基础练习8-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习小题专练

基础练习8 　　　　　　　　　建议用时：60分钟　　实际用时：______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2025·北京卷)已知复数z满足i·z＋2＝2i，则|z|＝ A. B.2 C.4 D.8 2.(山东实验中学调研)设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝ A.0 B.0或2 C.0或－2 D.2或－2 3.(原创)已知命题p：∀x∈R，|log2x|＋>2，命题q：∃x∈R，2x－|x＋1|≤0，则 A.p和q都是假命题 B.p是真命题，q是假命题 C.p是假命题，q是真命题 D.p和q都是真命题 4.(重庆第八中学校月考五)现有A，B，C，D，E五人站成一排，则A，B相邻且C， D不相邻的排法种数共有 A.6 B.12 C.24 D.48 5.(武汉部分学校调研)若函数f(x)＝是奇函数，则实数a＝ A.1 B.－1 C.2 D.－2 6.(海口调研)已知A，B是随机事件，若P(A＋B)＝，P(B|)＝，则P(A)＝ A. B. C. D. 7.(杭州教学质检)已知向量a，b满足|a|＝2|b|＝2，a·b＝－1，设c＝xa＋yb，且2x＋ y＝1，则|c|的最小值为 A.2 B.1 C. D. 8.(湖北部分重点中学一联)设a>0，b∈R，已知函数f(x)＝xex＋a(x－3)＋b，x∈[1，3]有且只有一个零点，则a2＋b2最小值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(山东潍坊二模)已知椭圆C：＋＝1的焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则 A.C的焦距为2 B.C的离心率为 C.△F1PF2的周长为3＋ D.△F1PF2面积的最大值为2 10.(长春质监)已知等比数列{an}的公比为q，且a5＝1，设该等比数列的前n项和为Sn，前n项积为Tn，下列选项正确的是 A.a3＋a7≥2 B.当q>1时，{an}为递增数列 C.Sn单调递增的充要条件为q>0 D.当q>1时，满足Tn>1的n的最小值为9 11.(湖南教学教研联盟一联)如下图，已知体积为2的四棱锥P－ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，PA＝3，则下列说法正确的是 A.若PA⊥平面ABCD，则∠BAD为 B.过点P作PO⊥平面ABCD，若AO⊥BD，则BD⊥PC C.PA与底面ABCD所成角的最小值为 D.若点P仅在平面ABCD的一侧，且AB⊥AD，则P点轨迹长度为3π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(长春质监一)过A(0，0)，B(1，)，C(4，0)三点圆的方程为________________. 13.(湖北部分重点中学一联)函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)是偶函数，则tan φ＝________. 14.(山东潍坊素养测评)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过C上一点M(异于原点O)作C的切线，与x轴交于点Q.若|FM|＝2，|FQ|＝1，则p＝________. 基础练习8 1—5 BCCCB　　　6—8 DDD　　　9 ABD　　　10 ABC 11 BCD　　　12 (x－2)2＋y2＝4(或x2＋y2－4x＝0)　　　13 －　　　14 1 1.B　复数的运算＋复数的模　因为i·z＋2＝2i，所以z＝＝2＋2i.所以|z|＝2，故选B. 2.C　集合的性质＋集合间的基本关系　若x2＝4，则x＝±2，而当x＝2时，2x＝4，不满足集合的性质，当x＝－2时，满足条件，∴x＝－2.若x2＝2x，则x＝2或x＝0，∵x≠2，且x＝0时，满足条件，∴x＝0.综上所述，x＝－2或x＝0，故选C. 3.C　命题真假的判断　对于命题p，当x＝2时，|log2x|＋＝2，所以p是假命题.对于命题q，当x＝1时，2x－|x＋1|＝0，所以q是真命题，故选C. 4.C　排列的实际应用＋分步乘法计数原理　可将问题分为3步(题眼).第1步，将A，B捆绑在一起(方法：对于相邻问题，选用捆绑法求解)，记为F，有A种排法(提醒：在捆绑时要注意其内部排列).第2步，将F与E进行全排列，有A种排法.第3步，将C，D插入到F，E形成的三个空中，有A种排法，则由分步乘法计数原理得共有AAA＝24种排法，故选C. 5.B　【解析】函数的奇偶性 解法一(性质法)：因为函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)(题眼)，即＝＝－，整理得1＋4x·a＝－4x－a.所以a＝－1.故选B. 解法二(特殊值法)：由题意知函数f(x)的定义域为R(题眼)，因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝＝＝0(提示：如果奇函数在x＝0处有定义，那么该函数图象必过原点)，解得a＝－1，故选B. 6. D　和事件的概率＋条件概率　由题可得P(B|)＝＝，所以(题眼)(技巧：利用条件概率公式与对立事件的概率建立关系式).因为A，B是两个随机事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB).因为P(B)＝P(AB)＋P(B)，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)＋(1－P(A))＝＋P(A)＝，解得P(A)＝，故选D. 7.D　平面向量的数量积＋平面向量的模＋二次函数的性质　由题意，得|b|＝1，y＝1－2x.|c|＝＝＝(题眼)，代入y＝1－2x，得|c|＝＝(技巧：先将y用x表示，把模长转化为单变量二次函数，再利用配方法求最值)，所以当x＝时，|c|取最小值，最小值为，故选D. 8.D　函数的零点＋点到直线的距离＋两点间距离公式＋利用导数研究函数的最值　设f(x)＝xex＋a(x－3)＋b的零点为t，1≤t≤3，则tet＋a(t－3)＋b＝0，即(t－3)a＋b＋tet＝0，所以点(a，b)在直线(t－3)x＋y＋tet＝0上.又a2＋b2表示点(a，b)到原点的距离的平方，故(题眼).所以a2＋b2≥.令g(t)＝，则g′(t)＝ ，即g′(t)＝＝，令h(t)＝t3－6t2＋7t＋10(1≤t≤3)，则h′(t)＝3t2－12t＋7＝3(t－2)2－5.因为1≤t≤3，所以h′(t)<0.所以函数h(t)在[1，3]上单调递减.所以h(t)≥h(3)＝4>0.故当1≤t≤3时，g′(t)>0，函数g(t)在[1，3]上单调递增.所以g(t)≥g(1)＝.所以a2＋b2的最小值为，故选D. 9.ABD　椭圆的定义及几何性质　对于A，由题意可得，a＝3，b＝2，c＝，所以焦距2c＝2.故A正确.对于B，C的离心率e＝＝，故B正确.对于C，△F1PF2的周长为2a＋2c＝6＋2，故C错误.对于D，△F1PF2面积S＝|F1F2|·|yP|＝c|yP|，显然当点P在短轴端点时△F1PF2面积最大，最大值为bc＝2，故D正确.综上，故选ABD. 10.ABC　等比数列的通项公式＋等比数列的性质＋基本不等式＋充要条件的判断＋数列的单调性　因为a5＝a1q4＝1>0(题眼)，所以a1>0.因为a5＝1，则q≠0，则a3＋a7＝＋q2≥2＝2，当且仅当＝q2，即q＝±1时，等号成立(提示：基本不等式的应用)，所以a3＋a7≥2.故A正确.(题眼)，即an＋1>an，所以数列{an}为递增数列.故B正确.Sn单调递增等价于Sn－Sn－1＝an>0，n≥2，n∈N*(题眼)，又数列{an}为等比数列，则an＝a1qn-1>0，即qn-1>0对任意的n≥2，n∈N*恒成立，等价于q>0，即Sn单调递增等价于q>0，所以Sn单调递增的充要条件为q>0.故C正确.若q>1，当n≤4时，an<1；当n≥6时，an>1；当n≤5时，{Tn}为递减数列，且Tn≤T1＝a1<1，当n≥6时，{Tn}为递增数列，且T9＝a＝1，综上，当n≤9时，Tn≤1，当n≥10时，Tn>1(题眼)，所以满足Tn>1的n的最小值为10.故D错误.综上，故选ABC.　 11.BCD　棱锥的体积＋空间线面间的位置关系＋线面角＋点的轨迹　设四棱锥P－ABCD的高为h，则 sin∠BAD＝2(题眼)，则当PA⊥平面ABCD时，h＝PA＝3，则sin ∠BAD＝，即∠BAD为或，A错误；连接AC，BD，若PO⊥平面ABCD，则PO⊥BD，又AO⊥BD，PO∩AO＝O，AO，PO⊂平面PAO，则BD⊥平面PAO，又PA⊂平面PAO，则BD⊥PA.又BD⊥AC，PA∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC(题眼).又PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.B正确；设PA与底面ABCD所成角为θ，θ∈，由VP－ABCD＝ (题眼)，则sin θ＝.因为S菱形ABCD＝4sin ∠BAD≤4，则sin θ≥，则PA与底面ABCD所成角的最小值为，C正确；如下图，当AB⊥AD时，根据VP－ABCD＝S菱形ABCD·h＝h＝2，得h＝，即P点到底面ABCD的距离为.过点P作与平面ABCD平行的平面，过点A作AM与此平面垂直，垂足为M，则PM＝＝＝，点P的轨迹是以M为圆心，为半径的圆(题眼)，轨迹长度为3π，D正确.综上，故选BCD. 【技巧点拨】 立体几何中的最值问题一般涉及距离、面积、体积、角度，题目较为综合，解决此类问题的一般解法：(1)函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解；(2)几何法，即根据几何体的结构特征结合逻辑推理和计算，判断最值. 12.(x－2)2＋y2＝4(或x2＋y2－4x＝0)　圆的方程　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则由题意得解得所以该圆的方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4. 13.－　三角函数的性质＋函数图象的平移变换　由题知，g(x)＝sin ，因为g(x)是偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z.所以φ＝－＋kπ，k∈Z.所以tan φ＝tan ＝tan ＝－. 14.1　抛物线的几何性质＋直线与抛物线的位置关系　抛物线C：x2＝2py(p>0)，即y＝(p>0)，焦点F，设点M(t≠0)，因为y′＝(p>0)，所以抛物线C在点M处的(题眼)[另解：设抛物线C在点M处的切线方程为y－＝k(x－t)，与x2＝2py(p>0)联立，消去y，得－＝k(x－t)，利用Δ＝0亦可求出k＝].令y＝0，得x＝，即点Q的坐标为.又因为|FM|＝2，|FQ|＝1，所以 解得p＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $