基础练习5-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习小题专练

基础练习5 　　　　　　　　　建议用时：60分钟　　实际用时：______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2025·北京卷)已知集合M＝{x|2x－1>5}，N＝{1，2，3}，则M∩N＝ A.{1，2，3} B.{2，3} C.{3} D.∅ 2.(湖南教学教研联盟一联)设复数z＝1＋i，则复数＋(其中表示z的共轭复数)表示的点在 A.x轴上 B.y轴上 C.y＝－x上 D.y＝x上 3.(广州阶段训练)将函数f(x)＝sin (4x＋)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为 A.y＝sin B.y＝cos 2x C.y＝sin D.y＝－sin 8x 4.(江苏七市调研)若函数f(x)＝eax＋2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为 A.a>－2 B.a>－ C.a<－2 D.a<－ 5.(2026·全国Ⅱ卷)已知棱台的上、下底面均是有一个内角为60°的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为 A. B. C. D. 6.(数学文化|《详解九章算法·商功》)(广州调研)下图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…….记各层球数构成数列{an}，且{an＋1－an}为等差数列，则数列的前100项和为 A. B. C. D. 7.(湖北检测训练)已知双曲线C：x2－＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点 F1作圆O：x2＋y2＝1的切线，交双曲线C的右支于点M.若∠F1MF2＝，则实数m＝ A.2＋ B.1＋ C.2 D.1＋ 8.(河北唐山摸底演练)设α，β∈，P＝sin αcos β＋cos αsin 2β.当P取得最大值时，α，β满足 A.tan α＝，tan β＝ B.tan α＝，tan β＝ C.tan α＝，tan β＝ D.tan α＝，tan β＝ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(湖南长郡二十校联盟一联)设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，则 A.C的离心率为 B.△PF1F2的周长为5 C.|PF1|的最大值为3 D.|PF1|2＋|PF2|2的最小值为8 10.(江西重点中学一联)高中数学多选题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.假如每道多选题正确答案是2个选项的概率为，正确答案是3个选项的概率为.小明同学对一道数学多选题没有思路，但是他可以断定B选项是错的(此题答案确实不含B选项)，下列说法正确的是 A.单选A得2分的概率为 B.单选A得3分的概率为 C.从剩下三个选项中随机选两项得6分的概率为 D.剩余三个选项都选的得分期望为4 11.(海口调研)已知函数f(x)＝max＋na－x(a>0，且a≠1)为偶函数，∀x∈R，a2x＋a-2x＋f(x)≥0恒成立，则实数m的可能取值是 A.－2 B.－1 C.0 D.1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(辽宁五校期末)已知点O为△ABC的外心，且||＝3，||＝2，则·＝________. 13.[湖北部分重点中学(武汉一中、武汉三中、武汉六中、武汉十一中、武钢三中)一联]已知直线y＝ax与曲线f(x)＝相切，则实数a的值为________. 14.(安徽六校教育研究会入学素质测试)我国河流旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择.某家庭共6个人，包括4个大人，2个小孩，计划去贵州漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有________种. 基础练习5 1—5 DCCCD　　　6—8 DDC　　　9 ACD　　　10 ABD 11 BCD　　　12 　　　13 　　　14 348 1.D　集合的交集运算　因为M＝{x|2x－1>5}＝{x|x>3}，所以M∩N＝∅，故选D. 2.C　复数的运算＋共轭复数＋复数的几何意义　＋＝＋1－i＝－i，对应的点在直线y＝－x上，故选C. 3.C　三角函数图象的平移与伸缩变换　函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象对应的解析式为y＝sin ，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为y＝sin[2(x＋)＋]＝sin ，故选C. 4.C　利用导数求函数的极值　因为f(x)＝eax＋2x，所以f′(x)＝aeax＋2.若a≥0，则f′(x)>0，此时f(x)单调递增，无极值点，故a<0.令f′(x)＝0，解得x＝ln ，当x>·ln 时，f′(x)>0，当x<ln 时，f′(x)<0，故x＝·ln 是f(x)＝eax＋2x的极值点.因为函数f(x)＝eax＋2x有大于零的极值点，所以ln >0⇒ln <0⇒0<－<1，解得a<－2，故选C. 5.D　棱台的体积公式　由题意可知，S上底＝22×sin 60°＝2，S下底＝32×sin 60°＝，棱台的高h＝，所以该棱台的体积V＝h(S上底＋＋S下底)＝××(2＋＋)＝，故选D. 6.D　等差数列的通项公式＋累加法求数列通项＋裂项相消法求数列的前n项和　由题意得a1＝1，a2＝3，a3＝6，a2－a1＝2，a3－a2＝3.因为{an＋1－an}为等差数列，所以an＋1－an＝2＋(n－1)×1＝n＋1.所以当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝，a1也符合上式.所以an＝，＝＝2(－).所以数列的前100项和为2×(1－＋－＋…＋－)＝2×＝，故选D. 7.D　直线与圆的位置关系＋双曲线的定义与几何性质　如下图，不妨设点M在第一象限，过点F2作F2G⊥MF1于点G，设N为圆O的切点，连接ON，则ON⊥F1N.所以F1N＝NG＝＝＝m，F2G＝2ON＝2.在Rt△MGF2中，MG＝F2G＝，则MF2＝.由双曲线定义可知|MF1|－|MF2|＝2，所以2m＋－＝2，所以m＝1＋，故选D. 8.C　辅助角公式＋二倍角公式＋二次函数的图象与性质 解法一：P＝sin (α＋θ)≤(题眼)(提醒：对asin x＋bcos x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚)，而2cos 2β＋sin 22β＝2cos 2β＋4sin 2βcos 2β＝2cos 2β＋4(1－cos 2β)cos 2β＝－4cos 4β＋6cos 2β＝－4＋(方法：形如y＝a sin 2x＋bsin x＋c的函数，令t＝sin x，这样通过换元就转化为二次函数y＝at2＋bt＋c的最值问题，但应注意换元前后，变量的取值范围要保持不变，因此要根据给定的x的取值范围，求出t的取值范围.另外y＝acos 2x＋bcos x＋c，y＝asin 2x＋bsin x＋c等形式函数的最值都可用这种方法)，所以当cos 2β＝，即cos β＝，β＝，tan β＝时，2cos 2β＋sin 22β取得最大值，此时P＝.则由解得所以tan α＝＝，故选C. 解法二：因为α，β∈，对于A，当tan α＝，tan β＝时，sin α＝，cos α＝，β＝，则P＝××＋×＝＋；对于B，当tan α＝，tan β＝时，sin α＝，cos α＝，β＝，则P＝××＋×＝＋；对于C，当tan α＝，tan β＝时，sin α＝，cos α＝，β＝，则P＝××＋×＝1＋＝；对于D，当tan α＝，tan β＝时，sin α＝，cos α＝，β＝，则P＝××＋×＝＋＝.综上所述，当P取得最大值时，应满足tan α＝，tan β＝，故选C. 解法三：因为β∈，则当tan β＝时，β＝，P＝sin α＋cos α；当tan β＝时，β＝，P＝sin α＋cos α.因为α∈，所以sin α>0，cos α>0，且y＝sin α在上单调递增.所以sin α＋cos α>sin α＋cos α.因为y＝tan α在上单调递增，则由tan α1＝，tan α2＝(α1，α2∈)，得α1>α2，所以sin α1>sin α2.所以当P取得最大值时，应满足tan α＝，tan β＝，故选C. 9.ACD　椭圆的简单几何性质＋基本不等式　因为椭圆的标准方程为＋＝1，所以a＝2，b＝，c＝1.对于A，椭圆的离心率e＝＝，所以A正确.对于B，因为点P在椭圆上，所以△PF1F2的周长为定值2a＋2c＝6.所以B错误.对于C，|PF1|≤a＋c＝3，所以C正确.对于D，因为|PF1|＋|PF2|＝4，所以|PF1|2＋|PF2|2≥(|PF1|＋|PF2|)2＝8(拓展：基本不等式及重要不等式的应用)，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取到最小值.所以D正确.综上，故选ACD. 10.ABD　随机事件的概率＋数学期望　由题知B选项是错的，且正确答案为2个或3个选项.对于A，只有当正确答案为3个选项时，单选A才能得2分，故单选A得2分的概率为，故A正确.对于B，只有当正确答案为2个选项，且A是其中一个正确选项时，单选A得3分，故单选A得3分的概率为×＝，故B正确.对于C，从剩下三个选项中随机选两项得6分需要选对所有正确选项，当正确答案为2个选项时，概率为，当正确答案为3个选项时，选两个不能得6分，所以从剩下三个选项中随机选两项得6分的概率为×＝.故C错误.对于D，当正确答案为2个选项时，选3个得0分，概率为.当正确答案为3个选项时，选3个得6分，概率为.所以得分的期望为0×＋6×＝4.故D正确.综上，故选ABD. 11.BCD　函数的奇偶性、单调性＋不等式恒成立问题 [第1步，利用函数是偶函数确定m，n的关系] 因为函数f(x)＝max＋na－x是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以m＝n，所以f(x)＝m(ax＋a－x). [第2步，换元，将不等式进行参变分离] 因为∀x∈R，a2x＋a-2x＋f(x)≥0恒成立，所以(ax＋a－x)2＋m(ax＋a－x)－2≥0恒成立，令t＝ax＋a－x，t≥2(技巧：用换元法时，注意新元的取值范围)，则不等式可转化为在t∈[2，＋∞)上恒成立(题眼)，即m≥ [第3步，利用函数的单调性求得最值，确定参数的取值范围，得到结论] 因为函数y＝－t在[2，＋∞)上单调递减，所以y＝－t的最大值为－1，所以m≥－1，故选BCD. 12.　三角形的外心＋平面向量的数量积 解法一(投影法)：如下图，取AB，AC的中点D，E，则OE⊥AC，OD⊥AB，则·＝·(－)＝·－·＝||||cos ∠CAO－||||cos ∠OAB＝||||－||||＝3×－2×1＝. 解法二(二级结论)：·＝||2，·＝||2(技巧：二级结论).因为||＝3，||＝2，所以·＝·(－)＝·－·＝||2－||2＝×9－×4＝. 【知识延伸】 二级结论——三角形外心满足的向量关系 若点O为△ABC的外心，则·＝||2，·＝||2. 证明：如下图，过点O作OH⊥AC于点H，因为点O为△ABC的外心，所以H为AC的中点，所以·＝||·||cos ∠OAC＝||·||＝||2，同理·＝||·||cos ∠OAB＝||2. 13.　导数的几何意义　由题意，得f′(x)＝.设直线y＝ax与曲线y＝f(x)切于点(提醒：在解决直线与曲线相切问题时，若切点未给出，需先设出切点)，则a＝f′(x0)＝，所以切线方程为y－(题眼).又直线y＝ax过点(0，0)，所以－＝(－x0)，解得x0＝2.所以a＝. 14.348　排列组合的应用　①若6人乘坐3只船，先将4个大人分成2，1，1三组有C＝6(种)方法，然后将三组排到3只船有A＝6(种)方法，再将2个小孩排到3只船有3×3－1＝8(种)方法，所以共有6×6×8＝288(种)方法.②若6人乘坐2只船，共有×A＝60(种)方法(易错：相同个数分组问题注意除以顺序).综上，共有288＋60＝348(种)方法. 【技巧点拨】 分组分配问题的解题思路一般是先分组再分配： ①对于整体均分，n组元素个数相同，不管它们的顺序如何，分组后一定要除以A； ②对于部分均分，若m组元素个数相同，分组后一定要除以A； ③对于不等分组，只需先分组，后排列. 学科网（北京）股份有限公司 $