提升练习1-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习小题专练

提升练习2 　　　　　 　建议用时：60分钟　　实际用时：______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(湖北检测训练)已知复数z满足2z＋1＝(3－z)i，则z·＝ A.4 B.2 C.2 D. 2.[豫西北教研联盟(许洛平)质检]已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|1<x<a}，若B⊆A，则实数a的取值范围是 A.(2，＋∞) B.(1，2] C.(－∞，2] D.[2，＋∞) 3.(山东实验中学调研)若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n＝ A.9 B.10 C.11 D.12 4.(新考法|九宫格)(广东模拟一)下图是一个边长为3的九宫格(由9个边长为1的小正方形构成)，九宫格中有16个节点(即图中加黑的16个点)，从这16个点中任选互不相同的三个点A，B，C，则·的最大值为 A.12 B.13 C.15 D.18 5.(浙江金华十校模拟)设α∈(0，π)，条件p：sin α＝，条件q：cos α＝，则p是 q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(河北唐山期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若S△ABF＝b2，则C的离心率为 A. B. C. D.－1 7.(2025·天津卷)f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)在[－，]上单调递增，且x＝ 为f(x)图象的一条对称轴，是f(x)图象的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为 A.－ B.－ C.1 D.0 8.(江苏苏锡常镇四市一调)已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，f′(x)为f(x)的导函数， f(x)－g＝1，f(x)＝f(1－x)，f′(x)＝f′(－1－x).若f＝1，g(1)＝－1，则(i)＝ A.2 026 B.1 013 C.1 D.－1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(辽宁五校期末)设函数f(x)＝x3－3x2＋5，则下列说法正确的是 A.函数f(x)有三个零点 B.2是f(x)的极小值点 C.函数f(x)图象的对称中心为点(1，3) D.过点(3，1)可以作三条直线与y＝f(x)的图象相切 10.(湖南新高考教学教研联盟联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，Sn＝－ an＋1，则下列说法正确的是 A.a1＝2a2 B.数列{lg |an|}为等差数列 C.Sn∈∪ D.Sn－∈∪ 11.(长沙模拟)已知直线l与圆C：(x－5)2＋y2＝9相切于点P，与抛物线E：y2＝2x相交于M，N两点，F为抛物线E的焦点.下列说法正确的是 A.记点M的横坐标为xM，则|MP|＝|xM－4| B.|MN|的最小值为4 C.当点P在直线x＝4的左侧时，△MNF的周长为定值9 D.当点P在直线x＝4的右侧时，△MNF的周长有最小值25 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(湖南长沙一中月考)不等式≤1的解集为________. 13.(传统文化|围棋)(昆明摸底)围棋是世界上最古老的棋类游戏之一.一副围棋的棋子分黑白两种颜色，现有6枚黑色棋子和2枚白色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，则两端是同色棋子的概率为________. 14.(陕西宝鸡二模)如下图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为3和6的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为________. 第二部分　提 升　篇 提升练习1 1—5 CCBCB　　　6—8 BAD　　　9 BCD　　　10 BC 11 ACD　　　12 [－7，2)　　　13 　　　14 243π 1.C　复数的运算＋复数的模＋共轭复数 解法一：由题意可得，(2＋i)z＝3i－1，所以z＝＝＝＋，所以|z|＝，所以z·＝|z|2＝2，故选C. 解法二：由题意可得，(2＋i)z＝－1＋3i，所以|z|＝，所以|z|＝，所以z·＝|z|2＝2，故选C. 2.C　集合间的基本关系　由B⊆A，知a≤2，故选C. 3.B　二项式定理　因为二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以n＝10，故选B. 4.C　向量的数量积　建立如下图所示的平面直角坐标系，显然点A需在九宫格的四个顶点处，不妨取A(0，0).设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1，x2，y1，y2∈{0，1，2，3}，·＝x1x2＋y1y2，要使·最大，则需相对应的xi，yi(i＝1，2)尽可能大(题眼)，当取x1＝x2＝y1＝3，y2＝2或x1＝x2＝y2＝3，y1＝2或y1＝y2＝x1＝3，x2＝2或y1＝y2＝x2＝3，x1＝2时，·有最大值，最大值为3×3＋3×2＝15，故选C. 5.B　充分条件与必要条件的判断　由题知，α∈(0，π)，由sin α＝得cos α＝±，故充分性不成立.由cos α＝得sin α＝，故必要性成立，故p是q的必要不充分条件.故选B. 6.B　椭圆的离心率　如下图，由S△ABF＝b2得·(a＋c)·b＝b2，即a＋c＝b(题眼)，两边平方得a2＋2ac＋c2＝3b2.又b2＝a2－c2(提醒：注意椭圆中a2＝b2＋c2这一隐含条件的应用)，整理得2c2＋ac－a2＝0(关键：利用平方法得到关于a，c的齐次方程)，即2e2＋e－1＝0，解得e＝(舍负).故选B. 【技巧总结】 椭圆离心率的求法： (1)求出a，c的值，利用离心率公式直接求解； (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，再根据e＝转化为含有e的方程(或不等式)求解； (3)利用公式e＝求解. 7.A　三角函数的图象与性质　由f(x)在上单调递增，且x＝是其图象的一条对称轴，得又ω>0，解得0<ω≤2.因为为f(x)图象的一个对称中心，所以ω＋φ＝kπ(k∈Z).结合ω＋φ＝，得ω＝4k－2(k∈Z)，所以ω＝2，φ＝，所以f(x)＝sin .当x∈时，2x＋∈，所以当x∈时，f(x)min＝f＝sin ＝－，故选A. 8.D　函数的周期性、对称性 [第1步，由已知条件探究函数的周期性] 因为f(x)＝f(1－x)，f＝1，所以f＝f＝1.因为f′(x)＝f′(－1－x)，所以f′(x)的图象关于直线x＝－对称，所以f(x)的图象关于点对称(规律：若导函数f′(x)的图象关于直线x＝a对称，则原函数f(x)的图象关于点(a，f(a))中心对称)，所以f(x)＝－f(－1－x)＋2，所以f(－1－x)＝－f(1－x)＋2，令t＝－1－x，则f(t)＝－f(2＋t)＋2，即f(2＋t)＝2－f(t)，所以f(x＋4)＝2－f(x＋2)＝2－(2－f(x))＝f(x)(题眼)(关键：利用f(x＋T)＝f(x)确定函数的周期)，所以f(x)的周期为4. [第2步，依据f(x)与g(x)的关系确定g(x)的周期性] 又f(x)－g＝1，即g＝f(x)－1，所以g(x)的周期也为4. [第3步，由函数的周期求和] 由f＝1得g(2)＝g＝f－1＝0，由f＝1得g(0)＝g＝f－1＝0，所以g(4)＝g(0)＝0.由g(1)＝－1得g(1)＝g＝f－1＝－1，所以f＝0.又f(2＋x)＝2－f(x)，所以f＝f＝2－f＝2，所以g(3)＝g＝f－1＝1，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝－1＋0＋1＋0＝0.又2 026÷4＝506……2，所以(i)＝506×0－1＋0＝－1，故选D. 【知识延伸】 (1)周期性 ①若f(x＋a)＝f(x)，则f(x)的周期T＝|a|； ②若f(x＋a)＝f(x＋b)，则f(x)的周期T＝|a－b|； ③若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝|2a|； ④若f(x＋a)＝±，则f(x)的周期T＝|2a|. (2)对称性 ①若f(x＋a)＝f(－x)，则f(x)图象的对称轴为x＝； ②若f(x＋a)＝f(－x＋b)，则f(x)图象的对称轴为x＝； ③若f(x＋a)＝－f(－x)，则f(x)图象的对称中心为； ④若f(x＋a)＋f(－x＋b)＝c，则f(x)图象的对称中心为. 9.BCD　利用导数研究函数的单调性与极值＋函数的零点＋函数图象的对称性＋导数的几何意义　因为f(x)＝x3－3x2＋5，所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).对于A，B，当x>2或x<0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增；当0<x<2时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，所以f(x)极大值＝f(0)＝5，f(x)极小值＝f(2)＝1.又f(－2)＝－15，所以函数f(x)仅有1个零点，且该零点在(－2，0)上，故A错误，B正确.对于C，f(x)＝x3－3x2＋5＝x2(x－3)＋5，所以f(1＋x)＋f(1－x)＝(1＋x)2(1＋x－3)＋5＋(1－x)2(1－x－3)＋5＝6，所以函数f(x)的图象关于点(1，3)中心对称，故C正确.对于D，设切点为(x0，x－3x＋5)，f′(x0)＝3x－6x0，故切线方程为y－(x－3x＋5)＝(3x－6x0)·(x－x0).又切线过点(3，1)，所以1－(x－3x＋5)＝(3x－6x0)(3－x0)，整理得x－6x＋9x0－2＝0，即(x－4x0＋1)(x0－2)＝0，解得x0＝2或x0＝2＋或x0＝2－(题眼)，所以过点(3，1)可以作三条直线与y＝f(x)的图象相切，故D正确.综上，故选BCD. 10.BC　数列的递推公式＋等比数列的判定＋等比数列的通项公式＋等比数列的前n项和公式＋等差数列的判定＋函数的单调性　因为Sn＝－an＋1，当n≥2时，Sn－1＝－an，所以an＝Sn－Sn－1＝an－an＋1(n≥2)，所以(题眼).对于A，当n＝1时，S1＝a1＝－a2，由a1＝，解得a2＝－，所以＝－，即a1＝－2a2，故A错误.对于B，因为＝－(n≥2)，当n＝1时，等式仍成立，a1＝，所以数列{an}是以为首项，－为公比的等比数列，所以an＝×，则lg |an|＝lg [×]＝lg ＋lg ＝lg ＋(n－1)lg ，因此数列{lg |an|}是以lg 为首项，lg 为公差的等差数列，故B正确.对于C，Sn＝＝×，当n为奇数时，Sn＝×，则<Sn≤S1＝；当n为偶数时，Sn＝×，则>Sn≥S2＝×＝(难点：由于公比为负数，故求Sn的值域需讨论n的奇偶)，所以Sn∈∪，故C正确.对于D，因为y＝x－在(0，＋∞)上单调递增(提示：增函数－减函数＝增函数)，Sn∈∪，所以Sn－∈∪，故D错误.综上，故选BC. 11.ACD　直线与圆的位置关系＋直线与抛物线的位置关系＋抛物线的几何性质＋弦长公式　设点M(xM，yM)，N(xN，yN)，对于A，由题意得，圆C的圆心坐标为C(5，0)，半径为3，所以|MP|＝＝＝＝|xM－4|(题眼)，故A正确. 对于B，[第1步，设直线l的方程] 设直线l的方程为x＝my＋t.因为直线l与圆C相切，所以圆心C(5，0)到直线l的距离d＝3，即d＝＝3，则(t－5)2＝9(1＋m2)，解得t＝5±3. [第2步，将直线l的方程代入抛物线的方程中，由韦达定理表示出|MN|] 将x＝my＋t代入y2＝2x中，得y2－2my－2t＝0，Δ>0，由韦达定理得yM＋yN＝2m，yMyN＝－2t，所以|MN|＝·＝·.　 [第3步，利用换元法证明|MN|无最小值，并判断B] 令u＝，则u≥1，m2＝u2－1，当t＝5＋3u时，|MN|＝u·＝u·＝2u(u＋3)，当u＝1，即m＝0时，|MN|＝2×1×(1＋3)＝8；当t＝5－3u时，|MN|＝u·＝u·＝2u|u－3|，当1≤u<3时，|MN|＝2u(3－u)，此时，|MN|无最小值；当u≥3时，|MN|＝2u(u－3)，当u＝3时，|MN|＝0，此时直线与抛物线相切，无两个交点，舍去，所以|MN|无最小值，故B错误.　 对于C，[第1步，作辅助线，得MN为直角梯形MH1H3N的中位线长的2倍] 如下图，当点P在直线x＝4的左侧时，过点M作直线x＝4的垂线MH1，垂足为H1，作准线x＝－的垂线MH2，垂足为H2；过点N作直线x＝4的垂线NH3，垂足为H3，作准线x＝－的垂线NH4，垂足为H4，则MH1＝|4－xM|，NH3＝|4－xN|，所以|MN|＝|MP|＋|NP|＝|MH1|＋|NH3|(题眼)，为直角梯形MH1H3N的中位线长的2倍. [第2步，结合抛物线的定义求△MNF的周长，可判断C] 由抛物线的定义可知|MF|＝|MH2|，|NF|＝|NH4|，所以△MNF的周长为|H1H2|＋|H3H4|＝2＝9，故C正确. 对于D，由A可知|MP|＝|xM－4|，|NP|＝|xN－4|.因为点P在直线x＝4的右侧，所以xM>4，xN>4，所以|MN|＝|MP|＋|NP|＝(xM－4)＋(xN－4)＝xM＋xN－8.由抛物线的定义知|MF|＝xM＋，|NF|＝xN＋，所以△MNF的周长L＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝(xM＋xN－8)＋＋＝2(xM＋xN)－7.xM＋xN＝m(yM＋yN)＋2t＝2m2＋2t，由B可知，当t＝5－3时，由于≥1，所以5－3≤2，此时，不符合题意，所以代入t＝5＋3得xM＋xN＝2m2＋10＋6，令u＝(u≥1)，则m2＝u2－1，所以xM＋xN＝2(u2－1)＋10＋6u＝2u2＋6u＋8，所以L＝2(2u2＋6u＋8)－7＝4u2＋12u＋9＝(2u＋3)2.当u≥1时，函数L＝(2u＋3)2单调递增，故当u＝1时，L取最小值，即L(1)＝(2×1＋3)2＝25，所以此时△MNF的周长有最小值25，故D正确.综上，故选ACD. 12.[－7，2)　解分式不等式　由题可得，－1≤0，即≤0，所以解得－7≤x＜2，故不等式的解集是[－7，2). 13.　随机事件的概率　当两端是黑色棋子时，将剩余的4枚黑色棋子放置后，形成5个空，若2枚白色棋子相邻，则有C＝5(种)可能，若2枚白色棋子不相邻，则有C＝10(种)可能；当两端是白色棋子时，将6枚黑色棋子放置后，只有1种可能.综上，当两端是同色棋子时，共有5＋10＋1＝16(种)可能.又所有的排列结果有C＋C＝28(种)(易错：误将组合当作排列)，故所求概率为＝. 【方法技巧】 排列、组合公式口诀 加法乘法两原理，贯穿始终的法则.与序无关是组合，要求有序是排列. 两个公式两性质，两种思想和方法.归纳出排列组合，应用问题需转化. 排列组合在一起，先选后排是常理.特殊元素和位置，首先注意多考虑. 不重不漏多思考，捆绑插空是技巧.排列组合恒等式，定义证明建模试. 14.243π　圆台的体积＋球的体积 [第1步，作几何体的轴截面，得MK] 作出几何体的轴截面如下图所示，M，N分别是大球和小球的球心，Q是圆台轴截面等腰梯形ABCD两腰AD和BC的延长线的交点，G，H分别是球M和球N与圆台侧面的切点，E，F分别是与圆台上下底面的切点，连接GM，HN，QE，则GM⊥AQ，NH⊥AQ，QE⊥AB，QF⊥CD，且GM＝EM＝6，NH＝NF＝3，则EF＝18.过点N作NK∥AQ交GM于点K，显然NK⊥GM，所以四边形NHGK为矩形，易知MN＝9，MK＝MG－KG＝MG－NH＝3(题眼)， [第2步，在直角三角形中，利用三角函数的定义得圆台上、下底面的半径] 在Rt△MNK中，sin ∠MNK＝＝，cos ∠MNK＝＝，则tan∠MNK＝.由NK∥AQ，得∠MNK＝∠EQA，则sin ∠EQA＝，tan ∠EQA＝.在Rt△NHQ中，NQ＝＝9，则FQ＝NQ－NF＝6.在Rt△DFQ中，DF＝FQ·tan ∠EQA＝.在Rt△EQA中，EQ＝EF＋FQ＝24，AE＝EQ·tan ∠EQA＝6，因此圆台的上底面的半径AE＝6，下底面的半径DF＝(难点：求解圆台上、下底面的半径)，高EF＝18， [第3步，求圆台、球M及球N的体积，进而得水的体积] 所以圆台的体积V＝π·EF·(AE2＋AE·DF＋DF2)＝567π.球M的体积VM＝π×63＝288π，球N的体积VN＝π×33＝36π，所以容器中水的体积为V－VM－VN＝567π－288π－36π＝243π. 学科网（北京）股份有限公司 $