基础小卷14-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习基础小卷

基础小卷14 建议时间：60分钟　实际用时：________　总分：100分　得分：______分 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2026·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{0，1，3，6，9}，B＝{x|＝x}，则A∩B＝ A.{0，1} B.{3，6} C.{0，1，9} D.{0，3，9} 2.(原创)已知复数z＝，则在复平面内，对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(贵州适应性考试一)已知方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是 A.(－2，－1) B.(－1，＋∞) C.(－∞，－2) D.(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 4.(辽宁期末)如右图，在△ABC中，＝，＝λ，直线AM交BN于点Q，若＝，则λ＝ A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 5.(江西联考)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，满足a2·a5＝4a6，a3－a2＝48，记[x]表示不超过x的最大整数，设bn＝，则数列{bn}的前30项和为 A.464 B.465 C.466 D.467 6.(辽宁五校期末)下列函数中，最小正周期是π的偶函数是 A.y＝cos2－sin2 B.y＝|sinx|＋|cos x| C.y＝tan |x| D.y＝3－2sin2x 7.(贵阳、六盘水、安顺、铜仁、黔南州适应考一)设方程ln(e2x＋1)－x＝ln3的两个根为x1，x2，则x＋x＝ A.0 B.1 C.e D.π 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8.(广东东莞、揭阳、韶关调研考试)甲、乙两名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，两人的测试成绩如下表所示： 甲的成绩 乙的成绩 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数 4 5 8 3 频数 5 3 9 3 则下列说法正确的有 A.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 B.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差 9.(沈阳质监一)已知F1，F2分别是椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点，点B为短轴的一个端点，点M是C上的任意一点，则下列结论成立的是 A.1≤|MF1||MF2|≤4 B.0≤·≤3 C.0≤|MB|≤2 D.7－4≤≤7＋4 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 10.(生产生活|麦种)(南京调研)某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为________. 11.(2025·天津卷)若直线x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r＞0)交于C，D两点，且|AB|＝3|CD|，则r＝________. 四、解答题：本题共3小题，共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)(四川绵阳适应性考试)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c sin B＝b cos . (1)求C； (2)若D是AB边上一点，且BD＝CD＝2AD，求的值. 13.(15分)(山东青岛适应性检测)如下图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折至△A′DE，得到四棱锥A′－BCDE. (1)证明：平面A′BE⊥平面BCDE； (2)当二面角A′－DE－C为120°时，求CA′与平面A′DE所成角的正弦值. 14.(15分)(广州综测二)已知函数f(x)＝a ln x－(x－1)e2x. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若x＝a是函数f(x)的极值点，证明：f(a)>0. 基础小卷14 1—5 AADAC　　6 D　　7 A　　8 AC　　9 AD 10 0.56　　11 2 1.A　集合的交集运算　由＝x，解得x＝0或1，即B＝{0，1}，所以A∩B＝{0，1}，故选A. 2.A　复数的运算、复数的几何意义　因为复数z＝＝＝＝＝＝ 1－i，所以复数z的共轭复数＝1＋i.所以在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故选A. 3.D　双曲线的方程　因为方程－＝1表示双曲线，所以(m＋1)(m＋2)>0，解得m<－2或m>－1(易错：误认为满足的条件是 )，故选D. 4.A　平面向量的线性运算＋平面向量基本定理　由题可知，A，M，Q三点共线，由平面向量基本定理可知，存在实数μ使得＝μ＋(1－μ).又＝，＝，所以＝ μ＋(1－μ).又A，N，C三点共线，所以＝μ＋1－μ，解得μ＝.即可得＝＋.所以＋＝(＋)＋，所以＝，即－＝.可得＝.又 ＝λ，所以λ＝，故选A. 5.C　等比数列的通项公式＋数列求和　由题意得，数列{an}的公比q>0，且 所以 解得 所以an＝a1qn-1＝4·4n-1＝4n，所以bn＝[ ]＝＝＝＝n＋.因为[x]表示不超过x的最大整数，所以当n＝ 1时，＝1，当n>1时，＝0，所以数列{bn}的前30项和为(1＋)＋(2＋)＋…＋ (30＋)＝(1＋2＋…＋30)＋＋＋…＋＝(1＋2＋…＋30)＋1＝＋1＝466，故选C. 6.D　二倍角公式＋三角函数的周期性与奇偶性　对于A，y＝cos2－sin2＝cosx，则最小正周期是2π，故A不符合题意；对于B，令f(x)＝|sin x|＋|cos x|，则f＝＋＝|cos x|＋|－sin x|＝|cos x|＋|sin x|＝f(x)，所以是函数f(x)的一个周期，所以f(x)的最小正周期不是π，故B不符合题意；对于C，令f(x)＝tan |x|，则f＝tan＝ tan ＝－，f＝tan ＝tan ＝，所以f≠f(－＋π)＝f，所以 π不是f(x)的周期(提示：周期函数的定义)，故C不符合题意；对于D，y＝3－2sin2x＝3－2×＝2＋cos 2x，则最小正周期是π且是偶函数，故D符合题意.综上，故选D. 7.A　对数的运算性质＋对数函数的单调性＋指数的运算＋函数与方程　因为ln (e2x＋1)－x＝ln 3，所以ln (e2x＋1)－ln ex＝ln 3，所以＝ln 3(题眼).由对数函数的单调性可知＝3，即e2x－3ex＋1＝0.又方程ln (e2x＋1)－x＝ln 3的两个根为x1，x2，则ex1，ex2为e2x－3ex＋1＝0的两个根，所以ex1·ex2＝1，即ex1＋x2＝1(难点：令t＝ex，原式可化为t2－3t＋1＝0，则由韦达定理知t1t2＝1，即ex1·ex2＝1，亦即ex1＋x2＝1)，所以x1＋x2＝0，所以x＋x＝(x1＋x2)(x－x1x2＋x)＝0[公式：a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)]，故选A. 8.AC　中位数＋平均数＋方差＋极差　对于A，甲的成绩的中位数是9，乙的成绩的中位数是9，故A正确；对于B，因为甲的成绩的平均数为＝8.5，乙的成绩的平均数为＝8.5，所以两人的成绩的平均数相等，故 B错误；对于C，甲的成绩更集中于8，9，乙的成绩更分散，所以甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，故C正确；对于D，甲的成绩和乙的成绩的极差都是3，故D错误.综上，故选AC. 9.AD　椭圆的性质　由题可知，F1(－，0)，F2(，0)，不妨设B(0，1).设M(x，y)，则|MF1|＝2＋x，|MF2|＝2－x.对于A，|MF1|·|MF2|＝4－x2，因为0≤x2≤4，所以1≤|MF1|·|MF2|≤4，故A正确.对于B，1＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)，所以· ＝x2＋y2－3＝x2－2∈[－2，1]，故B错误.对于C，|MB|＝＝，当y＝－∈[－1，1]时，|MB|max＝，故C错误.对于D，＝＝－1＋，因为－2≤x≤2，所以7－4≤≤7＋4，故D正确(另解：＝＝－1，当|MF2|∈[2－，2＋]时，∈[7－4，7＋4]，故D正确).综上，故选AD. 10.0.56　全概率公式　分别记取到一等麦种和二等麦种为事件A1，A2，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件B.由已知可得，P(A1)＝0.9，P(A2)＝0.1，P(B|A1)＝0.6，P(B|A2)＝0.2，由全概率公式可得，P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.9×0.6＋0.1×0.2＝0.54＋0.02＝0.56. 11.2　点到直线的距离公式＋直线与圆的位置关系　由题意，得A(－6，0)，B(0，6)，圆心(－1，3)，所以|AB|＝6.所以|CD|＝2.圆心(－1，3)到直线x－y＋6＝0的距离d＝＝，则由|CD|＝2，即2＝2，解得r＝2. 12.两角差的余弦公式＋正弦定理＋余弦定理＋三角恒等变换 解：(1)因为c sin B＝b cos ， 由正弦定理得sin C sin B＝sin B cos (关键：利用正弦定理将已知条件等式统一为角之间的关系式)， 又sin B≠0，(1分) 所以sin C＝cos .(2分) 所以sin C＝cos C cos ＋sin C sin .(4分) 所以tan C＝.又C∈(0，π)， 所以C＝.(6分) (2)解法一(正弦定理法)：在△BCD中，因为BD＝CD， 所以∠BCD＝∠B. 又∠ACB＝，(7分) 所以∠ACD＝－∠BCD＝－B. 在△ABC中，sin A＝sin (π－∠ACB－B)＝sin (＋B)(关键：利用三角形内角和定理与诱导公式转化角之间的关系).(8分) 又在△ACD中，由正弦定理得＝，且CD＝2AD， 所以(题眼).(9分) 所以tan B＝，则B＝. 由(1)知∠ACB＝，所以A＝.(11分) 所以＝＝＝.(13分) 解法二(余弦定理法)：设AD＝x，则BD＝CD＝2x.(7分) 在△ABC中，由余弦定理得9x2＝a2＋b2－2ab cos ，即9x2＝a2＋b2－ab.　①(8分) 又(题眼)，(9分) 两边平方得4x2＝b2＋a2＋ab·，(10分) 所以4x2＝b2＋a2＋ab.　②(11分) 结合①消去x2，得a2＝2ab. 又a≠0，所以＝.(13分) 13.面面垂直的判定定理＋二面角＋线面角的正弦值＋空间向量的应用 解：(1)证明：在菱形ABCD中，连接BD， 由题意得△ABD为等边三角形， ∵E为AB的中点， ∴DE⊥EA，DE⊥EB(题眼). ∴DE⊥A′E. 又A′E∩BE＝E，A′E，BE⊂平面A′BE， ∴DE⊥平面A′BE.(4分) 又DE⊂平面BCDE， ∴平面A′BE⊥平面BCDE.(6分) (2)∵A′E⊥DE，BE⊥DE，BE∥DC， ∴∠A′EB即为二面角A′DEC的平面角， 即∠A′EB＝120°(技巧：找二面角的平面角时，优先找垂直于公共棱的两条相交直线). (8分) 如下图，以E为坐标原点，分别以ED，EB以及过点E且垂直于平面BCDE的直线为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Exyz， 则E(0，0，0)，A′(0，－，)，C(，2，0)，D(，0，0)，(10分) ∴＝(－，－，)，＝(0，－，)，＝(，0，0). 设平面A′DE的法向量为n＝(x，y，z)， 则 即 令z＝1，得x＝0，y＝，则n＝(0，，1).(12分) 设直线CA′与平面A′DE所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝(易错：容易混淆线面角与异面直线所成的角，误将cos 〈，n〉当作线面角的余弦值，需牢记线面角是直线与该直线在平面内投影的夹角，范围是，线面角的正弦值等于该直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值)，(14分) ∴直线CA′与平面A′DE所成角的正弦值为.(15分) 14.导数的几何意义＋利用导数研究函数的单调性与极值 解：(1)当a＝1时，函数f(x)＝ln x－(x－1)e2x，其定义域为(0，＋∞)，(1分) 则f′(x)＝－(2x－1)e2x(题眼)，(2分) 所以f′(1)＝1－e2.(3分) 又f(1)＝0，(4分) 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝(1－e2)(x－1).(5分) 令x＝0，得y＝e2－1，令y＝0，得x＝1.(6分) 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积S＝(e2－1)×1＝(e2－1).(7分) (2)证法一(构造新函数法)：由f(x)＝a ln x－(x－1)e2x，得f′(x)＝－(2x－1)e2x， 由x＝a是函数f(x)的极值点， 得f′(a)＝－(2a－1)e2a＝0，即(2a－1)e2a＝1(题眼)，(8分) 则2a－1＝>0，解得a>.(9分) 若a≥1，则(2a－1)e2a>1，与(2a－1)e2a＝1矛盾，所以a<1.(10分) 所以<a<1. 由(2a－1)e2a＝1，得e2a＝， 则f(a)＝a ln a－(a－1)e2a＝a ln a－.(11分) 令g(x)＝x ln x－， 则g′(x)＝ln x＋1－ ＝ln x＋<0，(12分) 所以g(x)在上单调递减.(13分) 所以g(x)>g(1)＝0.(14分) 所以f(a)＝a ln a－>0.(15分) 证法二(直接求导法)：由f(x)＝a ln x－(x－1)e2x，得f′(x)＝－(2x－1)e2x， 令h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝－－4xe2x<0，(8分) 所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递减.(9分) 因为x＝a是函数f(x)的极值点， 所以f′(a)＝1－(2a－1)e2a＝0(题眼).(10分) 所以当0<x<a时，f′(x)>0，则f(x)在(0，a)上单调递增；(11分) 当x>a时，f′(x)<0，则f(x)在(a，＋∞)上单调递减.(12分) 所以当x＝a时，函数f(x)取得最大值f(a).(13分) 由f′(a)＝1－(2a－1)e2a＝0，可得a≠1，(14分) 所以f(a)>f(1)＝0.(15分) 证法三(等价转化法)：由f(x)＝a ln x－(x－1)e2x， 得f′(x)＝－(2x－1)e2x， 由x＝a是函数f(x)的极值点， 得f′(a)＝－(2a－1)e2a＝0， 即(2a－1)e2a＝1(题眼).(8分) 则2a－1＝>0，解得a>.(9分) 若a≥1，则(2a－1)e2a>1，与(2a－1)e2a＝1矛盾，所以a<1.(10分) 所以<a<1. 由(2a－1)e2a＝1，得e2a＝， 则f(a)＝a ln a－(a－1)e2a＝a ln a－.(11分) 下面证明ln a>1－. 令h(a)＝ln a－1＋， 则h′(a)＝－＝<0，(12分) 所以h(a)在上单调递减.(13分) 所以h(a)>h(1)＝0，即ln a>1－.(14分) 所以f(a)>a－＝>0.(15分) 学科网（北京）股份有限公司 $