基础练习4-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习小题专练

基础练习4 　　　　　　　　　建议用时：60分钟　　实际用时：______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[长沙长郡中学月考(三)]设集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，C＝{1，2，3，4}，则 A.A∩B＝∅ B.A∪B＝C C.A∪C＝C D.A∩C＝B 2.(2025·全国Ⅰ卷)(1＋5i)i的虚部为 A.－1 B.0 C.1 D.6 3.(湖北十一校二联)函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log3(2x＋1)，则f(－4)的值为 A.－2　　 B.－　　 C.　　 D.2 4.(东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学一模)命题“∃x∈R，ex>ln x＋1”的否定是 A.∀x∈R，ex≤ln x＋1 B.∃x∈R，ex≤ln x＋1 C.∀x∉R，ex>ln x＋1 D.∃x∉R，ex>ln x＋1 5.(南京六校联合体调研)已知等比数列{an}满足a4a5a6＝64，则a2a4＋a6a8的最小值为 A.48 B.32 C.24 D.8 6.(2025·全国Ⅰ卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则 a的最小值为 A. B. C. D. 7.(2026·全国Ⅱ卷)把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A，B两个技术攻关组，要求每组 4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有 A.10种 B.12种 C.16种 D.24种 8.(安徽六校素质检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，连接AF2并延长交椭圆C于另一点B，若|F1B|∶|AB|＝5∶7，则椭圆C的离心率为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(海口调研)某高中学校高一年级、高二年级、高三年级的学生分别有400，500，300人.现用比例分配的分层随机抽样的方法，按年级从这些学生中抽取n人开展“教师作业批改情况”问卷调查，若高二年级抽到学生15人，则下列说法正确的是 A.从高二年级学生500人中抽取15人可采用简单随机抽样的方法 B.高一年级抽到学生12人 C.样本容量n＝35 D.三个年级中，高三年级每个学生被抽取到的概率最小 10.(深圳模拟)已知函数f(x)＝x3－3x＋2，则 A.f(x)有两个极值点 B.f(x)<0当且仅当x<－2 C.当x>1时，f(x2＋1)>f(2x) D.若f(x1)＋f(x2)＝4，则x1＋x2＝0 11.[江浙皖高中(县中)发展共同体联考]在平面直角坐标系xOy中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)为抛物线y2＝4x上的三点，F为抛物线的焦点，且＋＋＝0，则 A.x1＋x2＋x3＝3 B.xi≤2(i＝1，2，3) C.存在三点A，B，C，使，，分别为一个三角形的三条边长 D.x＋x＋x＝ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(原创)已知α，β都是锐角，sin α＝，sin β＝，则α＋β为________(填“锐角” “直角”或“钝角”). 13.(山东青岛调研)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，直线l过点P(3，4)，若直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，写出满足上面条件的一条直线l的方程________. 14.(昆明摸底测试)在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB＝CD＝2， BC＝，M为CD的中点，则直线AM与平面ABC所成角的正弦值为________. 基础练习4 1—5 CCAAB　　　6—8 BCC　　　9 AB　　　10 ABC 11 ABD　　　12 直角　　　13 x＝3(写出x＝3或15x－8y－13＝0中的一个即可)　　　14 1.C　集合的交集与并集运算 解法一：集合A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，A∪C＝{1，2，3，4}＝C，A∩C＝{1，2}，故选C. 解法二：由题意，知A⊆C，B⊆C，所以A∪C＝C.故选C. 2.C　复数的运算＋复数的概念　(1＋5i)i＝－5＋i，其虚部为1，故选C. 3.A　奇函数的性质　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log3(2x＋1)，则f(4)＝log39＝2，故f(－4)＝－f(4)＝－2，故选A. 4.A　存在量词命题的否定　因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“∃x∈R，ex>ln x＋1”的否定为“∀x∈R，ex≤ln x＋1”，故选A. 5.B　等比数列的性质＋基本不等式　因为a4a5a6＝a＝64，所以a5＝4(题眼)(提示：在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq).所以a2a4＋a6a8＝a＋a≥2a3a7＝2a＝32，当且仅当a3＝a7时等号成立，故选B. 6.B　正切型函数图象的对称中心　令x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z(提示：正切函数y＝tan x图象的对称中心为(，0)，k∈Z)，故y＝2tan 图象的对称中心为，k∈Z，由题意知a＝＋>0，k∈Z，所以a的最小值为，故选B. 7.C　组合＋分步乘法计数原理＋分类加法计数原理　当甲、乙在A组时，从丙或丁中选1人到A组，另1人到B组，有C种排法，再从剩下的4人中选1人到A组有C种排法，根据分步乘法计数原理，共有C×C＝8种分配方案；当甲、乙在B组时，也有8种分配方案，所以一共有16种分配方案，故选C. 8.C　椭圆的几何性质与定义＋余弦定理及其推论　因为|F1B|∶|AB|＝5∶7，故可设|F1B|＝5t，|AB|＝7t.因为A为椭圆的上顶点，所以|AF1|＝|AF2|＝a.则|F2B|＝7t－a.又|F1B|＋|F2B|＝2a，故5t＋7t－a＝2a，解得t＝，故|F1B|＝，|AB|＝.所以在△ABF1中，cos∠BAF1＝＝＝.所以在△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|·cos ∠F1AF2，即4c2＝a2＋a2－2·a2·＝a2.所以＝，故选C. 9.AB　分层随机抽样＋简单随机抽样　对于A，从高二年级学生500人中抽取15人可以采用简单随机抽样的方法，故A正确；对于B，设高一年级抽到学生a人，则＝，解得a＝12，故B正确；对于C，＝，解得n＝36，故C错误；对于D，无论哪个年级，每个学生被抽到的概率均相等，故D错误.综上，故选AB. 10.ABC　利用导数研究函数的单调性与极值　对于A，已知f(x)＝x3－3x＋2，求导得f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，当x<－1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当－1<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以函数f(x)有2个极值点，故A正确.对于B，f(x)＝x3－3x＋2＝(x－1)2(x＋2)，其中(x－1)2≥0，要使f(x)<0，则x－1≠0且x＋2<0，解得x<－2，故B正确.对于C，由A知，当x>1时，f(x)单调递增，因为(x2＋1)－2x＝(x－1)2>0，所以f(x2＋1)>f(2x)，故C正确.对于D，取x1＝－2，得f(－2)＝0，要使f(x1)＋f(x2)＝4，则有f(x2)＝4，令x3－3x＋2＝4，即x3－3x－2＝0，即(x＋1)2(x－2)＝0，可得不同的实根有2个：－1和2，若取x1＝－2，x2＝－1，满足f(x1)＋f(x2)＝4，但此时x1＋x2＝－3≠0，因此原命题不一定成立，故D错误.综上，故选ABC. 11.ABD　抛物线的方程＋向量的坐标运算　由题可知F(1，0)，则＋＋＝(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＋(x3－1，y3)＝(x1＋x2＋x3－3，y1＋y2＋y3)＝(0，0)，所以x1＋x2＋x3＝3，且y1＋y2＋y3＝0(题眼).故A正确.由y＝(y2＋y3)2≤2(y＋y)，当且仅当y2＝y3时等号成立，所以x1≤2(x2＋x3)＝2(3－x1)，则x1≤2，同理可得x2≤2，x3≤2，故B正确.不妨设y1≥0，y2≥0，y3<0，则y1＝2，y2＝2，y3＝－2，代入y1＋y2＋y3＝0，得2＋2－2＝0，所以＋＝.故C不正确.由得x1x2＝[－(x1＋x2)]2，x＋x＋x＝(x1＋x2＋x3)2－2(x1x2＋x2x3＋x3x1)＝9－2x1x2－2x3(x1＋x2)＝9－2－2[3－(x1＋x2)](x1＋x2)＝9－2(x1＋x2)2＋6(x1＋x2)－－6(x1＋x2)＋2(x1＋x2)2＝.故D正确.综上，故选ABD. 12.直角　三角恒等变换　因为α，β都是锐角，sin α＝，sin β＝，可得cos α＝，cos β＝，所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.又因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝，即为直角. 13.x＝3(写出x＝3或15x－8y－13＝0中的一个即可) 点到直线的距离＋圆的弦长公式　因为⊙C可化为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2，0)，半径r＝2.当直线l不存在斜率时，此时直线l：x＝3.因为|AB|＝2，r＝2，所以圆心到直线的距离为(题眼).所以直线l：x＝3满足要求.当直线l存在斜率时，设直线方程为y＝k(x－3)＋4，故圆心到直线的距离为＝1＝，解得k＝.所以直线方程为15x－8y－13＝0.所以满足题意的直线有15x－8y－13＝0或x＝3(关键：注意直线的斜率是否存在). 14.　线面垂直的判定定理与性质定理＋线面角的正弦值　如下图，因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD.又BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以CD⊥平面ABC，即CM⊥平面ABC(难点：准确找到直线在平面内的射影)，所以∠CAM即为直线AM与平面ABC所成角的平面角(题眼).在△ABC中，AC＝＝.因为M为CD的中点，所以CM＝CD＝1，所以AM＝＝2，所以sin ∠CAM＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $