基础练习3-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习小题专练

基础练习3 　　　　　　　　　建议用时：60分钟　　实际用时：______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(辽宁大连双基模拟)已知(1－i)z＝2，则|z|＝ A.1 B. C.2 D.4 2.(2025·全国Ⅰ卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为 A.0 B.3 C.5 D.8 3.(广西南宁适应测一)若α∈(0，π)，5cos α＝4，则＋＝ A.3 B. C. D.－3 4.(北京海淀期中)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条直线，且m⊂α，l⊥α，则“l⊥β”是“m∥β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(山东青岛检测一)已知变量x，y的统计数据如下表所示，若x与y的回归直线方程为 ＝0.64x＋0.8，则m＝ x 2.8 3.3 5.0 6.7 7.2 y 2.6 m 4.0 5.1 5.4 A.2.5 B.2.7 C.2.9 D.3.1 6.(山东潍坊调研)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递增的是 A.y＝|sin x| B.y＝|cos x| C.y＝cos 2x D.y＝tan 7.(2025·全国Ⅰ卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为 A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 8.(海口调研)已知a>0，设x1满足方程ax＋ln x＝2a＋1，x2满足方程ln (a－x)－a(x＋ 2)＝－a2＋1，则x1＋x2＝ A.a B.2a C.1 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(湖北十校联考)若X～N(100，1.52)，则下列说法正确的有 A.P(X<100)＝ B.E(X)＝1.5 C.P(X<101.5)＝P(X>98.5) D.P(97<X<101.5)＝P(98.5<X<103) 10.(新考法丨四方均衡剖分)(杭州三月月考)对于一个方格图，我们定义一种新的分割方式，“四方均衡剖分”，要求：①将方格图划分为4个互不重叠的连通区域；②每个区域的形状完全相同；③每个区域各相邻最小正方形有一条边重合；④每个区域里恰好出现1个A， 1个B.以下可以实现“四方均衡剖分”的是 　　　 A　 　　　　　　　　　 B 　 C　　　　　　　　 　 D 11.(2026·全国Ⅱ卷)已知抛物线E：y2＝8x，斜率为k(k>0)的直线l经过点(－1，0)，等边三角形ABC的顶点A在E上，顶点B，C均在l上.下列结论正确的有 A.E的准线方程为x＝－2 B.若l与E没有公共点，则k> C.若l与E的唯一公共点为B，则E的焦点在直线AB上 D.若k＝2，则△ABC面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(广东汕头调研)(1＋x)n(n∈N*)的展开式中x2项的系数为15，则n＝________. 13.(福州质检)底面半径为2且轴截面为正三角形的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个高为的圆锥，所得圆台的侧面积为________. 14.(山东青岛调研，改编)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于A点，直线AF1交C的另一条渐近线于点B，＝，则C的离心率为________. 基础练习3 1—5 BCAAC　　　6—8 ABA　　　9 ACD　　　10 ACD 11 ABD　　　12 6　　　13 6π　　　14 2 1.B　复数的运算＋复数的模 解法一：由题意可得z＝＝＝1＋i，所以|z|＝，故选B. 解法二：由题意可得z＝，所以|z|＝＝＝＝，故选B. 2.C　集合的补集运算＋集合中元素的个数　由题得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，故∁UA＝{2，4，6，7，8}，其有5个元素，故选C. 3.A　同角三角函数的基本关系　由α∈(0，π)得sin α>0，则sin α＝＝＝，则tanα＝＝，所以＋＝＋＝3，故选A. 4.A　空间中线面的位置关系＋充分条件与必要条件的判断 若l⊥β，因为l⊥α，所以α∥β.又m⊂α，所以m∥β，充分性成立.如下图，若m∥β，m⊂α，l⊥α，但l⊥β不成立，故必要性不成立.综上，“l⊥β”是“m∥β”的充分不必要条件，故选A. 5.C　回归直线方程＋样本点的中心　由题意，得＝×(2.8＋3.3＋5.0＋6.7＋7.2)＝5.0，＝×(2.6＋m＋4.0＋5.1＋5.4)＝，所以样本点的中心为(5.0，)(规律：回归直线方程必过样本点的中心)，代入回归直线方程＝0.64x＋0.8中，可得＝0.64×5.0＋0.8，解得m＝2.9，故选C. 【方法技巧】 回归直线方程的解题“三板斧”： (1)算均值：快速算出，(利用凑整、尾数法简化计算)； (2)代中心：将(，)的坐标代入方程，转化为关于参数的方程； (3)解方程：准确求解，必要时检验. 6.A　三角函数的周期性与单调性　对于A，y＝|sin x|的最小正周期为π，在区间上单调递增，故A正确.对于B，y＝|cos x|的最小正周期为π，在区间上单调递减，故B错误.对于C，y＝cos 2x的最小正周期为π，在区间上单调递减，故C错误.对于D，y＝tan 的最小正周期为2π，在区间上单调递增，故D错误.综上，故选A. 7.B　对数的运算　令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0得x＝，y＝，z＝，此时x>y>z，排除A.令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5得x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，排除C.令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8得x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y>z>x，排除D，故选B. 8.A　利用导数研究函数的单调性 [第1步，转化方程] 由题可得x1满足方程ax＋ln x＝2a＋1，x2满足方程ln(a－x)－a(x＋2)＝－a2＋1，即a(a－x)＋ln (a－x)＝2a＋1. [第2步，构造函数，利用导数研究函数的单调性] 令f(x)＝ax＋ln x(a>0，x>0)，则f′(x)＝a＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增(题眼). [第3步，建立方程，得到结论] 所以x1＝a－x2，即x1＋x2＝a(关键：因为函数f(x)是单调函数，f(x1)＝f(a－x2)，所以x1＝a－x2)，故选A. 9.ACD　正态分布　由X～N(100，1.52)可知期望μ＝100，方差σ2＝1.52(题眼)，则P(X<100)＝，A正确；E(X)＝100，B错误；P(X<μ＋σ)＝P(X>μ－σ)，即P(X<101.5)＝P(X>98.5)，C正确；P(μ－2σ<X<μ＋σ)＝P(μ－σ<X<μ＋2σ)，即P(97<X<101.5)＝P(98.5<X<103)，D正确.综上，故选ACD. 10.ACD　新定义　对于A，C，D，可以实现“四方均衡剖分”，分别如图1、图2、图3所示，故A，C，D符合题意；对于B，对于4×4的方格，满足“四方均衡剖分”要求①②③的仅有4种基础划分情形(如图4～图7所示)，其余方案均为图4～图7通过旋转、翻转得到的对称等价图形(题眼)，经验证，都不满足每个区域里恰好出现1个A，1个B，所以符合条件的分割方式不存在，故B不符合题意.综上，故选ACD. 【方法技巧】 本题是图形分割与定义验证的创新题型，核心是严格遵循定义、逐一验证，解题的本质是： (1)先明确所有约束条件，再对每个选项进行“条件匹配”； (2)对复杂选项(如B)，先通过枚举法确定分割形式，验证约束条件是否满足； (3)利用图形对称性，快速构造符合要求的分割方案，提升解题效率. 11.ABD　抛物线的方程与几何性质＋直线与抛物线的位置关系＋点到直线的距离公式　由题意可知，E的准线方程为x＝－2，故A正确.依题意，直线l的方程为y＝k(x＋1)，与y2＝8x联立，消去y，得k2x2＋(2k2－8)x＋k2＝0　(*)，Δ＝(2k2－8)2－4k4＝32(2－k2)，当直线l与E没有公共点时，Δ<0，又k>0，解得k>，故B正确.若直线l与E的唯一公共点为B，则Δ＝0，又k>0，解得k＝，此时(*)式为x2－2x＋1＝0，解得x＝1，所以B(1，2).又焦点F(2，0)，所以直线BF的斜率为－2，则直线BF的方程为y＝－2(x－2)，与E联立，可得直线BF与E的另一个交点为(4，－4).若A(4，－4)，则|AB|＝9.点A到直线l：x－y＋＝0的距离为＝3，此时sin ∠ABC＝＝≠sin ＝，故C错误.当k＝2时，直线l：y＝2x＋2，设A，则点A到直线l的距离d＝＝≥，当等边三角形以BC为底时，面积S＝d2，其最小值为，故D正确.综上，故选ABD. 12.6　二项式定理　根据题意，(1＋x)n(n∈N*)展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，令r＝2，则C＝15，解得n＝6. 13.6π　圆台的侧面积公式　由题意可得圆台的上底面半径r＝1，下底面半径r′＝2，母线长l＝2，则该圆台的侧面积为π(r＋r′)l＝π×(1＋2)×2＝6π. 14.2　双曲线的离心率　由＝可知B为AF1的中点，则OB⊥F1A(O为坐标原点)，可得∠F1OB＝∠AOB，因为直线OA，OB是双曲线的渐近线，由双曲线对称性可知∠AOF2＝∠F1OB，所以∠AOF2＝∠F1OB＝∠AOB＝.所以渐近线OA：y＝x的倾斜角为(题眼).所以＝tan ＝(提示：直线的倾斜角的正切值就是直线的斜率).不妨取a＝n，则b＝n，所以c＝2n(说明：双曲线方程中a，b，c满足c2＝a2＋b2).所以离心率e＝＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $