提升练习3-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习小题专练

提升练习3 　　　　　　　　　建议用时：60分钟　　实际用时：______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(重庆拔尖强基联盟联考)已知集合A＝{－4，－2，0，2，4}，B＝{x|x2＋2x－3<0}，则下图中阴影部分表示的集合为 A.{－4，2，4} B.{－4，－2，4} C.{－2，0} D.{－4，－2，0} 2.(陕西宝鸡二模)复数z满足(1＋i)z＝i，则在复平面内，z对应的点所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(原创)从1，2，3，4，5，6这6个数字中有放回地取三次，每次取一个数字.设事件A为“三次取到的数字之和为奇数”，事件B为“恰有一次取到的数字为奇数”，则P(B|A)＝ A. B. C. D. 4.(北京朝阳质检一)已知a∈R，则“0<a<1”是“函数f(x)＝(1－a)x3在R上单调递增”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(福州质检)已知sin (α＋β)＝，tan α＝3tan β，则sin (α－β)＝ A.－ B. C.－ D. 6.(广州综测一)已知向量a＝(2，3)，b＝(0，1)，向量c满足c·(a－b)＝1，则|c|的取值范围是 A. B. C. D. 7.(浙江名校协作体联考)已知函数f(x)＝2cos (ω>0)，若在区间内恰好存在两个不同的x0，使得f(x0)＝1，则f(x)的最小正周期不可能为 A. B. C. D. 8.(山东潍坊期末)已知椭圆C的对称中心为O，左、右焦点分别为F1，F2，过上顶点 A作直线AF2交C于另一点B.若S△AOF2＝S△BF1F2，则C的离心率等于 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(广州综测一)某自动流水线生产一种新能源汽车零配件产品的质量X(单位：g)服从正态分布N(μ，σ2)，且P(X<14)＝，P(X≤18)＝.从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量X在区间[14，18]上的件数记为ξ，则 A.μ＝16 B.P(14≤X≤18)＝ C.P(ξ＝1)＝ D.E(ξ)＝3 10.(杭州质检)已知函数f(x)的定义域为R，若f(f(x)＋yz)＝x＋f(y)f(z)，则 A.f(1)＝0 B.f[f(x)]＝x C.f(xy)＝f(x)f(y) D.f(x＋y)＝f(x)f(y) 11.(江西重点中学协作体一联)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M是棱A1B1的中点，P是平面CDD1C1上的动点(如下图)，则下列说法正确的是 A.若点P在线段C1D上，则BP∥平面B1D1A B.平面PBD1⊥平面A1C1D C.若∠MBP＝∠MBD1，则动点P的轨迹为抛物线 D.以△ABA1的一边A1B所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，三棱锥A－BDC1体积的取值范围为[－，＋]　 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(湖北黄冈模拟)设函数f(x)＝－－2ln x，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为________. 13.(数学文化|纵横图)(原创)在一个由若干个排列整齐的数字组成的正方形中，任意一行、一列及对角线上的数字之和都相等，具有这种性质的图表称为“幻方”，而“幻方”任意一行、一列及对角线上的数字之和称为“幻和”，中国古代称“幻方”为“河图” “洛书”，又叫“纵横图”.n阶幻方是由前n2个正整数组成的一个n阶方阵.那么3阶幻方一共有________种，n阶幻方的幻和为________.(本题第一空2分，第二空3分) 14.(哈尔滨三中一模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率存在的直线l与双曲线C的渐近线相交于M，N两点，MN中点纵坐标为c.若|MF2|＝|NF2|，则双曲线的渐近线方程为________. 提升练习3 1—5 AACAD　　　6—8 ADC　　　9 ABD　　　10 BC 11 ABD　　　12 x＋y－1＝0　　　13 8　　　　 14 y＝±x 1.A　Venn图＋解一元二次不等式　由题图可知，阴影部分表示的集合为A∩(∁UB).因为B＝{x|x2＋2x－3<0}＝{x|－3<x<1}，所以∁UB＝{x|x≤－3或x≥1}，所以A∩(∁UB)＝{－4，2，4}，故选A. 2.A　复数的运算及几何意义 解法一(直接法)：因为(1＋i)z＝i，所以z＝＝＝＝＋i，所以复数z在复平面内对应的点为，在第一象限，故选A. 解法二(待定系数法)：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，代入(1＋i)z＝i，得(1＋i)(a＋bi)＝(a－b)＋(a＋b)i＝i，所以 解得a＝b＝，所以z＝＋i，所以复数z在复平面内对应的点为，在第一象限，故选A. 3.C　计数原理＋古典概型＋条件概率　因为每次取到的数字为奇数的有1，3，5三种情况，为偶数的有2，4，6三种情况，所以三次取到的数字之和为奇数的情况分为两类：“三次均为奇数”有CCC＝27(种)可能的结果；“三次中一次为奇数两次为偶数”有3CCC＝81(种)可能的结果. 解法一：P(B|A)＝＝＝(提示：古典概型).故选C. 解法二：易知共有CCC＝216(种)可能的结果，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，则P(B|A)＝＝＝.故选C. 【技巧点拨】 条件概率的计算有两种方法，即P(B|A)＝和P(B|A)＝. 4.A　函数的单调性＋充分条件与必要条件的判断　当a<1时，1－a>0，函数f(x)＝(1－a)x3在R上单调递增，所以“0<a<1”是“函数f(x)＝(1－a)x3在R上单调递增”的充分而不必要条件，故选A. 【技巧点拨】 充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接判断“若p则q” “若q则p”的真假. (2)集合法：设非空集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}.　 ①若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分而不必要条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要而不充分条件；③若A＝B，则p是q的充要条件；④若A不是B的子集，且B不是A的子集，则p是q的既不充分也不必要条件. 5.D　同角三角函数的基本关系＋两角和与差的正弦公式 由tan α＝3tan β得＝，即sin αcos β＝3cos αsin β　①.又sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝　②，联立①②解得sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－＝，故选D. 6.A　平面向量的数量积＋平面向量的线性运算＋向量的模＋点到直线的距离　设c＝(x，y).因为a＝(2，3)，b＝(0，1)，所以a－b＝(2，2)，则c·(a－b)＝2x＋2y＝1，即x＋y＝.由于|c|＝表示点(x，y)到坐标原点的距离，而(x，y)是直线x＋y＝上的点，故|c|的最小值即为原点到直线x＋y＝的距离，即d＝(题眼).因为点(x，y)在直线x＋y＝上，所以|c|可无限大，所以|c|的取值范围是，故选A. 【难点突破】 难点1.将向量问题转化为几何问题 (1)设c＝(x，y)，将向量运算全部转化为坐标运算，得到关于x，y的方程； (2)识别|c|＝的几何意义：点(x，y)到坐标原点的距离； (3)将方程x＋y＝视为直线，问题转化为“直线上的点到坐标原点的距离的最值”. 难点2.判断模长是否存在最大值 (1)观察方程表示的几何图形：直线是无界的，故点(x，y)可沿直线无限延伸，|c|可无限增大； (2)若方程表示的几何图形为圆、线段等有界图形，则模长存在最大值. 7.D　余弦型函数的图象与性质　(题眼).因为ω>0，当x∈时，可得ωx－∈(－，－](提醒：在求解过程中注意整体思想的应用)，要使得f(x)在内恰好存在两个不同的x0，使得f(x0)＝1，则满足≤－<(易错：根据函数值确定范围时，注意不等式是否取等号)，解得≤ω<，所以<≤，即<T≤(T为f(x)的最小正周期)，故选D. 8.C　椭圆的离心率　因为S△AOF2＝S△BF1F2，所以·b·c＝·2c·(－yB).所以yB＝－b.易知B在第四象限，则xB＝a.因为过上顶点A作直线AF2交C于另一点B，所以直线AF2的方程为＋＝1，即－＝1，解得＝，故选C. 9.ABD　二项分布＋正态分布　对于A，由P(X≤18)＝，得P(X>18)＝1－＝，故P(X<14)＝P(X>18)，由正态曲线的对称性可知，μ＝＝16，故A正确；对于B，P(14≤X≤18)＝1－P(X>18)－P(X<14)＝，故B正确；对于C，由题意得，ξ～B，故P(ξ＝1)＝C××＝，故C错误；对于D，E(ξ)＝4×＝3，故D正确.综上，故选ABD. 10.BC　抽象函数的性质　对于A，令x＝y＝z＝0，则f[f(0)]＝[f(0)]2，令x＝y＝0，z＝1，则f[f(0)]＝f(0)f(1)，所以[f(0)]2＝f(0)f(1)(题眼).所以f(0)＝0或f(0)＝f(1).令x＝1，y＝z＝0，则f[f(1)]＝1＋[f(0)]2，若f(0)＝f(1)，则f[f(0)]＝1＋[f(0)]2≠[f(0)]2，矛盾，所以f(0)＝0，所以f(1)≠0.故A错误.对于B，令y＝z＝0，则f[f(x)]＝x＋[f(0)]2＝x(题眼).故B正确.对于C，令x＝0，则f[f(0)＋yz]＝f(y)f(z)＝f(yz)(题眼)，所以f(xy)＝f(x)f(y).故C正确.对于D，令x＝y＝1，由f(xy)＝f(x)·f(y)，得f(1)＝[f(1)]2，又f(1)≠0，所以f(1)＝1(题眼).令z＝1，则f[f(x)＋y]＝x＋f(y)f(1)＝x＋f(y)＝f[f(x)]＋f(y)，所以f(x＋y)＝f(x)＋f(y).故D错误.综上，故选BC. 11.ABD　空间中点、线、面间的位置关系＋动点的运动轨迹＋三棱锥的体积公式＋正方体的结构特征　对于A，如图1，连接对应面对角线，根据正方体的结构特征可知，BD∥B1D1，BD⊄平面B1D1A，B1D1⊂平面B1D1A，所以BD∥平面B1D1A(提示：线面平行的判定定理).同理可知C1D∥平面B1D1A.又BD∩DC1＝D，BD，DC1⊂平面BC1D，所以平面BC1D∥平面B1D1A(提示：面面平行的判定定理).又P∈C1D，所以BP⊂平面BC1D.所以BP∥平面B1D1A(提示：面面平行的性质定理).故A正确.对于B，如图2，易知BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，则A1C1⊥B1B(提示：线面垂直的性质定理)，又A1C1⊥B1D1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂平面BB1D1，所以A1C1⊥平面BB1D1.而BD1⊂平面BB1D1，所以BD1⊥A1C1(提示：线面垂直的性质定理).同理BD1⊥DC1，又DC1∩A1C1＝C1，DC1，A1C1⊂平面A1C1D，所以BD1⊥平面A1C1D(提示：线面垂直的判定定理).又BD1⊂平面PBD1，所以平面PBD1⊥平面A1C1D(提示：面面垂直的判定定理).故B正确.对于C，因为BM为定直线，∠MBD1是定角，点D1到直线BM的距离为定值，所以当∠MBP＝∠MBD1时，点P在以直线BM为旋转轴，点D1到直线BM的距离为半径的圆锥上.又BM∥平面CDD1C1，故平面CDD1C1截圆锥的轨迹为双曲线的一支.故C错误.对于D，设AB1，DC1的中点分别为N，Q，则点A的运动轨迹是平面AB1C1D内以N为圆心，为半径的圆(如图3)(题眼)，因为DC1⊥NQ，DC1⊥BQ，NQ∩BQ＝Q，NQ，BQ⊂平面BNQ，所以DC1⊥平面BNQ(提示：线面垂直的判定定理).因为DC1⊂平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面BNQ(提示：面面垂直的判定定理).所以sin ∠NQB＝＝＝.设直线NQ与圆的交点分别为E，F(点E位于点F，Q之间，如图4)，易知当点A分别位于点E，F时，点A到平面BDC1的距离分别取到最小值和最大值，且距离的最小值dmin＝·sin ∠NQB＝×，距离的最大值dmax＝·sin ∠NQB＝×，又S△BDC1＝×()2·sin 60°＝(提示：三角形面积公式)，所以(V三棱锥A－BDC1)min＝×××＝－，(V三棱锥A－BDC1)max＝×××＝＋，故D正确.综上，故选ABD. 【技巧点拨】 本题难点在判定C，D选项，C选项需要利用平面截圆锥曲线(不过圆锥顶点)来判定(当且仅当平面平行于圆锥底面时截圆锥所得图形为圆，慢慢倾斜平面至与圆锥母线平行之前截圆锥得图形均为椭圆，当且仅当平面与圆锥的母线平行时所截图形为抛物线，再倾斜平面直至与圆锥的轴平行时所截图形均为双曲线的一支)；D选项需要先确定旋转过程中点A的轨迹，再判定点A到平面BDC1的距离的最小值与最大值，进而求得体积的取值范围. 12.x＋y－1＝0　导数的几何意义　根据题意，得f′(x)＝＋－，则f′(1)＝－1.又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0. 13.8　　数学文化＋数列求和　3阶幻方中所有数字的和为＝45，则3阶幻方的幻和为＝15，可以先得到一个如下图所示的3阶幻方，则利用旋转和对称可以得到8种不同的3阶幻方.n阶幻方的幻和S＝＝. 6 1 8 7 5 3 2 9 4 14.y＝±x　中点坐标公式＋双曲线的渐近线方程＋直线垂直时斜率的表示 [第1步，利用中点的纵坐标列关系式 易知，直线l的斜率不为0，设方程为x＝my－c，双曲线的渐近线方程为y＝±x.联立 解得yM＝.联立 解得yN＝.由题知，yM＋yN＝c，即＋＝c，整理得b2m2－2b2m－a2＝0　①. [第2步，构建齐次式] 因为|MF2|＝|NF2|，如下图，记MN的中点为H，所以HF2⊥l.由yH＝c，得xH＝myH－c＝cm－c，所以kHF2＝＝－m，整理得m2＝4m－　②，②代入①得b2(4m－)＝2b2m＋a2，整理得m＝　③，③代入②整理得3c4－8b2c2＋4b4＝0，即(3c2－2b2)(c2－2b2)＝0(关键：根据中点坐标和垂直直线的斜率关系列方程，化简得到齐次式). [第3步，求双曲线渐近线方程] 因为c>b，所以3c2－2b2>0.所以c2＝2b2.又c2＝a2＋b2，所以a2＝b2，即a＝b，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x. 【方法技巧】 求双曲线渐近线方程的方法 (1)求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程. (2)求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程. (3)令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程. 学科网（北京）股份有限公司 $