基础练习1-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习小题专练

基础练习1 　　　　　　　　　建议用时：60分钟　　实际用时：______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2025·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝ A.{0，1，2} B.{1，2，8} C.{2，8} D.{0，1} 2.(原创)若＝i，则＝ A.1＋i B.1－i C.1＋2i D.2＋i 3.(2026·全国Ⅰ卷)已知平面向量a，b不共线，且2a＋yb＝xa－3b，则 A.x＝2，y＝－3 B.x＝－2，y＝3 C.x＝2，y＝3 D.x＝－2，y＝－3 4.(福建部分地市质检)已知等轴双曲线C的焦点到其渐近线的距离为1，则C的焦距为 A. B.2 C.2 D.4 5.(浙江名校协作体联考)一个底面边长为2 cm的正四棱柱形状的容器内装有一些水(底面放置于桌面上)，现将一个底面半径为1 cm的铁制实心圆锥放入该容器内，圆锥完全沉入水中且水未溢出，并使得水面上升了 cm.若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为 A.π cm2 B.6π cm2 C.2π cm2 D.2π cm2 6.(广州阶段训练)函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如下图所示，直线y＝与其交于A，B两点，若|AB|＝，则ω＝ A.1 B.2 C.3 D.4 7.(传统文化|宁夏一百零八塔)(2026·全国Ⅰ卷)一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第i行中塔的座数记为ai(i＝1，2，…，12)，其中a1＝1，a2＝a3＝3，a4＝ a5＝5，且a6，a7，…，a12是一个首项为7，公差为2的等差数列.将a1，a2，…，a12分为 6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为d(d>0)的等差数列，则d＝ A.2 B.4 C.6 D.8 8.(湖北十一校二联)函数f(x)＝a ln x－＋－ab，若f(x)≥0恒成立，则a(b＋1)的取值范围是 A.(－∞，e] B.(0，2e] C.[2，＋∞) D.(－∞，2] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(武汉3月调研)现有10个数据为3，3，3，3，4，4，4，5，5，6，对于该组数据，下列说法中正确的有 A.众数是4 B.平均数是4 C.极差是3 D.中位数是4.5 10.(浙江名校协作体模拟)设函数f(x)与其导函数f′(x)的定义域均为R，且f′(x＋2)为偶函数，f(1＋x)－f(1－x)＝0，则 A.f′(1＋x)＝f′(1－x) B.f′(3)＝0 C.f′(2 025)＝0 D.f(2＋x)＋f(2－x)＝2f(2) 11.(辽宁名校联盟联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M1，M2，离心率为e，点A(x0，y0)在C上，则 A.若△AF1F2的面积为3b2，则tan∠F1AF2＝ B.若直线AM1，AM2的斜率之积为λ，则e2－λ＝1 C.若e＝，则以F1F2为直径的圆O与C无交点 D.若|AF1|≤2b，则e的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(2025·全国Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝________. 13.(广州综测一)已知tan αtan β＝2，cos (α－β)＝，则cos (α＋β)＝________. 14.(大湾区联考)有三个袋子，每个袋子都装有n个球，球上分别标有数字1，2，3，…，n.现从每个袋子里任摸一个球，用X，Y，Z分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事件“X＋Y＝Z”的概率为________. 第一部分　基　础　篇 基础练习1 1—5 DAACA　　　6—8 DBD　　　9 BC　　　10 BCD 11 BCD　　　12 4　　　13 －　　　14 1.D　集合的交集运算　由题意得B＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}，故选D. 2.A　复数的运算＋共轭复数　因为z＋2i＝iz，所以z＝＝＝1－i，所以＝ 1＋i，故选A. 3.A　平面向量的线性表示 解法一(定义法)：因为a，b不共线，所以由平面向量基本定理知，任何一个向量可以由a，b唯一线性表示，所以x＝2，y＝－3，故选A. 解法二(运算法)：将原式变形得(x－2)a＝(y＋3)b，因为a，b不共线，所以a，b均为非零向量，因此x－2＝0，y＋3＝0，解得x＝2，y＝－3，故选A. 4.C　双曲线的性质　设等轴双曲线的焦距为2c，因为焦点到其渐近线的距离为b＝1(拓展：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长)，所以c＝.所以双曲线的焦距为2，故选C. 5.A　棱柱与圆锥的体积公式＋圆锥的侧面积　依题意可得圆锥的体积V＝×22＝2π＝×π×12×h＝h(其中h为圆锥的高)(关键：根据水面上升部分的体积即为圆锥的体积求得圆锥的高)，则h＝6 cm(题眼)，则圆锥的母线长为＝ cm，故圆锥的侧面积为π cm2(提示：圆锥的侧面积公式为S＝πrl，其中r，l分别为圆锥的底面圆半径和母线长)，故选A. 6.D　三角函数的图象与性质　令cos (ωx＋φ)＝，结合题中图象可知，ωxA＋φ＝2kπ＋，ωxB＋φ＝2kπ＋(k∈Z)(方法：三角函数中整体代换的应用)，所以ω|xB－xA|＝.因为|AB|＝，所以|xB－xA|＝(题眼)，解得ω＝4，故选D. 7.B　等差数列的通项公式与前n项和公式　由题意得a1＝1，a2＝a3＝3，a4＝a5＝5，当6≤n≤12时，an＝7＋2(n－6)＝2n－5，则a1＋a2＋…＋a12＝1＋3＋3＋5＋5＋＝108.设新的项数为6的等差数列为{bn}，则6b1＋d＝108，即2b1＋5d＝36.因为b1∈N*，d>0，所以d∈N*，且d＝2k，k∈N*.又由题意知a1，a2，…，a12都为奇数，所以任意两项之和都为偶数，即b1为偶数.经分析得当d＝4，b1＝8时满足上述要求，此时数列{bn}各项分别为8，12，16，20，24，28，可由(1，7)，(3，9)，(3，13)，(5，15)，(5，19)，(11，17)组成，符合题意，故选B. 8.D　不等式恒成立问题＋利用导数研究函数的单调性　由题知f(x)＝≥0在(0，＋∞)上恒成立，易知a>0，此时y＝ax－2，y＝ln x－b在(0，＋∞)上都单调递增，所以只需y＝ax－2，y＝ln x－b在(0，＋∞)上的零点相同，即＝eb.所以a(b＋1)＝(题眼).令g(x)＝，则g′(x)＝，当x<0时，g′(x)>0，即g(x)在(－∞，0)上单调递增，当x>0时，g′(x)<0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(0)＝2.当x→＋∞时，g(x)→0；当x→－∞时，g(x)→－∞，即a(b＋1)的取值范围是(－∞，2]，故选D. 9.BC　众数＋中位数＋平均数＋极差　对于A，10个数据中3出现了4次，4出现了 3次，5出现了2次，6出现了1次，所以出现次数最多的数据是3，所以众数是3，故A错误；对于B，平均数为＝4，故B正确；对于C，极差为6－3＝3，故C正确；对于D，中位数为＝4，故D错误.综上，故选BC. 10.BCD　函数的对称性＋周期函数＋偶函数的性质　对于A，因为f(1＋x)－f(1－x)＝0，所以f′(1＋x)＋f′(1－x)＝0(题眼)，即f′(x)的图象关于(1，0)对称，故A错误.对于B，f′(x＋2)为偶函数，故f′(x＋2)＝f′(－x＋2)，即f′(x)的图象关于x＝2对称，所以f′(3)＝f′(1)＝0，故B正确.对于C，由f′(x)的图象关于(1，0)对称，可得f′(x)＝－f′(－x＋2)＝f′(－x＋4)，故f′(x＋4)＝－f′(x＋2)＝－(－f′(x))＝f′(x)，即f′(x)的周期为4(提示：周期函数的定义)，所以f′(2 025)＝f′(506×4＋1)＝f′(1)＝0，故C正确.对于D，由f′(x＋2)＝f′(－x＋2)，得f(x＋2)＝－f(－x＋2)＋m，即f(x＋2)＋f(－x＋2)＝m，令x＝0得，2f(2)＝m，故f(2＋x)＋f(2－x)＝2f(2).故D正确.综上，故选BCD. 11.BCD　椭圆的几何性质＋直线的斜率　由S△AF1F2＝b2tan ＝3b2(题眼)(公式：椭圆焦点三角形面积公式为S△AF1F2＝|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝b2tan )，得tan ＝3，所以tan ∠F1AF2＝＝－，故A错误.由题意得M1(－a，0)，M2(a，0)，所以kAM1·kAM2＝·＝＝＝－＝λ.又e2－1＝－1＝＝－，故e2－λ＝1.故B正确.若e＝，则a＝c，b＝c>c，故C正确.由|AF1|≤2b，得|AF1|max≤2b，即a＋c≤2b，即a2＋c2＋2ac≤4a2－4c2，即5e2＋2e－3≤0，所以0<e≤.故D正确.综上，故选BCD. 12.4　导数的几何意义　易得y′＝ex＋1，设切点为(m，n)，则em＋1＝2，解得m＝0，所以切点为(0，5).又切点也在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋a，解得a＝4. 【真题互鉴】 2024年新课标Ⅰ卷第13题是以切线为条件求参数值，与本题有共同之处. 13.－　同角三角函数的基本关系＋两角和与差的余弦公式　由tan αtan β＝2可得sin αsin β＝2cos αcos β，由cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝可得cos αcos β＝，所以sin αsin β＝，所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－. 14.　古典概型概率的计算 [第1步，求基本事件个数] 设“从每个袋子里摸一个球”为事件M，“X＋Y＝Z”为事件N，则n(M)＝n3＝n(Ω). [第2步，求事件“X＋Y＝Z”的个数] 满足Z＝X＋Y(难点：Z＝X＋Y含义的理解，进一步具体化)，则2≤Z≤n(易错：Z>0且Z不能取1)，当Z＝2时，X，Y对应的情况有(1，1)，1种；当Z＝3时，X，Y对应的情况有(1，2)，(2，1)，2种；当Z＝4时，X，Y对应的情况有(1，3)，(2，2)，(3，1)，3种……当Z＝n时，X，Y对应的情况有(1，n－1)，(2，n－2)，…，(n－1，1)，(n－1)种，所以满足Z＝X＋Y的情况n(N)＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＝种(题眼). [第3步，利用古典概型概率公式计算] 故P(N)＝＝＝(提醒：古典概型的概率公式). 【方法技巧】 古典概型的概率求解步骤 (1) 求出所有基本事件的个数n；(2)求出事件A包含的所有基本事件的个数m；(3)代入公式P(A)＝求解. 学科网（北京）股份有限公司 $