基础练习7-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习小题专练

基础练习7 　　　　　　　　　建议用时：60分钟　　实际用时：______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2025·天津卷)集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则∁U(A∪B)＝ A.{1，2，3，4} B.{2，3，4} C.{2，4} D.{4} 2.(福建厦门模拟)已知α为第四象限角，tan α＝－，则cos α＝ A.－ B.－ C. D. 3.(江苏泰州调研)已知{an}为等差数列，若m，n，p，q是正整数，则m＋n＝p＋q是 am＋an＝ap＋aq的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(广州华附、省实、广雅、深中四校联考)任意一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成三角形式，即a＋bi＝r(cos θ＋isin θ)(θ∈R，r≥0).法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].已知复数＝－i，则z2 026＝ A.－－i B.－＋i C. D.－1 5.(广州“六校联盟”一联)对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型＝x＋，对应的残差如下图所示，则模型误差 A.满足一元线性回归模型的所有假设 B.不满足一元线性回归模型的E(e)＝0的假设 C.不满足一元线性回归模型的D(e)＝σ2的假设 D.不满足一元线性回归模型的E(e)＝0和D(e)＝σ2的假设 6.(辽宁部分重点中学协作体模拟)已知双曲线C的离心率为，F1，F2为C的两个焦点，过点F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则＝ A. B. C.2 D. 7.(武汉二月调研)函数f(x)满足：f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)，若f(1)＝2，f(11)＝3，则f(2 025)＝ A.1 B.－1 C.5 D.－5 8.(武汉部分学校调研)已知A，B，C，D是半径为的球体表面上的四点，AB＝2，∠ACB＝90°，∠ADB＝30°，则平面CAB与平面DAB的夹角的余弦值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(2026·全国Ⅱ卷)已知⊙O：x2＋y2＝1，⊙A：x2＋y2－6x－8y＋k＝0，则 A.点A的坐标为(－3，－4) B.当k＝9时，⊙A与x轴相切 C.当k＝－11时，⊙O与⊙A相切 D.当⊙O与⊙A相交时，两个交点所在直线的方程为6x＋8y－k－2＝0 10.(山东济宁模拟)已知函数f(x)＝a sin x＋cos x图象的一条对称轴为直线x＝－，若f(x)在(x1，x2)上单调，且f(x1)＋f(x2)＝0，则 A.a＝1 B.f(x)在上单调递减 C.|x1－x2|的最大值为π D.|x1＋x2|的最小值为 11.(山东青岛调研)已知函数f(x)＝＋ln x，则 A.x＝2是f(x)的极大值点 B.y＝f(x)－x有且只有1个零点 C.存在正实数k，使得f(x)>kx对于任意x∈(0，＋∞)成立 D.若f(x1)＝f(x2)，x1≠x2，则x1＋x2>4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(浙江名校协作体联考)在的展开式中，常数项是________. 13.(2026·天津卷)箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球.有放回地取三次，每次取一个，三次都没取到黄球的概率是________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是________. 14.(山东临沂一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且·＝0，|PF1|＝，|PF2|＝.若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点A，B关于点M对称，则l的方程为________. 基础练习7 1—5 DCAAC　　　6—8 DDB　　　9 BC　　　10 BC 11 BD　　　12 －6　　　13 　　　　14 2x－3y＋6＝0 1.D　集合的补集与并集　由题意得，A∪B＝{1，2，3，5}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D. 2.C　同角三角函数的基本关系　由题意得 解得cos2α＝，又α为第四象限角，所以cosα>0，所以cos α＝，故选C. 3.A　等差数列的通项公式＋充分条件与必要条件的判断 设公差为d，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d＝2a1＋(p＋q－2)d＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝ap＋aq，故充分性成立.若am＋an＝ap＋aq，则(m＋n－2)d＝(p＋q－2)d，当d＝0时，m＋n与p＋q不一定相等，故必要性不成立.故m＋n＝p＋q是am＋an＝ap＋aq的充分不必要条件，故选A. 4.A　共轭复数＋复数的三角表示＋诱导公式　由棣莫弗定理可知，若z＝r(cos θ＋isin θ)，则zn＝rn(cos nθ＋isin nθ)(题眼).因为＝－i，所以z＝＋i＝1·，所以z2 026＝12 026·[cos (2 026×)＋isin]＝cos ＋isin＝－cos －isin＝－－i，故选A. 5.C　一元线性回归模型的残差　用一元线性回归模型得到经验回归模型，根据题中对应的残差图可知，残差的均值E(e)＝0可能成立，但明显残差在x轴上方的数据更分散，所以D(e)＝σ2不满足一元线性回归模型，所以正确的只有C，故选C. 6.D　双曲线的方程与几何性质　由题意，令双曲线C：x2－y2＝1，其中a＝b＝1，c＝，满足离心率为(题眼)，不妨设左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，此时|PF2|＝b＝1(总结：双曲线的焦点到准线的距离等于虚轴长的一半).如下图，不妨令点P在第一象限，取渐近线方程为y＝x，则直线PF2的方程为y＝－(x－)，与直线y＝x的方程联立可得点P，所以|PF1|＝＝，|OP|＝＝1(易错：误将点P当作是双曲线上的点).所以＝.故选D. 7.D　函数的周期性＋函数求值 [第1步，根据条件确定函数的周期性] 因为f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)，所以f(x＋2)＝f(x＋1)＋f(x＋3).两式相加可得f(x)＋f(x＋3)＝0，则f(x＋3)＋f(x＋6)＝0.则f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)是以6为周期的函数(题眼). [第2步，利用周期性结合条件求值] 所以f(11)＝f(5)＝－f(2)＝3，解得f(2)＝－3.所以由f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)及f(1)＝2可得f(3)＝－5.所以f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)＝－5，故选D. 8.B　平面与平面夹角的余弦值＋棱锥的外接球＋正弦定理 设球心为O，△ABC与△ABD的外接圆的圆心分别为E，F，连接OE，EF，OF，OA(题眼)，如下图所示，因为∠ACB＝90°，则E为AB中点(提示：直角三角形的外接圆的圆心在三角形的斜边上，且是斜边的中点)，所以EA＝EB＝AB＝1.因为F为△ABD的外心，所以FA＝FB.所以FE⊥AB.因为OE⊥平面ABC(依据：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面)，所以平面CAB与平面DAB的夹角即为∠OEF的余角.由正弦定理得△ABD的外接圆半径为＝2.因为OF⊥平面ABD，AF⊂平面ABD，所以OF⊥AF.所以OF＝＝＝1，OE＝＝＝2.由OF⊥平面DAB，EF⊂平面DAB，所以OF⊥EF.则Rt△OEF中，sin∠OEF＝＝，所以∠OEF＝30°.所以平面CAB与平面DAB的夹角为60°，其余弦值为，故选B. 9.BC　圆的标准方程＋圆与圆的位置关系＋直线与圆的位置关系　对于A，由题意可得⊙A的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－k，故点A的坐标为(3，4)，故A错误；对于B，当k＝9时，⊙A的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝16，半径为4，则⊙A与x轴相切，故B正确；对于C，当k＝－11时，⊙A的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝36，此时OA＝5＝6－1，则⊙O内切于⊙A，故C正确；对于D，当两圆相交时，两圆的方程作差，得6x＋8y－1－k＝0，即为交点所在直线方程，故D错误.综上，故选BC. 10.BC　三角恒等变换＋三角函数的图象与性质　f(x)＝a sin x＋cos x＝sin (x＋θ)(题眼)，其中tan θ＝[技巧：形如y＝a sin x＋b cos x的函数，优先用辅助角公式化简为y＝A sin (x＋θ)或y＝A cos (x＋θ)，方便后续分析].对于A，因为f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－，所以f＝－a＋×＝±，解得a＝－1，故A错误.对于B，因为a＝－1，则tan θ＝－，所以可取θ＝，此时f(x)＝2sin .由x∈，得x＋∈，所以f(x)在上单调递减，故B正确.对于C，f(x)的最小正周期T＝＝2π，因为f(x)在(x1，x2)上单调，且f(x1)＋f(x2)＝0，所以|x1－x2|的最大值为T＝π，故C正确.对于D，由B中分析知f(x)图象的对称中心横坐标满足x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋kπ，k∈Z.又f(x1)＋f(x2)＝0，且f(x)在(x1，x2)上单调，所以x1与x2关于对称中心对称，所以|x1＋x2|＝2，k∈Z，所以当k＝1时，|x1＋x2|取得最小值，故D错误.综上，故选BC. 11.BD　导数的应用　对于A，因为f(x)＝＋ln x，所以定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＝.所以在区间(0，2)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在区间(2，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，则x＝2是函数f(x)的极小值点.所以A错误.对于B，令g(x)＝f(x)－x＝＋ln x－x(x>0)，g′(x)＝－－1＝＝<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，g(1)＝2＋0－1＝1>0，g(2)＝1＋ln 2－2＝ln 2－1<0.所以函数g(x)存在唯一零点x0，且x0∈(1，2).所以B正确.对于C，由f(x)>kx对于任意x∈(0，＋∞)成立，即k<＝＋对于任意x∈(0，＋∞)成立，构造函数h(x)＝＋(x>0)，h′(x)＝，令m(x)＝x－x ln x－4(x>0)，m′(x)＝－ln x，则在区间(0，1)上，m′(x)>0，函数m(x)单调递增；在区间(1，＋∞)上，m′(x)<0，函数m(x)单调递减，所以m(x)≤m(1)＝－3<0.所以h′(x)<0.所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，没有最小值.故不存在正实数k，使f(x)>kx对于任意x∈(0，＋∞)恒成立.所以C错误.对于D，令t∈(0，2)，则2－t∈(0，2)，2＋t∈(2，4)，令n(t)＝f(2＋t)－f(2－t)＝＋ln (2＋t)－－ln (2－t)＝＋ln ，n′(t)＝－＋·＝－<0，所以n(t)在(0，2)上单调递减，则n(t)<n(0)＝0，则n(t)＝f(2＋t)－f(2－t)<0，令x2＝2－t，由f(x1)＝f(x2)，且函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，得x1>2＋t，则x1＋x2>2－t＋2＋t＝4，当x1≥4时，x1＋x2>4成立，所以D正确.综上，故选BD. 【知识总结】 ①求解函数的极值点，通常利用导数求函数的单调区间，从而确定函数的极值点；②研究函数的零点，除了利用导数求得函数的单调区间外，还可结合零点存在定理来确定；③利用导数研究函数单调性的过程中，若一次求导无法得到结论，可考虑构造函数再次求导的方法来进行确定. 12.－6　二项式定理 解法一(通项公式法)：展开式的通项公式Tr＋1＝Cx·(－2)rx－r＝C(－2)rx，令＝0，得r＝1，所以该二项式的展开式中的常数项为 C(－2)1＝－6. 解法二(组合知识法)：因为的展开式的常数项是中任取2个括号内的与另外剩余的1个括号内的相乘而得到的，所以的展开式的常数项是C()2·C＝－6. 13.　　古典概型＋条件概率　设事件A：有放回地取三次，每次取一个，三次都没取到黄球，则P(A)＝＝.设事件B：有放回地取三次，每次取一个，至少取到一次红球，则P(AB)＝－＝，所以P(B|A)＝＝. 14.2x－3y＋6＝0　椭圆的标准方程与定义＋向量的数量积运算＋直线与椭圆的位置关系　因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝＋＝6，解得a＝3.又在直角三角形PF1F2中，|F1F2|＝＝＝2，所以c＝，则b＝2，故椭圆的标准方程为＋＝1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式作差可得＋＝0.又由已知可得M为AB的中点，即x1＋x2＝－3，y1＋y2＝2，所以＝，即kAB＝.所以直线l的方程为y－1＝，即2x－3y＋6＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $