基础小卷10-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习基础小卷

基础小卷10 建议时间：60分钟　实际用时：________　总分：100分　得分：______分 　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(山东潍坊调研)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－5x＋m＝0}，若A∩B＝{2}，则B＝ A.{2，－3} B.{2，－6} C.{2，3} D.{2，6} 2.(原创)若＝i，则＝ A.1＋i B.1－i C.1＋2i D.2＋i 3.(北京东城综练二)已知单位向量a，b的夹角为θ，若|a＋b|>1，则θ的取值范围为 A. B. C. D. 4.(湖南师大附中月考一)某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上(含90分)为及格.阅卷结果显示，全年级1 200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数(难度系数＝平均分/满分)为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为 附：若X～N(μ，σ2)，记p(k)＝P(μ－kσ<X<μ＋kσ)，则p(0.75)≈0.547，p(1)≈0.683. A.136 B.272 C.328 D.820 5.(福建厦门模拟)若直线y＝kx(k≠0)和y＝0被圆(x－2)2＋(y－1)2＝5所截得的弦长相等，则k＝ A. B. C.2 D.4 6.(安徽六校教育研究会素质测试)若当x∈[0，2π]时，函数y＝sin 与y＝2sin (ω>0)的图象有且仅有4个交点，则ω的取值范围是 A. B. C. D. 7.(太原二模)已知函数f(x)＝(x2－a2)ln (x＋b)(a>0)，若f(x)≥0，则a2＋b2＋2a的最小值为 A.1 B. C.2 D. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8.(浙江名校协作体联考)为测试一种新研发药物的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据： 单位：只 药物 发病状况 合计 发病 未发病 使用 5 45 50 未使用 25 25 50 合计 30 70 100 从该动物种群中任取1只，记事件A表示此动物发病，事件B表示此动物使用药物，定义A的权值R1＝，在B发生的条件下A的权值R2＝，则 A.R1的估值为，R2的估值为 B.R1的估值为，R2的估值为 C.可化为 D.可化为 9.(新考法|双纽线)(广州阶段练习)如右图，造型为“∞”的曲线C称为双纽线，其对称中心在坐标原点O，且C上的点满足到点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离之积为定值a，则 A.点(，0)在曲线C上 B.曲线C的方程为(x2＋y2)2＝2x2－y2 C.曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值为 D.若点(x0，y0)在C上，则y0>|x0| 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 10.(模块融合|数列与统计)(福建泉州一模)将10个数从小到大排列，若这列数成等差数列，且所有奇数项的和为30，所有偶数项的和为40，则这列数的中位数等于________. 11.(广州综测一)已知函数f(x＋1)为奇函数，当x<1时，f(x)＝ax2－x(a≠0)，若f(x)在上单调递增，则a的取值范围是________. 四、解答题：本题共3小题，共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)(东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin A－c sin C＝(b－c)sin B. (1)求角A； (2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围. 13.(15分)(2026·全国Ⅱ卷)如下图，三棱锥A－BCD中，点E在BD上，AE⊥CE，AE⊥DE，CD⊥AD. (1)证明：CD⊥AB； (2)若DE＝2，BE＝1，AE＝，CD＝2，求直线AD与平面ABC所成角的正弦值. 14.(15分)(太原二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2分别为C的左、右焦点，过点F2的直线l交C于点P，Q，且△F1PQ的周长为8. (1)求椭圆C的方程； (2)设△F1F2P和△F1F2Q的面积分别为S1，S2，且S1＋S2＝2，求直线l的方程. 基础小卷10 1—5 CABBB　　6 A　　7 B　　8 AC　　9 AC 10 7　　11 [1，＋∞) 1.C　集合的交集运算　由题意得2∈B，则x＝2为x2－5x＋m＝0的一个根，则m＝6，则该方程为x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3，所以B＝{2，3}，故选C. 2.A　复数的运算、共轭复数　因为z＋2i＝iz，所以z＝＝＝1－i，所以 ＝1＋i，故选A. 3.B　平面向量的夹角＋向量的模　因为向量a，b为单位向量，且|a＋b|>1，所以|a＋b|2>1，即|a|2＋2a·b＋|b|2>1，化简得cos θ>－.因为向量a，b的夹角θ∈[0，π]，所以θ∈，故选B. 4.B　正态曲线的性质　由难度系数＝平均分/满分，得该次数学考试的平均分为0.49×150＝73.5，所以μ＝73.5，σ＝22(题眼).因为73.5－0.75×22＝57，73.5＋0.75×22＝90，所以P(57<X<90)＝p(0.75)≈0.547，所以P(X≥90)＝×(1－0.547)＝0.226 5(小结：根据正态分布求概率时，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质进行求解)，所以该校及格人数为0.226 5×1 200≈272，故选B. 5.B　直线与圆的位置关系＋点到直线的距离　圆(x－2)2＋(y－1)2＝5的圆心坐标为(2，1)，半径r＝，圆心(2，1)到直线y＝0的距离d1＝|1－0|＝1，直线y＝0被圆截得的弦长为2＝2×＝4.圆心(2，1)到直线y＝kx的距离d2＝，直线y＝kx被圆截得的弦长为2＝2(提示：利用勾股定理求直线与圆相交的弦长).由两弦长相等，得2＝4，整理得3k2－4k＝0，即k(3k－4)＝0.因为k≠0，所以3k－4＝0，解得k＝，故选B. 6.A　正弦函数的图象与性质　如下图，画出y＝sin 在x∈[0，2π]上的图象，也画出y＝2sin (ω>0)的草图，函数y＝sin 与y＝2sin (ω>0)的图象有且仅有4个交点，则将y＝2sin (ω>0)的第4个，第5个与x轴交点向2π处移动即可(题眼).满足≤2π<，解得≤ω<，故选A. 7.B　二次函数的最值＋不等式恒成立问题　由题可知函数f(x)的定义域为{x|x>－b}.要使f(x)>0恒成立，需要两个因子同号.(1) 即无法对所有x>－b成立；(2) 即 要让定义域{x|x>－b}与不等式区间完全重合，必须满足－b＝－a且1－b＝a，即a＝b＝(题眼)，所以a2＋b2＋2a＝a2＋(1－a)2＋2a＝2a2＋1.因为a>0，b＝1－a>0，所以0<a<1，所以当a＝时，a2＋b2＋2a＝2a2＋1取最小值为，故选B. 8.AC　古典概型＋条件概率　对于A，B，根据题中表格数据得，总样本数为100，发病的动物共30只，因此用频率估计概率可得P(A)＝＝，1－P(A)＝，则R1＝＝＝.该动物种群使用药物的有50只，其中发病的有5只，因此用频率估计概率可得P(A|B)＝＝，1－P(A|B)＝，则R2＝＝＝，故A正确，B错误.对于C，D，根据条件概率公式得，P(A|B)＝＝，1－P(A|B)＝P(|B)＝，代入R2得R2＝＝＝.又R1＝，所以＝，故C正确， D错误.综上，故选AC. 9.AC　新定义问题　由原点在曲线上可知a＝|OF1|·|OF2|＝1.对于A，设曲线与x轴正半轴相交于(t，0)(t>1)，所以有(t＋1)(t－1)＝1，解得t＝(舍负)，故A正确；对于B，设曲线C上任意一点为(x，y)，则由·＝1可得(x2＋y2＋1)2－4x2＝1，化简可得(x2＋y2)(x2＋y2＋2)－4x2＝0，所以(x2＋y2)2＋2(x2＋y2)＝4x2，即有(x2＋y2)2＝2(x2－y2)，故B错误；对于C，由(x2＋y2)2＝2(x2－y2)可得x4＋(2y2－2)x2＋y4＋2y2＝0，所以Δ＝(2y2－ 2)2－4(y4＋2y2)＝－16y2＋4≥0，解得|y|≤.故C正确；对于D，由(x2＋y2)2＝2(x2－y2)≥0可得|x|≥|y|，所以点(x0，y0)在曲线C上时，有y0≤|x0|成立，故D错误.综上，故选AC. 10.7　等差数列的性质＋等差数列的求和公式＋中位数　因为S10＝＝ 5(a5＋a6)＝30＋40＝70(题眼)，所以a5＋a6＝14，所以这列数的中位数等于＝7(关键：等差数列是按大小顺序排列的，故可直接求解中位数). 11.[1，＋∞)　函数的奇偶性＋二次函数的图象与性质＋函数的单调性　因为函数f(x＋1)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(1，0)对称(规律：若f(x＋a)为奇函数，则f(x)的图象关于点(a，0)对称；若f(x＋a)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝a对称).又f(x)在上单调递增，所以f(x)在上也单调递增.当x<1时，f(x)＝ax2－x(a≠0), 函数图象的对称轴为x＝.当a<0时，f(x)＝ax2－x的图象开口向下，且<0，此时f(x)＝ax2－x在上单调递减，不符合题意，所以(题眼)(技巧：利用单调性列不等式组，通过解不等式组确定参数的范围)，解得a≥1，所以实数a的取值范围是[1，＋∞). 12.解三角形 解：(1)[第1步，根据正弦定理得到a2＝b2＋c2－bc] 因为a sin A－c sin C＝(b－c)sin B， 所以a2－c2＝(b－c)b， 即a2＝b2＋c2－bc(关键：用正弦定理把角转化为边).(2分) [第2步，由余弦定理求得cos A，再结合角A的取值范围即可求出A的大小] 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 则2cos A＝1(题眼)， 即cos A＝.(4分) 又0<A<π， 所以A＝.(6分) (2)[第1步，根据△ABC为锐角三角形，求C的取值范围，进而得到tan C的取值范围] 由△ABC为锐角三角形，且A＝， 得(题眼)， 所以C∈.(8分) 所以tan C∈. 所以∈(0，).(10分) [第2步，将转化为关于tan C的函数即可求解] 由正弦定理得＝＝＝＝·＋∈， 所以的取值范围为.(13分) 13.线面垂直的判定定理与性质定理＋空间向量的应用＋线面角的正弦值 解：(1)∵AE⊥DE，AE⊥CE，DE，CE⊂平面BCD，且DE∩CE＝E， ∴AE⊥平面BCD. 又CD⊂平面BCD， ∴AE⊥CD.(4分) 又CD⊥AD，AE，AD⊂平面ADE，且AE∩AD＝A， ∴CD⊥平面ADE. ∵AB⊂平面ADE， ∴CD⊥AB.(7分) (2)以E为坐标原点，过点E且平行于CD的直线为x轴、ED所在直线为y轴、EA所在直线为z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系Exyz. 则D(0，2，0)，B(0，－1，0)，A(0，0，)，C(2，2，0)， ∴＝(0，2，－)，＝(0，－1，－)，＝(2，2，－).(9分) 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝，则n＝.(12分) 设直线AD与平面ABC所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝.(14分) ∴直线AD与平面ABC所成角的正弦值为.(15分) 14.椭圆的标准方程＋直线与椭圆的位置关系 解：(1)由题意得 解得 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(6分) (2)由(1)得F2(，0)，F1(－，0)，设直线l的方程为x＝my＋，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立 消去x得(4＋m2)y2＋2my－1＝0，Δ>0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝－. 所以|y1－y2|＝ ＝ ＝.(10分) 所以S1＋S2＝|F1F2|·(|y1|＋|y2|) ＝|y1－y2| ＝＝2， 解得m＝±(题眼). 所以直线l的方程为x＋y－＝0或x－y－＝0.(15分) 学科网（北京）股份有限公司 $