提升练习10-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习小题专练

提升练习10 　　　　　　　　　建议用时：60分钟　　实际用时：______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(原创)已知集合U＝Z，A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k＋2，k∈Z}，则{x|x＝4k，k∈Z}＝ A.∁U(A∩B) B.∁U(A∪B) C.∁UA∩B D.∁UA∪B 2.(原创)若复数z＝＋i2 026(i是虚数单位)是纯虚数，则|z＋1|＝ A. B.2 C. D. 3.(南京六校联合体调研)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A＝ A.90° B.30° C.60° D.150° 4.(福州质检二)已知|a|＝3，|b|＝2，(a－3b)·(a＋2b)＝－18，则a与b的夹角为 A.45° B.60° C.90° D.120° 5.(南京调研)甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名(没有并列名次).甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为 A.4 B.6 C.8 D.12 6.(江苏海门中学、海安高级中学、天一中学、南京师大附中四校联考)已知圆O：x2＋y2＝r2，P(a，b)(ab≠0)是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在直线为l1，直线l2的方程为ax＋by－r2＝0，则 A.l1∥l2，且l2与圆O相离 B.l1⊥l2，且l2与圆O相切 C.l1∥l2，且l2与圆O相交 D.l1⊥l2，且l2与圆O相离 7.(2026·全国Ⅱ卷)已知α为第二象限角，3sin 2αcos α＝8sin αcos 2α，则＝ A. B. C. D. 8.(新定义|“n型不动点”函数)(湖南九校联盟二联)对于满足一定条件的连续函数f(x)，若存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称f(x)为“不动点”函数.若存在n个点xi(i＝1，2，…，n)，满足f(xi)＝xi，则称f(x)为“n型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是 A.f(x)＝1－ln x B.f(x)＝5－ln x－ex C.f(x)＝ D.f(x)＝2sin x＋2cos x 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(生产生活|某校开展演讲比赛)(福建厦门质检二)某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生、4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则 A.P(AB)＝ B.P(B|A)＝ C.P(A)＝P(B) D.P(A∪B)＝ 10.(原创)如下图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是线段A1C1的中点，以下关于直线BO的结论正确的有 A.与平面ACD1平行 B.与直线AC垂直 C.与直线AD1所成角为 D.与平面ACD1的距离为 11.(山东淄博模拟)过点P(－1，0)向曲线Cn：x2－2nx＋2y2＝0(n∈N*)引斜率为kn(kn>0)的切线ln，切点为Pn(xn，yn)，则下列结论正确的是 A.kn＝ B.ln xi＝－ln 2 026 C.数列的前n项和为Sn＝n＋n2 D.＋cos >1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(开放性试题|函数的一个解析式)(山东烟台期末)若函数f(x)同时满足以下三个条件，则其一个解析式可以为f(x)＝________.　 ①在其定义域内有f(－x)＝f(x)； ②∀x1，x2∈(0，＋∞)，有(f(x1)－f(x2))(x1－x2)<0； ③f(x1)f(x2)＝f(x1x2). 13.(湖南长沙一中4月月考)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，关于原点对称的两点P，Q均在双曲线C上，|PF1|＋|QF1|＝6a，且△PF1F2是锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值范围为________. 14.(广东深圳调研)某次考试共5道试题，均为判断题.计分的方法是：每道题答对的给 2分，答错或不答的扣1分，每个人的基本分为10分.已知赵、钱、孙、李、周、吴6人的作答情况及前5个人的得分情况如下表，则吴的得分为________. 题号 赵 钱 孙 李 周 吴 1 √ √ × × √ √ 2 × √ × √ √ √ 3 √ × × √ × × 4 √ × × × √ × 5 × × √ √ √ √ 得分 14 11 14 14 11 提升练习10 1—5 BCBBC　　　6—8 ACD　　　9 BCD　　　10 ABD 11 ABD　　　12 x-2(答案不唯一)　　　13 (，)　　　14 14 1.B　集合的概念与运算　对于集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}中元素，当k＝2t，t∈Z时，x＝4t＋1；当k＝2t＋1，t∈Z时，x＝4t＋3，所以A∪B＝{x|x＝4k＋1或4k＋2或4k＋3，k∈Z}，故{x|x＝4k，k∈Z}＝∁U(A∪B)，故选B. 2.C　复数的运算、复数的模　依题意，z＝＋i2 026＝－1＝＋，由z是纯虚数，得 所以m＝3，所以|z＋1|＝|1＋2i|＝＝，故选C. 3.B　余弦定理　因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，即a2－c2＝b2－bc，所以b2＋c2－a2＝bc(题眼)，由余弦定理可得b2＋c2－a2＝2bc cos A，所以cos A＝.又0°<A<180°，所以A＝30°，故选B. 4.B　向量的数量积运算＋向量的夹角　因为(a－3b)·(a＋2b)＝a2－a·b－6b2＝－18，且|a|＝3，|b|＝2，所以9－3×2cos 〈a，b〉－24＝－18(题眼)，解得cos 〈a，b〉＝.因为〈a，b〉∈[0°，180°]，所以a，b的夹角为60°，故选B. 5.C　逻辑推理＋分类加法计数原理　由题知，丙不是第1名，甲、乙相邻(题眼).当丙是第2名时，甲、乙只能是第3，4名或第4，3名，丁为第1名，此时共有2种情况；当丙为第3名时，甲、乙只能是第1，2名或第2，1名，丁为第4名，此时共有2种情况；当丙是第4名时，①当甲、乙是第1，2名或第2，1名时，丁为第3名，此时共有2种情况；②当甲、乙是第2，3名或第3，2名时，丁为第1名，此时共有2种情况，所以4人的名次排列情况种数为2＋2＋2＋2＝8.故选C. 6.A　直线间的位置关系＋直线与圆的位置关系　由已知得a2＋b2<r2，OP⊥l1，因为kOP＝，所以直线l1的斜率k1＝－，所以直线l1的方程为y－b＝－(x－a)，即ax＋by－(a2＋b2)＝0.又直线l2的方程为ax＋by－r2＝0，所以l1∥l2，圆心O到直线l2的距离d＝>＝r.所以直线l2与圆O相离，故选A. 7.C　三角恒等变换＋同角三角函数的基本关系　由二倍角公式得6sin αcos2α＝8sinα(2cos2α－1).又α为第二象限角，所以sinα>0，cos α<0，所以6cos2α＝8(2cos2α－1)，则cos2α＝，所以cosα＝－，因此，sin α＝，代入所求式子，得＝＝，故选C. 8.D　函数新定义＋利用导数研究函数的单调性　对于A，令f(x)＝x，即1－ln x＝x，即x＋ln x－1＝0(题眼).因为y＝x，y＝ln x在(0，＋∞)上均为单调递增函数，所以y＝x＋ln x－1在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)不可能为“3型不动点”函数.故A错误.对于B，令f(x)＝x，即5－ln x－ex＝x，即x＋ln x＋ex－5＝0(题眼).因为y＝x，y＝ln x，y＝ex在(0，＋∞)上均为单调递增函数，所以y＝x＋ln x＋ex－5在(0，＋∞)上单调递增.所以f(x)不可能为“3型不动点”函数.故B错误. 对于C，[第1步，求导并分析函数的单调性] 由f(x)＝，得(题眼)，易知当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x→－∞，f(x)→0且f(x)<0，所以当x<0时，f(x)＝的图象与直线y＝x有且只有一个交点，如图1；当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，且f(1)＝>1；当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增. [第2步，求切点] 令f′(x)＝1，得＝1，解得x＝2，此时f(2)＝2，所以直线y＝x与曲线f(x)＝相切于点(2，2)，如图1. [第3步，确定交点个数并判断函数类型] 所以直线y＝x与曲线f(x)＝共有两个交点.所以f(x)为“2型不动点”函数.故C错误. 对于D，f(x)＝2sin x＋2cos x＝2sin ，作出f(x)的大致图象(题眼)，如图2所示.易知其与直线y＝x有且仅有三个不同的交点，即方程2sin x＋2cos x＝x有三个不同的根，所以f(x)＝2sin x＋2cos x为“3型不动点”函数，故D正确[技巧：结合“不动点”函数的概念，转化为方程f(x)＝x有根或对应函数y＝f(x)－x有零点的问题，依次求解判断各个选项].故选D. 【方法技巧】 根据“不动点”函数的定义，转化为方程f(x)＝x有根问题，可直接求方程的根，也可构造新函数，把问题转化为研究新函数的零点问题，有时还可以转化为两函数图象的交点问题. 9.BCD　条件概率＋和事件的概率公式　对于A，P(AB)＝＝＝，故A错误.对于B，P(A)＝＝＝，所以P(B|A)＝＝.故B正确.对于C，事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生，第二位出场的是女生；第一位出场的是女生，第二位出场的是女生.所以P(B)＝＝＝.所以P(A)＝P(B).故C正确.对于D，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝，故D正确.综上，故选BCD. 10.ABD　正方体的结构特征、空间中直线与直线、直线与平面的位置关系、空间角、空间距离的计算　易知平面ACD1∥平面BA1C1，而BO⊂平面BA1C1，故BO∥平面ACD1.故A正确，易知AC⊥平面BDD1B1，而BO⊂平面BDD1B1，故BO⊥AC.故B正确，连接BC1，由于BC1∥AD1，所以BO与BC1所成角就是直线BO与直线AD1所成角.因为BC1＝，C1O＝，BO＝，所以cos ∠OBC1＝＝.所以∠OBC1＝.故C错误；由选项A可知，BO与平面ACD1的距离就是点B到平面ACD1的距离.设点B到平面ACD1的距离为h，由VB－ACD1＝VD1－ABC，得S△ACD1·h＝S△ABC·1，即××()2·h＝××1×1×1，得h＝，故D正确.综上，故选ABD. 11.ABD　直线与曲线的位置关系＋等差数列的求和公式＋导数的应用 对于选项A， [第1步，联立直线方程与曲线方程] 设直线ln：y＝kn(x＋1)，联立得(1＋2k)x2＋(4k－2n)x＋2k＝0(题眼)(关键：设出切线方程，与曲线方程联立并化简后，得到一元二次方程，由Δ＝0，得出xn，yn，进而判断各选项)， [第2步，利用一元二次方程根的判别式求解 ] 则由Δ＝(4k－2n)2－8k(1＋2k)＝0，解得kn＝(负舍)，故A正确. 对于选项B，可得(题眼)，所以 ＝ln ＋ln ＋…＋ln ＝ln ＝－ln 2 026，故B正确.对于选项C，因为(题眼)，所以Sn＝＝＋n，故C错误. 对于选项D， [第1步，化简不等式的左边] 因为＝，＝，所以 (题眼). [第2步，构造函数，利用函数的单调性求解] 设f(x)＝x＋cos x(x>0)(提示：构造函数，利用函数的单调性确定函数值的范围)，则f′(x)＝1－sin x≥0，可得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝1.又>0，所以＋cos ＝＋cos >1，故D正确.综上，故选ABD. 12.x-2(答案不唯一)　函数的单调性与奇偶性　由①知f(x)是偶函数.由②知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，可考虑函数f(x)＝x-2满足①②.又f(x1)f(x2)＝xx＝(x1x2)-2＝f(x1x2)，符合条件③.所以函数解析式可以为f(x)＝x-2(答案不唯一). 13.(，)　双曲线的定义＋余弦定理的推论 [第1步，由已知条件与双曲线的定义建立方程求|PF1|，|PF2|] 连接QF2，由题意知，四边形PF1QF2为平行四边形，所以|QF1|＝|PF2|.又|PF1|＋|QF1|＝6a，所以|PF1|＋|PF2|＝6a.由双曲线的对称性不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a(技巧：双曲线的定义是隐藏条件)，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a(题眼). [第2步，由余弦定理的推论及∠F1PF2的范围列不等式组，可得e的取值范围] 在△F1PF2中，由余弦定理的推论得cos ∠F1PF2＝＝.又∠F1PF2为锐角，所以0＜＜1(关键：构建双曲线中基本量的数量关系).又e＝，所以0＜5－e2＜4，解得1＜e＜(舍负). [第3步，由余弦定理的推论及∠F1F2P的范围列不等式组，可得e的取值范围] 在△F1PF2中，由余弦定理的推论得cos ∠F1F2P＝＝.又∠F1F2P是锐角，所以0＜＜1.又e＝，所以0＜e－＜2，解得＜e＜3. [第4步，由余弦定理的推论及∠F2F1P的范围列不等式组，可得e的取值范围] 在△F1PF2中，由余弦定理的推论得cos ∠F2F1P＝＝.又∠F2F1P是锐角，所以0＜＜1.又e＝，所以0＜e＋＜1，解得1＜e＜3. [第5步，综合得解] 综上，双曲线C的离心率的取值范围为(，). 14.14　逻辑推理 解法一(反证法)： [第1步，分析钱的得分] 由题知，前四个人只有钱的得分是11分，则钱答对两个题，答错三个题，不妨将钱的答案全部考虑反面，则钱答对三个题，答错两个题，共14分.如下表所示. 题号 赵 钱 孙 李 周 吴 1 √ × × × √ √ 2 × × × √ √ √ 3 √ √ × √ × × 4 √ √ × × √ × 5 × √ √ √ √ √ 得分 14 14 14 14 11 [第2步，分析前4题得分情况] 对于6个人而言，前4个题，每道题都是3个人对，3个人错，前4个题的总分为60＋(3×2－3×1)×4＝72(分). [第3步，分析第5题得分情况，从而判断吴的得分] 现在考虑第5题，共5个√，一个×，若第5题正确答案是“×”，那么第5题的得分是1×2－5×1＝－3(分)，最终6个人前5道题的总得分为69分.又14＋14＋14＋14＋11＝67分，所以此时吴得分是2分，矛盾(关键：反证法推出矛盾)，所以第5题正确答案是“√”，第5题的得分是5×2－1×1＝9(分)，6个人前5道题的总得分为81分，所以吴的得分为81－67＝14(分). 解法二(分析法)：根据题表分析知，无论每道题的结果如何，每道题前5人的得分之和比吴的得分多2分(题眼)，则吴的得分为(14＋11＋14＋14＋11)－50－2×5＋10＝14(分). 学科网（北京）股份有限公司 $