第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布（专项训练）（全国通用） 2027年高考数学一轮复习讲练测

第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 两点分布 2 题型02 n次独立重复试验 2 题型03 二项分布 4 题型04 二项分布的最大概率问题 5 题型05 超几何分布 6 题型06 二项分布与超几何分布的综合应用 8 题型07 正态密度函数与对应曲线 11 题型08 正态分布的对称性 12 题型09 正态分布的实际应用 13 重难·创新演练 15 真题·实战演练 19 模拟·基础演练 考查重点：本模块围绕两点分布识别、n次独立重复试验、二项分布及其最大概率求解，超几何分布、二项与超几何分布综合辨析，正态曲线性质、正态分布对称性运算与实际应用，覆盖离散与连续型常见分布核心考点，侧重模型判定、公式运算与情境转化。 题型01 两点分布 1．若随机变量X服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 2．某企业拟定4种改革方案，经统计它们在该企业的支持率分别为，，，，用“”表示员工支持第种方案，用“”表示员工不支持第种方案，那么方差，，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（    ） A． B． C． D． 4．已知随机变量服从两点分布，且，若，则___________. 题型02 n次独立重复试验 5．某市四支足球队（分别记为“甲队”、“乙队”、“丙队”、“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法不正确的是（    ） A．甲队积分为分的概率为 B．乙队积分为分的概率为 C．四支球队的积分总和可能为分 D．甲队胜场且乙队胜场的概率为 6．甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲最终以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 7．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜中珠子从出口5出来，那么你取胜的概率为__________． 8．在平面直角坐标系中，位于坐标原点处的点按下述规则移动：点每次移动一个单位长度，移动的方向只能是向上、向下、向左、向右，并且向四个方向移动的概率均为．点移动6次后，点在直线上的概率为________. 9．甲、乙两名选手参加山东省中小学生科普知识竞赛个人必答环节．该环节甲、乙每人各答2道科普单选题．已知甲答对每道题的概率均为，乙答对每道题的概率均为，甲、乙的答题结果互不影响，每人不同题目答对与否也相互独立． (1)求甲、乙两人在该环节中共答对3道题的概率； (2)求该环节结束后，甲答对题目的数量比乙答对题目的数量多的概率． 题型03 二项分布 10．某中学举办生物知识竞赛，设置10道题目，比赛规则如下：每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分．已知甲答对每道题目的概率均为，甲需要答满10道题，且每道题答对与否相互独立．设随机变量表示甲最后的得分，则（    ） A． B． C． D． 11．连续抛掷一枚质地均匀的骰子4次，其中点数出现的次数为，记为，，，，，中奇数的个数，则的数学期望_________． 12．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是2分钟． (1)求这名学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率． (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望和方差． 13．在边长为 2 的正方形区域内随机投一点，记该点落在其内切圆内的概率为 . (1)求 ； (2)独立重复投点 3 次，记落在内切圆内的次数为 ，求 的分布列与 . 14．某科技公司研发了一款人工智能辅助诊断系统，用于检测疾病．已知疾病的患病率为2%，系统对疾病患者的诊断结果为“阳性”的概率为95%，对非疾病患者的诊断结果为“阴性”的概率为90%． (1)任选一人接受该系统检测，求该人检测结果为“阴性”的概率； (2)某医院引入该智能辅助诊断系统，为评估该系统的性能，邀请3名非疾病患者利用该系统进行检测，用表示诊断结果为“阴性”的人数，求的分布列与期望． 题型04 二项分布的最大概率问题 15．若随机变量服从二项分布，则取得最大值时，（     ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 16．一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向移动2个单位或沿数轴的负方向移动1个单位，共移动11次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．1或7 B．7或10 C．1或4 D．4或7 17．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取12人赠送保健品，这12人中有（     ）名女性的可能性最大． A．6 B．7 C．8 D．9 18．已知，则，，．今有一批数量庞大的零件．假设这批零件的某项质量指标（单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间．，试以使得最大的值作为的估计值，则为（    ） A．50 B．55 C．59 D．64 19．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 男性人数 17 21 13 9 女性人数 8 10 16 6 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 20．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．7.7 C．8.4 D．9.1 题型05 超几何分布 21．某学校科技活动室有2台跑步机器人，2台扫地机器人．工作人员随机选取2台机器人做功能测试，设所选取的2台机器人中扫地机器人的台数为，则随机变量的数学期望的值为________． 22．盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是______；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则______． 23．一个袋子中有10个除颜色外其他都相同的球，其中有4个黄球，6个白球，甲从中有放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数；乙从中不放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数． (1)写出的分布列，并计算出数学期望和方差； (2)写出的分布列，并计算出数学期望和方差； (3)比较两种抽样方法的期望和方差，并结合分布列对差异进行数据分析． 24．某市场调研小组为了解某款手机软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该软件的人群中随机抽取了名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的上四分位数； (2)为了解年龄在的居民的使用情况，按比例分层随机抽样的方式从，年龄段中随机共抽取名参加调研会．若从选定的这名居民中随机再抽取名，记人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望． 25．在一个不透明的箱中有7个形状相同的小球，其中白色小球3个，红色小球4个. (1)现在从箱中任取2个小球，求取到的小球颜色相同的概率； (2)现在从箱中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为X，求X的分布列以及数学期望. 26．随着时代和科技的进步，人工智能在生产领域中越来越重要，某研究团队在商业运营数据分析中，收集了某商家一段时间内投入人工智能的费用与对应产品销量数据如下表，将投入经费(单位:万元)作为解释变量，销售量(单位:万件)作为响应变量，已知与之间呈现出线性相关关系，，. (投入经费) 1 2 3 4 5 (销售量) 3 11 15 (1)求的值以及关于的经验回归方程； (2)从上述5组数据中任意挑选2组，记为其中残差值为正数的组数，求的分布列和数学期望. 参考公式:. 题型06 二项分布与超几何分布的综合应用 27．甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有3个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取3次，每次取1个球，抽取后放回，设取到红球的次数为，求的分布列及均值； (2)若从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，设从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列． 28．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品． (1)若从这10件产品中任意抽取1件，设抽取到一等品的件数为，求的分布列． (2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都放回，设抽取到一等品的件数为，求的分布列， (3)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都不放回，设抽取到一等品的件数为X，求 ①X的分布列； ②抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率． 29．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：h），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从这500名学生中随机抽取一人，求日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论） 30．某超市购进一批同种类水果，按照果径大小分为四类：不达标果､标准果､精品果､礼品果.质检技术人员从该批水果中随机选取100个，按果径大小分成5组进行统计：（单位：）.统计后制成如下的频率分布直方图，并规定果径低于为不达标果，在到之间为标准果，在到之间为精品果，达到及以上的为礼品果. (1)现采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，再从这10个水果中随机抽取2个，记礼品果的个数为，求的分布列与数学期望； (2)以频率估计概率，从这批水果中随机抽取个，设其中恰有2个精品果的概率为.当最大时，求的值. 31．现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的． (1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望； (2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？ 题型07 正态密度函数与对应曲线 32．（多选）若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 33．已知随机变量服从正态分布，若，则=_________. 34．设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 35．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 36．已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 37．（多选）假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X，Y）均服从正态分布，即，，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（    ） 参考数据：若，则， A． B． C． D． 题型08 正态分布的对称性 38．已知随机变量，实数满足，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 39．已知随机变量服从正态分布，若，，则（    ） A． B． C． D． 40．已知随机变量，，则展开式中项的系数为______． 41．已知随机变量服从正态分布，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 42．已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 题型09 正态分布的实际应用 43．（多选）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了 10 次坐公交车和骑自行车所花的时间，10 次坐公交车所花的时间分别为 (单位： )，10 次骑自行车所花时间的均值为，方差为1 ． 已知坐公交车所花时间 骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计分布中的参数，并利用信息技术工具画出 的分布密度曲线如图所示． 若小明每天需在早上 8 点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（    ） A．坐公交车所花时间的均值为10 ，方差为3 B．若小明早上 7：50 之后出发，并选择坐公交车，则有50% 以上的可能性会迟到 C．若小明早上 出发，则应选择骑自行车 D．若小明早上 出发，则应选择坐公交车 44．某新能源汽车企业为优化电池续航算法，抽取了10000辆同型号车辆在标准工况下的单次充电实际行驶里程（单位：公里）．统计数据经整理得到频率分布直方图（图中部分数据缺失）．已知行驶里程在的频率为0.34，在的频率为0.34，且该数据近似服从正态分布．该企业计划对续航表现优异的车辆颁发“超长续航认证”，要求行驶里程不低于m公里，且认证比例控制在2.28%左右．根据正态分布模型（参考数据：，），则m的估计值最接近（   ） A．450 B．475 C．500 D．525 45．红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差，用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温服从正态分布 ，若的值在内的概率约为，则的值约为_____. (参考数据: 若 ，则 ). 46．某厂生产了40000件产品，现对其质量进行测评，规定质量指标值不小于80就认为质量测评合格．现从这批产品的测评数据中随机抽取100件产品的质量指标值）．经计算．若该批产品的质量指标值近似服从正态分布，则估计该批产品中质量测评合格的产品件数为______________． 参考数据：若随机变量X服从正态分布N，则 47．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）： 87   87   88   92   95   97   98   99   103   104 设这10个数据的平均值为，标准差为. (1)求与. (2)假设这批零件的内径（单位：cm）服从正态分布. ①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零件中内径大于107cm的个数为，求； ②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：cm），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由. 参考数据：若，则，，取. 48．某快递公司为了提升配送服务质量，对旗下站点的每日投诉率进行统计分析．公司从该站点中随机抽取了个工作日，得到的日投诉率记为，统计数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 2.1 3.5 2.8 4.2 2.9 2.5 3.8 3.3 公司规定：单日投诉率低于3.0‰时，该日记为“优质服务日”． (1)从A站点这8个工作日中随机选取2天，记X为抽到的“优质服务日”天数，求X的分布列和数学期望． (2)为了降低投诉率，公司对该站点开展为期一个月的服务整改.整改后，该站点的日投诉率记为，变量服从正态分布．用样本估计总体，从该站点随机抽取个工作日，试估计“优质服务日”的天数．（结果四舍五入，取整数） 参考数据：，，． 重难·创新演练 设题创新：依托实际科研、生活情境命题，跳出直接套公式计算，融合条件概率、数列作商比较最值，结合正态分布、超几何分布综合设问，侧重考查信息提取、概率建模与代数推理的综合解题能力。 1．（2025·福建宁德·模拟预测）（多选）芯片是信息时代的微观基石.国内某企业通过自主创新，其使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，其改进过程如下：部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.智能检测系统运行后，某芯片通过智能检测系统筛选合格的条件下，经人工抽检后合格的概率大于直接进入人工抽检合格的概率.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（   ） （参考数据：，） A． B． C． D．若，则M最有可能的取值为 2．（2025·陕西汉中·一模）【新考法】已知函数在上单调递增的概率为，且随机变量，若，则_______． （若，则有，） 3．（2025·四川宜宾·模拟预测）某款绘画软件每次生成一幅图像时，会独立进行两次质量评估：第一次评估通过的概率为，若未通过则图像被丢弃；通过第一次评估的图像进入第二次评估，第二次评估通过的概率为，通过则为“优质图像”，未通过则进入“人工微调”环节，微调后成为优质图像的概率为，否则被丢弃．每幅图像最终要么是优质图像，要么被丢弃．现从该软件生成的一批图像中随机抽取3幅（各图像生成过程相互独立）． (1)求一幅图像最终成为优质图像的概率； (2)设抽取的3幅图像中优质图像的幅数为，求的分布列； (3)在抽取的3幅图像中，若第一幅图像是优质图像，且优质图像总数至少为2，求此时优质图像总数的数学期望． 4．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，设质点移动次后所在的位置对应的数为随机变量． (1)求的概率； (2)求的分布列和数学期望； (3)求的方差． 5．（2025·广东广州·三模）某学校组织开展“学习强国”知识竞赛．竞赛设置个不同的题目，参赛人员分为、、三组，其中组人，组人，组人． (1)已知参赛人员甲能正确作答这个题目中的个题目，求从这题中任取题，甲至少回答正确题的概率； (2)现从参加比赛的这人中随机抽取人，记抽到的组人数为，组人数为．设，求的分布列及期望； (3)已知参赛人员乙能准确作答这题中的（，且）题．若从这个题中随机抽取个让乙作答，当变化时，要使得恰好答对题的概率取到最大值，求此时的取值． 6．（2026·安徽淮北·二模）为了估计某自然保护区中一种珍稀鸟类的种群数量，生态学家采用了标记重捕法．具体操作如下：假设该鸟类的种群数量为，首先，从保护区中随机捕捉20只该种鸟类，对它们进行标记后放回保护区．经过足够长的时间，使得标记鸟与未标记鸟在种群中充分混合．然后，再次从保护区中随机捕捉50只该种鸟类，记其中被标记的鸟的数量为． (1)若，求被捕捉的50只中至少1只被标记的概率（用组合数表示）和； (2)求使得最大的的值． 7．（2026·陕西商洛·一模）【新考法】一个袋子中装有个大小相同的小球，编号分别为1，2，3，…，，且，．进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．设随机变量表示的元素个数． (1)若，，求的分布列： (2)若，且，求； (3)若，两次实验中，第二次取出的10个球里恰好有3个球与第一次取出的球重复，求的估计值（以使最大的值作为估计值）． 8．（2025·甘肃天水·模拟预测）【新考法】某研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率，对道高中数学概率统计题进行测试，记录了每道题的解题成功率（单位：%）．已知该助手解答同类型题目的成功率近似服从正态分布，其中，． (1)从该助手解答的题目中随机抽取1道，求其成功率满足的概率； （附：若，则，） (2)现有（，）同类型的题目，其中成功率不低于的题目共有6道．现从这道测试题中随机抽取3道进行人工复核，记抽到成功率不低于的题目数量为随机变量． （i）当时，求的分布列及数学期望； （ii）若，试估计的值（即使得取得最大值时的的值）． 真题·实战演练 高频考点：两点分布识别、二项分布与超几何分布辨析、分布列与数字特征计算、正态分布性质与概率求解、似然最值求参数；近三年选填、解答题均有涉及，侧重基础 + 情境综合，突出模型辨析、实际建模、参数估计三大热点。 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 3．（2025·全国二卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． (1)求（用p表示）． (2)若，求p． (3)证明：对任意正整数m，． 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 两点分布 2 题型02 n次独立重复试验 3 题型03 二项分布 7 题型04 二项分布的最大概率问题 12 题型05 超几何分布 16 题型06 二项分布与超几何分布的综合应用 22 题型07 正态密度函数与对应曲线 31 题型08 正态分布的对称性 35 题型09 正态分布的实际应用 36 重难·创新演练 42 真题·实战演练 53 模拟·基础演练 考查重点：本模块围绕两点分布识别、n次独立重复试验、二项分布及其最大概率求解，超几何分布、二项与超几何分布综合辨析，正态曲线性质、正态分布对称性运算与实际应用，覆盖离散与连续型常见分布核心考点，侧重模型判定、公式运算与情境转化。 题型01 两点分布 1．若随机变量X服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】随机变量X服从两点分布，因此， 而，所以， 故，所以. 2．某企业拟定4种改革方案，经统计它们在该企业的支持率分别为，，，，用“”表示员工支持第种方案，用“”表示员工不支持第种方案，那么方差，，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知：随机变量服从两点分布，由两点分布的方差公式可解. 【详解】由题意可知：用“”表示员工支持第种方案，用“”表示员工不支持，第种方案， 所以随机变量服从两点分布， 则，， ，， 所以，D选项正确. 故选：D 3．（多选）若随机变量服从两点分布，其中，和分别为随机变量的期望与方差，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由两点分布的期望、方差计算公式和期望、方差的性质逐项判断即可. 【详解】选项A：由概率和为，则​，A正确； 选项B：， 根据期望性质，得，B错误； 选项C：根据方差公式，得​，C正确； 选项D：根据方差性质，得，D正确. 4．已知随机变量服从两点分布，且，若，则___________. 【答案】0.6/ 【分析】根据两点分布的性质可求得，进而由得出结果. 【详解】随机变量服从两点分布，且，则， 若，可知，则. 故答案为：0.6. 题型02 n次独立重复试验 5．某市四支足球队（分别记为“甲队”、“乙队”、“丙队”、“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法不正确的是（    ） A．甲队积分为分的概率为 B．乙队积分为分的概率为 C．四支球队的积分总和可能为分 D．甲队胜场且乙队胜场的概率为 【答案】B 【分析】四支足球队进行单循环比赛，则总场数为,每一支球队要跟另外三支球队进行比赛.对于A，甲队积分为分，则甲胜了场，负场；对于B，乙队积分为分，则乙队胜场，负场或乙队平了场；对于C，如果场比赛全部分出胜负，那么每场比赛产生 分，总积分为 分。如果出现平局，每出现一场平局，总积分就会减少分（因为平局双方共得分，比一胜一负少分）.故四支球队的积分总和可能为分（当所有比赛均分出胜负时）；对于D，甲队胜场且乙队胜场的概率，分为三种情况，情况一：甲队胜乙队一场；情况二：乙队胜甲队一场；情况三，甲乙平局. 【详解】四支足球队进行单循环比赛，则总场数为,每一支球队要跟另外三支球队进行比赛. 对于A，甲队积分为分，则甲在三场比赛中胜了场，负场，，正确； 对于B，乙队积分为分，则乙队胜场，负场或乙队平了场， 则，错误； 对于C，如果场比赛全部分出胜负，那么每场比赛产生分，总积分为分， 如果出现平局，每出现一场平局，总积分就会减少分（因为平局双方共得分，比一胜一负少分）. 故四支球队的积分总和可能为分（当所有比赛均分出胜负时）； 对于D，甲队胜场且乙队胜场的概率， 分为三种情况，情况一：甲队胜乙队一场，甲队胜丙、丁其中一队场，乙队胜丙、丁两队； 情况二：甲队胜丙、丁两队，负于乙队，乙队胜丙、丁其中一队场； 情况三：甲乙平局，甲队胜丙、丁两队，乙队胜丙、丁两队 那么，正确. 6．甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲最终以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用独立重复事件分析求解即可. 【详解】甲最终以获胜，说明甲在五局比赛中赢了四局，输了一局，且输掉的这局为第一局，第二局，第三局或者第四局， 故概率为. 7．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜中珠子从出口5出来，那么你取胜的概率为__________． 【答案】/ 【分析】可基于独立事件概率的计算方法分析路径概率，用组合数公式，结合每条路径的发生概率，因为每段路径的选择是独立事件，根据独立重复试验的概率公式，再乘以路径总数即可得到从出口5出来的总概率． 【详解】珠子在每个岔路口向左、向右下滑的概率均为，从顶端到最下方出口，一共需要经过5次独立的向左/向右选择； 要从编号5的出口出来，需要在5次选择中恰好选4次向右、1次向左， 根据独立重复试验的概率公式：． 8．在平面直角坐标系中，位于坐标原点处的点按下述规则移动：点每次移动一个单位长度，移动的方向只能是向上、向下、向左、向右，并且向四个方向移动的概率均为．点移动6次后，点在直线上的概率为________. 【答案】 【分析】因为点移动6次后，点在直线上，所以点水平移动的次数为偶数，计算概率得到答案. 【详解】因为点移动6次后，点在直线上，所以点水平移动的次数为偶数. 第一种情况，点水平移动2次（即向右移动2次，向左移动0次），， 第二种情况，点水平移动4次（即向右移动3次，向左移动1次），， 第三种情况，点水平移动6次（即向右移动4次，向左移动2次），， 则所求的概率． 9．甲、乙两名选手参加山东省中小学生科普知识竞赛个人必答环节．该环节甲、乙每人各答2道科普单选题．已知甲答对每道题的概率均为，乙答对每道题的概率均为，甲、乙的答题结果互不影响，每人不同题目答对与否也相互独立． (1)求甲、乙两人在该环节中共答对3道题的概率； (2)求该环节结束后，甲答对题目的数量比乙答对题目的数量多的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）先分别计算甲、乙答对题数的概率分布，再对满足条件的情况分类讨论，利用独立事件概率公式计算，最后求和. 【详解】（1）设甲答对的题数为随机变量，乙答对的题数为随机变量， 根据题意，都服从二项分布：，，且相互独立. 先计算甲、乙取道的概率：甲的分布： ，，； 乙的分布：，，. 两人共答对3道题，分两种情况：①甲答对2道，乙答对1道；②甲答对1道，乙答对2道. 所以 . （2）甲答对题目的数量比乙答对题目的数量多，即. 满足的情况有：，，. 所以甲答对题目的数量比乙答对题目的数量多的概率为： 题型03 二项分布 10．某中学举办生物知识竞赛，设置10道题目，比赛规则如下：每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分．已知甲答对每道题目的概率均为，甲需要答满10道题，且每道题答对与否相互独立．设随机变量表示甲最后的得分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的期望与方差公式以及性质分析计算即可. 【详解】设甲答对的题数为随机变量， 由题意可知服从的二项分布，即， 所以， 因为每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分， 所以甲最后的得分， 所以， . 11．连续抛掷一枚质地均匀的骰子4次，其中点数出现的次数为，记为，，，，，中奇数的个数，则的数学期望_________． 【答案】 【分析】根据二项分布的性质求期望即可. 【详解】设，则. 由期望的线性性质：. 所有点数地位对称，每个分布一样. 代表4次抛掷中点数1出现的次数，. 可取0，1，2，3，4，奇数取值为1，3. ；； 所以. 所以期望. 12．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是2分钟． (1)求这名学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率． (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望和方差． 【答案】(1) (2) 0 2 4 6 8 ， 【分析】（1）根据概率乘法公式求解即可； （2）利用二项分布概率公式求概率分布，结合期望和方差的性质计算可得. 【详解】（1）记“学生上学路上在第三个路口首次遇到红灯”， 则. （2）记为遇到红灯数，则服从二项分布， ，， ，， ， ，所以的分布列为： 0 2 4 6 8 ，， ，. 13．在边长为 2 的正方形区域内随机投一点，记该点落在其内切圆内的概率为 . (1)求 ； (2)独立重复投点 3 次，记落在内切圆内的次数为 ，求 的分布列与 . 【答案】(1) (2)的分布列为： 【详解】（1）正方形边长为 2，其面积为 . 正方形的内切圆半径为 ，其面积为 . 由几何概型的概率公式，点落在内切圆内的概率为：. （2）独立重复投点 3 次，每次落在内切圆内的概率均为 ，且各次投点相互独立，故随机变量 服从二项分布，即 . X 的可能取值为 0, 1, 2, 3. 当 时，三次都未落在圆内： . 当 时，恰有一次落在圆内： . 当 时，恰有两次落在圆内： . 当 时，三次都落在圆内： . 的分布列为： 由二项分布的期望公式 ，得： . 14．某科技公司研发了一款人工智能辅助诊断系统，用于检测疾病．已知疾病的患病率为2%，系统对疾病患者的诊断结果为“阳性”的概率为95%，对非疾病患者的诊断结果为“阴性”的概率为90%． (1)任选一人接受该系统检测，求该人检测结果为“阴性”的概率； (2)某医院引入该智能辅助诊断系统，为评估该系统的性能，邀请3名非疾病患者利用该系统进行检测，用表示诊断结果为“阴性”的人数，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 期望为 【分析】(1)问使用全概率公式，把“检测结果为阴性”拆分为患病检测阴性、未患病检测阴性两个互斥事件，分别求出两个事件的概率再相加； (2)问判断随机变量服从二项分布，确定单次试验检出阴性的概率，利用二项分布概率公式计算各个取值对应的概率，再用二项分布期望公式求出期望. 【详解】（1）设事件为“患有疾病”，事件为“不患有疾病”，事件为“检测结果为阴性”. 由题意，，，系统对患者诊断阳性概率为，所以患者检测阴性的概率，非患者检测阴性概率. 根据全概率公式得： 所以任选一人检测，检测结果为阴性的概率为； （2）每一名非疾病患者检测结果为阴性的概率为，3人的检测相互独立，则. 的所有可能取值为：. ， ， ， . 所以的分布列为： ，，， 所以. 题型04 二项分布的最大概率问题 15．若随机变量服从二项分布，则取得最大值时，（     ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求解. 【详解】因为 ，所以， 当取得最大值时，可得， 所以，解得， 因为，所以 16．一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向移动2个单位或沿数轴的负方向移动1个单位，共移动11次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．1或7 B．7或10 C．1或4 D．4或7 【答案】D 【分析】先算出质点向左平移了次的概率，再利用组合数的性质得到的取值，从而可计算质点最可能移动到的位置的坐标. 【详解】设质点向左平移了次，则向右平移了次，其概率为. 所以. 由的性质得，取得最大值时或. 当时，质点最终移动到的位置的坐标为； 当时，质点最终移动到的位置的坐标为. 所以质点最可能移动到的位置的坐标为或. 【点睛】本题关键是利用二项式组合数判断概率大小，结合单次位移列式计算终点坐标，注意正负向位移单位不同，不可仅凭移动次数判断位置. 17．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取12人赠送保健品，这12人中有（     ）名女性的可能性最大． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据二项分布的概率公式列出不等式组，通过组合数公式化简不等式组，进而求解的取值范围，再结合为自然数确定的值． 【详解】若从参加活动的老人中随机抽取12人，且抽到的女性人数为，则， 若抽到名女性的可能性最大，则 即解得， 又，故． 18．已知，则，，．今有一批数量庞大的零件．假设这批零件的某项质量指标（单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取个，这个零件中恰有个的质量指标位于区间．，试以使得最大的值作为的估计值，则为（    ） A．50 B．55 C．59 D．64 【答案】C 【分析】由已知可推得，，根据已知以及正态分布的对称性，可求得.则，，设，求出函数的最大整数值，即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 又， 所以，则， 设， 则， 所以，所以. ， 所以，所以. 所以以使得最大的值作为的估计值，则为. 故选：C. 19．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示： 用时/秒 男性人数 17 21 13 9 女性人数 8 10 16 6 以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，确定，即可表示出，列不等式组求最大时k的值，即可得答案. 【详解】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为， 设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为， 则，其中， 时，； 显然，即不可能为最大值， 当时，由得， 化简得，解得， 又这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是5， 故选：C． 20．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．7.7 C．8.4 D．9.1 【答案】A 【分析】根据二项分布的概率公式，，利用是唯一最大值可得，代入可求出，再利用二项分布的期望公式可求得结果. 【详解】因为，，若是唯一最大值， 则，所以， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以， 因为，所以，得， 因为为正整数，所以， 所以， 故选：A 题型05 超几何分布 21．某学校科技活动室有2台跑步机器人，2台扫地机器人．工作人员随机选取2台机器人做功能测试，设所选取的2台机器人中扫地机器人的台数为，则随机变量的数学期望的值为________． 【答案】 【分析】根据题意确定随机变量的取值，求出不同值的概率，根据数学期望公式求解. 【详解】随机变量的可能取值为， ，、 ， ， . 22．盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是______；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则______． 【答案】 /0.8 【分析】第一空由条件概率公式可求出结果；第二空由超几何分布求出期望. 【详解】设第一次取到黑球为事件，第二次取到黑球为事件， 则，， 所以； 由题意可得的取值为， ， 所以， 故答案为：；. 23．一个袋子中有10个除颜色外其他都相同的球，其中有4个黄球，6个白球，甲从中有放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数；乙从中不放回地随机抽取3个球作为样本，用表示样本中黄球的个数． (1)写出的分布列，并计算出数学期望和方差； (2)写出的分布列，并计算出数学期望和方差； (3)比较两种抽样方法的期望和方差，并结合分布列对差异进行数据分析． 【答案】(1) 0 1 2 3 ， (2) 0 1 2 3 ， (3)，二者数学期望相同； ，有放回抽取的方差大于不放回抽取的方差．     下面结合分布列的数据分析说明方差不同的原因． ①两端概率：，，这意味着有放回抽取更容易出现“极端情况”（全黄球或全白球）． ②中间概率：，，说明不放回抽取的结果更集中在均值1.2附近． ③本质原因：不放回抽取，总体有限，各次抽取不独立．若前面抽到黄球，剩余再抽到黄球的概率降低，反之亦然．这就抑制了极端值的出现，使得数据分布相对更集中，方差更小． 【分析】（1）根据题意，利用二项分布的概率公式即可求解； （2）根据题意随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的概率公式即可求解； （3）利用期望和方差结合两个随机变量的分布列对照即可求解. 【详解】（1）甲有放回抽取，每次抽到黄球的概率为，随机变量，    所以，，1，2，3， 逐一计算并列表如下： 0 1 2 3 所以，； （2）乙不放回抽取，随机变量服从超几何分布， ，，1，2，3，     逐一计算并列表如下： 0 1 2 3    因为服从超几何分布，所以， ， ； （3）略 24．某市场调研小组为了解某款手机软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该软件的人群中随机抽取了名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的上四分位数； (2)为了解年龄在的居民的使用情况，按比例分层随机抽样的方式从，年龄段中随机共抽取名参加调研会．若从选定的这名居民中随机再抽取名，记人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2) 期望为1 【分析】（1）根据直方图计算四分位数位于内，再进行求解即可； （2）按照分层随机抽样，计算出年龄在，分别应抽取的人数，然后按照超几何分布计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，，， 所以上四分位数位于内，设其为， 则，解， 所以估计年龄样本数据的上四分位数为． （2）被调查的居民年龄在，比例为，按照分层随机抽样， 应抽取人，应抽取人， 设随机抽取的名居民中年龄在的人数为，的可能取值为，，． ；；． 所以，随机变量X的分布列如下表所示： 所以数学期望为． 25．在一个不透明的箱中有7个形状相同的小球，其中白色小球3个，红色小球4个. (1)现在从箱中任取2个小球，求取到的小球颜色相同的概率； (2)现在从箱中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为X，求X的分布列以及数学期望. 【答案】(1) (2) X 0 1 2 3 P 【分析】（1）设“取到的小球颜色相同”记为事件C，根据古典概型求解相应概率即可； （2）依题意可得X的可能取值，求出所对应的概率，列出分布列，计算数学期望. 【详解】（1）设“取到的小球颜色相同”记为事件C，则． （2）显然X的可能取值有0，1，2，3． ，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故． 26．随着时代和科技的进步，人工智能在生产领域中越来越重要，某研究团队在商业运营数据分析中，收集了某商家一段时间内投入人工智能的费用与对应产品销量数据如下表，将投入经费(单位:万元)作为解释变量，销售量(单位:万件)作为响应变量，已知与之间呈现出线性相关关系，，. (投入经费) 1 2 3 4 5 (销售量) 3 11 15 (1)求的值以及关于的经验回归方程； (2)从上述5组数据中任意挑选2组，记为其中残差值为正数的组数，求的分布列和数学期望. 参考公式:. 【答案】(1)， (2)的分布列为： 0 1 2 数学期望为. 【分析】（1）根据，列式求的值，根据表中数据求，即可得回归方程； （2）求各组的残差值，可知可取0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望. 【详解】（1）由，得， 由，得， 联立方程，解得， 由题意可得：，， 则，， 所以关于的经验回归方程为. （2）依题意可得，，，，，单位均为万件， 所以5组数据中有2组数据残差值为正数，则可取0，1，2， 可得，，， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望为. 题型06 二项分布与超几何分布的综合应用 27．甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有3个红球，2个白球． (1)若从甲袋中连续抽取3次，每次取1个球，抽取后放回，设取到红球的次数为，求的分布列及均值； (2)若从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，设从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列． 【答案】(1)分布列： X 0 1 2 3 P 均值为 (2)分布列： Y 0 1 2 P 【分析】（1）识别出有放回重复抽样模型服从二项分布 ，利用二项分布概率公式计算各取值的概率，再通过期望定义或二项分布期望公式求解均值. （2）以“从甲袋中取出的球的颜色”为划分依据，利用全概率公式，结合超几何分布计算不同条件下从乙袋取红球的概率，合成得到随机变量 的分布列. 【详解】（1）由题意，的可能取值为0，1，2，3， 所以，， ， ， 所以的分布列为： X 0 1 2 3 P ． 或由题意，所以． （2）设“从甲袋中取到红球”为事件，则，， 则由题意的可能取值为0，1，2， ， ， ． 所以的分布列为： Y 0 1 2 P 28．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品． (1)若从这10件产品中任意抽取1件，设抽取到一等品的件数为，求的分布列． (2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都放回，设抽取到一等品的件数为，求的分布列， (3)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都不放回，设抽取到一等品的件数为X，求 ①X的分布列； ②抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率． 【答案】(1) 0 1 P (2) 0 1 2 3 P (3)① X 0 1 2 3 P ② 【分析】（1）根据题意可得的可能取值，且服从两点分布，根据两点分布计算其概率，列出分布列即可； （2）根据题意可得满足二项分布，建立二项分布模型，得出的可能取值，利用二项分布分别计算其概率，列出分布列即可； （3）根据题意可得满足超几何分布，建立超几何分布模型，得出的可能取值，分别计算其概率，列出分布列，设基本事件，分别计算事件的概率，利用互斥事件的加法公式即可求解. 【详解】（1）解：由题意知的可能取值为0，1，所以服从两点分布， ，则， 因此的分布列为 0 1 P （2）解：若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概率均为， 3次抽取可以看成3次独立重复试验，因此， 它的分布列为，，1，2，3，如表： 0 1 2 3 P （3）①若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次，且1次抽取了3件， 因此一等品件数X服从超几何分布， 所以从10件产品中任意抽取3件，其中恰有m件一等品的概率为，，1，2，3． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P ②设事件“抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数”， “抽取到的3件产品中恰好有1件一等品和2件三等品”， “抽取到的3件产品中恰好有2件一等品”， “抽取到的3件产品均为一等品”，则事件，，彼此互斥，且． 因为，，， 所以， 即抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为． 29．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：h），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从这500名学生中随机抽取一人，求日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论） 【答案】(1)0.20． (2) X的分布列为 X 0 1 2 3 P (3) 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据分层抽样的抽样比计算的人生，即可根据超几何分布的概率公式即可求解， （3）根据二项分布的概率公式,结合组合数的性质即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图得，， 解得，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20． （2）由频率分布直方图得，这500名学生中日平均阅读时间在三组内的学生人数分别为． 若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取人，现从这10人中随机抽取3人，则X的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （3），理由如下： 由频率分布直方图得抽取的学生中日平均阅读时间在内的概率为0.50，所以从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列大致服从二项分布，，由组合数的性质可得时最大． 30．某超市购进一批同种类水果，按照果径大小分为四类：不达标果､标准果､精品果､礼品果.质检技术人员从该批水果中随机选取100个，按果径大小分成5组进行统计：（单位：）.统计后制成如下的频率分布直方图，并规定果径低于为不达标果，在到之间为标准果，在到之间为精品果，达到及以上的为礼品果. (1)现采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，再从这10个水果中随机抽取2个，记礼品果的个数为，求的分布列与数学期望； (2)以频率估计概率，从这批水果中随机抽取个，设其中恰有2个精品果的概率为.当最大时，求的值. 【答案】(1)的分布列为 0 1 2 . (2)或 【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1求得，进而求出礼品果的个数，求出的可能取值及对应的概率，得到的分布列，代入期望公式求解期望； （2）根据且，求出n的取值范围，代入判断求解即可. 【详解】（1）由题意，所以， 所以这100个水果中礼品果的个数为， 采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，其中礼品果有个， 故随机变量的所有可能取值为， 则，，. 所以的分布列为 0 1 2 期望. （2）由频率分布直方图知，从该批水果中随机抽取1个，是精品果的概率为， 则， 所以， 要使最大，则且， 解得，因为， 所以，所以当最大时，或. 31．现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的． (1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望； (2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？ 【答案】(1) 2 4 6 8 数学期望为 (2)获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大. 【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并求出数学期望； （2）根据二项分布的知识求得获得“挑战达人”勋章的枚数的分布列，由此求得正确答案. 【详解】（1）由题知：可取2，4，6，8， 则，， ，， 故的分布列为： 2 4 6 8 则的期望. （2）解法一：由（1）知参赛选手在一轮比赛中获得“挑战达人”勋章的概率为， 则某参赛选手在5轮挑战比赛中，记获得“挑战达人”勋章的枚数为，则， 故（）， 假设当时，概率最大，则， 解得，而. 故某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大． 解法二：由（1）知参赛选手在一轮获得“挑战达人”勋章的概率为， 则某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得“挑战达人”勋章的枚数为，则， 故（）， 所以Y的分布列为： 0 1 2 3 4 5 从分布列中可以看出，概率最大为， 所以参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大． 题型07 正态密度函数与对应曲线 32．（多选）若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为随机变量，所以均值， 而与关于均值对称，所以，A正确. 又因为，故C错误. 由对称性，，B正确. 又因为，D正确. 33．已知随机变量服从正态分布，若，则=_________. 【答案】 【详解】因为，所以正态曲线关于对称，且标准差， 因为， 所以， 因此. 34．设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得． 【详解】根据题意，且，则， 由正态曲线得，所以． 故选：C． 35．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 36．已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【详解】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C 37．（多选）假设两所学校的数学联考成绩（分别记为X，Y）均服从正态分布，即，，X，Y的正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的有（    ） 参考数据：若，则， A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由图可知，由此可判断A； 由图可知Y分布更集中，有，由此可判断B； 由计算可判断C； 由可知，，可判断D． 【详解】对A，由图可知，所以A错误； 对B，由图可知Y分布更集中，所以，则，所以B错误； 对C，由正态分布，， 则，故C正确； 对D，由图可知，，所以，故D正确． 故选：CD. 题型08 正态分布的对称性 38．已知随机变量，实数满足，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性求解. 【详解】随机变量，实数满足， 由正态分布的对称性可知，解得. 39．已知随机变量服从正态分布，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正态分布曲线关于均值对称的性质，先求出对称区间的概率，再结合已知概率计算所求值. 【详解】因为随机变量服从正态分布，其密度曲线关于直线对称， 由对称性可得， 已知，， 因此，故， 因此. 40．已知随机变量，，则展开式中项的系数为______． 【答案】 135 【分析】先利用正态分布的对称性求解参数的取值，再通过二项展开式的通项公式计算项的系数. 【详解】已知随机变量，其正态密度曲线关于对称轴对称. 由，根据正态分布的对称性可得与关于对称， 即 整理得，解得. 将代入得二项式为， 根据二项式定理，其展开式的通项为： ， 令，解得. 将代入通项得项的系数为：. 41．已知随机变量服从正态分布，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，，得， 则，得，等号成立时， 故的最大值为 42．已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性可得. 【详解】因为，所以， 所以. 题型09 正态分布的实际应用 43．（多选）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了 10 次坐公交车和骑自行车所花的时间，10 次坐公交车所花的时间分别为 (单位： )，10 次骑自行车所花时间的均值为，方差为1 ． 已知坐公交车所花时间 骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计分布中的参数，并利用信息技术工具画出 的分布密度曲线如图所示． 若小明每天需在早上 8 点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（    ） A．坐公交车所花时间的均值为10 ，方差为3 B．若小明早上 7：50 之后出发，并选择坐公交车，则有50% 以上的可能性会迟到 C．若小明早上 出发，则应选择骑自行车 D．若小明早上 出发，则应选择坐公交车 【答案】BCD 【分析】根据所给数据求出坐公交车的均值方差判断A，由正态分布及所给图象分析可判断BCD. 【详解】坐公交车所花时间的均值为： ， 方差为 ，故A错误； 根据题意，可以得到， 7：50 之后出发，并选择坐公交车，有 以上的可能性会超过 ，即8 点之后到校，会迟到，故B正确； 由题中图可知， ，应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具， 小明早上 出发，有可用，则应选择骑自行车，故C正确； 小明早上 出发，只有 可用，则应选择坐公交车，故D正确． 44．某新能源汽车企业为优化电池续航算法，抽取了10000辆同型号车辆在标准工况下的单次充电实际行驶里程（单位：公里）．统计数据经整理得到频率分布直方图（图中部分数据缺失）．已知行驶里程在的频率为0.34，在的频率为0.34，且该数据近似服从正态分布．该企业计划对续航表现优异的车辆颁发“超长续航认证”，要求行驶里程不低于m公里，且认证比例控制在2.28%左右．根据正态分布模型（参考数据：，），则m的估计值最接近（   ） A．450 B．475 C．500 D．525 【答案】C 【分析】先解出的估计值，再求解即可 【详解】行驶里程在的频率为0.34，在的频率为0.34，说明数据在这两个区间的分布对称，得. 区间的频率为，而，故近似有，解得. 认证比例，所以，因此最接近的选项是C. 45．红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差，用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温服从正态分布 ，若的值在内的概率约为，则的值约为_____. (参考数据: 若 ，则 ). 【答案】6 【分析】根据题意，利用正态分布的概率的计算方法，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，体温服从正态分布，可得， 因为的值在内的概率为，且， 则，所以，解得， 所以，解得. 46．某厂生产了40000件产品，现对其质量进行测评，规定质量指标值不小于80就认为质量测评合格．现从这批产品的测评数据中随机抽取100件产品的质量指标值）．经计算．若该批产品的质量指标值近似服从正态分布，则估计该批产品中质量测评合格的产品件数为______________． 参考数据：若随机变量X服从正态分布N，则 【答案】39090 【分析】本题是正态分布的实际估计问题，用样本平均数估计总体均值；用估计总体方差；判断合格线对应均值左侧几个标准差；借助正态分布的对称性求合格概率，再乘总件数. 【详解】由题意，样本均值为 又因为 所以样本方差可估计为 用样本统计量估计总体参数，故可估计 于是质量指标值近似服从正态分布 因为合格标准是不小于，而 所以合格的概率为 由题给参考数据， 又正态分布关于均值对称，所以两侧尾部概率相等， 从而 因此 所以该批产品中质量测评合格的产品件数约为 故估计该批产品中质量测评合格的产品件数为 47．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：cm）： 87   87   88   92   95   97   98   99   103   104 设这10个数据的平均值为，标准差为. (1)求与. (2)假设这批零件的内径（单位：cm）服从正态分布. ①从这批零件中随机抽取10个，设这10个零件中内径大于107cm的个数为，求； ②若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径分别为76，85，93，99，108（单位：cm），以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要进一步调试，说明你的理由. 参考数据：若，则，，取. 【答案】(1)， (2)①； ②需要进一步调试；因为服从正态分布，所以， 所以5个零件的内径中恰有一个不在内的概率为. ∵， ∴试生产的5个零件的内径出现了1个不在内，所以根据原则，需要进一步调试. 【分析】（1）结合已知数据，利用平均数公式和标准差公式求解即可， （2）①由Z服从正态分布，可得，然后利用二项分布的性质可求得的值，②由Z服从正态分布，可求出5个零件的内径中恰有一个不在内的概率，然后比较判断即可 【详解】（1）利用题中数据，可得， ，则. （2）①因为服从正态分布，所以， 则，所以， 所以. ②略 48．某快递公司为了提升配送服务质量，对旗下站点的每日投诉率进行统计分析．公司从该站点中随机抽取了个工作日，得到的日投诉率记为，统计数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 2.1 3.5 2.8 4.2 2.9 2.5 3.8 3.3 公司规定：单日投诉率低于3.0‰时，该日记为“优质服务日”． (1)从A站点这8个工作日中随机选取2天，记X为抽到的“优质服务日”天数，求X的分布列和数学期望． (2)为了降低投诉率，公司对该站点开展为期一个月的服务整改.整改后，该站点的日投诉率记为，变量服从正态分布．用样本估计总体，从该站点随机抽取个工作日，试估计“优质服务日”的天数．（结果四舍五入，取整数） 参考数据：，，． 【答案】(1)的分布列为 ； (2) 【分析】（1）先统计优质日数量，利用超几何分布求的分布列与期望； （2）根据正态分布性质，结合对称性求出的概率，进而估计天数． 【详解】（1）由题意知，的可能取值为， ，，， 所以的分布列为 ； （2）由正态分布，得， ， 所以“优质服务日”的天数约为． 重难·创新演练 设题创新：依托实际科研、生活情境命题，跳出直接套公式计算，融合条件概率、数列作商比较最值，结合正态分布、超几何分布综合设问，侧重考查信息提取、概率建模与代数推理的综合解题能力。 1．（2025·福建宁德·模拟预测）（多选）芯片是信息时代的微观基石.国内某企业通过自主创新，其使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，其改进过程如下：部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.智能检测系统运行后，某芯片通过智能检测系统筛选合格的条件下，经人工抽检后合格的概率大于直接进入人工抽检合格的概率.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（   ） （参考数据：，） A． B． C． D．若，则M最有可能的取值为 【答案】ACD 【分析】直接利用题意判断A；利用条件概率、全概率公式等进行转化判断B；利用正态分布的性质判断C；设，由函数的单调性判断D. 【详解】A，由某芯片通过智能检测系统筛选合格的条件下，经人工抽检后合格的概率大于直接进入人工抽检合格的概率， 即，故A正确； B，由，则， 又， 于是，即， 因此，即，则，故B错误； C， ，故C正确； D，， 设， ， 解得，， 由， 解得，即， 所以取得最大值时，的估计值为53，故D正确. 2．（2025·陕西汉中·一模）【新考法】已知函数在上单调递增的概率为，且随机变量，若，则_______． （若，则有，） 【答案】 【分析】先根据分段函数单调递增的条件求出的取值边界，结合正态分布的对称性确定均值，再利用给定的区间的概率性质计算． 【详解】当时，为指数型增函数， 当时，的对称轴为，开口向下， 由为增函数，得，解得， 所以，即， 由， 得，即． 3．（2025·四川宜宾·模拟预测）某款绘画软件每次生成一幅图像时，会独立进行两次质量评估：第一次评估通过的概率为，若未通过则图像被丢弃；通过第一次评估的图像进入第二次评估，第二次评估通过的概率为，通过则为“优质图像”，未通过则进入“人工微调”环节，微调后成为优质图像的概率为，否则被丢弃．每幅图像最终要么是优质图像，要么被丢弃．现从该软件生成的一批图像中随机抽取3幅（各图像生成过程相互独立）． (1)求一幅图像最终成为优质图像的概率； (2)设抽取的3幅图像中优质图像的幅数为，求的分布列； (3)在抽取的3幅图像中，若第一幅图像是优质图像，且优质图像总数至少为2，求此时优质图像总数的数学期望． 【答案】(1) (2)分布列如下． 0 1 2 3 (3) 【分析】（1）一幅图像最终成为优质图像有两种情况：第一次和第二次评估都通过；第一次评估通过，第二次评估未通过，但人工微调后成为优质图像．分别计算这两种情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式求解． （2）已知抽取的3幅图像中优质图像的幅数服从二项分布，根据二项分布的概率公式分别计算取不同值时的概率，进而列出分布列． （3）可先求出优质图像总数为2且第一幅优质时的概率，再求出优质图像总数为3且第一幅优质时的概率，最后用数学期望公式即可求解． 【详解】（1）一幅图像成为优质图像有两条途径， 第一条：直接通过两次评估，概率为．     第二条：第一次通过、第二次未通过但微调成功，概率为．     所以一幅图像最终成为优质图像的概率． （2）抽取3幅图像，由题可得， 则，， ，．     则的分布列如下． 0 1 2 3 （3）设事件为“第一幅图像是优质图像”，事件为“优质图像总数至少为2”． 当且第一幅优质时，后两幅中恰有1幅优质，概率为．     当且第一幅优质时，后两幅必须均为优质，概率为．     因此．     则，     ，     此时． 答：此时优质图像总数的数学期望为． 4．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，设质点移动次后所在的位置对应的数为随机变量． (1)求的概率； (2)求的分布列和数学期望； (3)求的方差． 【答案】(1) (2) 0 2 4 6 (3) 【分析】（1）要使质点移动4次后所在位置为0，即向左向右各移动2次，再用二项分布概率公式计算. （2）首先判断出移动6次后可能在的所有位置，利用二项分布算出对应的概率，把相同的值合并，列出分布列，最后根据数学期望公式求出期望值. （3）由二项分布得到的方差，利用方差性质：常数不影响方差，，代入化简求出. 【详解】（1） （2）可取0，2，4，6 故的分布列为 0 2 4 6 所以数学期望 （3）设质点向右走步，则向左走步， 由题意知： 所以 所以 5．（2025·广东广州·三模）某学校组织开展“学习强国”知识竞赛．竞赛设置个不同的题目，参赛人员分为、、三组，其中组人，组人，组人． (1)已知参赛人员甲能正确作答这个题目中的个题目，求从这题中任取题，甲至少回答正确题的概率； (2)现从参加比赛的这人中随机抽取人，记抽到的组人数为，组人数为．设，求的分布列及期望； (3)已知参赛人员乙能准确作答这题中的（，且）题．若从这个题中随机抽取个让乙作答，当变化时，要使得恰好答对题的概率取到最大值，求此时的取值． 【答案】(1) (2)的分布列为： ． (3) 【分析】（1）利用古典概型的概率公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）由题意可知的所有可能取值为、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）求出乙恰好答对题的概率为，令，由，且，分析的单调性，可求出的最大值及其对应的值，即可得出结论. 【详解】（1）由题知题甲都回答错误的概率， 所以甲至少回答正确题的概率为． （2）由题知的所有可能取值为、、、、， 所以，， ，，， 则的分布列为： X P 所以． （3）从这个题中随机抽取个让乙作答，恰好答对题的概率为， 设，由，且，得， 所以 显然，， 令， 当时，有，，即， 此时； 当时，有，，即， 此时，即，所以． 6．（2026·安徽淮北·二模）为了估计某自然保护区中一种珍稀鸟类的种群数量，生态学家采用了标记重捕法．具体操作如下：假设该鸟类的种群数量为，首先，从保护区中随机捕捉20只该种鸟类，对它们进行标记后放回保护区．经过足够长的时间，使得标记鸟与未标记鸟在种群中充分混合．然后，再次从保护区中随机捕捉50只该种鸟类，记其中被标记的鸟的数量为． (1)若，求被捕捉的50只中至少1只被标记的概率（用组合数表示）和； (2)求使得最大的的值． 【答案】(1)， (2)在时取得最大值． 【分析】（1）根据超几何分布进行直接求解即可； （2）易知，再根据函数单调性解不等式可得当时，，当时，，所以在时取得最大值. 【详解】（1）因为，所以服从超几何分布， 其中，，． ，． （2）当时，． 当时，． 设，则． 由，解得， 即时，， 即时，， 所以在时取得最大值． 7．（2026·陕西商洛·一模）【新考法】一个袋子中装有个大小相同的小球，编号分别为1，2，3，…，，且，．进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．设随机变量表示的元素个数． (1)若，，求的分布列： (2)若，且，求； (3)若，两次实验中，第二次取出的10个球里恰好有3个球与第一次取出的球重复，求的估计值（以使最大的值作为估计值）． 【答案】(1)的分布列为： (2)6 (3)33 【分析】（1）先确定的所有可能取值，结合组合数计算每个取值对应的概率，进而列出的分布列； （2）根据交集元素个数为的概率公式列关于的方程，求解符合条件的正整数即可； （3）由题知，，设，由作商法求得的单调性即可求解最大值时的取值． 【详解】（1）X表示的元素个数，可能取值为，总取法为， 表示两次取的球无公共元素，取法为，， 表示两次取的球恰有1个公共元素，取法为，， 表示两次取的球完全相同，取法为，， 的分布列为： （2）由已知，表示第二次从个球中取出个球，其中恰有个球的编号属于， ， 代入，则， 化简得， 因式分解得，结合得． （3）由题知，，， 设， 当时， ， 令， 当时，，即，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 因此，当时，取得最大值， 所以的估计值为33． 8．（2025·甘肃天水·模拟预测）【新考法】某研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率，对道高中数学概率统计题进行测试，记录了每道题的解题成功率（单位：%）．已知该助手解答同类型题目的成功率近似服从正态分布，其中，． (1)从该助手解答的题目中随机抽取1道，求其成功率满足的概率； （附：若，则，） (2)现有（，）同类型的题目，其中成功率不低于的题目共有6道．现从这道测试题中随机抽取3道进行人工复核，记抽到成功率不低于的题目数量为随机变量． （i）当时，求的分布列及数学期望； （ii）若，试估计的值（即使得取得最大值时的的值）． 【答案】(1) (2)（i） Y 0 1 2 3 ；（ii）或 【分析】（1）利用正态分布的对称性，结合已知，计算求解； （2）（i）识别分布类型，求出相关概率和分布列，进而计算期望值； （ii）写出的表达式，构造数列，分情况讨论相邻两项的比值确定单调性，找出单调性的分界点，即为对应的值． 【详解】（1）由题意， ． （2）（i）服从超几何分布，且，，， 故的所有可能取值为：0，1，2，3， ，， ，， 故的分布列为： Y 0 1 2 3 期望． （ii）记，， 则 ，解得 ， 故当 时，，当 时，， 当时，， 故 ， 所以或时，最大． 真题·实战演练 高频考点：两点分布识别、二项分布与超几何分布辨析、分布列与数字特征计算、正态分布性质与概率求解、似然最值求参数；近三年选填、解答题均有涉及，侧重基础 + 情境综合，突出模型辨析、实际建模、参数估计三大热点。 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 2．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 【答案】 【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 3．（2025·全国二卷·高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． (1)求（用p表示）． (2)若，求p． (3)证明：对任意正整数m，． 【答案】(1)， (2) (3) 设打完个球，甲的得分为，乙的得分为，， 所以，，， ，，， 要证明， 即证明①，②， 先证明①， ， 同理可得， 所以①，故成立； 证明②： ， 同理可得， 所以②，故成立； 综上，不等式成立. 【分析】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解； （2）由题意，联立，即可求解； （3）首先，，同理有，，作差有，另一方面，且同理有，作差能得到，由此即可得证. 【详解】（1）为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场， 故所求为， 为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场， 故所求为； （2）由（1）得，，同理， 若，， 则， 由于，所以，解得； （3）略 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $