提升练习4-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习小题专练

提升练习4 　　　　　　　　　建议用时：60分钟　　实际用时：______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(辽宁五校期末)已知A，B均为集合U＝{1，2，3，4，5}的子集，A∪B＝{1，2，3}，A∩ B＝{1}，∁UB＝{3，4，5}，则A＝ A.{1} B.{1，3} C.{2，3} D.{1，2，3} 2.(山东青岛调研)已知复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，则z的虚部为 A.1 B.－1 C.i D.－i 3.(安徽六校教育研究会素质测试)已知函数y＝f(x)的部分图象如下图所示，则该函数的解析式可能为 A.f(x)＝ex·cos x B.f(x)＝·cos x C.f(x)＝·sin x D.f(x)＝·cos x 4.(甘肃一模)已知sin (x＋)＝，则tan x的值为 A.－7 B.± C.±7 D.－7或－ 5.(合肥质检一)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，直线y＝2与C的两条渐近线分别交于点A，B，若|AB|＝2，则C的离心率为 A. B. C. D. 6.(生产生活|筒车)(湖北检测训练)图1是古书《天工开物》中记载的筒车图.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用.在图2中，一个半径为2 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距水面的高度为 m.设筒车上的某个盛水桶P(看作点)到水面的距离为d(单位：m)(若在水面下，则d为负数)，若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t(单位：s)之间的关系为d＝A sin (ωt＋φ)＋K(A>0，ω>0，－<φ<)，则φ＝ 图1 图2 A.－ B.－ C. D. 7.(福州质检)甲、乙两人各持有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字2，3，5，乙的卡片上分别标有数字4，6，10.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，若两个数字互质，则甲得1分，否则乙得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).记三轮比赛后甲的总得分为X，则E(X)＝ A.1 B. C. D.2 8.[豫西北教研联盟(许洛平)质检]已知a>0，若函数f(x)＝没有零点，则实数a的取值范围是 A.(e，＋∞) B.(1，e) C.(0，1) D.(1，＋∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(甘肃一模)已知a，b为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是 A.|a＋b|＝1 B.(a＋b)⊥(a－b) C.若c＝2a＋b，则cos 〈c，a〉＝ D.若cos 〈d，a〉＝，则|d－a|的最小值为 10.[福建名校联盟部分中学(厦门一中、厦门双十中学、福州一中、泉州五中)质检]记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＝9，S20＝200，则 A.a1＝1 B.{an}是递增数列 C.当n＝4时，Sn取得最小值 D.若Sn>0，则n的最小值为11 11.(福州质检)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：x＝my－2与C交于A，B两点，l与x轴交于点P，则 A.|PA|·|PB|的取值范围为(8，＋∞) B.＋的取值范围为 C.若∠AFB＝90°，则△AFB的面积为9 D.若∠AFB＝90°，则△AFB的周长为15＋3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(湖北名校联盟联合测评)已知一组数据233，144，89，55，34，21，13，8，5，3，2，1，则它们的上四分位数为________.(用具体数值作答) 13.(2025·天津卷)已知直线l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r＞0)交于C，D两点.若|AB|＝3|CD|，则r＝________. 14.[豫西北教研联盟(许洛平)质检]已知三棱锥P－ABC，AC＝2，PB＝2，AB⊥BC，二面角P－AB－C的大小为60°，当三棱锥P－ABC的体积取得最大值时，其外接球的表面积为________. 提升练习4 1—5 BADDA　　　6—8 ABD　　　9 BD　　　10 BD 11 BCD　　　12 72　　　13 2　　　14 1.B　集合的运算　因为U＝{1，2，3，4，5}，∁UB＝{3，4，5}，所以B＝{1，2}.又A∪B＝{1，2，3}，A∩B＝{1}，所以A＝{1，3}.故选B. 2.A　复数的除法运算＋共轭复数＋复数的概念　因为(1＋2i)·＝4＋3i，所以＝＝＝＝2－i，所以z＝2＋i，所以其虚部为1，故选A. 【易错警示】 本题中考生容易漏求共轭复数而错选B，也容易概念不清而错选C. 3.D　函数的图象　由题图可知，f(x)的图象关于原点对称，所以函数y＝f(x)是奇函数，故排除A，C；当x∈时，f(x)<0，对比B，D选项可知，函数f(x)＝·cos x符合.综上，故选D. 4.D　三角恒等变换＋同角三角函数的基本关系 [第1步，利用两角和的正弦公式展开并化简] 因为sin (x＋)＝(sin x＋cos x)＝，所以sin x＋cos x＝， [第2步，对第1步得到的等式两边平方并化简] 所以(sin x＋cos x)2＝sin2x＋2sinx cos x＋cos2x＝，所以sinx cos x＝－， [第3步，利用弦化切构造齐次式求解] 所以(题眼)，则7tan2x＋50tanx＋7＝0(技巧：已知sin x±cos x的值时，可通过平方求sin x cos x，再利用齐次式化弦为切，这是这类三角求值问题的通性通法)， [第4步，因式分解求解方程] 所以(7tan x＋1)(tan x＋7)＝0，解得tan x＝－或tan x＝－7，经验证，均满足题意，故选D. 5.A　双曲线的渐近线＋双曲线的离心率 解法一(交点法)：双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x，不妨设点A在第一象限，则由 得A，由 得B，所以|AB|＝－＝＝2，解得b＝2a，所以c＝＝＝a，所以离心率e＝＝＝，故选A. 解法二(点代法)：由题意知点(1，2)在渐近线y＝x上，所以＝2，所以离心率e＝＝＝，故选A. 6.A　正弦型函数的应用　由题意得筒车半径为2 m，转动一圈需要40 s，且轴心O距水面高度为 m，则ω＝＝.由题意可得 则A＝2，K＝.若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，则当t＝0时，d＝0.所以sin φ＝－.又－<φ<，所以φ＝－，故选A. 7.B　古典概型＋离散型随机变量的期望 [第1步，确定X的所有可能取值] 由题可得，X的所有可能取值为0，1，2(题眼)(易错：在确定离散型随机变量的取值时多写3). [第2步，求X对应取值的概率] 甲、乙两人抽取卡片共有3×A＝18(种)情况，甲、乙两人比赛情况如下表所示， 甲得分 乙卡片数字 甲卡片数字为2 甲卡片数字为3 甲卡片数字为5 0分 4 6 10 2分 4 10 6 1分 6 4 10 2分 6 10 4 2分 10 4 6 1分 10 6 4 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. [第3步，根据期望公式求E(X)] 则E(X)＝0×＋1×＋2×＝，故选B. 8.D　利用导数研究函数的单调性与零点　由题知，当x>0时，f(x)＝－ax2－(a－2)x＋ln x无零点，此时f′(题眼).当0<x<时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增，当x>时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减，又当x→＋∞时，f(x)→－∞，所以f(x)max＝f＝－－＋ln ＝ln ＋－1<0.令g(x)＝ln x＋x－1，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，所以<1，即a>1；当x<0时，f(x)＝ln (－x＋1)－axex>ln (－x＋1)－xex(关键：根据取值范围消去参数a，利用极值法构造临界函数，将原问题转换为求临界函数的最值问题)，令v(x)＝ln (1－x)－xex，则v′(x)＝，令u(x)＝1－(x2－1)ex，x<0，则u′(x)＝－(x2－1＋2x)ex，x<0，当x<－1－时，u′(x)<0，所以u(x)在(－∞，－1－)上单调递减，当－1－<x<0时，u′(x)>0，所以u(x)在(－1－，0)上单调递增.所以u(x)min＝1－[(－1－)2－1]e-1-＝1－>0.所以v′(x)<0在(－∞，0)上恒成立.所以v(x)在(－∞，0)上单调递减.故v(x)>v(0)＝0，即f(x)>0在(－∞，0)上恒成立.所以f(x)在(－∞，0)上无零点.综上，a>1.故选D. 9.BD　单位向量＋向量的模及夹角＋向量垂直＋向量的数量积　因为a，b为两个互相垂直的单位向量，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0(题眼).对于A，|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋|b|2＝1＋1＝2，所以|a＋b|＝，故A错误；对于B，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0，所以(a＋b)⊥(a－b)，故B正确[技巧：(a＋b)⊥(a－b)等价于|a|2＝|b|2]；对于C，因为c＝2a＋b，所以c·a＝(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝2|a|2＝2，|c|2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4|a|2＋|b|2＝5，所以|c|＝，所以cos〈c，a〉＝＝＝，故C错误；对于D，|d－a|2＝d2－2d·a＋a2＝|d|2－2|d||a|cos 〈d，a〉＋|a|2＝|d|2－|d|＋1＝(|d|－)2＋，当|d|＝时，|d－a|2取得最小值，即|d－a|取得最小值，故D正确.综上，故选BD. 10.BD　等差数列的通项公式与求和公式　设等差数列{an}的公差为d，则解得故A错误；所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－11(题眼)(提示：等差数列的通项公式).得数列{an}是递增数列，故B正确；由Sn＝－9n＋×2＝n2－10n＝(n－5)2－25(题眼)(提示：等差数列求和公式)，得当n＝5时，Sn取到最小值－25(提示：二次函数的性质)，故C错误；令Sn>0，即n2－10n>0，解得n>10或n<0，因为n∈N*，所以使Sn>0的n的最小值为11.故D正确.综上，故选BD. 11.BCD　抛物线的定义＋直线与抛物线的位置关系 对于A，[第1步，求P的坐标] 在x＝my－2中，令y＝0，得x＝－2，所以P(－2，0). [第2步，联立直线与抛物线方程，利用判别式求m的取值范围] 联立消去x并整理得y2－4my＋8＝0，Δ＝(－4m)2－32>0，解得m>或m<－. [第3步，利用两点间距离公式结合韦达定理求|PA|·|PB|的范围] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝8(题眼)，所以|PA||PB|＝·＝·＝(1＋m2)＝8(m2＋1)>24[公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝]，故A错误. 对于B，[第1步，利用两点间距离公式结合韦达定理求＋的表达式] 因为抛物线关于x轴对称，且直线过定点(－2，0)，则不妨设A，B两点在第一象限内，此时m>，＋＝＝＝＝＝＝.　 [第2步，利用不等式的性质求范围] 因为m2>2，所以0<<，所以1<＋1<，所以2<2<，所以<<，即＋的取值范围为，故B正确. 对于C，[第1步，根据垂直条件并结合向量数量积的坐标运算求m2的值] 由题意得F(1，0)，若∠AFB＝90°，则·＝(x1－1)·(x2－1)＋y1y2＝(my1－3)(my2－3)＋y1y2＝(m2＋1)·y1y2－3m(y1＋y2)＋9＝8(m2＋1)－12m2＋9＝17－4m2＝0，所以(题眼). [第2步，求|AB|及点F到直线AB的距离] 因为抛物线关于x轴对称，直线过定点(－2，0)，则不妨设A，B两点在第一象限内，且x1>x2，则|AB|＝(y1－y2)＝·＝·，F(1，0)到直线x＝my－2的距离d＝＝. [第3步，求S△AFB] 所以S△AFB＝|AB|·d＝···＝·＝·＝9，故C正确. 对于D，[第1步，结合C选项求|AB|] 由C选项的分析得|AB|＝·＝×＝3. [第2步，由抛物线的定义求|FA|＋|FB|] |FA|＋|FB|＝x1－(－1)＋x2－(－1)＝x1＋x2＋2＝m(y1＋y2)－2＝4m2－2＝4×－2＝15(题眼)(关键：抛物线上一点到焦点的距离等于其到准线的距离). [第3步，求△AFB的周长] 所以△AFB的周长为15＋3，故D正确.综上，故选BCD. 【易错警示】 (1)在求解直线与抛物线存在两个交点问题的过程中，忽略判别式的作用，即未根据方程存在两个相异实数根求出m的取值范围；(2)在求弦长|AB|时，直接利用抛物线的定义求解，而事实上，只有当直线过焦点时才能利用定义求弦长，否则只能利用弦长公式求解. 12.72　上四分位数　把这组数据由小到大排列为1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.因为12×0.75＝9，所以上四分位数为＝72. 13.2　点到直线的距离公式＋直线与圆的位置关系　由题意，得A(－6，0)，B(0，6)，圆心(－1，3)，所以|AB|＝6.所以|CD|＝2.圆心(－1，3)到直线x－y＋6＝0的距离d＝＝，则由|CD|＝2，即2＝2，解得r＝2. 14.　三棱锥的外接球＋球的表面积公式＋二面角　由题知，Rt△ABC的外接圆是以AC为直径的圆.要使三棱锥体积最大，需点P到平面ABC的距离d最大(题眼)，dmax＝PB·sin 60°＝，此时PB⊥AB，又AB⊥BC，PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，所以AB⊥平面PBC.又AB2＋BC2＝AC2＝8≥2AB·BC，所以AB·BC≤4，当且仅当AB＝BC＝2时等号成立，所以Rt△ABC的最大面积为AB·BC＝2，所以当三棱锥P—ABC体积最大时，△PBC为等边三角形、△ABC为等腰直角三角形，且AB⊥平面PBC.如下图，分别取BC，AC的中点O，E，记D为△PBC的垂心，O1为三棱锥外接球球心，又PD＝××2＝，O1D＝OE＝AB＝1，所以外接球的半径R＝＝，所以外接球的表面积为4πR2＝π. 学科网（北京）股份有限公司 $