第4章 数列全章高频重点题型突破（专项训练）数学苏教版选择性必修第一册

第4章 数列全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 等差数列基本量计算 题型2 等比数列基本量计算 题型3 等差数列前n项和基本量计算 题型4 等比数列前n项和基本量计算 题型5 等差数列性质 题型6 等比数列性质 题型7 数列范围与最值问题 题型8 实际应用 题型9 累加法 题型10 累乘法 题型11 已知Sn求an 题型12 证明等差等比数列 题型13 分组求和 核心提升：重难题型归纳 题型1 构造法求通项公式 题型2 裂项相消法 题型3 错位相减法 题型4 倒序相加法 题型5 恒成立与有解问题 题型专练：高频重难特训 题型1 等差数列基本量计算 1．（2026·高二·甘肃白银·阶段检测）若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设两个二次方程 、 的根分别为和， 由韦达定理可得：，，因此四个根的和为. 因为已知四个根组成一个首项的等差数列，设公差为， 由等差数列前项和公式：，解得 . 因此四个根按顺序为：​。 根据两组根的和都为，可知配对方式只能是​和​为一组、和为另一组. 由韦达定理，两根之积分别对应和，则可取，. ​ 故. 2．（2026·高二·河南许昌·期末）已知等差数列满足，，则公差为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 因为，，且， 解得. 3．（2026·高二·安徽宿州·期末）在等差数列中，，，则（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【解析】由题知 ，即，解得， 所以. 4．（2026·高二·安徽安庆·期末）在等差数列中，若，则的公差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】在等差数列中，有，得， 则的公差为． 题型2 等比数列基本量计算 5．（2026·高二·河北保定·期中）已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（    ） A．13 B．19 C．26 D．32 【答案】C 【解析】因数列的前10项依次成等差数列，设公差为，则，， 又因，且数列从第9项起依次成等比数列，则，即，解得或， 因数列各项均为整数，故，则， 则数列从第9项起的公比为，故，则. 6．（2026·高二·河北·期末）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，则数列的公比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为.根据题意可得， 解得或.因为各项均为正数，所以. 7．（2026·高二·广东江门·期末）在等比数列中，若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由题意得，即，即. 8．（2026·高二·北京海淀·期末）已知是等比数列，其前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据等比数列的通项公式，已知，， 则，， 等比数列前项和公式为， 则， 又，， 则. 题型3 等差数列前n项和基本量计算 9．（2026·陕西渭南·三模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．15 【答案】A 【解析】，即， 解得：，． 10．（2026·高二·广东汕尾·期中）记为等差数列的前n项和，若，，则=（    ） A．78 B．84 C．90 D．96 【答案】A 【解析】在等差数列中，有，所以． 11．（2026·高二·陕西渭南·期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的公差为，由，得，即． 由，得，所以． 所以，所以． 12．（2026·高二·辽宁鞍山·期中）记等差数列的前项和为，则（   ） A．140 B．150 C．160 D．170 【答案】B 【解析】因为，可得，可得， 又因为，由等差数列的性质，可得， 所以. 题型4 等比数列前n项和基本量计算 13．（2026·高三·河南·开学考试）已知正项等比数列的前项和为，若，则的公比为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】设的公比为. 由，得，化简得， 又，所以． 故选：C． 14．（2026·云南·模拟预测）已知为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C．15 D．63 【答案】D 【解析】因为，且， 所以有，即， 则有，所以公比， 所以， 故选：D． 15．（2026·高二·全国·单元测试）等比数列的前n项和为，若，则（   ） A．48 B．36 C．42 D．31 【答案】D 【解析】由等比数列的性质可得： ， 又因为，所以解得或， 因为，，所以， 所以，， 所以，， 解得，， 根据等比数列的求和公式可得： ． 故选：D. 16．（2026·高二·广东广州·期末）已知正项等比数列的前n项和为，且，则数列的公比（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】当时，， 则由题意知且，则， 解得． 故选：C． 题型5 等差数列性质 17．（2026·高二·陕西西安·期中）已知等差数列满足，则（    ） A．82 B．41 C．83 D．84 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为，则， 得，即. 18．（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 因此， 因为， 因此， 所以原式化简为， 而，所以原式为， 而因为，所以， 则，， 代入得，， 而已知， 设，(为非零常数)，，， 所以. 19．（2026·湖南株洲·三模）已知等差数列的前n项和为，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．72 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为，则， . 20．（2026·河南信阳·三模）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列中间一项的值以及项数分别为（ ） A．29，19 B．31，18 C．29，20 D．27，19 【答案】A 【解析】设该等差数列的项数为（），中间项为. 由等差数列性质，奇数项和，偶数项和. ，即，故中间项. 数列前项和，又， 代入得，解得，即项数为19. 题型6 等比数列性质 21．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）各项均为正数的等比数列的前项积为，若，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】C 【解析】是等比数列，， ∴， ，∴，即：， 数列各项为正数，， ，当且仅当 时，等号成立， 的最小值为. 22．（2026·高二·陕西安康·期中）记为等比数列的前n项和，若，，，则（    ）． A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【解析】设等比数列的公比为，由，得，即， 由，得，则，因此，即， 由，得，即， 而，则，于是，又， 所以. 23．（2026·高一·上海·期中）等比数列满足且，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】因为， 所以， 由等比数列性质可知， 所以，. 24．已知为递减的等比数列，且，，则公比（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ 为递减的等比数列，若，数列各项正负交替，不可能保持单调递减， ∴ ，数列所有项符号一致； 又∵ ，故数列所有项均为正数. ∵  ，结合，得. ∴ ，， 代入得：    . 整理得，解得（舍去，因数列递减要求）或，故选:B. 题型7 数列范围与最值问题 25．（2026·高二·安徽安庆·阶段检测）已知等比数列的前n项积为，，，则使得成立的正整数n的最大值为（    ） A．7 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为q， 因为， 假设，则，，不满足，不合题意， 故，则， 因为，则，， 可得当时，；当时，； 又因为，， 故使得成立的正整数n的最大值为14. 26．（2026·高三·甘肃兰州·阶段检测）已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前n项积为，且，则使得的n的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】是等比数列，，又由题可得，， 解得，舍去，，， 所以n的最小值为6，选C 27．（2026·高二·黑龙江大庆·期末）已知等比数列的前项积为，公比，且，则（    ） A． B． C．存在，使得 D．当时，最小 【答案】D 【解析】因为，所以． 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为， 所以，则，故B错误 对于C，因，可知数列是单调递增数列.又，则当时，，所以，故C错误. 对于D，注意到，则， 从而，又，故.当时，；当时，；所以当时，最小，选项D正确； 故选：D 28．（2026·高二·黑龙江绥化·期中）已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则下列选项中不正确的是（ ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 【答案】B 【解析】A：因为是公差为1的等差数列， 所以， 因此，所以A正确； B：由上可知：， 因为，所以当或6时，取得最小值，因此B不正确； C：由上可知：， 于是当时，， 显然，符合，所以C正确； D：由上可知：， 令， 显然当时，因为， 所以，而， 显然数列中第5项的值最大，故D正确， 故选：B 题型8 实际应用 29．（2026·高二·辽宁·阶段检测）王先生为购房于2019年12月初向银行贷款36万元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2020年1月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因资金充足准备向银行申请提前还款，银行规定：提前还款除偿还剩余本金外，另需收取违约金，贷款不满一年提前还款收取提前还款额的百分之三作为违约金；贷款的时间在一年到两年之间申请提前还款收取提前还款额的百分之二作为违约金；满两年之后提前还款收取提前还款额的百分之一作为违约金.王先生计划于2024年12月初将剩余贷款全部一次性还清，则他按现计划的所有还款数额比按原约定的所有还款数额少（    ） A．22450元 B．27270元 C．25650元 D．27450元 【答案】C 【解析】根据题意，截止2024年12月，提前还款数额比按约定还款数额少的部分为： 按原计划还款时，从2024年12月起到原计划结束时所还的利息，即剩余60个月的利息， 同时减掉剩余还款额百分之一的违约金.因为每月所还本金为元， 所以2024年12月还完后本金还剩余元， 故违约金为1800元， 2025年1月应还利息为， 2025年2月应还利息为， 2025年3月应还利息为， 最后一次应还利息为， 所以后60个月的利息合计为 元）， 故他按现计划的所有还款数额比按原约定的所有还款数额少元. 故选：C. 30．（2026·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（    ） A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码 【答案】C 【解析】设第一个尺码为，公差为， 则， 则， 当时，， 故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为 码， 所有缺货尺码的和为码， 又因为缺货的一个尺寸为码， 则另外一个缺货尺寸码， 故选：C. 31．（2026·高二·北京西城·期末）某公司计划用10年时间（从2026年初到2036年初）完成产能升级，若初始产能为，每年产能的增长率为定值，2030年初产能为，则2036年初的产能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设初始产能， 从2026年初到2030年初，经过了年，此时产能为， 所以两边约去， 得， 从2026年初到2036年初，经过了年，此时的产能为 ， 所以答案是B. 32．某AI语言模型计费规则：前1000分钟免费使用，超出1000分钟的部分每分钟收费0.001元（不足1分钟的按1分钟收费）．某人因工作需要多天使用该AI模型，若第一天使用300分钟，以后每一天使用的时间比前一天使用时间的还多50分钟．若该用户多天使用该AI模型后的总费用不超过1元，则最大使用天数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【解析】设该用户第天使用的分钟数为， 由题意可得，， 则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 设数列的前项和为，则， 要使总费用不超过1元，的整数部分不超过即， 则，化简可得 当，因为随着的增大而减小， 所以随着的增大而增大， 当时，成立， 当时，，则，故， 所以要使总费用不超过1元，则最大使用天数为8天. 题型9 累加法 33．已知数列满足，，则________. 【答案】 【解析】若，则，即，这与矛盾， 所以， 由两边同时除以， 得， 则，，…，，， 上面的式子相加可得：， ， 当时，，满足条件，      所以. 34．（2026·高二·北京·期中）若数列满足，且对于任意的都有，则__________. 【答案】253 【解析】由题意可知：，当时， 又因为，所以 . 35．（2026·高二·福建福州·期中）已知数列中，满足，，则数列的通项公式___________ 【答案】 【解析】在数列中，，， 当时，，，，， 上述所有等式相加得， 所以， 也满足，故对任意的，. 36．（2026·高二·安徽阜阳·阶段检测）已知数列满足，则______； 【答案】 【解析】由题意令，得 ， ， 累加可得 ， 则， ， 故. 题型10 累乘法 37．（2026·高二·安徽宿州·阶段检测）已知首项为1的数列满足，则________． 【答案】 【解析】由题意得， 当时，， 由满足上式，故，所以． 38．（2026·高二·湖南衡阳·期末）已知数列中，，，则________. 【答案】/4.375 【解析】由，得， 所以，， 则. 故答案为：. 39．（2026·高二·天津·阶段检测）若数列满足，， 则______，数列的通项公式______． 【答案】 8 【解析】因为，，所以，. 由题意，，，， 以上各式相乘可得. 故答案为：8   40．（2026·高二·甘肃平凉·阶段检测）已知数列满足，，则数列的通项公式是_________ 【答案】 【解析】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 题型11 已知Sn求an 41．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，则数列的通项公式为_______． 【答案】 【解析】数列中，，当时，； 当时，，两式相减得 ， 整理得，而不满足上式。 所以. 42．（2026·高二·上海宝山·期末）设是数列的前项和，且，则的通项公式为________． 【答案】 【解析】由题得，， 所以， 当时，， 所以. 43．（2026·高二·湖南邵阳·期末）已知正项数列的前项和为且则的通项公式为______． 【答案】 【解析】已知 ，移项得， 左边由平方差公式分， 因为 是正项数列，，两边约去 ，得， 当 时，有 ， 将两式相减，， 又 ，因此， 由 ，，得 ，故 ， 此时 ，因此 时， 均成立， 将递推式变形为， 设 ，则 ，由 ， 可知 对所有 成立，因此， 故，代入， 左边 ，右边 ， 左右两边相等，通项成立. 所以. 44．已知数列的前项和满足，且，则的通项公式为________． 【答案】 【解析】因为， 所以． 当时，， 由此得． 因为，所以． 所以是首项为1，公差为2的等差数列， 所以． 题型12 证明等差等比数列 45．（2026·高二·甘肃兰州·阶段检测）已知数列满足，，令． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【解析】（1）证明：由于， 故， 因此数列是公差为的等差数列． （2）由题设可得，故， 所以，解得． 46．（2026·高二·浙江绍兴·期末）已知数列和满足．. (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 【解析】（1）证明：因为，， 则将两式相加，可得，即，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 将两式相减，可得， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． （2）由（1）可得，， 所以． 记① 则② ①②得， 所以， 所以． 47．（2026·高二·福建龙岩·阶段检测）在数列中，，，． (1)证明数列为等比数列． (2)求的通项公式． 【解析】（1），，得； ，； 数列是以首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）得数列是以首项为1，公比为3的等比数列，则； ，即的通项公式为. 48．（2026·高三·黑龙江辽宁·开学考试）在数列中，，，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式． 【解析】（1）证明：因为，所以， 又，所以， 所以， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）得， 所以，，，…，， 以上各式左右相加，得， 所以， 又，符合上式，故． 题型13 分组求和 49．（2026·高二·甘肃天水·阶段检测）已知等差数列 的前 项和为 ，，． (1)求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 【解析】（1）由 得 ， 设公差为 ，则 ，解得 ， 所以 ． （2）由 (1) 得 ， 而 的前 项和为 ， 所以 ． 50．（2026·高二·重庆江北·阶段检测）已知等差数列与正项等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为， 由，则，解得， 所以数列的通项公式为； 所以，，则， 又，则，解得， 所以数列的通项公式为． （2）结合（1），得的前项和为， 的前项和为， 所以数列的前项和． 51．（2026·高二·上海宝山·期末）已知等差数列的前n项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前 项和． 【解析】（1）设的公差为，因为，可得， 又因为，可得，解得， 所以， 因为，且公比，所以，解得， 所以． （2）由（1）知：且，可得， 所以数列的前项和. 52．（2026·高二·甘肃庆阳·阶段检测）（1）已知数列是等比数列，若，求及； （2）在（1）的条件下，若数列的通项公式为，求它的前n项和． 【解析】(1)设等比数列的公比为，由等比数列通项公式得，代入得，解得， 因此通项公式，前项和; (2)由，前项和可分组为等差数列的和与等比数列的和之和， 即. 题型1 构造法求通项公式 1．已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式； 【解析】因为，，易知， 取倒数得，，即， 因为，所以，所以为常数， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 所以，则， 所以，即数列的通项公式为. 2．（2026·高二·河南信阳·期末）设为数列的前n项和，． (1)求； (2)证明： （i）； （ii）； (3)求的通项公式． 【解析】（1）由题意得，，，，， ，，. （2）（i） . （ii） . （3）设，对比得，， 解得或. 当时，， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴①， 当时，同理可得②， ②－①得，. 3．（二、一阶递归，通项探求）在下列条件下，求数列的通项公式： (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求； (4)若，，求； (5)若，，求； (6)若，，求； (7)若，，求； (8)若，，求； (9)若，，求； (10)若，，求； (11)若，，求； (12)若，，求； (13)若，，求； (14)若，，求； (15)若，，求． 【解析】（1）型． 递推累加，等差数列求和： ； ； ； ． 上述个式子累加得，即． （2）型． 递推累加，等比数列求和： ； ； ； ． 上述个式子累加得，即． （3）型． 同除转化为等差数列：，令，则，转化为等差数列． 本小题中，同除转化为等差数列， 由得， 令，则，， 得，即，． （4）型． 直接待定系数：． 本小题中，， 令， 则，， 得，即，即． （5）型． 直接待定系数：， 其中，． 本小题中，由，得， 令，则，， 得，即， 故． 直接待定系数时必须是完整的关于的一次函数． （6）型． 直接待定系数：， 其中，，． 本小题中，由， 得， 同（5）方法可得． （7）型． 先待定系数配制掉多项式部分，再同除转化为等差数列． ， ，令，则，转化为等差数列． 本小题中，由， 得， 同除得， 同（3）方法可得， 故． （8）由得， ， 可得， 故． （9）先同除转化为（1）类求解． 由得， 再令，得．最终得． （10）型． 先待定系数转化为（8）类求， ， 令，则， ． 或直接待定系数转化为等比数列： ． 本小题中，直接待定系数得， 得， 故． （11）先待定系数转化为（9）类求解． 由题意得， 令，则．最终得． （12）型． 直接待定系数求． 本小题中，， 最终得． （13）， ， 最终得． （14）由得， ， 最终得． （15）由得， ， 最终得． 4．（2026·高二·北京海淀·期末）求下列数列的通项公式. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； 【解析】（1）因为， 所以， 所以数列是以为公差的等差数列， 所以； （2）因为，所以， 所以数列是以为公比的等比数列， 所以； （3）由， 当时，， 当时，， 当时，上式不成立， 所以 （4）因为， 所以， 则当时， ， 当时，上式也成立， 所以； （5）因为，所以， 则当时， ， 当时，上式也成立， 所以； （6）因为， 所以，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以； （7）由，得， 当时，，所以， 当时，， 所以， 所以数列是以为公比，为首项的等比数列， 所以； （8）由， 当时，，所以， 当时，， 所以， 所以数列数列从第二项起是以为公比，为首项的等比数列， 所以， 当时，上式不成立， 所以. 题型2 裂项相消法 5．（2026·高二·福建莆田·阶段检测）设公比为的等比数列的前项和为，且. (1)求和； (2)记，数列的前项和为，求. 【解析】（1）由， 当时：①， 当时：②， 由①得，代入②得，解得 代入，得， 所以. （2）由（1）得，所以， 于是， 所以 6．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列，满足，，. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)求满足中的最小值. 【解析】（1）由， 因为，所以， 则，又， 所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列. （2）由（1）知，， 所以， 则. （3）由（2）知，， 由，得，即， 则满足中的最小值为2025. 7．（2026·高三·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，记． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． 【解析】（1）因为， 所以，所以. 当时，， 所以，. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. （2）由（1）得，. 所以， 所以 因为， 所以， 所以. 又和均随的增大而增大， 所以随的增大而增大， 所以当时，取得最小值，最小值为. 所以． 8．（2026·高三·四川南充·阶段检测）在各项都是正数的数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：． 【解析】（1）由， 得， 又，所以． 又，所以数列是首项为6，公差为4的等差数列． 所以，即． （2）证明：由（1）知，所以． 所以． 因为，所以，． 题型3 错位相减法 9．（2026·高二·甘肃兰州·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解析】（1）由题意知①，则②， 所以②①，可得， 化简整理得， 又，所以，即数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）得，所以， 则③， 所以④， ③④得 ， 所以. 10．（2026·高三·广东汕头·阶段检测）在数列中，，． (1)求证：数列是等比数列，并求出通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，⋯，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最大正整数n的值． 【解析】（1）证明：由可得，，     又，     故是首项为，公比为2的等比数列， . （2）设数列的前n项和为， 由（1）知，故，     ，① ，②     得，      ，     故． （3）依题意可得，，     由题意，为的第项，故，     所以， 由等比数列前n项和公式可得：， 故，     令，设，， 则， 故为递增数列，     又，，     故满足不等式的最大正整数为9． 11．（2026·高二·甘肃兰州·阶段检测）已知数列满足，． (1)证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； (2)设，求的前项和． 【解析】（1）证明：设数列的通项为， 则，则． 将代入递推式， 得， 化简得，则． 因为，所以． 由此可知，对任意正整数，都有，即， 故数列是常数列，且． （2）由（1）得，故， 设①， 则②， 用，得， 则，由此得． 12．（2026·高三·云南昭通·阶段检测）已知数列是公差不为0的等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求满足的最大正整数． 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，，得，解得，     所以，．     （2）由（1）得，则单调递增，     ， ， 两式相减得， ，因此，     而，，则，     所以满足的最大正整数为6． 题型4 倒序相加法 13．（2026·高一·河南漯河·阶段检测）已知函数． (1)求（且）的值. (2)求的值． 【解析】（1）因为， 所以， 则. 因为，所以， 所以. （2）由（1）可知，当且时，， 将重新组合，首尾配对可得： ， 每一对的和均为，且， 所以原式. 14．已知函数，数列满足.求证：为定值，并求数列的通项公式； 【解析】，由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. 15．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【解析】（1）由题意，当时，， 当时，， ∵当时，也满足上式， ∴，， 对于数列：由， 可得 两式相加， 可得 ，. （2）由（1），可得， 则 两式相减， 可得 ∴. 16．（2026·高二·上海·阶段检测）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【解析】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 题型5 恒成立与有解问题 17．（2026·高二·江西吉安·期末）已知等差数列的首项，且，，成等比数列，公差． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围． 【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意知. 因为成等比数列，故. 又，所以，，，代入得 展开整理得，即. 由得，因此数列的通项公式为 . （2）， 数列的前项和 因为，所以，故， 因此，即的最大值为. 不等式对任意恒成立，等价于， 整理得，即， 解得或. 18．（2026·高二·上海长宁·阶段检测）已知等差数列满足，；数列的前项和为，且； (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，记公差为，若对于任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)对每一个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列；记数列的前项和为；问：是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； 【解析】（1）设等差数列的公差为，则， 即，又，即，∴， ，即数列的通项公式为， 当时，，当时， ，也满足此式， ∴数列的通项公式为. （2）∵在和之间插入个数，使这个数组成等差数列， 记公差为，∴， 即， 又对于任意的恒成立， 即，令，即， 又∵，且，即 在上单调递增，在上单调递减， ∴，当时， ，即. （3）由题意得，新数列的结构为：，（个2）， ，（个2），……，则前个的和：， 前组插入2的总个数：，即插入数字2 的总和为，数列前组总和为 ，当时，，当时，， 此时可以推出2027在第9组内，又前8组和为1084，， 则插入到第9组内的2之和为， 插入2的个数为，故. 19．（2026·高二·吉林长春·期末）设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和． 【解析】(1)证明：当时，，又，所以； 当时，，故， 两式相减得，即， 则，首项， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 所以， 所以； （2）由（1）知，，所以， 对任意的，不等式恒成立， 即恒成立， 设，于是， 当时，，即， 当时，，即， 故，所以实数的取值范围为； （3）由（1）知，， 因为 ， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以 20．（2026·高二·上海宝山·期末）已知数列满足：，，且对任意正整数都成立． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值． 【解析】（1）因为，对一切正整数成立， 所以，即， 因为，，所以， 所以数列是以为首项，4为公比的等比数列． （2）由（1）得， 所以通过累加得 ， 当 时，，满足上式， 综上所述，． （3）， 从而， 所以， 当无限增大，的值越来越趋近于0 且小于0，所以的值越来越趋近于且小于， 所以对任意正整数 ，不等式恒成立时，， 即实数的最小值为． 1．（2026·高二·山东东营·期末）已知等比数列的公比为，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】等比数列首项时，， 因为，所以为递增数列， 所以推不出为递减数列； 若数列的通项公式为，此数列为递减数列， 公比，不满足，所以为递减数列推不出； 所以等比数列的公比为，“”是“为递减数列”的既不充分也不必要条件. 2．（2026·高二·广东深圳·期末）设数列满足，则的前50项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，当时，； 当时，；， 所以，即，；当时，不满足； 所以，则时，的前项和为. 所以. 3．（2026·高二·北京·期末）正整数倒数和已经被研究了几百年，迄今为止只得到近似求和公式，当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，仍不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】设，则， 因为， 可知数列为递增数列， 且， ， 可知，所以. 4．（2026·高二·安徽·期末）已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．中最大 D． 【答案】D 【解析】等差数列的公差为d，其前n项和为， 由，得，由，得， 则有，即，B正确；，A正确； 因，且，，则是递减等差数列，其前6项均为正，从第7项起为负数，因此，中最大，C正确； ，，，即，D不正确. 5．在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且，则称数列为“－数列”．下列数列中为“－数列”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且， 则称数列为“数列”，“数列”不是递增或递减数列． 对于A，因为，所以是递增数列，A错误； 对于B，因为，所以是递增数列，B错误； 对于C，，满足且，故是“数列”，C正确； 对于D，因为， 所以是递减数列，D错误． 6．（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以， 即， 又，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以， 所以. 所以. 7．（2026·高二·北京·期末）下列各图反映了数列的前项和与项数之间的函数关系，其中说明数列可能为等差数列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】数列为等差数列时，则， 则前项和与项数之间为二次函数关系， A项，去掉，是递增的，不符合二次函数图象特征，A不是； B项，在最高点的右侧不单调，B不是； C项，点大致在过原点的二次函数上，C是； D项，给定部分图象不符合二次函数图象特征，也不适合一次函数图象特征，D不是． 8．若数列的通项公式为．的最大项为第项，最小项为第项，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】令，因为，所以，且随的增大而递减， 当时，；当时，；当时，； 则. 数列通项可化为. 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 所以当，即时，，为最小项，即. 所以当，即时，，为最大项，即. 故. 9．（多选题）（2026·高二·福建莆田·阶段检测）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（     ） A． B．当时，最小 C．使得成立的最小自然数 D． 【答案】BD 【解析】A选项，，故， 故，，， ，故，A错误； B选项，因为，所以均为负数，当时，， 所以当时，最小，B正确； C选项，，， 使得成立的最小自然数，C错误； D选项，， ， 故，D正确 10．（多选题）（2026·高二·甘肃兰州·阶段检测）记数列的前项和为，且，则（     ） A．数列是公差为1的等差数列 B． C．数列的前项和为 D．数列是等差数列 【答案】BCD 【解析】选项B：当时，；当时，， 则，也满足此式，故，即B正确； 选项A：由、，得， 由，即数列是公差为的等差数列，故A错误； 选项C：，则的前项和为，故C正确； 选项D：由，得为常数，故数列是公差为2的等差数列，即D正确. 11．（多选题）（2026·高二·重庆江北·阶段检测）记为数列的前项和，则（   ） A．当时，数列为等比数列 B．当时，数列为等差数列 C．若，当时，数列为等差数列 D．若，当时，数列为等比数列 【答案】AB 【解析】对于A，由，当时，，而满足上式， 因此，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确； 对于B，由，当时，，而满足上式， 因此，，数列是首项为，公差为的等差数列，故B正确； 由，且，则，两式相除得，即， 因此是周期为的数列，即，，，，…，则，， 对于C，若为等差数列，则，即，仅当时成立，不具有普遍性，故C错误； 对于D，若为等比数列，则，即，解得，或，这两种情况都得，，与矛盾，故D错误． 12．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）在数列中，如果，都有（K为常数），那么这个数列叫做等积数列，K叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则______． 【答案】3377 【解析】由题可知，即，， 可知，可得， 所以， ， ， 所以. 13．（2026·高二·湖南邵阳·阶段检测）已知正项数列的前项和为，，且，则_______ 【答案】4053 【解析】当时，，即， 由数列为正项数列可知，，又，即数列是首项为2，公差为1的等差数列， 即，则， 当时，； 所以. 14．（2026·高二·江苏镇江·阶段检测）对于数列，，若（为常数），则称是的“和数列”.已知为等差数列，，且是的“和数列”，则，数列的前项和________. 【答案】 【解析】设等差数列的公差为，. 根据等差数列通项公式，有，代入，，解得， 因此. 由“和数列”的定义可知，故，即. 因此是首项为，公比为的等比数列，代入等比数列前项和公式得： 15．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列中，，；数列为等差数列，且满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，得，又，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列． 因此，故． （2）由第（1）问得，由得． 设等差数列的公差为，则，所以． 因为，所以． 数列为严格减数列的充要条件是对任意，均有，即． 因为，所以，且当时取到最小值，故上述不等式对所有正整数恒成立的充要条件为． 16．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知是等差数列，满足，，数列满足，且是等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意 ，都有恒成立，求实数的最小值． 【解析】（1）设的公差为，则， 因为，所以， 故的通项公式为，所以. 由，得，即；由，得. 设，则为等比数列， 所以，， 设的公比为，则，故． 则，即. 所以． 故的通项公式为． （2）由． 当时，，，即； 当时，，即； 当时，，，即 综上所述，数列中的最大项为和，且， 因为对任意 ，都有恒成立，所以． 17．（2026·高三·江苏无锡·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)若对任意，恒成立，求实数的最小值． 【解析】（1）数列为等比数列，设其公比为， ，，故，解得， 所以数列的通项公式为； 则，， 为等差数列，设其公差为，则，解得， 所以的通项公式为； （2），故，即， 令，则， 故当时，，当时，， 当时，， 所以，所以的最大值为， 故，实数的最小值为1. 18．（2026·高二·福建莆田·阶段检测）已知数列的前n项和为，且满足+9. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的最大项； (3)判断中是否存在不同的三项成等差数列，并说明理由. 【解析】（1）当时，，解得 当 时，，则，整理得 ，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故， 当 时，也满足，因此通项公式为； （2）由（1）知 ，显然 ，则， 因为各项均为正数，所以 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故数列的最大项为第项和第项，且； （3）不存在，理由如下： 假设存在不同的三项，，成等差数列，其中，且，，为正整数，则， 代入通项公式得，两边同时除以得，， 令，，，为正整数，且，则， 两边同乘得，， 左边是的倍数，末位是，右边末位只能是或，等式左右末位不可能相等，假设矛盾， 因此不存在不同的三项成等差数列. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 数列全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 等差数列基本量计算 题型2 等比数列基本量计算 题型3 等差数列前n项和基本量计算 题型4 等比数列前n项和基本量计算 题型5 等差数列性质 题型6 等比数列性质 题型7 数列范围与最值问题 题型8 实际应用 题型9 累加法 题型10 累乘法 题型11 已知Sn求an 题型12 证明等差等比数列 题型13 分组求和 核心提升：重难题型归纳 题型1 构造法求通项公式 题型2 裂项相消法 题型3 错位相减法 题型4 倒序相加法 题型5 恒成立与有解问题 题型专练：高频重难特训 题型1 等差数列基本量计算 1．（2026·高二·甘肃白银·阶段检测）若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·河南许昌·期末）已知等差数列满足，，则公差为（     ） A．1 B．2 C． D． 3．（2026·高二·安徽宿州·期末）在等差数列中，，，则（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 4．（2026·高二·安徽安庆·期末）在等差数列中，若，则的公差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2 等比数列基本量计算 5．（2026·高二·河北保定·期中）已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（    ） A．13 B．19 C．26 D．32 6．（2026·高二·河北·期末）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，则数列的公比为（   ） A．2 B． C． D． 7．（2026·高二·广东江门·期末）在等比数列中，若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2026·高二·北京海淀·期末）已知是等比数列，其前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型3 等差数列前n项和基本量计算 9．（2026·陕西渭南·三模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．15 10．（2026·高二·广东汕尾·期中）记为等差数列的前n项和，若，，则=（    ） A．78 B．84 C．90 D．96 11．（2026·高二·陕西渭南·期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·高二·辽宁鞍山·期中）记等差数列的前项和为，则（   ） A．140 B．150 C．160 D．170 题型4 等比数列前n项和基本量计算 13．（2026·高三·河南·开学考试）已知正项等比数列的前项和为，若，则的公比为（   ） A． B． C．2 D．4 14．（2026·云南·模拟预测）已知为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C．15 D．63 15．（2026·高二·全国·单元测试）等比数列的前n项和为，若，则（   ） A．48 B．36 C．42 D．31 16．（2026·高二·广东广州·期末）已知正项等比数列的前n项和为，且，则数列的公比（   ） A．2 B．4 C． D． 题型5 等差数列性质 17．（2026·高二·陕西西安·期中）已知等差数列满足，则（    ） A．82 B．41 C．83 D．84 18．（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 19．（2026·湖南株洲·三模）已知等差数列的前n项和为，，则（    ） A．27 B．36 C．45 D．72 20．（2026·河南信阳·三模）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列中间一项的值以及项数分别为（ ） A．29，19 B．31，18 C．29，20 D．27，19 题型6 等比数列性质 21．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）各项均为正数的等比数列的前项积为，若，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D． 22．（2026·高二·陕西安康·期中）记为等比数列的前n项和，若，，，则（    ）． A．3 B． C．6 D． 23．（2026·高一·上海·期中）等比数列满足且，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 24．已知为递减的等比数列，且，，则公比（   ） A． B． C． D． 题型7 数列范围与最值问题 25．（2026·高二·安徽安庆·阶段检测）已知等比数列的前n项积为，，，则使得成立的正整数n的最大值为（    ） A．7 B．13 C．14 D．15 26．（2026·高三·甘肃兰州·阶段检测）已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前n项积为，且，则使得的n的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 27．（2026·高二·黑龙江大庆·期末）已知等比数列的前项积为，公比，且，则（    ） A． B． C．存在，使得 D．当时，最小 28．（2026·高二·黑龙江绥化·期中）已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则下列选项中不正确的是（ ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 题型8 实际应用 29．（2026·高二·辽宁·阶段检测）王先生为购房于2019年12月初向银行贷款36万元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2020年1月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因资金充足准备向银行申请提前还款，银行规定：提前还款除偿还剩余本金外，另需收取违约金，贷款不满一年提前还款收取提前还款额的百分之三作为违约金；贷款的时间在一年到两年之间申请提前还款收取提前还款额的百分之二作为违约金；满两年之后提前还款收取提前还款额的百分之一作为违约金.王先生计划于2024年12月初将剩余贷款全部一次性还清，则他按现计划的所有还款数额比按原约定的所有还款数额少（    ） A．22450元 B．27270元 C．25650元 D．27450元 30．（2026·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（    ） A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码 31．（2026·高二·北京西城·期末）某公司计划用10年时间（从2026年初到2036年初）完成产能升级，若初始产能为，每年产能的增长率为定值，2030年初产能为，则2036年初的产能是（     ） A． B． C． D． 32．某AI语言模型计费规则：前1000分钟免费使用，超出1000分钟的部分每分钟收费0.001元（不足1分钟的按1分钟收费）．某人因工作需要多天使用该AI模型，若第一天使用300分钟，以后每一天使用的时间比前一天使用时间的还多50分钟．若该用户多天使用该AI模型后的总费用不超过1元，则最大使用天数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 题型9 累加法 33．已知数列满足，，则________. 34．（2026·高二·北京·期中）若数列满足，且对于任意的都有，则__________. 35．（2026·高二·福建福州·期中）已知数列中，满足，，则数列的通项公式___________ 36．（2026·高二·安徽阜阳·阶段检测）已知数列满足，则______； 题型10 累乘法 37．（2026·高二·安徽宿州·阶段检测）已知首项为1的数列满足，则________． 38．（2026·高二·湖南衡阳·期末）已知数列中，，，则________. 39．（2026·高二·天津·阶段检测）若数列满足，， 则______，数列的通项公式______． 40．（2026·高二·甘肃平凉·阶段检测）已知数列满足，，则数列的通项公式是_________ 题型11 已知Sn求an 41．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列满足，则数列的通项公式为_______． 42．（2026·高二·上海宝山·期末）设是数列的前项和，且，则的通项公式为________． 43．（2026·高二·湖南邵阳·期末）已知正项数列的前项和为且则的通项公式为______． 44．已知数列的前项和满足，且，则的通项公式为________． 题型12 证明等差等比数列 45．（2026·高二·甘肃兰州·阶段检测）已知数列满足，，令． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 46．（2026·高二·浙江绍兴·期末）已知数列和满足．. (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 47．（2026·高二·福建龙岩·阶段检测）在数列中，，，． (1)证明数列为等比数列． (2)求的通项公式． 48．（2026·高三·黑龙江辽宁·开学考试）在数列中，，，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式． 题型13 分组求和 49．（2026·高二·甘肃天水·阶段检测）已知等差数列 的前 项和为 ，，． (1)求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 50．（2026·高二·重庆江北·阶段检测）已知等差数列与正项等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 51．（2026·高二·上海宝山·期末）已知等差数列的前n项和为，，且，数列为等比数列，公比为2，且． (1)求数列与的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前 项和． 52．（2026·高二·甘肃庆阳·阶段检测）（1）已知数列是等比数列，若，求及； （2）在（1）的条件下，若数列的通项公式为，求它的前n项和． 题型1 构造法求通项公式 1．已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式； 2．（2026·高二·河南信阳·期末）设为数列的前n项和，． (1)求； (2)证明： （i）； （ii）； (3)求的通项公式． 3．在下列条件下，求数列的通项公式： (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求； (4)若，，求； (5)若，，求； (6)若，，求； (7)若，，求； (8)若，，求； (9)若，，求； (10)若，，求； (11)若，，求； (12)若，，求； (13)若，，求； (14)若，，求； (15)若，，求． 4．（2026·高二·北京海淀·期末）求下列数列的通项公式. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； 题型2 裂项相消法 5．（2026·高二·福建莆田·阶段检测）设公比为的等比数列的前项和为，且. (1)求和； (2)记，数列的前项和为，求. 6．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列，满足，，. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)求满足中的最小值. 7．（2026·高三·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，记． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． 8．（2026·高三·四川南充·阶段检测）在各项都是正数的数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：． 题型3 错位相减法 9．（2026·高二·甘肃兰州·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 10．（2026·高三·广东汕头·阶段检测）在数列中，，． (1)求证：数列是等比数列，并求出通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，⋯，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最大正整数n的值． 11．（2026·高二·甘肃兰州·阶段检测）已知数列满足，． (1)证明：数列是常数列，并求数列的通项公式； (2)设，求的前项和． 12．（2026·高三·云南昭通·阶段检测）已知数列是公差不为0的等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求满足的最大正整数． 题型4 倒序相加法 13．（2026·高一·河南漯河·阶段检测）已知函数． (1)求（且）的值. (2)求的值． 14．已知函数，数列满足.求证：为定值，并求数列的通项公式； 15．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 16．（2026·高二·上海·阶段检测）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 题型5 恒成立与有解问题 17．（2026·高二·江西吉安·期末）已知等差数列的首项，且，，成等比数列，公差． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围． 18．（2026·高二·上海长宁·阶段检测）已知等差数列满足，；数列的前项和为，且； (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数组成等差数列，记公差为，若对于任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)对每一个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列；记数列的前项和为；问：是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； 19．（2026·高二·吉林长春·期末）设数列的前项和为，已知，且． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和． 20．（2026·高二·上海宝山·期末）已知数列满足：，，且对任意正整数都成立． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值． 1．（2026·高二·山东东营·期末）已知等比数列的公比为，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·高二·广东深圳·期末）设数列满足，则的前50项和为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·北京·期末）正整数倒数和已经被研究了几百年，迄今为止只得到近似求和公式，当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，仍不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2026·高二·安徽·期末）已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．中最大 D． 5．在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且，则称数列为“－数列”．下列数列中为“－数列”的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·北京·期末）下列各图反映了数列的前项和与项数之间的函数关系，其中说明数列可能为等差数列的是（     ） A． B． C． D． 8．若数列的通项公式为．的最大项为第项，最小项为第项，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（多选题）（2026·高二·福建莆田·阶段检测）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（     ） A． B．当时，最小 C．使得成立的最小自然数 D． 10．（多选题）（2026·高二·甘肃兰州·阶段检测）记数列的前项和为，且，则（     ） A．数列是公差为1的等差数列 B． C．数列的前项和为 D．数列是等差数列 11．（多选题）（2026·高二·重庆江北·阶段检测）记为数列的前项和，则（   ） A．当时，数列为等比数列 B．当时，数列为等差数列 C．若，当时，数列为等差数列 D．若，当时，数列为等比数列 12．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）在数列中，如果，都有（K为常数），那么这个数列叫做等积数列，K叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则______． 13．（2026·高二·湖南邵阳·阶段检测）已知正项数列的前项和为，，且，则_______ 14．（2026·高二·江苏镇江·阶段检测）对于数列，，若（为常数），则称是的“和数列”.已知为等差数列，，且是的“和数列”，则，数列的前项和________. 15．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知数列中，，；数列为等差数列，且满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围． 16．（2026·高二·江苏苏州·阶段检测）已知是等差数列，满足，，数列满足，且是等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意 ，都有恒成立，求实数的最小值． 17．（2026·高三·江苏无锡·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)若对任意，恒成立，求实数的最小值． 18．（2026·高二·福建莆田·阶段检测）已知数列的前n项和为，且满足+9. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的最大项； (3)判断中是否存在不同的三项成等差数列，并说明理由. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $