提升练习5-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习小题专练

提升练习5 　　　　　　　　　建议用时：60分钟　　实际用时：______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(原创)已知集合U＝{－1，1，2，3，4}，A＝{x|y＝，x∈U}，B＝{x|x≤a}，若 A∩(∁RB)中有且仅有3个元素，则a的取值范围是 A.(1，2] B.[2，3) C.[1，2) D.(2，3] 2.(江苏南京、盐城期末)若复数z满足|z－1|≤2，则复数z在复平面内对应的点组成的图形的面积为 A.π B.2π C.3π D.4π 3.(山东烟台诊断性测试)若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a2＋a4＝ A.100 B.110 C.120 D.130 4.(广东模拟二)若直线l：x＋y－m＝0(m>0)被圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为m，则m＝ A. B. C.2 D.2 5.[豫西北教研联盟(许洛平)质检]已知tan (α－β)＝－，tan ＝，则cos 2α＝ A.－ B.－ C. D. 6.(数学文化|隙积术)(湖南师大附中月考三)北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物(如下图所示)，可以用公式S＝[(2b＋d)a＋(b＋2d)c]＋(c－a)求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab，(a＋1)(b＋1)，(a＋2)(b＋2)，…，(a＋n－1)(b＋n－1)＝cd的和.若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，则该垛积最上层的小球个数为 A.2 B.6 C.12 D.20 7.(武汉部分学校调研)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若∠F1PF2＝90°，∠PAF2＝45°，则椭圆E的离心率为 A. B. C.2－ D.－1 8.(江苏南通、泰州、镇江质监)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是 A.f(x)－ B.f(x)＋ C.f－ D.f＋ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(广东模拟二)洛阳是我国著名的牡丹之乡，以“洛阳地脉花最宜，牡丹尤为天下奇”流传于世.某种植基地通过植株高度研究牡丹的生长情况，从同一批次牡丹中随机抽取100株的植株高度(单位：cm)作为样本，得到如下图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是 A.基地牡丹植株高度的极差的估计值大于50 B.基地牡丹植株高度不高于70的频率估计值为30% C.基地牡丹植株高度的众数与中位数的估计值相等 D.基地牡丹植株高度的第75百分位数的估计值小于80 10.(石家庄摸底)已知函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)，则下列说法正确的是 A.当ω＝3时，f(x)在上单调递增 B.若|f(x1)－f(x2)|＝2，且|x1－x2|min＝，则函数f(x)的最小正周期为π C.若f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为3 D.若f(x)在[0，2π]上恰有4个零点，则ω的取值范围为 11.(大湾区联考)已知函数f(x)＝，则 A.f(3)<f(2) B.当x>1时，f(x)>x C.存在x0>1，当x>x0时，f(x)>x D.若直线y＝kx＋e2与y＝f(x)的图象有三个公共点，则0<k< 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(济南质检)已知随机事件A，B相互独立，且P(A)＝1－P(B)，P(A)·P(B)＝，则P(A∪B)的值为________. 13.(原创)如下图，正四面体ABCD的棱长为a，在正四面体中放入n个小球，第一个小球O1为正四面体的内切球，半径为r1，从第二个小球开始，小球Ok放在小球Ok－1(k≥2)的上方并与之相切，且与正四面体的三个面相切，以此类推，设小球On的半径为rn，则小球On的半径为________. 14.(江西南昌二中、吉安一中、九江一中测试)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，O为坐标原点，A，B是C上不重合的两点.若存在λ∈[0，1]，使得＋＝λ时，点N满足＝＋，则点N的轨迹方程为________. 提升练习5 1—5 CDCCD　　　6—8 BDC　　　9 BC　　　10 ABD 11 ACD　　　12 　　　13 a　　　 14 x2＝y 1.C　集合的交集、补集运算　因为B＝{x|x≤a}，所以∁RB＝{x|x>a}.又A＝{x|y＝，x∈U}＝{1，2，3，4}，若A∩∁RB中有且仅有3个元素，则A∩∁RB＝{2，3，4}，所以1≤a<2，故选C. 2.D　复数的几何意义＋复数的模　设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为|z－1|≤2，所以|a＋bi－1|≤2.所以(a－1)2＋b2≤4.所以复数z在复平面内对应的点组成的图形的面积为π·22＝4π.故选D. 3.C　二项式定理　二项式(1－2x)5的通项为Tk＋1＝C·(－2x)k＝(－2)kCxk，所以a2＋a4＝(－2)2C＋(－2)4C＝40＋80＝120，故选C. 4.C　直线与圆的位置关系　由题知，直线l与圆C相交，圆C的圆心为C(1，－1)，半径为2，所以圆心C到直线l的距离d＝＝，解得m＝2(舍负).故选C. 5.D　三角恒等变换　由tan ＝＝，解得tan β＝－.又tan (α－β)＝＝＝－，解得tan α＝－，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝，故选D. 6.B　数列的应用　由题知c＝a＋6，d＝b＋6，[(2b＋d)a＋(b＋2d)c]＋(c－a)＝238，则[(2b＋b＋6)a＋(b＋2b＋12)(a＋6)]＋(a＋6－a)＝238，整理得ab＋3(a＋b)＝21，所以a＋b＝7－<7.又a，b为正整数，所以ab＝3或6.因此有 无整数解.所以ab＝6，故选B. 7.D　椭圆的定义与几何性质＋三角形面积公式　由椭圆E：＋＝1(a>b>0)，可得F1(－c，0)，F2(c，0)，A(a，0)，不妨设点P(x1，y1)在第一象限，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a.因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，可得4a2－2|PF1|·|PF2|＝4c2.所以|PF1|·|PF2|＝2(a2－c2)＝2b2.所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝b2＝×2c·y1.所以y1＝.因为∠PAF2＝45°，所以a－x1＝y1.所以x1＝a－，即P.将点P的坐标代入椭圆的方程，可得＋＝1，整理得a2＋b2－2ac＝0.因为b2＝a2－c2，所以c2＋2ac－2a2＝0.即e2＋2e－2＝0(提示：利用离心率e＝代换，注意0<e<1)，解得e＝－1或e＝－－1(舍去)，即椭圆E的离心率为－1，故选D. 8.C　函数的奇偶性　对于A，令g(x)＝f(x)－，则g(x)的定义域为R，因为g(0)＝f(0) (题眼)，所以g(x)不是奇函数(易错：忽略“奇函数在x＝0处有定义时g(0)＝0”这一必要条件，直接去验证g(－x)＝－g(x))，故A不符合题意；对于B，令h(x)＝f(x)＋，则h(x)的定义域为R，因为h(题眼)，所以h(x)不是奇函数，故B不符合题意；对于C，令m(x)＝f－，则m(x)的定义域为R，因为m(0)＝f()－＝－＝0，且 (题眼)，即m(－x)＝－m(x)，所以m(x)是奇函数(难点：指数式的代数变形)，故C符合题意；对于D，令q(x)＝f＋，则q(x)的定义域为R，因为 (题眼)，所以q(x)不是奇函数，故D不符合题意.综上，故选C. 9.BC　频率分布直方图＋极差＋中位数＋百分位数　对于A，基地牡丹植株高度的最小值可能为50，基地牡丹植株高度的最大值可能为100，所以极差不大于50.故A错误；对于B，基地牡丹植株高度不高于70的频率估计值为(0.01＋0.02)×10×100%＝30%，故B正确；对于C，基地牡丹植株高度不高于70和高于80的频率估计值均为30%，所以中位数估计值为75.又众数的估计值为75，故C正确；对于D，由题图可得基地牡丹植株高度的第75百分位数的估计值大于80，故D错误.综上，故选BC. 10.ABD　正弦型函数的图象与性质＋平移变换　对于A，当ω＝3时，若x∈，则3x＋∈.由正弦型函数的单调性得f(x)在上单调递增，故A正确.对于B，若|f(x1)－f(x2)|＝2，且|x1－x2|min＝，则＝⇒T＝π，故B正确.对于C，f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象所对应的函数解析式为f1(x)＝sin (ω>0)(题眼)(提示：三角函数图象的平移变换遵循“左加右减”的原则)，若f1(x)的图象关于y轴对称，则＋＝＋kπ，k∈Z⇒ω＝4＋12k，k∈Z，注意到ω>0，所以当且仅当k＝0时，ω取最小值4，故C错误.对于D，ω>0，当x∈[0，2π]时，ωx＋∈，若f(x)在[0，2π]上恰有4个零点，则(题眼)，即ω的取值范围为，故D正确.综上，故选ABD. 11.ACD　导数的综合应用　对于A，因为ln 8<ln 9，即3ln 2<2ln 3，所以<，即f(3)<f(2).故A正确.对于B，因为(e2)＝e，f(e2)＝＝<＝e(提醒：注意特例法的应用)，所以f(e2)<(e2).故B错误.对于C，当x>1时，ln x>0，由>x，得(题眼).令g(x)＝x－ln x(x>1)，则g′(x)＝，由g′(x)<0，得1<x<10200，由g′(x)>0，得x>10200，所以g(x)在(1，10200)上单调递减，在(10200，＋∞)上单调递增.因为e3>10，所以g(10400)＝104－400ln 10>104－400×3>0.所以存在x0＝10400>1，当x>x0时，f(x)>x.故C正确.对于D，由题可知f(x)的定义域为x∈(0，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝，由f′(x)<0，得0<x<1或1<x<e；由f′(x)>0，得x>e，所以函数f(x)在(0，1)，(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增.又当0<x<1时，ln x<0，所以f(x)<0，且f(e)＝e，令h(x)＝，则h′(x)＝＝，当x∈(0，1)时，h′(x)<0，当x∈(1，e2)时，h′(x)>0，当x∈(e2，＋∞)时，h′(x)<0，由此作出函数f(x)的草图如下图所示.直线y＝kx＋e2可化为y－e2＝k(x－e2)，所以直线过定点，要使直线y＝kx＋e2与y＝f(x)的图象有三个公共点，则k>0.因为点在函数y＝f(x)的图象上(提醒：曲线过某点的切线方程，注意先判断该点是否在曲线上，若不在，需设出切点)，所以曲线f(x)在点处的切线斜率为f′(e2)＝＝，此时切线方程为y＝x＋e2.如图，要使直线y＝kx＋e2与y＝f(x)的图象有三个公共点，则由下图知需0<k<，故D正确.综上，故选ACD. 【技巧点拨】 函数有零点(方程有根、图象有交点等)，求参数取值(或范围)常用以下方法：(1)直接法：直接根据题目所给的条件找出参数所需要满足的等式(或不等式)，通过解等式(或不等式)确定参数取值(或范围)；(2)分离参数法： 先将参数分离成参数与未知量的等式(或不等式)，将含未知量的等式(或不等式)转化成函数，利用求函数的值域问题来解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后结合图象求解. 12.　概率的计算　由题意，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1－＝. 13.a　正四面体的结构特征与内切球　设正四面体ABCD的高为h，表面积为S，由VA－BCD＝S·r1＝S△BCD·h，S＝4S△BCD可得h＝4r1＝a，AO1＝3r1.由小球On与小球On－1外切，且与平面ABC，ACD，ABD相切，可得球心On到顶点A的距离AOn＝3rn，所以2r1＋4r2＝h(题眼)(提示：通过将正四面体的高进行分解，得到小球半径间的关系)，2r1＋2r2＋4r3＝h，…，2r1＋2r2＋2r3＋…＋4rn－1＝h　①，2r1＋2r2＋2r3＋…＋2rn－1＋4rn＝h　②(提示：归纳正四面体的高与每个小球半径的方程关系).②－①可得rn＝rn－1＝r1＝·a＝a. 14.x2＝y　动点的轨迹方程＋平面向量的坐标运算 [第1步，用坐标表示向量] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝(，).因为F(0，1)，＋＝λ，所以＝0，＝λ∈[0，1]. [第2步，利用代入法和消参法求轨迹方程] 设x1＝m，则x2＝－2m，y1＝，则y2＝m2，所以＝∈[0，1](难点：转换未知数).因为A，B两点不重合，所以m≠0，即m2∈(0，2].设N(x，y)，由＝＋得x＝(题眼)，所以点N的轨迹方程为x2＝y. 【方法技巧】 求轨迹方程的常见方法主要包括直接法、定义法、相关点法及参数法，解题时需遵循建系、设点、列式、化简及检验的通用步骤. 直接法：建立适当坐标系，设动点坐标为(x，y)，根据几何条件直接列出等式并化简. 适用场景：几何条件简单明确，易于表述成含(x，y)的等式，如距离关系、斜率关系等. 操作要点：关键在于把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性. 定义法：分析动点满足的几何条件是否符合已知曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，直接写出方程. 适用场景：动点轨迹符合特定曲线定义，如到两定点的距离之和为常数且大于两定点的距离(椭圆)、到两定点的距离之差为常数且小于两定点的距离(双曲线)，到定点的距离等于定长(圆)，到定点的距离与到定直线的距离相等，且定点不在定直线上(抛物线). 操作要点：需验证动点是否严格满足定义的全部条件，如椭圆需焦距2c<2a. 相关点法(代入法)：若动点P(x，y)依赖已知曲线上的另一动点Q(x0，y0)，用x，y表示x0，y0，代入已知的方程. 适用场景：动点随另一个已知轨迹上的点运动，常用于解决中点、对称点或定比分点问题. 操作要点：需确保点Q与点P的坐标关系无遗漏或多余情况，代入后整理得点P的轨迹方程. 参数法：引入参数(如角度、时间)表示动点坐标，联立参数方程组消去参数得到轨迹方程. 适用场景：动点坐标(x，y)之间的直接关系不易找到，但易与中间量建立联系. 操作要点：参数需覆盖所有可能情况，消参后需验证是否产生多余轨迹或丢失部分轨迹. 学科网（北京）股份有限公司 $