提升练习8-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习小题专练

提升练习8 　　　　　　　　　建议用时：60分钟　　实际用时：______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(原创)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|(x－3)(x＋1)<0}，B⊆A，则a的取值范围为 A.(－1，3) B.(－∞，3) C.(－∞，3] D.[3，＋∞) 2.(山东烟台、德州诊断)已知tan α＝－2，则＝ A.－ B. C.－2 D.2 3.(传统文化|五行)(原创)五行是中国古代的一种物质观，广泛应用于哲学、中医学和占卜等方面.五行指金、木、水、火、土五种基本物质，被认为构成大自然和人类社会的基本要素，并通过相生相克的关系影响着世界万物的变化和发展.如下图，五行相生的次序是：金生水，水生木，木生火，火生土，土生金.五行相克的次序是：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，记抽到的2种物质相生的概率为p1，抽到的2种物质相克的概率为p2，则 A.p1＋p2＝0 B.p1＋p2＝ C.p1＋p2＝1 D.p＋p＝ 4.(山东实验中学诊断，改编)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝ A.－2 B.－1 C.1 D.2 5.(2025·全国Ⅱ卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝ A.3 B.4 C.5 D.6 6.(山东青岛二中联考)正四棱台侧棱长为5，上、下底面边长分别为3和4，所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是 A.25π B.100π C. D.500π 7.(广东佛山质检一)记正项数列{an}的前n项积为Tn，已知(an－1)Tn＝2an，若an<，则n的最小值是 A.999 B.1 000 C.1 001 D.1 002 8.(山东烟台、德州适应性测试)若实数x，y，z满足x＋y＋z＝0，且x>y>z，则的取值范围为 A. B. C. D.(－1，1) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(安徽“江南十校”素质检测)设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是 A.z·＝|z|2 B.5＋i>4＋i C.若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i D.若1≤|z|≤，则点Z的集合所构成的图形的面积为π 10.(合肥质检)现有甲、乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表(满分100分).设事件M表示“从甲机构测评分类中任取3个，至多1个超过平均分”，事件N表示“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”.下列说法正确 的是 机构名称 甲 乙 分值 90 98 90 92 95 93 95 92 91 94 A.甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分 B.甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差 C.乙机构测评分数的第一四分位数为91.5 D.事件M，N互为对立事件 11.(新定义|整元、整积分)(原创)对函数f(x)给出如下新定义：若在区间[m，n)上[f(x)]为定值(其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1.9]＝1，[－0.1]＝－1)，则称[f(x)](n－m)为f(x)的一个“整元”，将区间[a，b)上从左到右所有“整元”的和称为f(x)在[a，b)上的“整积分”，下列说法正确的是 A.f(x)＝－2.5在区间[－1，2)上的“整积分”为－6 B.f(x)＝x在区间[0，100)上的“整积分”为4 950 C.f(x)＝2x在区间[0，3)上的“整积分”为18－log2630 D.f(x)＝log2x在区间[1，2n)上的“整积分”为(n－2)2n＋2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x).若a⊥(a－b)，则|a|＝________. 13.(湖南九校联盟联考)已知函数f(x)＝2sin ωx＋4cos ωx的两个相邻零点间的距离为，则f＝________. 14.(山东青岛调研)椭圆C：＋＝1(a>b>0)与其对称轴交于四点，按逆时针方向顺次连接这四个点，所得的四边形的面积为2，且C的离心率为，则C的长轴长为________；直线l：y＝kx＋2(k≠0)与C交于M，N两点，若以MN为直径的圆过点E(－1，0)，则k的值为________.(本题第一空2分，第二空3分) 提升练习8 1—5 DCCBC　　　6—8 BCA　　　9 AD　　　10 BD 11 BCD　　　12 　　　13 －2或－－2　　　14 2　 1.D　集合间的基本关系　因为A＝{x|x<a}，B＝{x|－1<x<3}，且B⊆A，所以a≥3.故选D. 2.C　诱导公式＋同角三角函数的基本关系 解法一(弦化切)：＝＝－＝－2，故 选C. 解法二(代入法)：＝.因为tan α＝－2，所以sin α＝－2cos α.将sin α＝－2cos α代入，得＝＝－2，故选C. 3.C　随机事件的概率、古典概型的概率公式　从五种不同属性的物质中随机抽取2种，情况有C＝10(种)，而抽到的2种物质相生的情况有5种，抽到的2种物质相克的情况也有5种，则p1＝p2＝＝，故p1＋p2＝1.故选C. 4.B　分段函数＋奇函数的性质 解法一(定义法)：由题意可知，2x＋1＝－，解得a＝－1，故选B. 解法二(特值法)：由题意可知，f(1)＝－f(－1)，即2＋1＝－(a－2)，解得a＝－1，故选B. 5.C　抛物线的定义与几何性质　设A(xA，yA)，B(xB，yB).因为lBF：y＝－2x＋2，令y＝0，得x＝1，所以F(1，0).所以p＝2(关键：根据已知条件，确定p的值)，即xB＝－1.将xB＝－1代入y＝－2x＋2，得yB＝4，所以yA＝4.将yA＝4代入y2＝4x，得xA＝4，所以|AF|＝xA＋＝5(提示：抛物线的定义).故选C. 6.B　四棱台的结构特征＋球的表面积公式　正四棱台ABCD－EFGH如下图所示，正方形ABCD与正方形EFGH的边长分别为3和4.连接AC，EG，则AC＝6，EG＝8.设O为正四棱台ABCD－EFGH的外接球的球心，外接球半径为R，M，N分别为上、下底面的中心，连接MN，易知球心O在直线MN上，MA＝AC＝3，NE＝EG＝4，则MN＝＝＝7(题眼)(提示：正四棱台上、下底面中心的连线垂直于底面).设ON＝x，连接OA，OE，则R2＝OA2＝OE2.若点O在线段MN上，则(7－x)2＋32＝x2＋42(关键：根据四棱台的外接球的球心到各顶点的距离相等结合勾股定理建立方程是求解问题的关键)，解得x＝3；若点O在MN的延长线上，则(7＋x)2＋32＝x2＋42，解得x＝－3(舍).所以R2＝ON2＋NE2＝32＋42＝25.所以该外接球的表面积为4πR2＝100π.故选B. 7.C　等差数列的定义与通项公式＋数列的递推关系　依题意得Tn＝a1·a2·…·an，又(an－1)Tn＝2an，an>0，所以当n≥2时，(an－1)a1·a2·…·an－1＝2.所以(an－1)Tn－1＝2，即Tn－Tn－1＝2(n≥2).所以数列{Tn}是公差为2的等差数列.又(a1－1)T1＝2a1，a1>0，所以a1＝3.所以Tn＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.当n≥2时，an＝＝，显然a1＝3也符合.所以an＝.因为an<，所以<，解得n>，n的最小值为1 001，故选C. 8.A　代数条件下的变量取值范围＋利用导数研究函数的单调性和最值 [第1步，根据题意得到y＝－x－z，即得x>－x－z>z 因为x＋y＋z＝0，且x>y>z，所以y＝－x－z，其中x>0，z<0.所以x>－x－z>z(题眼)(关键：找出x，z的关系). [第2步，化简计算出－2<<－，令t＝，构造函数f(t)＝t＋，利用导数求得f(t)的取值范围] 由－x－z<x，得－2<<0.由－x－z>z，得<－.所以－2<<－.令t＝，t∈，则＋＝t＋.(题眼)，则f′(t)＝1－(方法：利用导数研究函数的最值).令f′(t)＝0，解得t＝－1.当t∈(－2，－1)时，f′(t)>0，则f(t)单调递增.当t∈时，f′(t)<0，则f(t)单调递减，所以f(t)max＝f(－1)＝－2.又f(－2)＝－，f＝－，所以在区间内，－<f(t)≤－2. [第3步，求得－≤<－，由此计算得的取值范围] 即－<＋≤－2.所以(题眼).因为＝＝1＋＝ 1＋∈，所以－<<，故选A. 9.AD　复数与共轭复数的概念＋复数的模＋复数的几何意义　对于选项A，设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，则z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝|z|2，故A正确.对于选项B，虚数无法比较大小，故B错误.对于选项C，若|z|＝1，则|z|＝＝1，则复数z有无数组解，如z＝＋i，故C错误.对于选项D，若1≤|z|≤，则点Z的集合所构成的图形面积S＝()2π－12·π＝π(提示：复数的几何意义)，故D正确.故选AD. 10.BD　样本的平均数＋方差＋百分位数＋对立事件 通解：对于A，由已知数据知甲、乙机构测评分数的平均分均为93，故A错误.对于B，由已知数据可得甲机构测评分数的方差s＝＝9.6，乙机构测评分数的方差s＝＝2，故B正确.对于C，乙机构测评分数的第一四分位数应该为92，故C错误.对于D，因为甲机构测评分数数据中超过平均分的只有2项，分别为95和98，所以事件M，N互为对立事件(技巧：分析题干，无需计算事件M和事件N的概率).故D正确.故选BD. 快解：由计算可知A错误；对于C选项，5个数据的第一四分位数为从小到大排列的第二个数据，不可能为小数，C错误，根据多选题排二选二，故选BD. 11.BCD　新定义　A选项，[f(x)]＝[－2.5]＝－3，所以区间[－1，2)上的“整积分”为－3×[2－(－1)]＝－9.故A错误.B选项，当x∈[0，1)时，[f(x)]＝0；当x∈[1，2)时，[f(x)]＝1，以此类推，当x∈[n，n＋1)时，[f(x)]＝n，所以区间[0，100)上的“整积分”为0×1＋1×1＋2×1＋…＋99×1＝＝4 950.故B正确.C选项，当x∈[0，1)时，1≤f(x)<2，所以[f(x)]＝1.当x∈[1，log23)时，2≤f(x)<3，所以[f(x)]＝2.当x∈[log23，2)时，3≤f(x)<4，所以[f(x)]＝3，以此类推，当x∈[log2n，log2(n＋1))时，n≤f(x)<n＋1.所以[f(x)]＝n.故区间[0，3)上的“整积分”为1×(log22－log21)＋2×(log23－log22)＋3×(log24－log23)＋…＋7×(log28－log27)＝7log28－log27－log26－log25－log24－log23－log22－log21＝18－log2630.故C正确.D选项，当x∈[1，21)时，0≤f(x)<1，“整元”为20[f(x)]＝20×0；当x∈[21，22)时，1≤f(x)<2，“整元”为21[f(x)]＝2×1；当x∈[22，23)时，2≤f(x)<3，“整元”为22[f(x)]＝22×2，以此类推，当x∈[2n-1，2n)时，n－1≤f(x)<n，“整元”为2n-1[f(x)]＝2n-1×(n－1).设f(x)在区间[1，2n)上的“整积分”为S，则S＝0×20＋1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n-1　①，所以2S＝0＋1×22＋2×23＋…＋(n－2)×2n-1＋(n－1)×2n　②.②－①得S＝－(21＋22＋…＋2n-1)＋(n－1)·2n＝－＋(n－1)·2n＝2－2n＋(n－1)·2n＝2＋(n－2)·2n，故D正确.综上，故选BCD. 12.　平面向量的坐标运算＋向量垂直的性质＋平面向量的模　由题意得a－b＝(1，1－2x).因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝x＋(1－2x)＝0，解得x＝1.所以＝＝. 13.－2或－－2　求函数值＋三角函数的周期　f(x)＝2sin (ωx＋φ)，其中tan φ＝2.因为函数f(x)的两个相邻零点间的距离为，所以＝，解得ω＝±2(题眼)(易错：易将“相邻零点间的距离”误记为完整周期T，导致ω求解错误)(技巧：处理ω符号问题时，先利用最小正周期公式求|ω|，再分正负讨论)，若ω＝2，则f(x)＝2sin 2x＋4cos 2x，可得f＝2sin ＋4cos ＝－2；若ω＝－2，则f(x)＝2sin (－2x)＋4cos (－2x)＝－2sin 2x＋4cos 2x，可得f＝－2sin ＋4cos ＝－－2.综上，f＝－2或f＝－－2. 14.2　　椭圆的几何性质＋圆的基本性质＋直线与椭圆的位置关系　如下图，由题意可得×2a×2b＝2，解得ab＝，且e＝＝，又a2＝b2＋c2，所以a＝，b＝1，c＝.故长轴长为2a＝2.联立得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则Δ＝144k2－36(1＋3k2)＝36(k2－1)>0，解得k2>1，x1＋x2＝，x1x2＝.因为以MN为直径的圆过点E(－1，0)，所以·＝0.又＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，故·＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(x1＋1)(x2＋1)＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.所以(1＋k2)＋(2k＋1)·＋5＝0.化简得k＝，满足k2>1，所以k＝. 学科网（北京）股份有限公司 $