基础练习6-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习小题专练

基础练习6 　　　　　　　　　建议用时：60分钟　　实际用时：______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2025·全国Ⅱ卷)已知z＝1＋i，则＝ A.－i B.i C.－1 D.1 2.(2026·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{0，1，3，6，9}，B＝{x|＝x}，则A∩B＝ A.{0，1} B.{3，6} C.{0，1，9} D.{0，3，9} 3.(江苏苏北七市调研)函数f(x)＝x3－3x2的所有极值的和为 A.－4 B.－2 C.0 D.2 4.(广州华附、省实、广雅、深中四校联考)随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2025年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的游客比率如图1、图2所示，则估计2025年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 　 　　 图1　　 　　　　　　图2 A.45% B.30% C.13.5% D.13% 5.(江西南昌一模)直线y＝2x与圆x2＋y2－2x－3＝0交于A，B两点，|OA|＝，则|OB|＝　 A. B. C. D. 6.(2026·天津卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn＝n，a3＝6，则a7＋a8＝ A.68 B.56 C.－3 D.－4 7.(江苏南京、盐城一模)第15届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在珠海举行，本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量.航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区.甲、乙、丙、丁4人相约去参观，每个观展区至少有1人，每人只参观1个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为 A. B. C. D. 8.(江苏南京、盐城一模)已知直线l与椭圆＋＝1在第二象限交于A，B两点，l与 x轴，y轴分别交于M，N两点，若|AM|＝|BN|，则l的倾斜角是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(江苏泰州期中)已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，x∈R，则 A.－2≤f(x)≤2 B.f(x)在区间(0，π)上只有1个零点 C.f(x)的最小正周期为π D.∀x∈R，f＝f 10.(新定义|比翼函数)对于函数y＝f(x)，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都 有－x∈D，并且f(x)·f(－x)＝2，则称函数y＝f(x)为“比翼函数”，则下列说法正确的是 A.函数f(x)＝x＋是“比翼函数” B.若函数y＝f(x)在R上为“比翼函数”，则f(0)＝ C.若函数y＝f(x)在R上为“比翼函数”，当x>0，f(x)＝，则x<0，f(x)＝2－x＋x2 D.若函数y＝f(x)在R上为“比翼函数”，其函数值恒大于0，且在R上是单调递减函数，记H(x)＝－f(x)，若H(x1)＋H(x2)>0，则x1＋x2>0 11.(2025·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x＝－的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则 A.|AD|＝|AF| B.|AE|＝|AB| C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥18 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(广州阶段训练)已知向量a，b不共线，且向量λa＋b与a＋(2λ－1)b的方向相反，则实数λ＝________. 13.(广西南宁测试一)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin (C－ A)＝2sin A cos C，且a＝4，则△ABC面积的最大值为________. 14.(湖南长沙一中月考七)已知正六棱锥的高是底面边长的2倍，侧棱长为，正六棱柱内接于正六棱锥，即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱或底面上，则该正六棱柱的外接球表面积的最小值为________. 基础练习6 1—5 AAACC　　　6—8 CAA　　　9 ACD　　　10 ACD 11 ACD　　　12 －　　　13 16　　　14 3π 1.A　复数的运算　由题意得＝＝－i，故选A. 2.A　集合的交集运算　由＝x，解得x＝0或1，即B＝{0，1}，所以A∩B＝{0，1}，故选A. 3.A　利用导数研究函数的单调性与极值　由题意知，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当x＜0或x＞2时，f′(x)＞0，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，所以f(x)的极大值为f(0)＝0，极小值为f(2)＝－4，所以函数f(x)＝x3－3x2的所有极值的和为－4，故选A. 4.C　扇形统计图＋条形统计图　设2025年到该地旅游的游客总人数为a，则游客中青年人的人数为0.45a，其中选择自助游的青年人的人数为0.45a×0.3＝0.135a，所以估计2025年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的13.5%，故选C. 5.C　直线与圆的位置关系＋两点间的距离公式 解法一(联立方程法)：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y并整理得5x2－2x－3＝0，解得x1＝1，x2＝－.因为|OA|＝，所以A(1，2)，B(－，－).又O(0，0)，所以|OB|＝＝，故选C. 解法二(弦长公式法)：由题知，圆x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，故其圆心为(1，0)，半径为2.圆心(1，0)到直线y＝2x的距离d＝，所以|AB|＝2＝(技巧：若直线与圆相交，则圆心到弦的距离、半径长、弦长的一半构成直角三角形).又|OA|＝，所以|OB|＝－＝，故选C. 6.C　数列中项与前n项和之间的关系　由题意得，S4－S2＝a3＋a4＝2.又a3＝6，所以a4＝－4.因为S6－S3＝a4＋a5＋a6＝3，所以a5＋a6＝7，所以S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝7＋a7＋a8＝4，所以a7＋a8＝－3，故选C. 7.A　条件概率的应用＋排列与组合　由题知，先将甲、乙、丙、丁4人分为3组，再将这3组分配给3个展区，基本事件的总数为n(Ω)＝CA＝36(题眼).记事件A为“甲参观珠海国际航展中心”，事件B为“甲与乙不到同一观展区”，则P(A)＝(易错：有3个展区可选，选择每个展区是等可能的，与人员数量无关).若事件A，B同时发生，则当参观珠海国际航展中心有2人时，另外1人为丙或丁，不同的参观情况种数为2A＝4，当参观珠海国际航展中心只有甲1人时，将另外3人分成2组，再将这2组分配给另外2个展区，不同的参观情况种数为CA＝6，所以P(AB)＝＝＝.所以P(B|A)＝＝×3＝，故选A. 8.A　直线与椭圆的位置关系　由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k>0)，则M，N(0，b).联立可得(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－9＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－.因为|AM|＝|BN|，所以(题眼)(方法：利用已知长度关系转化成A，M，B，N横坐标的关系)，即x1＋x2＝－，故－＝－，解得k＝(舍负)，则直线l的倾斜角为，故选A. 9.ACD　三角恒等变换＋正弦函数的图象与性质　已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x＝(题眼)，对于A，－2≤f(x)≤2.所以A正确.对于B，当f(x)＝0时，2x－＝kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z.则f(x)在区间(0，π)上有2个零点x＝，，所以B不正确.对于C，f(x)的最小正周期为＝π，所以C正确.对于D，因为f＝2sin ＝2，所以x＝为f(x)图象的一条对称轴(二级结论：若f(a＋x)＝f(a－x)，则x＝a为函数f(x)图象的一条对称轴).所以D正确.综上，故选ACD. 10.ACD　新定义＋函数的单调性与奇偶性　对于A, 函数f(x)＝x＋，则f(－x)＝－x＋，所以f(x)·f(－x)＝(x＋)(－x＋)＝x2＋2－x2＝2.则函数f(x)＝x＋是“比翼函数”，故A正确.对于B，取f(x)＝－2，则f(－x)＝－2，所以f(x)·f(－x)＝－2×(－2)＝2.此时f(x)在R上为“比翼函数”，但f(0)＝－，故B错误.对于C，当x<0时，－x>0，所以f(x)＝＝＝2－x＋x2.故C正确.对于D，因为函数y＝f(x)是R上的“比翼函数”，其函数值恒大于0，且在R上是单调递减函数，所以H(x)＝－f(x)＝f(－x)－f(x).任取m，n∈R且m>n，则－m<－n，所以f(m)<f(n)，f(－m)>f(－n).所以H(m)－H(n)＝[f(－m)－f(m)]－[f(－n)－f(n)]＝[f(－m)－f(－n)]＋[f(n)－f(m)]>0.所以函数H(x)为R上的增函数.因为H(－x)＝f(x)－f(－x)＝－H(x)，故函数H(x)为R上的奇函数，当H(x1)＋H(x2)>0时，即H(x1)>－H(x2)＝H(－x2)，则x1>－x2，所以x1＋x2>0.故D正确.综上，故选ACD. 11.ACD　抛物线的定义＋抛物线的几何性质＋直线与抛物线的位置关系　对于A，易得F，直线l：x＝－是抛物线C的准线(关键：发现直线l是抛物线的准线，从而运用抛物线的定义求解).由抛物线的定义知|AD|＝|AF|，故A正确.对于B，显然直线AB的斜率不为0，所以可设直线AB：x＝ny＋，代入抛物线C的方程y2＝6x，消去x得y2－6ny－9＝0，Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝6n，y1y2＝－9，所以|AB|＝·＝6(1＋n2).因为EF⊥AB，所以直线EF：y＝－n.易得E，所以|EF|＝3.所以|AE|＝＝.当n＝0时，|AB|＝6，|AE|＝3，此时|AE|≠|AB|.故B错误.对于C，由选项B知|AB|＝6(1＋n2)≥6，当且仅当n＝0时取等号，故C正确.对于D，由选项B知|AE|＝，|BE|＝，所以|AE|·|BE|＝(1＋n2)·＝(1＋n2)＝18(1＋n2)≥18，当且仅当n＝0时取等号.故D正确.综上，故选ACD. 12.－　共线向量 解法一(共线定理法)：由向量λa＋b与a＋(2λ－1)b的方向相反，得λ(2λ－1)＝1，解得λ＝1或λ＝－.当λ＝1时，λa＋b＝a＋b，a＋(2λ－1)b＝a＋b，两向量同向，不符合题意；当λ＝－时，λa＋b＝－a＋b，a＋(2λ－1)b＝a－2b＝－2，两向量反向，符合题意，所以实数λ的值为－. 解法二(设参法)：由向量λa＋b与a＋(2λ－1)b的方向相反，得λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b](k<0)，所以 解得λ＝1(舍去)或λ＝－. 13.16　解三角形＋三角恒等变换　由sin (C－A)＝2sin A cos C得sin Ccos A＝3sin A cos C.由A＋B＋C＝π得sin (A＋C)＝sin B，则sin C cos A＋sin A cos C＝sin B，所以3sin A cos C＋sin Acos C＝sin B，即4sin A cos C＝sin B，所以4a cos C＝b，所以S△ABC＝ab sin C＝a·4a cos C sin C＝a2sin 2C.因为sin 2C≤1，所以S△ABC＝a2sin 2C≤a2＝16，当且仅当sin 2C＝1，即C＝时，△ABC的面积取得最大值，且最大值为16. 14.3π　棱锥与棱柱的结构特征＋棱柱的外接球的表面积　如图1，设正六棱锥P－ABCDEF的底面中心为O2，正六棱柱为A1B1C1D1E1F1－A2B2C2D2E2F2，底面重合的面为A2B2C2D2E2F2，底面A1B1C1D1E1F1的中心为O1，外接球的球心为O，由题意知，底面A2B2C2D2E2F2的中心为O2，底面A1B1C1D1E1F1的边均在正六棱锥的侧面上，作截面PAD的平面图，如图2所示，则PO2＝2AB＝2AO2，AP＝＝AO2＝，所以AO2＝1，PO2＝2，设A2O2＝x，则AA2＝1－x，由题意得tan A＝2，所以A1A2＝2AA2＝2(1－x)，所以OO2＝A1A2＝(1－x)，设外接球半径为R，则R2＝A2O2＝A2O＋OO＝4x2－6x＋3＝4＋，当且仅当x＝时取得最小值，此时外接球的表面积S球＝4πR2＝3π，故正六棱柱的外接球的表面积的最小值为3π. 学科网（北京）股份有限公司 $