第二十章 二次根式（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 第二十章二次根式单元自测强化卷，90分钟100分，覆盖二次根式定义、化简、运算等核心知识，通过基础巩固与创新应用梯度设计，适配初中数学单元复习，提升运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/12|二次根式定义、最简二次根式、同类二次根式|基础概念辨析，强化抽象能力| |填空题|12/36|倒数、有理化因式、化简、同类二次根式字母参数|多维度考查运算技能，渗透推理意识| |解答题|7/52|混合运算、不等式、代数式求值、情境创新题|第25题结合小明解题方法探究规律并解决几何拼图问题，体现创新意识与应用意识，契合真题命题趋势|

第二十章 二次根式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C D A D D 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7． 8．（答案不唯一） 9． 10． 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17． 18． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．【答案】 【详解】解：原式 20．【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算．先计算乘法，再算除法即可． 【详解】解：根据题意得：， 21．【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，熟练掌握运算步骤是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 22．【答案】 【详解】解：原式    23．【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分别将两个式子中的分子利用平方差公式和完全平方公式变形，再按照二次根式的除法及加减混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 24．【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，平方差公式、完全平方公式，先通过分母有理化得出，，然后代入即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 25．【答案】(1)10000 (2)50 (3)757 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，灵活运用完全平方公式对被开方数变形是解题的关键． （1）根据题干提供的方法将变形为，根据完全平方公式得出，然后再进行求解即可； （2）利用完全平方公式对变形，然后根据二次根式的性质求解； （3）根据图1和图2的面积相等可得，然后利用（1）中方法求出a即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：设大正方形的边长为a， 由图1和图2的面积相等可得：， 即， ∴， 即大正方形的边长为757． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 二次根式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列各式中，不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，二次根式的根指数为2，可省略不写． 【详解】解：选项A，，根指数为2，符合二次根式形式，是二次根式． 选项B，，根指数为2，被开方数，是二次根式． 选项C，，根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 选项D，，，可得，且根指数为2，是二次根式． 2．在下列代数式中：、、、，、、，最简二次根式的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义，正确掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数的因数是整数，因式是整式”进行逐一判断即可． 【详解】解：对于，是无理数，不是最简二次根式； 对于，被开方数中含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式； 对于，被开方数，被开方数不含有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； 对于，被开方数是小数，不满足被开方数的因数是整数这一条件，不是最简二次根式； 对于，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 对于，它是三次根式，不是二次根式； 对于，被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； 综上。最简二次根式有、． 故选：C． 3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故A错误； B、与不是同类二次根式，故B错误； C、与不是同类二次根式，故C错误； D、，与是同类二次根式，故D正确． 故选：D． 4．已知化简后为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查平方根的定义及化简绝对值，利用平方根与绝对值的性质 ，根据 的范围判断绝对值内表达式的正负，从而化简． 【详解】∵ ， ∴ ，， ∴ ， ， ∴ 原式 ． 5．若，，，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平方和二次根式的性质，得到、的所有可能取值，再结合判断与的符号关系，分情况计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴与异号，分两种情况讨论： 当时，，； 当时，，． ∴，故选D． 6．能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及分式二次根式的性质．等式 成立的条件是 且 ，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：D． 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．的倒数是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查分母有理化，原式通过分母有理化进行化简即可． 【详解】解：的倒数为， 故答案为：． 8．写出的一个有理化因式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理化因式，根据有理化因式与原式的乘积是整式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴的一个有理化因式为：， 故答案为：（答案不唯一） 9．如果，那么________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式和代数式求值，先根据二次根式的被开方数为非负数求出的值，再代入求出，最后求即可． 【详解】解：二次根式的被开方数为非负数， ， ， 将代入中，得， ∴． 故答案为：． 10．计算：_____． 【答案】 【详解】解：． 11．化简： _____． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），掌握二次根式的性质是解题关键． 利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴． 故答案为： 12．将代数式分母有理化，结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化．分子分母同乘以求解作答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．对于，当是整数时，最小的正整数______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，由即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当是整数时，最小的正整数， 故答案为：． 14．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解二元一次方程组，代数式求值，根据同类二次根式的定义得到关于的方程组，解方程求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 化简得，， 解得， ∴， 故答案为：． 15．化简：________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，解题的关键是掌握二次根式的加减法运算法则．先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：要使根式有意义，则且，解得， ∴ ， 故答案为：． 16．比较大小：______．（用“”、“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，先计算出，令，，求出与的值，比较与的大小，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： ， 令，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．、在数轴上的位置如图，化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，二次根式的化简，整式加减，根据数在数轴上的位置确定，及的符号，再根据二次根式的性质进行开方运算，再合并同类项，掌握二次根式的化简是解题的关键. 【详解】解：由、在数轴上的位置可得：，，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 18．已知实数满足，则______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的性质，代数式求值，由了二次根式有意义的条件可得，即得，进而得到，即得到，再代入代数式计算即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 20．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算．先计算乘法，再算除法即可． 【详解】解：根据题意得：， 21．解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，熟练掌握运算步骤是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 22．计算：． 【答案】 【详解】解：原式    23．计算： 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分别将两个式子中的分子利用平方差公式和完全平方公式变形，再按照二次根式的除法及加减混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 24．已知，，求代数式的值． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，平方差公式、完全平方公式，先通过分母有理化得出，，然后代入即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 25．小明回家完成王老师布置的数学作业，如下：用计算器计算 ①；  ②；  ③；  ④． 小明身边没有计算器，而直接计算很复杂，通过思考后，他发现可以按如下解法去完成： ， ， ， (1)观察上述解法，直接写出结果：________； (2)试用小明的方法求解出的结果； (3)根据上面解题方法解决下面的数学问题：如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 【答案】(1)10000 (2)50 (3)757 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，灵活运用完全平方公式对被开方数变形是解题的关键． （1）根据题干提供的方法将变形为，根据完全平方公式得出，然后再进行求解即可； （2）利用完全平方公式对变形，然后根据二次根式的性质求解； （3）根据图1和图2的面积相等可得，然后利用（1）中方法求出a即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：设大正方形的边长为a， 由图1和图2的面积相等可得：， 即， ∴， 即大正方形的边长为757． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 二次根式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．下列各式中，不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．在下列代数式中：、、、，、、，最简二次根式的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．已知化简后为（    ） A．3 B． C． D． 5．若，，，则的值为（） A． B． C． D． 6．能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 2、 填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．的倒数是___________． 8．写出的一个有理化因式：______． 9．如果，那么________． 10．计算：_____． 11．化简： _____． 12．将代数式分母有理化，结果是______． 13．对于，当是整数时，最小的正整数______． 14．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则______． 15．化简：________． 16．比较大小：______．（用“”、“”、“”或“”填空） 17．、在数轴上的位置如图，化简：______． 18．已知实数满足，则______． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．计算：． 20．计算： 21．解不等式：． 22．计算：． 23．计算： 24．已知，，求代数式的值． 25．小明回家完成王老师布置的数学作业，如下：用计算器计算 ①；  ②；  ③；  ④． 小明身边没有计算器，而直接计算很复杂，通过思考后，他发现可以按如下解法去完成： ， ， ， (1)观察上述解法，直接写出结果：________； (2)试用小明的方法求解出的结果； (3)根据上面解题方法解决下面的数学问题：如图，已知图1是边长为756和的两个正方形，图2是由图1通过切割后拼成的一个大正方形，请求出大正方形的边长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $