《20章二次根式》 单元培优卷 2026-2027学年上海市沪教版（五四制）数学八年级上册

《20章二次根式》拓展培优卷 2026-2027学年上海市沪教版（五四制）数学八年级第一学期 一、选择题：本大题共6小题，共18分。 1.与不是同类二次根式的是    A. ； B. ； C. ； D. 2.若，则x的取值范围是    A. B. C. D. 3.化简的结果是(    ) A. B. C. D. 4.已知，则化简的结果是     A. B. C. D. 3 5.若，则等于(    ) A. ； B. ； C. ； D. 6.已知x，y都是负数，则(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本大题共12小题，共24分。 7.计算          ，实数的倒数是          . 8.计算          . 9.若，，则a，b两数的关系是          . 10.化简__________. 11.当x          时，二次根式有意义. 12.化简二次根式的结果是_______. 13.若，则__________. 14.若最简二次根式与是同类根式，则__ 15.计算：__________. 16.如果的整数部分是a，小数部分是b，那么          . 17.若，则          ，          . 18.小刚做数学题，发现，，，……按此规律，若为正整数，则          . 三、计算题：本大题共3小题，共18分。 19.计算： 20. 计算： 21. 解不等式： 四、解答题：本大题共4小题，共40分。 22.已知，求下列各式的值： 23.已知a，b，m都是实数，若，则称a与b是关于1的“平衡数”． 与          是关于1的“平衡数”，与          是关于1的“平衡数”； 若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 24.高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害. 研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间单位：和高度单位：满足公式，其中假设一个物体从49m的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？结果保留根号 物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过65焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害.已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能单位：焦可以用物体质量单位：和初始位置的高度单位：近似表示，公式为，其中假设从高度为35m的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害行人身高和空气阻力忽略不计？请通过计算说明理由. 25.阅读材料： 【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化.例如：， 【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知，求的值.他是这样分析与解答的： ，，， ， 请你根据材料中的方法探索并解决下列问题： 的有理化因式是______，的有理化因式是______；均写出一个即可 计算：； 若，求的值． 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：， A、，被开方数不同，不是同类二次根式，符合题意； B、，被开方数相同，是同类二次根式，不符合题意； C、，被开方数相同，是同类二次根式，不符合题意； D、，被开方数相同，是同类二次根式，不符合题意. 故选 2.【答案】C  【解析】， 3.【答案】D  【解析】【分析】 分子、分母同时乘以即可． 本题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键． 【解答】 解：原式 故选 4.【答案】A  【解析】【分析】 此题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，关键是掌握 由知，，再利用完全平方公式和求解可得． 【解答】 解：， ，， 则原式 ， 故选： 5.【答案】D  6.【答案】D  【解析】，y都是负数，，故选 7.【答案】    8.【答案】  【解析】解：原式 ， 故答案为： 9.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了分母有理化. 将a的值进行分母有理化运算，再与b进行比较即可. 【解答】 解：，而， 10.【答案】2  【解析】【分析】 本题考查二次根式的性质与化简．先根据二次根式的意义，得出，得出，再根据二次根式的性质化简原式，即可得出答案． 【解答】 解：， ， ， 故答案为 11.【答案】  12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次根式的性质与化简．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数. 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，由于分母，因此，再据此化简二次根式即可解答. 【解答】 解：，， ， ， 原式 13.【答案】1002  【解析】【分析】 本题考查了绝对值，以及二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数．由二次根式有意义的条件得到是解题关键． 首先根据二次根式有意义的条件得到，由此化简绝对值，即可求解． 【解答】 解：有意义， ， 解得：， ， ， ， 化简，得：， 故答案为： 14.【答案】9  【解析】解：最简二次根式与是同类根式， ， ， 解得：， 故答案为： 结合同类二次根式的定义进行求解即可． 本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 15.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 直接化简二次根式进而合并得出答案． 【解答】 解：原式 故答案为： 16.【答案】  17.【答案】3、2  【解析】，， 18.【答案】73  【解析】解：根据题中的规律得：，， 则 故答案为： 19.【答案】解：  【解析】此题考查二次根式的混合运算，用括号里的每一项除以，化为最简二次根式后，再合并同类二次根式即可. 20.【答案】解：原式   【解析】本题考查二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘除法则可以解答，属于基础题. 21.【答案】  22.【答案】解：， 两边平方得：， ， ， 即； 由知，， ，   【解析】本题考查的是完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键. 把，两边分别平方，化简可得； 把进行平方，根据结论可得结果. 23.【答案】解：；； 不是，理由如下： ，     与不是关于1的“平衡数”.  【解析】【分析】 本题考查二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算.掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“平衡数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并. 根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此即可计算4和关于1的“平衡数”； 先根据，求出m的值，再计算与的和，根据所求得结果即可判断. 【详解】 解：，所以4与是关于1的“平衡数”， ，所以与是关于1的“平衡数” 故答案为：，； 见答案. 24.【答案】解：； 答：这个物体落到地面大约需要秒时间； 当，时， 所以会对楼下的行人造成伤害.  25.【答案】解：；； ； ， ，   【解析】【分析】 本题考查了平方差公式的运用，分母有理化，解题的关键是：利用平方差公式，进行分母有理化． 根据互为有理化因式的定义，即可求解， 将所求式子，进行分母有理化，即可求解， 参照学习材料二的步骤即可求解． 【解答】 解：；， 故答案为：；； 见答案； 见答案． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $