基础练习10-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习小题专练

基础练习10 　　　　　　　　　建议用时：60分钟　　实际用时：______答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(重庆七校联考)集合A＝{x∈N*|y＝＋ln (6－x)}的子集个数为 A.7 B.8 C.15 D.16 2.(广州东莞、揭阳、韶关调研)向量a，b分别表示向东和向北方向走10 km，则a＋b表示 A.向东北方向走10 km B.向西北方向走10 km C.向东北方向走20 km D.向西北方向走20 km 3.(2026·全国Ⅱ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)经过点(1，0)和点，则C的渐近线方程为 A.y＝±3x B.y＝±2x C.y＝±x D.y＝±x 4.(2025·全国Ⅰ卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝ 5－2x，则f＝ A.－ B.－ C. D. 5.(广州一模)已知数据x1，x2，x3的平均数为1，方差为2，则数据x1，x2，x3，2x1－1，2x2－1，2x3－1的方差为 A.4 B.5 C.6 D.7 6.(广州“六校联盟”一联)已知非零复数z1，z2满足|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1·z2的值不可能等于 A.i B.1 C.0 D.－4＋3i 7.(长沙新高考适应性考试)若f(x)＝sin x＋cos x在区间[－θ，θ]上是增函数，则tan θ的最大值是 A. B. C.1 D. 8.(安徽“江南十校”素质检测)对于x>0，e2λx－ln ≥0恒成立，则正数λ的范围是 A.λ≥ B.λ≥ C.λ≥2e D.λ≥e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(杭州质检)在的展开式中，下列选项正确的是 A.常数项为20 B.含x的项的系数为80 C.各项系数的和为32 D.各项系数中的最大值为80 10.(2026·全国Ⅰ卷)在空间中，A，B为两个定点，动点C到直线AB的距离为2，动点 D到直线AB的距离为1，若二面角C－AB－D为60°，则 A.∠CAD≥60° B.CD≥ C.当AB⊥CD时，CD⊥平面ABD D.当AB⊥平面ACD时，AC⊥AD 11.(济南3月模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，O为坐标原点，P为C上异于左、右顶点的一点，H是线段PF2的中点，则 A.|OH|＋|HF2|＝2 B.|OH|>1 C.△OHF2内切圆半径的最大值为 D.△HF1F2外接圆半径的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(原创)若曲线y＝|x＋2|－2与曲线y＝ln (x＋2)＋a相切，则a＝________. 13.(2026·天津卷)在△ABC中，BC＝4，AC＝3，cos A＝－，则sin B＝________. 14.(新定义|顺序数、逆序数)(江西重点中学协作体一联)在一组互不相同的有序数组{a1，a2，a3，…，an}(n≥2，n∈N*)中定义：在ai(i＝1，2，3，…，n)的右边比其大的数的个数称为ai的“顺序数”，在ai的右边比其小的数的个数称为ai的“逆序数”.我们把有序数组{a1，a2，a3，…，an}的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和记为Tn. (1)有序数组{2，4，1，3，5}的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和T5＝________. (2)＋＋＋…＋＝________.(本题第一空2分，第 基础练习10 1—5 BABAB　　　6—8 CAB　　　9 BD　　　10 BC 11 ACD　　　12 －1　　　13 　　　14 (1)10　(2) 1.B　子集＋函数的定义域　由题意可知解得3≤x<6，所以A＝{x∈N*|3≤x<6}＝{3，4，5}.所以集合A的子集个数为23＝8(提示：若集合A有n个元素，那么集合A的子集有2n个，真子集有2n－1个)，故选B. 2.A　平面向量的加法运算　因为向量a，b分别表示向东和向北方向走10 km，所以由平面向量的加法运算可知，a＋b表示向东北方向走10 km，故选A. 3.B　双曲线的方程＋渐近线方程　将点(1，0)和点 的坐标代入双曲线C的方程，得解得所以C的渐近线方程为y＝±x＝±2x，故选B. 4.A　函数的性质 通解：当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当x∈[－1，0]时，f(x)＝f(－x)＝f(－x＋2)＝5－2(－x＋2)＝1＋2x(题眼).所以f＝1－＝－.故选A. 快解：f＝f＝f＝5－2×(＋2)＝－，故选A. 【真题互鉴】 2021年全国甲卷·理科第12题，同是以函数的奇偶性、周期性为背景设计求解函数值，与本题存在共性. 5.B　平均数＋方差　由题意得x1＋x2＋x3＝3，所以数据x1，x2，x3，2x1－1，2x2－1，2x3－1的平均数为(x1＋x2＋x3＋2x1－1＋2x2－1＋2x3－1)＝1.由题意得＝2，所以(x1－1)2＋(x2－1)2＋(x3－1)2＝6，所以数据x1，x2，x3，2x1－1，2x2－1，2x3－1的方差为[(x1－1)2＋(x2－1)2＋(x3－1)2＋(2x1－1－1)2＋(2x2－1－1)2＋(2x3－1－1)2]＝[(x1－1)2＋(x2－1)2＋(x3－1)2]＝×6＝5，故选B. 6.C　复数的模＋复数的概念 [第1步，设定复数，代入条件化简得ac＋bd＝0] 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d均不为0)，所以z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.因为|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以(a＋c)2＋(b＋d)2＝(a－c)2＋(b－d)2(题眼)，即有ac＋bd＝0. [第2步，计算z1z2，判断其实部不为零，得解] 因为z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，ac＋bd＝0，且ac≠0，bd≠0，所以可知ac－bd≠0，即复数z1z2的实部不为零，所以z1·z2的值不可能为0，故选C. 6. A　三角恒等变换＋三角函数的图象与性质　因为 (题眼)，且该函数在[－θ，θ]上是增函数，所以0<θ≤.所以tan θ≤tan ＝(提示：正切函数的单调性)，故选A. 8.B　含参不等式恒成立问题　由e2λx－ln ≥0恒成立，可得e2λx≥ln ，即2λe2λx≥ln x恒成立，由x>0，可得2λxe2λx≥x ln x＝eln xln x恒成立，令f(x)＝xex，则f′(x)＝ex(1＋x)，因为x>0，所以f′(x)>0，则函数f(x)单调递增.所以f(2λx)≥f(ln x)恒成立，即2λx≥ln x恒成立，即2λ≥恒成立.令g(x)＝，则g′(x)＝，当0<x<e时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x>e时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以当x＝e时，g(x)max＝g(e)＝.所以只需2λ≥，即λ≥，故选B. 【知识总结】 本题关键在于转化为2λe2λx≥ln x后，能够两边同乘x，同构出函数f(x)＝xex，再由单调性转化为2λx≥ln x恒成立. 9.BD　二项式定理　(题眼).对于A，令5－2r＝0，解得r＝，而r＝0，1，2，3，4，5，所以没有常数项.所以A错误.对于B，令5－2r＝1，得r＝2，则含x的项为C·25-2x＝80x，故x的系数是80，所以B正确.对于C，令x＝1，得＝35，则各项系数的和是35，所以C错误.对于D，设第(r＋1)项的系数最大，系数为C25-r，则(难点：利用二项展开式的系数性质列出不等式组)，解得r＝1或r＝2，此时系数为C24＝C23＝80，所以D正确.综上，故选BD. 10.BC　空间中线面间的位置关系＋二面角＋空间向量的应用以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立空间直角坐标系.设C(x1，y1，z1)，D(x2，y2，z2)，则y＋z＝4，y＋z＝1.因为二面角C－AB－D为60°，所以y1y2＋z1z2＝1(题眼).对于A，取x1＝x2＝t，则cos ∠CAD＝，当t→＋∞时，cos ∠CAD→1，所以∠CAD可以小于60°，故A错误.对于B，CD2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2＝(x1－x2)2＋4＋1－2≥3，则CD≥，故B正确.对于C，设＝(a，0，0)(a≠0).因为＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)，且AB⊥CD，所以a(x1－x2)＝0，故x1＝x2，所以·＝(x2，y2，z2)(x1－x2，y1－y2，z1－z2)＝y2(y1－y2)＋z2(z1－z2)＝y1y2＋z1z2－(y＋z)＝0，所以⊥，即AD⊥DC.又AB⊥CD，AB，AD⊂平面ABD，AB∩AD＝A，所以CD⊥平面ABD，故C正确.对于D，若AB⊥平面ACD，则x1＝x2＝0，因为·＝x1x2＋y1y2＋z1z2＝1≠0，所以AC与AD不垂直，故D错误.综上，故选BC. 11.ACD　椭圆的定义＋三角形的内切圆、外接圆的性质　作出大致示意图如下图所示.对于A，易知|OH|＋|HF2|＝(题眼)(提示：三角形中位线定理)，故A正确.对于B，由三角形中位线定理得|OH|＝|PF1|，当点P在第二、三象限时，|PF1|<2，此时|OH|<1，故B错误.对于C，由题可得|F1F2|＝2＝2.所以|OH|＋|HF2|＋|OF2|＝(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)＝3.设∠F1PF2＝θ，则S△PF1F2＝b2tan ＝3tan (提示：椭圆焦点三角形的面积公式).当点P位于椭圆的上顶点时，θ最大.所以0<θ≤.所以0<tan ≤.所以0<S△PF1F2≤.所以由相似三角形的判定和性质可得0<S△OHF2≤.设△OHF2的内切圆半径为r，S△OHF2＝r(|OH|＋|HF2|＋|OF2|)＝r(提示：三角形的面积等于三角形周长与其内切圆半径乘积的一半).所以△OHF2内切圆半径的最大值为＝.故C正确.对于D，设△HF1F2的外接圆半径为R，则由正弦定理的推广可得2R＝＝.因为sin ∠F1HF2∈(0，1]，所以R≥1.所以△HF1F2外接圆半径的最小值为1.故D正确.综上，故选ACD. 12.－1　导数的几何意义　由曲线y＝|x＋2|－2，得y＝由y＝ln (x＋2)＋a，得x>－2，且y′＝，设曲线y＝|x＋2|－2与曲线y＝ln (x＋2)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋2)＋a)，由y＝x(x≥－2)与曲线y＝ln (x＋2)＋a相切，得y′＝＝1，解得x0＝－1，则切点为(－1，a)，代入y＝x，所以a＝－1.由y＝－x－4(x<－2)与曲线y＝ln (x＋2)＋a相切，得y′＝＝－1，解得x0＝－3，不符合题意，舍去，故a＝－1. 13.　同角三角函数的基本关系＋正弦定理　由cos A＝－及A为三角形的内角，得sin A＝.在△ABC中，由正弦定理＝，得sin B＝sin A＝(技巧：已知两边和一边的对角，求另一边对角的正弦值，应用正弦定理求解). 14.(1)10　(2)　数列新定义问题＋等差数列的求和公式＋裂项相消法求和　(1)对于有序数组{2，4，1，3，5}，2的顺序数为3，逆序数为1.4的顺序数为1，逆序数为2.1的顺序数为2，逆序数为0.3的顺序数为1，逆序数为0.5的顺序数为0，逆序数为0.所以T5＝3＋1＋1＋2＋2＋0＋1＋0＋0＋0＝10. (2)[第1步，根据定义得Tn] 对于有序数组{a1，a2，a3，…，ai，…，an}，易知ai后有(n－i)个数，所以ai的顺序数＋逆序数＝n－i(题眼)(难点：根据定义确定ai). 所以Tn＝n－1＋n－2＋…＋1＋0＝. [第2步，由裂项相消法求和] 所以＝＝2. 所以＋＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝2＝. 【难点突破】 数列新定义问题的解法主要包括理解新定义规则、分析数列特性、找出递推关系式、应用数学公式、归纳数列规律、验证特殊情况、逻辑推理求解以及综合方法应用八个方面.主要涉及以数列和项与通项关系定义新数列、以分段形式定义新数列、以拆分原数列定义新数列三个类型.本题属于以数列和项与通项关系定义新数列，解题难点是根据定义与逆推关系得到Tn，并应用裂项相消法求和. 学科网（北京）股份有限公司 $