＝∠OBA＝45°， ∴∠ABD＝90°，∠OAB＝∠OBD＝45°， 又∵OA＝OB， ∴△AOE≌△BOD（ASA）， ∴AE＝BD，OD＝OE， ∵△OCD是等腰直角三角形， ∴OC＝CD，∠COD＝45°， ∴∠EOC＝45°＝∠COD， 又∵CO＝CO，EO＝OD， ∴△COE≌△COD（SAS）， ∴EC＝CD，∠OCD＝∠OCE＝90°， ∴∠ECO+∠DCO＝180°， ∴点E，点C，点D三点共线， ∵EC＝CD，∠ABD＝90°， ∴CB＝EC＝CD， ∴OC＝CB＝EC， ∴∠OBC＝∠OCB，∠CBA＝∠CEB， ∵BM为∠ABO的角平分线， ∴∠OBC＝∠ABC＝22.5°， ∴∠OBC＝∠COB＝∠CBA＝∠CEB＝22.5， ∴BC＝BC， ∴△CBO≌△CBE（ASA）， ∴OB＝BE， ∴OB+BD＝BE+AE＝AB． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/26 17:08:36；用户：狼的诱惑；邮箱：UID_B6F2C37AC4BC0A081F64DF52B2C648C2@qq.jyeoo.com；学号：24278983 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $