基础小卷1-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习基础小卷

基础小卷1 建议时间：60分钟　实际用时：_______　总分：100分　得分：______ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2025·全国Ⅰ卷)(1＋5i)i的虚部为 A.－1 B.0 C.1 D.6 2.(原创)已知集合A＝{x|x3＝4x}，B＝{x|≤1}，则A∩B＝ A.{－1，0，1，2} B.{－2，0，2} C.{0，2} D.{0，1，2} 3.(浙江名校协作体联考)已知向量a＝(x，2)，b＝(2，1)，若(a＋2b)⊥b，则x＝ A.－2 B.2 C.－6 D.6 4.(2025·全国Ⅱ卷)已知0<α<π，cos ＝，则sin ＝ A. B. C. D. 5.(新考法|矩形翻折与点的轨迹)(山东青岛适应性检测一)如下图，E为矩形ABCD边AB的中点，以动直线l为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点E都落在边CD上，记该落点为F，过点F作FP垂直于CD交直线l于点P，点P的轨迹为曲线W的一部分，则W为 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 6.(2026·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝的最大值为1，则a＝ A. B.1 C. D.2 7.(江苏南通、泰州、镇江质监)已知四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AD＝2，点S到直线CD的距离为2.以A为球心，为半径的球面与侧面SCD的交线长为 A. B. C.π D.2π 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8.(生产生活|药物临床试验)(福建部分地市质检一)药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤.在某新药的临床试验中，志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药物浓度将达到峰值，当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时，需要立刻补充药物.已知血液中该药物的峰值浓度为120 mg/L，为探究该药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y(mg/L)与代谢时间x(h)的相关数据，如下表所示： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ＝4 y 120 110 103 93 82 68 59 47 38 ＝80 根据表中数据可得到经验回归方程＝－10.5x＋，则 A.＝122 B.变量y与x的相关系数r>0 C.当x＝5时，残差为－1.5 D.代谢约10小时后才需要补充药物 9.(陕西宝鸡二模)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如右图所示，则 A.f(x)的图象关于直线x＝－对称 B.f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)＝3cos 2x的图象 C.f的单调递增区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z) D.若方程f(x)＝在(0，m)上有且只有6个根，则m∈ 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 10.(2025·上海卷)已知等差数列{an}的首项a1＝－3，公差d＝2，则该数列的前6项和为________. 11.(长沙适应性考试)已知A(4，1)，B(2，2)，C(0，3)，若在圆x2＋y2＝r2(r>0)上存在点P满足|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝13，则实数r的取值范围是________. 四、解答题：本题共3小题，共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)(石家庄质检一)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2，bc＝4. (1)若sin A＝，求sin B·sin C的值； (2)求角A的最大值，并判断此时△ABC的形状. 13.(15分)(长沙模拟)已知A为双曲线C：x2－＝1(b>0)的右顶点，过点T(0，t)的直线l与双曲线C的左、右两支分别相交于M，N两点. (1)若直线l的斜率为2，求b的取值范围； (2)设直线AM，AN分别与y轴相交于P，Q两点，若|AT|2＝|PT|·|QT|，求双曲线C的方程. 14.(15分)(江西测试)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BCC1B1是菱形，∠B1BC＝，AB⊥AC，AB＝AB1，平面ABC⊥平面AB1C. (1)证明：AB1⊥BC； (2)若AB＝1，点D在棱CC1上，且C1D＝C1C，求直线A1D与平面A1B1C所成角的正弦值. 基础小卷1 1—5 CCCDD　　6 B　　7 B　　8 AC　　9 ACD 10 12　　11 [2－1，2＋1] 1.C　复数的运算＋复数的概念　(1＋5i)i＝－5＋i，其虚部为1，故选C. 2.C　集合的交集运算＋方程与分式不等式的解法　集合A＝{x|x3＝4x}＝{－2，0，2}.由≤1，可得≥0，等价于(x＋2)(x＋1)≥0且x≠－2(题眼)，解得x≥－1或x<－2，即B＝(－∞，－2)∪[－1，＋∞)，所以A∩B＝{0，2}，故选C. 3.C　平面向量的数量积　因为(a＋2b)⊥b，所以(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝2x＋2＋2×()2＝2x＋12＝0，解得x＝－6，故选C. 4.D　二倍角公式＋两角差的正弦公式　由cos ＝，得cos α＝2cos2－1＝－(关键：二倍角公式).因为0<α<π，所以sinα>0，所以sin α＝＝，所以sin＝sin α－cos α＝，故选D. 5.D　抛物线的定义　连接PE.由折叠的性质，可得直线l是线段EF的垂直平分线，又任意的点P均在动直线l上，得|PE|＝|PF|(题眼).又PF⊥CD，所以点P到直线CD的距离为|PF|，所以点P到定点E的距离等于其到定直线CD的距离.由抛物线的定义，得点P的轨迹为抛物线的一部分，故选D. 6.B　利用导数研究函数的单调性、最值、零点 解法一(分离参数法)：由选项可知，a>0，则ex＋a>0.因为函数f(x)的最大值为1，所以(题眼)，即a≥x＋2－ex对∀x∈R恒成立，且等号能取到.令g(x)＝x＋2－ex，则 g′(x)＝1－ex，易知当x<0时，g′(x)>0；当x>0时，g′(x)<0.所以当x＝0时，g(x)取得最大值，即g(x)max＝g(0)＝1，则a＝1，故选B. 解法二(切线放缩法)：由选项可知，a>0，则ex＋a>0.因为函数f(x)的最大值为1，所以≤1，即x＋2≤ex＋a对∀x∈R恒成立，且等号能取到.令φ(x)＝ex－x－1，则φ′(x)＝ex－1，令 φ′(x)＝0，得x＝0，所以φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，则 φ(x)min＝φ(0)＝0，所以φ(x)≥0，即ex≥x＋1，所以ex＋a≥x＋a＋1＝x＋2，所以a＝1，故选B. 解法三(隐零点法)：由选项可知，a>0，因为f(x)＝，所以f′(x)＝＝，令t(x)＝a－(x＋1)ex，则t′(x)＝－(x＋2)ex，令t′(x)＝0，得x＝－2，所以t(x)在 (－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，则t(x)max＝t(－2)＝a＋e-2.又当x<－1时，t(x)>0，当x→＋∞时，t(x)→－∞，所以由零点存在定理得存在唯一的x0∈(－1，＋∞)，使得t(x0)＝0，所以当x∈(－∞，x0)时，t(x)>0，即f′(x)>0；当x∈(x0，＋∞)时，t(x)<0，即f′(x)<0.因此f(x)在x＝x0处取得极大值，也是最大值，所以f(x)max＝f(x0)＝.因为t(x0)＝ a－(x0＋1)ex0＝0，所以a＝(x0＋1)ex0，则f(x)max＝＝＝＝1，解得 x0＝0，从而a＝(x0＋1)ex0＝1，故选B. 7.B　球的结构特征＋线面垂直的判定定理与性质定理 [第1步，证明CD⊥平面ASC] 如下图，在梯形ABCD中，因为AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AD＝2，所以AC＝，CD＝，则AC2＋CD2＝AD2，即AC⊥CD(技巧：勾股定理逆定理，通过计算边长平方和，判定垂直关系).因为SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以SA⊥CD.又SA∩AC＝A，SA，AC⊂平面ASC，所以CD⊥平面ASC(题眼). [第2步，求出点A到平面SCD的距离] 因为SC⊂平面ASC，所以CD⊥SC.由点S到直线CD的距离为2，可得SC＝2.过点A作AH⊥SC，垂足为H，则CD⊥AH，又SC∩CD＝C，SC，CD⊂平面SCD，所以AH⊥平面SCD.因为SC＝2，AC＝，可得SA＝＝.又SA·AC＝SC·AH，所以×＝2×AH，得AH＝1(技巧：等面积法求三角形的高). [第3步，计算球面与侧面SCD交线的半径] 则以A为球心，为半径的球面与侧面SCD的交线是以H为圆心的圆弧，其半径r＝＝＝[公式：球面与平面相交圆半径r＝(d为球心到平面的距离，R为球的半径)]， [第4步，判断直线SD与交线的位置关系并求交线长] 由SA＝，AC＝，AD＝2，可得SD＝，SH＝CH＝1，则在Rt△SCD中，点H到直线SD的距离为SH·sin ∠CSD＝1×＝＝>，所以直线SD与这个以H为圆心的圆弧相离，即球面与侧面SCD的交线长是以H为圆心的半圆弧长，为×2π×＝(易错：误将圆弧半径当作AH＝1，导致弧长计算错误)，故选B. 【易错警示】 典型误区：将球面与侧面SCD交线的半径误判为AH＝1，导致交线长计算错误. 错因剖析：混淆了“点到平面的距离AH”与“球面与平面相交圆的半径r”，忽略了公式r＝(d为球心到平面的距离，R为球的半径). 规避策略：牢记球面与平面相交圆的半径公式，明确d是球心到平面的距离，而非平面内某点到交线圆心的距离. 8.AC　相关系数＋经验回归方程＋残差　因为样本点的中心(4，80)在直线y＝－10.5x＋上(题眼)，所以＝80＋4×10.5＝122，故A正确.血液中药物浓度y(mg/L)随代谢时间x(h)的增大而减小，所以变量y与x的相关系数r<0，故B错误.当x＝5时，＝－10.5×5＋122＝69.5，残差为68－69.5＝－1.5，故C正确.令－10.5x＋122＝120×0.2，解得x≈9.33，故D错误.综上，故选AC. 9.ACD　正弦型函数的图象与性质 [第1步，求函数f(x)的解析式] 由题图可知，A＝3，函数f(x)的图象经过点，，故 由①结合|φ|<，得φ＝，代入②，得ω＋＝kπ， k∈Z，解得ω＝－＋k，k∈Z.由题图可知，函数f(x)的最小正周期T满足＝>，所以0<ω<，故ω＝2，所以f(x)＝3sin (题眼)[技巧：由图象确定f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的解析式.先求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；再求ω，确定函数的周期T，则ω＝；最后求φ，将图象上一个点的坐标代入求解，也可以用五点法中的某一个点来求]. [第2步，由正弦型函数的图象与性质判断A，B，C] 对于A，当x＝－时，f＝3sin ＝3sin ＝－3，故直线x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴，故A正确；对于B，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象的解析式为y＝3sin [2(x＋)＋]＝3cos (易错：函数图象的平移注意自变量的系数)，故B错误；对于C，f＝3sin ＝ －3sin ，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，可得x∈，k∈Z，即f的单调递增区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z，故C正确； [第3步，利用数形结合法确定参数范围，从而判断D] 对于D，由f(x)＝可得sin ＝，令t＝2x＋，因为x∈(0，m)，所以t∈，根据题意，得函数y＝sin t的图象与直线y＝在上有且只有6个交点(难点：将题干条件等价转换，利用数形结合法求解)，作出函数图象如下图所示，由图可知，<2m＋≤，解得3π<m≤，故D正确.综上，故选ACD. 10.12　等差数列的前n项和　由等差数列的前n项和公式，得前6项和S6＝6×(－3)＋×2＝12. 11.[2－1，2＋1]　两点间的距离公式＋圆的方程＋圆与圆的位置关系　设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x－4)2＋(y－1)2＋(x－2)2＋(y－2)2＋x2＋(y－3)2＝13，即x2＋y2－4x－4y＋7＝0(题眼)(方法：两点间的距离公式)，配方得(x－2)2＋(y－2)2＝1，所以点P的轨迹为以点(2，2)为圆心，1为半径的圆.依题意，两圆有公共点，所以|r－1|≤2≤r＋1，解得2－1≤r≤2＋1(方法：两圆有公共点，两圆半径差的绝对值≤圆心距≤两圆半径之和)，所以实数r的取值范围为[2－1，2＋1]. 12.正弦定理＋余弦定理的推论＋基本不等式 解：(1)在△ABC中，根据正弦定理，得＝＝＝＝3，(2分) 所以sin B＝，sin C＝(题眼).(4分) 所以sin B·sin C＝·＝.(6分) (2)[第1步，由余弦定理的推论结合基本不等式求得cos A的最小值，确定角A的最大值] 在△ABC中，根据余弦定理的推论，得cos A＝(题眼)，当且仅当b＝c＝2时，等号成立(关键：应用基本不等式求最值时要进行“三相等”验证，确保等号能够取到).(10分) 因为A∈(0，π)，所以A的最大值为(规律：余弦函数y＝cos x在(0，π)上单调递减). (11分) [第2步，根据边的关系确定三角形的形状] 又a＝b＝c＝2， 所以△ABC为等边三角形.(13分) 13.双曲线的标准方程＋直线与双曲线的位置关系＋直线的点斜式方程 解：依题意，直线l的斜率存在. 设M(xM，yM)，N(xN，yN). 设直线l的方程为y＝kx＋t， 联立 可得(b2－k2)x2－2ktx－t2－b2＝0. 则b2－k2≠0. 由Δ＝4k2t2＋4(b2－k2)(b2＋t2)>0，可得k2<t2＋b2， 所以xM＋xN＝，xMxN＝－.(4分) (1)当k＝2时，结合题意可知(题眼)， 即b2－4>0，解得b>2或b<－2. 又b>0，所以b的取值范围是(2，＋∞).(6分) (2)[第1步，分别求点P，Q的纵坐标] 直线AM的方程为y＝(x－1)， 令x＝0，则y＝－，即(题眼). 同理，yQ＝－.(9分) [第2步，表示出|PT|·|QT|和|AT|2，结合已知条件建立方程求得b的值，从而可得双曲线C的方程] 所以|PT|·|QT|＝· ＝· ＝(k＋t)2· ＝(k＋t)2· ＝t2＋b2. 又|AT|2＝t2＋1， 所以t2＋1＝t2＋b2，解得b＝1(舍负). 故双曲线C的方程为x2－y2＝1.(15分) 14.面面垂直的性质定理＋线面垂直的性质定理＋线面角的正弦值＋空间向量的应用 解：(1)证明：∵四边形BCC1B1是菱形，∴BC＝BB1. 又∠B1BC＝， ∴△BCB1是等边三角形. ∴BC＝B1C. 又AB＝AB1，AC＝AC， ∴△ABC≌△AB1C.(2分) ∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°.∴∠B1AC＝90°. ∴AB1⊥AC(题眼).(3分) ∵平面ABC⊥平面AB1C，平面ABC∩平面AB1C＝AC， ∴AB1⊥平面ABC.(5分) 又BC⊂平面ABC， ∴AB1⊥BC.(7分) (2)[第1步，建立空间直角坐标系并求相关向量的坐标] 由(1)知AB，AC，AB1两两互相垂直， 以A为坐标原点，AB，AC，AB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz如下图所示， 易知AC＝1. 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(0，0，1)，A1(－1，0，1)，(8分) ∴＝(1，0，0)，＝(0，1，－1)，＝＝(1，0，－1)，＝(0，1，0)，＝＝， 则＝＋＝＋＝(技巧：当几何体中某点的坐标不易计算时，利用基底表示向量可求向量的坐标)(另解：因为C1D＝C1C，所以＝＝，则D，＝).(10分) [第2步，求平面的一个法向量，从而求线面角的正弦值] 设平面A1B1C的法向量为n＝(x，y，z)， 则 即 取z＝1，得y＝1，x＝0，故n＝(0，1，1)(题眼).(12分) 设直线A1D与平面A1B1C所成的角为θ， 则sin θ＝cos 〈，n〉 ＝ ＝ ＝(易错：线面角的正弦值为直线的方向向量与平面的一个法向量所成角的余弦值的绝对值)，(14分) ∴直线A1D与平面A1B1C所成角的正弦值为.(15分) 学科网（北京）股份有限公司 $