湖北省武汉市2026-2027学年人教版八年级上册期中数学模拟试卷（二）

2026-2027学年度第一学期人教版八年级期中模拟试卷（二） 一．选择题（共10小题） 1．下列四种网络运营商的标志中，为轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　） A．5、8、2 B．2、5、4 C．4、3、5 D．8、14、7 3．如图，自行车的主要结构设计成三角形，其依据是（　　） A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和是180° C．节省材料 D．三角形的稳定性 4．如图，点B、C、D、E在同一直线上，则图中的三角形一共有（　　） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 5．若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，若∠A＝24°，则∠BCD的度数是（　　） A．66° B．22° C．26° D．24° 7．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．AB＝2BF B．AE＝BE C． D．CD⊥AB 8．如图，书上的三角形不慎被墨迹污染了一部分，小明根据所学的知识画了一个与原三角形一样的三角形，则小明画图的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．HL 9．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝∠DCB＝90°，AC＝3，则四边形ABCD的面积为（　　） A．9 B．7.5 C．6 D．4.5 10．如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形，画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 二．填空题（共6小题） 11．在平面直角坐标系中，点（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标是__________ ． 12．一个零件的形状如图，按规定∠A＝90°，∠B＝∠D＝25°，判断这个零件是否合格，只要检验∠BCD的度数就可以了．量得∠BCD＝150°，这个零件 ________ （填“合格”或“不合格”）． 13．已知三角形的三边分别为3，2a﹣1，9，那么a的取值范围是 ______________ ． 14．等腰直角△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AC＝BC，∠ACB＝90°，A（0，5），C（2，0），则B的坐标为__________ ． 15．已知，如图，在△ABC中，∠A＝58°，∠B＝80°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝26°，则∠1的度数为 ________ 度． 16．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点，已知OM＝3，ON＝4，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为________ ． 三．解答题（共8小题） 17．已知等腰△ABC的周长为24，一边长为6，求另两边的长． 18．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线． （1）求∠C，∠ABD的度数； （2）直接写出图中所有等腰三角形：___________________ ． 19．如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上． （1）试说明△ABC≌△ADE； （2）若∠B＝23°，∠APC＝63°，求∠E的度数． 20．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝5，BD＝3，DC＝8． （1）由条件可以发现AB，BD，DC的数量关系为：_____________ ； （2）求证：∠B＝2∠C． 21．如图是由小正方形组成的7×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图的过程用虚线，画图结果用实线表示． （1）在图1中，先画格点D，连接CD，使CD∥AB；再在AC上画点E，连接BE，DE，使△AEB≌△CED； （2）在图2中，先画△ABC的高线CF；再画点G，使点G与点F关于AC对称． 22．小丽与小琳在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距OA水平距离0.9m的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度EM为0.9m，已知∠BOC＝90°，BD⊥OA于点D，CE⊥OA于点E． （1）求证：△CEO≌△ODB； （2）为了安全考虑规定户外秋千设置高度在2m以下，小丽所在公园的秋千高度设置是否合理？为什么？ 23．已知，△ABC中，AD是BC边的中线． 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题． 如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，则有以下两个常见结论： ①△CAD≌△BED；②CA∥BE．利用这两个结论解决下列问题． （1）如图1，若AB＝6，AC＝4，直接写出AD的取值范围为：_____ ＜AD＜_____ ； （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°．求证：． （3）如图3，点G在BC的上方，点F在DA的延长线上，连接GB，GC，GF，GA，若GB＝GC，GF＝GA，∠BGC＝∠FGA．求证：AG⊥AC． 24．如图，平面直角坐标系中，点A，点B分别在的x轴，y轴上，点C是△ABO的三条角平分线的交点． （1）如图1，连接CA，CB，直接写出∠ACB的度数：_________ ； （2）如图2，连接AC并延长交OB于点D，若OA＝OB，S△ABD＝16，求AD的长； （3）如图3，连接CA，CB，CO，若OB＝OA+AC，求∠ACO的度数． 2026-2027学年度第一学期人教版八年级期中模拟试卷（二） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列四种网络运营商的标志中，为轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2．以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　） A．5、8、2 B．2、5、4 C．4、3、5 D．8、14、7 【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【解答】解：2+5＜8，A不能组成三角形，符合题意； 2+4＞5，B不能组成三角形，不符合题意； 4+3＞5，C能组成三角形，不符合题意； 8+7＞14，D能组成三角形，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． 3．如图，自行车的主要结构设计成三角形，其依据是（　　） A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和是180° C．节省材料 D．三角形的稳定性 【分析】根据三角形的稳定性是解决问题即可． 【解答】解：自行车的主要结构设计成三角形，其依据是三角形的稳定性， 故选：D． 【点评】本题考查生活中数学知识的应用，熟记三角形的稳定性是解决问题的关键． 4．如图，点B、C、D、E在同一直线上，则图中的三角形一共有（　　） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 【分析】根据三角形的定义，即可得到结论． 【解答】解：图中三角形有：△ABD，△ABC，△ABE，△ADC，△ADE，△ACE，共有6个． 故选：C． 【点评】本题考查三角形，关键是掌握三角形的概念． 5．若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【分析】根据三角形的内角和定理和三个内角的度数比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进一步判断三角形的形状． 【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：4， ∴三个内角分别是180°40°，180°60°，180°80°． 所以该三角形是锐角三角形． 故选：A． 【点评】此题考查三角形的内角和定理以及三角形的分类：三角形的内角和180°． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，若∠A＝24°，则∠BCD的度数是（　　） A．66° B．22° C．26° D．24° 【分析】由∠ACB＝90°，∠A＝24°得到∠B＝66°，由高得到∠BDC＝90°，再根据直角三角形两个锐角互余即可求出∠BCD． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°﹣24°＝66°， ∵CD是高， ∴CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣66°＝24°， 所以∠BCD的度数为24°， 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形两个锐角互余是解题的关键． 7．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．AB＝2BF B．AE＝BE C． D．CD⊥AB 【分析】根据高线，中线，角平分线的定义，进行判断即可． 【解答】解：A、∵CF是边AB的中线， ∴AB＝2BF，正确，不符合题意； B、无法证明AE＝BE，说法错误，符合题意； C、∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE∠ACB，正确，不符合题意； D、∵CD是△ABC的高， ∴CD⊥AB，正确，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟知以上知识是解题的关键． 8．如图，书上的三角形不慎被墨迹污染了一部分，小明根据所学的知识画了一个与原三角形一样的三角形，则小明画图的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．HL 【分析】两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【解答】解：由图形知：书上的三角形没被墨迹的是两角和夹边， ∴小明画图的依据是ASA． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：ASA． 9．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝∠DCB＝90°，AC＝3，则四边形ABCD的面积为（　　） A．9 B．7.5 C．6 D．4.5 【分析】延长CD，截取DE＝BC，连接AE，证明△ABC≌△ADE，然后问题可求解． 【解答】解：延长CD，截取DE＝BC，连接AE， ∵∠DAB＝∠DCB＝90°， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ABE+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ABE， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴AE＝AC＝3，∠BAC＝∠DAE， ∴∠DAB＝∠CAE＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝S△ADE+S△ADC＝S△ACEAC•AE4.5， 故选：D． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 10．如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形，画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】可以以AB和BC为公共边分别画出3个，AC不可以，故可求出结果． 【解答】解：如图， 以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等． 以AB为公共边可画出三个△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等． 所以可画出6个． 故选：B． 【点评】本题考查全等三角形的判定，三条对应边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．在平面直角坐标系中，点（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标是　（1，2）　 ． 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：由点（﹣1，2）关于y轴对称的点的坐标是（1，2）． 故答案为：（1，2）． 【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12．一个零件的形状如图，按规定∠A＝90°，∠B＝∠D＝25°，判断这个零件是否合格，只要检验∠BCD的度数就可以了．量得∠BCD＝150°，这个零件 　不合格　 （填“合格”或“不合格”）． 【分析】连接AC并延长，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3＝∠1+∠B，∠4＝∠2+∠D，再求出∠BCD即可进行判定． 【解答】解：如图，连接AC并延长， 由三角形的外角性质，∠3＝∠1+∠B，∠4＝∠2+∠D， ∴∠BCD＝∠3+∠4＝∠1+∠B+∠2+∠D ＝∠A+∠B+∠D ＝90°+25°+25° ＝140°， ∵140°≠150°， ∴这个零件不合格． 故答案为：不合格． 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作辅助线构造出两个三角形是解题的关键． 13．已知三角形的三边分别为3，2a﹣1，9，那么a的取值范围是 　3.5＜a＜6.5　 ． 【分析】根据三角形的三边关系定理得出9﹣3＜2a﹣1＜9+3，再求出答案即可． 【解答】解：∵三角形的三边分别为3，2a﹣1，9， ∴9﹣3＜2a﹣1＜9+3， ∴6＜2a﹣1＜12， ∴7＜2a＜13， ∴3.5＜a＜6.5． 故答案为：3.5＜a＜6.5． 【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，能根据三角形的三边关系定理得出9﹣3＜2a﹣1＜9+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边． 14．等腰直角△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AC＝BC，∠ACB＝90°，A（0，5），C（2，0），则B的坐标为　（7，2）　 ． 【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，则∠AOC＝∠CDB＝90°，证明△AOC≌△CDB（AAS），得到OA＝CD＝5，OC＝BD＝2，即可得到B的坐标． 【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，则∠AOC＝∠CDB＝90°， ∴∠CBD+∠BCD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACO+∠BCD＝90°， ∴∠ACO＝∠CBD， ∵AC＝BC， ∴△AOC≌△CDB（AAS）， ∴OA＝CD，OC＝BD， ∵A（0，5），C（2，0）， ∴OA＝5，OC＝2， ∴CD＝5，BD＝2， ∴OD＝OC+CD＝7， ∴B的坐标为（7，2）， 故答案为：（7，2）． 【点评】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 15．已知，如图，在△ABC中，∠A＝58°，∠B＝80°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝26°，则∠1的度数为 　110　 度． 【分析】在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，结合∠2的度数可求出∠CED的度数，在△CDE中利用三角形内角和定理可求出∠CDE的度数，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出结论． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝58°，∠B＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝42°． 由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED， ∴∠CED103°， ∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝35°， ∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝110°． 故答案为：110． 【点评】本题考查了翻折变换，三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE的度数是解题的关键． 16．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点，已知OM＝3，ON＝4，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为　3或5　 ． 【分析】过点P作PE⊥OA于点E，分点D在线段OE上，点D在射线EA上两种情况讨论，利用角平分线的性质可得PN＝PE，即可求OE＝ON＝4，由题意可证△PMN≌△PDE，可求OD的长． 【解答】解：如图：过点P作PE⊥OA于点E， ∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB， ∴PE＝PN， 在Rt△OPE和Rt△OPN中，， ∴Rt△OPE≌Rt△OPN（HL）， ∴OE＝ON＝4， ∵OM＝3，ON＝4， ∴MN＝ON﹣OM＝1； 若点D在线段OE上， 在Rt△PMN和Rt△PDE中，， ∴Rt△PMN≌Rt△PDE（HL） ∴DE＝MN＝1 ∴OD＝OE﹣DE＝3 若点D在射线EA上， 在Rt△PMN和Rt△PDE中，， ∴Rt△PMN≌Rt△PDE（HL）， ∴DE＝MN＝1， ∴OD＝OE+DE＝5； 故答案为：3或5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质解决问题是本题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．已知等腰△ABC的周长为24，一边长为6，求另两边的长． 【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为6时；当等腰三角形的底边长为6时；然后分别进行计算，即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为6时， ∵等腰△ABC的周长为24， ∴等腰三角形的底边长＝24﹣6﹣6＝12， ∵6+6＝12， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的底边长为6时， ∵等腰△ABC的周长为24， ∴等腰三角形的腰长9； 综上所述，另两边的长为9，9． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 18．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线． （1）求∠C，∠ABD的度数； （2）直接写出图中所有等腰三角形：　△ABC，△ABD，△BDC ． 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠ABC＝∠C＝72°，然后利用角平分线的定义可得：∠ABD＝∠DBC＝36°，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：DA＝DB，然后再利用三角形的外角性质可得∠C＝∠BDC＝72°，从而可得BD＝BC，即可解答． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C72°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝36°， ∴∠C的度数为72°，∠ABD的度数为36°； （2）∵∠A＝∠ABD＝36°， ∴DA＝DB， ∵∠BDC是△ABD的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°， ∵∠C＝72°， ∴∠C＝∠BDC＝72°， ∴BD＝BC， ∴图中所有等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC， 故答案为：△ABC，△ABD，△BDC． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 19．如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上． （1）试说明△ABC≌△ADE； （2）若∠B＝23°，∠APC＝63°，求∠E的度数． 【分析】（1）根据角边角判定两个三角形全等； （2）根据（1）得出AC＝AE，利用外角的性质得出∠BAD＝40°，所以∠CAE＝40°，根据三角形的内角和是180°得出∠E的度数． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠PAC＝∠CAE+∠PAC， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）； （2）解：∵∠B＝23°，∠APC＝63°， ∴∠BAD＝63°﹣23°＝40°， ∴∠CAE＝40°， 由（1）知：△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE， ∴∠E70°． 【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质． 20．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB＝5，BD＝3，DC＝8． （1）由条件可以发现AB，BD，DC的数量关系为：AB＝CD﹣BD ； （2）求证：∠B＝2∠C． 【分析】（1）根据AB＝5，BD＝3，DC＝8，判断即可； （2）如图，在线段DC上截取线段DE，使得DE＝DB，连接AE．证明AB＝AE＝5，EC＝5，利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质证明即可． 【解答】（1）解：结论：AB＝CD﹣BD． 故答案为：AB＝CD﹣BD． （2）证明：如图，在线段DC上截取线段DE，使得DE＝DB，连接AE． ∵AD⊥BE， ∵∠ADB＝ADE＝90°， 在△ADB和△ADE中， ， ∴△ADB≌△ADE（SAS）， ∴AB＝AE＝5， ∴∠B＝∠AEB， ∵BD＝DE＝3，CD＝8， ∴EC＝CD＝DE＝8﹣3＝5， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠C， ∵∠AEB＝∠EAC+∠C， ∴∠B＝2∠C． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 21．如图是由小正方形组成的7×6的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图的过程用虚线，画图结果用实线表示． （1）在图1中，先画格点D，连接CD，使CD∥AB；再在AC上画点E，连接BE，DE，使△AEB≌△CED； （2）在图2中，先画△ABC的高线CF；再画点G，使点G与点F关于AC对称． 【分析】（1）利用网格可确定格点D的位置，连接BD交AC于点E，则点E即为所求． （2）利用网格结合三角形的高的定义作图CF即可，在点C的上方取点P，使CP＝BC＝5，连接AP，过点C作CG⊥AP于点G，则点G即为所求． 【解答】解：（1）如图1，点D即为所求． 连接BD交AC于点E， ∵CD∥AB， ∴∠A＝∠DCE，∠ABE＝∠D， ∵AB＝CD， ∴△AEB≌△CED， 则点E即为所求． （2）如图2，CF即为所求． 在点C的上方取点P，使CP＝BC＝5，连接AP，过点C作CG⊥AP于点G， 则点G即为所求． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、全等三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 22．小丽与小琳在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距OA水平距离0.9m的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度EM为0.9m，已知∠BOC＝90°，BD⊥OA于点D，CE⊥OA于点E． （1）求证：△CEO≌△ODB； （2）为了安全考虑规定户外秋千设置高度在2m以下，小丽所在公园的秋千高度设置是否合理？为什么？ 【分析】（1）由∠CEO＝∠ODB＝∠BOC＝90°，推导出∠COE＝∠OBD＝90°﹣∠BOD，而CO＝OB，即可根据“AAS”证明△CEO≌△ODB； （2）由点B到OA的水平距离为0.9m，可知BD＝0.9m，由全等三角形的性质得OE＝BD＝0.9m，而EM＝0.9m，所以OM＝1.8m＜2m，可知小丽所在公园的秋千高度设置合理． 【解答】（1）证明：根据题意得CO＝OB， ∵CE⊥OA于点E，BD⊥OA于点D， ∴∠CEO＝∠ODB＝90°， ∵∠BOC＝90°， ∴∠COE＝∠OBD＝90°﹣∠BOD， 在△CEO和△ODB中， ， ∴△CEO≌△ODB（AAS）． （2）解：小丽所在公园的秋千高度设置合理， 理由：∵点B到OA的水平距离为0.9m，BD⊥OA于点D， ∴BD＝0.9m， 由（1）得△CEO≌△ODB， ∴OE＝BD＝0.9m， ∵EM＝0.9m， ∴OM＝OE+EM＝0.9+0.9＝1.8（m）， ∵1.8m＜2m， ∴小丽所在公园的秋千高度设置合理． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出∠COE＝∠OBD并且适当选择全等三角形的判定定理证明△CEO≌△ODB是解题的关键． 23．已知，△ABC中，AD是BC边的中线． 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题． 如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，则有以下两个常见结论： ①△CAD≌△BED；②CA∥BE．利用这两个结论解决下列问题． （1）如图1，若AB＝6，AC＝4，直接写出AD的取值范围为：　1　 ＜AD＜　5　 ； （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°．求证：． （3）如图3，点G在BC的上方，点F在DA的延长线上，连接GB，GC，GF，GA，若GB＝GC，GF＝GA，∠BGC＝∠FGA．求证：AG⊥AC． 【分析】（1）利用三角形三边关系即可直接得解； （2）延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．证△ABC≌△BAE（SAS），可得AE＝BC，即可得证； （3）延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，BF．证△GFB≌△GAC（SAS），可得FB＝AC，∠GFB＝∠GAC，进而可证∠GFA＝∠GAF，据此求证即可． 【解答】（1）解：由题知△CAD≌△BED， ∴AC＝BE＝4， ∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE， 即2＜2AD＜10， 故答案为：1＜AD＜5； （2）证明：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE． 由条件可知：①△CAD≌△BED；②CA∥BE． ∴CA＝BE，∠BAC+∠ABE＝180°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠ABE＝90°， 在△ABC和△BAE中， ， ∴△ABC≌△BAE（SAS）， ∴BC＝AE， ∵AE＝DE+AD＝2AD， ∴， 即． （3）证明：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，BF． 由条件可知：①△CAD≌△BED；②CA∥BE． ∴CA＝BE，∠CAE＝∠BEA， ∵∠BGC＝∠FGA， ∴∠BGC﹣∠BGA＝∠FGA﹣∠BGA，即∠FGB＝∠AGC， 在△GFB和△GAC中， ， ∴△GFB≌△GAC（SAS）， ∴FB＝AC，∠GFB＝∠GAC， ∴BF＝BE， ∴∠BFE＝∠BEA＝∠CAE． ∵GF＝GA， ∴∠GFA＝∠GAF， ∴∠BFG＝∠BFE+∠GFA＝∠CAE+∠GAF＝∠GAC． ∵∠GAC+∠CAE+∠GAF＝180°， ∴2∠GAC＝180°， ∴∠GAC＝90°， ∴AG⊥AC． 【点评】本题主要考查了中线的定义、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24．如图，平面直角坐标系中，点A，点B分别在的x轴，y轴上，点C是△ABO的三条角平分线的交点． （1）如图1，连接CA，CB，直接写出∠ACB的度数：　135°　 ； （2）如图2，连接AC并延长交OB于点D，若OA＝OB，S△ABD＝16，求AD的长； （3）如图3，连接CA，CB，CO，若OB＝OA+AC，求∠ACO的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义结合三角形内角和即可得解； （2）在AO的延长线上取点F，使AF＝AB，连接BF交AD的延长线于E，易证△OAD≌△OBF（ASA），得到BE，据此求解即可； （3）在OB上截取OG＝OA，连接CG．先证AC＝GB，再证△OAC≌△OGC（ASA），所以GB＝GC，设∠GCB＝∠GBC＝x，利用三角形内角和求解即可． 【解答】解：（1）由题意可知∠ABO+∠BAO＝90°， ∵点C是△ABO的三条角平分线的交点， ∴∠ABC∠ABO，∠CAB∠BAO， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠CAB＝180°（∠ABO+∠BAO）＝180°135°， 故答案为：135°； （2）如图，在AO的延长线上取点F，使AF＝AB，连接BF交AD的延长线于E． ∵AF＝AB，AC平分∠BAO， ∴AE⊥BF， ∵BO⊥AF，AE⊥BF， ∴∠AOD＝∠BOF＝90°，∠OAD+∠BFO＝∠OBF+∠BFO＝90°， ∴∠OAD＝∠OBF． 在△OAD和△OBF中， ， ∴△OAD≌△OBF（ASA）， ∴AD＝BF， ∴， ∵AE⊥BF， ∴， ∴， ∴AD＝8． （3）如图，在OB上截取OG＝OA，连接CG． 设∠GBC＝x． ∵点C是△ABO的三条角平分线的交点， ∴OC平分∠AOB，AC平分∠BAO，BC平分∠ABO， ∴∠BAO＝2∠OAC，∠ABO＝2∠GBC＝2x，∠AOB＝2∠AOC＝2∠GOC， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC＝∠GOC＝45°， ∵OB＝OA+AC＝OG+GB，OG＝OA， ∴AC＝GB， 在△OAC和△OGC中， ， ∴△OAC≌△OGC（ASA）， ∴AC＝GC，∠OAC＝∠OGC， ∴GB＝GC， ∴∠GCB＝∠GBC＝x，∠OGC＝∠OAC＝∠GCB+∠GBC＝2x， ∴∠BAO＝2∠OAC＝4x， ∵∠ABO+∠BAO＝2x+4x＝90°， ∴x＝15°.2x＝30°， ∴∠ACO＝180°﹣∠OAC﹣∠AOC＝180°﹣30°﹣45°＝105°， 即∠ACO＝105°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等内容，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $