基础练习2-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习小题专练

基础练习2 　　　　　　　　　建议用时：60分钟　　实际用时：______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(杭州3月月考)已知集合A＝{x|－1<x≤1}，B＝{x|0<x<2}，则A∪B＝ A.{x|0<x≤1} B.{x|－1<x<2} C.{x|0<x<1} D.{x|－1<x<0} 2.(江苏南京、盐城期末调研)若复数z满足z·(1＋i)＝5i，则z在复平面内所对应的点 位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(2025·上海卷)已知事件A，B相互独立，事件A发生的概率P(A)＝，事件B发生的概率P(B)＝，则事件A∩B发生的概率P(A∩B)＝ A.0 B. C. D.1 4.(湖南教学教研联盟一联)一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩不相邻的站法种数是 A.6 B.12 C.18 D.36 5.(原创)科学家利用公式lg E＝4.8＋1.5M估算地震释放的能量E(单位：J)与里氏震级 M的关系.已知甲地发生地震震级比乙地高0.2级，且甲地地震释放的能量是乙地的k倍，则k的值为 A.1.1 B.1.2 C.100.1 D.100.3 6.(数学文化丨牟合方盖)(杭州3月月考)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积时构造的一个和谐优美的几何体，它是指同一正方体分别从纵、横两方向所作的两个内切圆柱的公共部分组成的几何体(如下图)，刘徽研究发现：牟合方盖的体积V1与对应正方体内切球的体积V2满足πV1＝4V2.若某正方体对应牟合方盖的体积是，则该正方体的棱长是 A.2 B.2 C.4 D.4 7.(杭州质检)若sin x＋cos x＝2sin α，sin x cos x＝sin2β，则 A.4cos22α＝cos22β B.cos22α＝4cos22β C.4cos2α＝cos 2β D.cos 2α＝4cos 2β 8.(长沙模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为C的左支上一点，AF1与C的一条渐近线平行.若|AF2|＝|F1F2|，则C的离心率为 A.2 B.2 C.3 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(江苏南京、盐城期末调研，改编)已知a>b>0，c>0，则下列不等式成立的是 A.< B.< C.ca>cb D.·≥4 10.(山东名校考试联盟期中)已知函数f(x)＝sin (2ωx＋θ)＋1(ω>0，|θ|<π)，两条相邻对称轴之间的距离为，且f(x)≤f，则 A.ω＝1 B.θ＝ C.f(x)的图象关于点对称 D.f(x)在上单调递增 11.(郑州质量预测)已知对于任意非零实数x，函数f(x)均满足f(x)＝f，f(x)＝2－f，下列结论正确的有 A.f(1)＝1 B.f(2x)的图象关于点(0，1)中心对称 C.f(2x)的图象关于x＝1轴对称 D.f(2)＋f(22)＋f(23)＋…＋f(210)＝10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学一模)若向量a，b满足a＝(3，4)，b＝(m，5)，且a∥b，则b在a上投影向量的坐标为________. 13.(武汉二月调研)设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与该椭圆交于A，B两点，若线段AF2的中垂线过点F1，则|BF2|＝________. 14.(山东名校考试联盟期中)已知函数f(x)＝mex＋，曲线y＝f(x)在不同的三点处的切线斜率均为3，则实数m的取值范围是________. 基础练习2 1—5 BABBD　　　6—8 AAC　　　9 AD　　　10 ABD 11 ABD　　　12 　　　13 　　　14 1.B　集合的并集运算 2.A　复数的运算＋复数的几何意义　由z·(1＋i)＝5i，得z＝＝＝＝＋i，所以复数z在复平面内对应的点为，所以z在复平面内所对应的点位于第一象限，故选A. 3.B　相互独立事件的概率　因为A，B相互独立，所以P(A∩B)＝P(A)P(B)＝，故选B. 4.B　排列组合　第一步，先让夫妻和老人站成一圈，因为圆形排列没有首尾之分，所以固定其中任意一人，并从此位置把圆展开成一条直线，让其余2人进行全排列，有A种站法；第二步，让3个小孩插空站到3个大人形成的3个空位中，有A种站法，所以3个小孩不相邻的站法种数为AA＝12，故选B. 【技巧点拨】 圆排列：将n个不同的元素排列在圆周上的n个无差别的等分点上，这样的排列称为圆排列，圆排列的方法数是(n－1)！种. 5.D　函数模型的应用　设乙地地震的震级为M，则甲地地震的震级为M＋0.2，则乙地地震释放的能量E乙满足lg E乙＝4.8＋1.5M，甲地地震释放的能量E甲满足lg E甲＝4.8＋1.5(M＋0.2).由题意，甲地地震释放的能量是乙地的k倍，则lg E甲＝lg k＋lg E乙，则4.8＋1.5(M＋0.2)＝lg k＋(4.8＋1.5M)，即lg k＝0.3，解得k＝100.3，故选D. 6.A　数学文化——牟合方盖＋正方体的内切球＋球的体积公式　因为πV1＝4V2，V1＝，所以(题眼).设该正方体的棱长为a，则内切球的半径为，所以V2＝＝，解得a＝2，所以该正方体的棱长是2，故选A. 7.A　同角三角函数的基本关系＋二倍角公式 [第1步，利用同角三角函数的基本关系结合已知等式求sin 2α，sin 2β的等量关系] 将sin x＋cos x＝2sin α两边平方得1＋2sin x cos x＝4sin 2α(提示：同角三角函数平方关系的应用，即sin 2x＋cos2x＝1).又sinx cos x＝sin 2β，所以1＋2sin 2β＝4sin 2α，即1＋2sin 2β－4sin 2α＝0(题眼). [第2步，求2cos 2α－cos 2β的值] 则2cos 2α－cos 2β＝2(1－2sin 2α)－(1－2sin 2β)(提示：二倍角公式的应用)＝1＋2sin 2β－4sin 2α＝0，即2cos 2α＝cos 2β，故CD错误. [第3步，求4cos 22α－cos 22β的值] 由上面分析，可得4cos 22α－cos 22β＝(2cos 2α－cos 2β)·(2cos 2α＋cos 2β)＝0，所以4cos 22α＝cos 22β，故A正确，B错误.综上，故选A. 【难点突破】 (1)由已知等式结构，得到sin 2α，sin 2β间的关系式； (2)利用二倍角公式将选项中的等式和(1)中所求关系式联系起来.　 8.C　双曲线的几何性质　由题知，双曲线C的一条渐近线为l1：y＝x，F1(－c，0)，F2(c，0)，不妨设AF1∥l1，则直线AF1的方程为y＝(x＋c)，联立 解得 所以(题眼)，所以|AF2|2＝＋＝＝(易错：双曲线中基本量间的关系为a2＋b2＝c2，椭圆中基本量间的关系为a2－b2＝c2，二者注意区分).又|AF2|＝|F1F2|，所以|AF2|2＝|F1F2|2，即＝4c2.整理得9a4－10a2c2＋c4＝0，即(9a2－c2)(a2－c2)＝0.又c>a>0，所以c＝3a，所以C的离心率为e＝＝3，故选C. 9.AD　不等式的性质＋基本不等式＋指数函数的性质　对于A，因为a>b>0，所以－＝<0，即<，故A正确；对于B，因为a>b>0，c>0，所以－＝＝>0，即>，故B错误；对于C，由c>0，不能确定指数函数y＝cx是增函数，即ca>cb不一定成立，故C错误；对于D，因为a>0，c>0，所以·＝2＋ac＋≥2＋2＝4，当且仅当ac＝1时取等号(提醒：利用基本不等式求最值时需满足“一正，二定，三相等”)，故D正确.综上，故选ABD. 10.ABD　正弦型函数的图象与性质　对于A，由题知，函数f(x)的最小正周期(题眼)，所以2ω＝，所以ω＝1，故A正确.对于B，函数f(x)＝sin (2x＋θ)＋1，因为f(x)≤f，所以f(x)max＝(题眼)，所以＋θ＝＋2kπ，k∈Z.又|θ|＜π，所以θ＝，故B正确.对于C，函数f(x)＝sin ＋1，因为f＝1，所以函数f(x)的图象关于点对称，故C错误.对于D，当x∈时，(题眼)，所以函数f(x)在上单调递增，故D正确.综上，故选ABD. 【技巧归纳】已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，若求函数f(x)的单调递增区间，则令－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z；若求函数f(x)的单调递减区间，则令＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z；若求函数f(x)图象的对称轴或函数f(x)的极值点，则令ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z；若求函数f(x)图象的对称中心或函数f(x)的零点，则令ωx＋φ＝kπ，k∈Z. 11.ABD　函数性质的综合应用 [第1步，利用赋值法计算函数值判断选项A] 对于A，因为f(x)＝2－f.令x＝1，则有f(1)＝2－f(1)(提示：赋值法)，解得f(1)＝1，故A正确. [第2步，通过整体代换，结合函数对称性判断选项B和C]　 对于B，因为f(x)＝2－f，令x＝2x，则有f(2x)＝2－f(2－x)，所以f(2x)＋f(2－x)＝2(题眼)，即可知函数f(2x)的图象关于点(0，1)中心对称，故B正确. 对于C，因为f(x)＝f，令x＝2x，则f(2x)＝f(21-x)，可知f(2x)的图象关于直线x＝对称，故C错误.　 [第3步，利用赋值法计算函数值，找出规律判断选项D] 对于D，f(2)＝2－f(2-1)，又由f(x)＝f得f(2)＝f(1)＝1，所以f(2-1)＝1，所以f(4)＝f＝1＝2－f，解得f＝1.依次类推，得f(2n)＝1，n∈N*(题眼)，所以f(2)＋f(22)＋f(23)＋…＋f(210)＝10，故D正确.综上，故选ABD. 【方法技巧】 关于函数周期性、对称性的结论　 对于函数y＝f(x)，在其定义域内，若f(2a－x)＋f(x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称，特殊地，当a＝b＝0时，该函数是奇函数； 若f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，特殊地，当a＝0时，该函数是偶函数； 若f(x＋a)＝f(x)，则函数y＝f(x)是以a为周期的周期函数. 12.　平行向量＋投影向量的定义　因为a∥b，所以3×5－m×4＝0，解得m＝，所以b＝.因为a∥b，所以b在a上的投影向量即为b，即. 13.　椭圆的定义与方程＋余弦定理的推论　如下图，设线段AF2的中垂线交AF2于点M，由椭圆方程＋＝1可知，a＝3，b＝，c＝2，则|AF1|＝|F1F2|＝2c＝4.因为点A在椭圆上，根据椭圆定义|AF1|＋|AF2|＝2a＝6，所以|AF2|＝2，所以|AM|＝|MF2|＝1.在Rt△F1F2M中，cos ∠F1F2M＝＝，因为∠F1F2M＋∠F1F2B＝π，所以cos ∠F1F2B＝cos(π－∠F1F2M)＝－.又点B在椭圆上，根据椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a＝6，设|BF2|＝m，则|BF1|＝6－m，在△F1F2B中，由余弦定理的推论得cos ∠F1F2B＝＝＝－(提示：处理焦点三角形问题常结合余弦定理及其推论)，解得m＝，即|BF2|＝. 14.　利用导数研究函数的单调性与极值＋函数与方程　由题知，f′(x)＝mex＋x2＝3，所以有三个不同的根(题眼)，即函数g(x)＝的图象与函数y＝m的图象有三个不同的交点(提示：函数与方程的关系).因为g′(x)＝＝，所以当x∈[3，＋∞)时，g′(x)≥0，函数g(x)单调递增；当x∈(－1，3)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x∈(－∞，－1]时，g′(x)≥0，函数g(x)单调递增，所以g(x)极大值＝g(－1)＝2e，g(x)极小值＝g(3)＝－.当x→＋∞时，g(x)→0；当x→－∞时，g(x)→－∞，故函数g(x)的大致图象如下图所示.由图知，m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $