基础小卷13-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习基础小卷

基础小卷13 建议时间：60分钟　实际用时：________　总分：100分　得分：______分 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2025·北京卷)已知集合M＝{x|2x－1>5}，N＝{1，2，3}，则M∩N＝ A.{1，2，3} B.{2，3} C.{3} D.∅ 2.(2026·全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a＋b|＝1，|a－b|＝，则a·b＝ A. B. C.－ D.－ 3.(南宁适应性考试)若α∈(0，π)，5cos α＝4，则＋＝ A.3 B. C. D.－3 4.(兰州模拟)已知直线l，m，平面α，β，则下列说法正确的是 A.若α∥β，m∥α，则m∥β B.若l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，则α∥β C.若m⊥α，m⊥n，则n∥α D.若m⊥α，n∥α，则m⊥n 5.(2025·全国Ⅰ卷)已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是 A.(0，1) B.(1，3) C.(3，＋∞) D.(0，＋∞) 6.(辽宁大连双基模拟)函数f(x)＝cos －1图象的一个对称中心是 A. B. C. D. 7.(2026·全国Ⅰ卷)已知抛物线C1：y2＝2p1x(p1>0)和C2：x2＝2p2y(p2>0)均经过点(4，8)，则C1的焦点与C2的焦点之间的距离为 A.12 B.4 C.6 D. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8.(沈阳质监一)下列命题中正确的是 A.已知某个家庭先后生了两个小孩，当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为 B.马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有20种 C.已知z1，z2∈C，z1z2＝0，则z1，z2中至少有一个为0 D.袋中装有8个白球，2个黑球，从中随机连续取3次，每次取一个球，取后不放回，设取出黑球个数为X，则X～H(10，3，2) 9.(原创)现存在直角梯形ABCD与正方形DEFG如右图所示放置，D，E分别为AG，CD的中点，且AB＝DE＝2，将该平面图形以AG为轴旋转一周得到一个几何体，则 A.该几何体的表面积为(28＋24)π B.该几何体的体积为π C.直角梯形ABCD绕轴旋转一周得到的几何体的外接球表面积为60π D.直角梯形ABCD绕轴旋转一周得到的几何体的外接球与正方形DEFG绕轴旋转一周得到的几何体的外接球球心距为1 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 10.(数学文化|斐波那契数列)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”.若把该数列{an}的每一项除以3所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}，则数列{bn}的前2 026项和是________. 11.[陕西宝鸡检测(二)]若f(x)＝＋ax在R上单调递减，则实数a的最大值为________. 四、解答题：本题共3小题，共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)(合肥质检)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c－2b cos (B＋C)＝0. (1)证明：a2＝b2＋2c2； (2)求内角C的最大值. 13.(15分)(石家庄质检一)已知函数f(x)＝e2x－ax，a∈R. (1)讨论y＝f(x)的极值点个数； (2)若存在实数b使得x轴为g(x)＝f(x)－b的切线，求b的最大值. 14.(15分)(2025·天津卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，P为直线x＝a上一点，且直线PF的斜率为，△PFA的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A)，求证：PF平分∠AFB. 基础小卷13 1—5 DDADB　　6 D　　7 D　　8 BCD　　9 BD 10 2 279　　11 － 1.D　集合的交集运算　因为M＝{x|2x－1>5}＝{x|x>3}，所以M∩N＝∅，故选D. 2.D　平面向量的模与数量积运算　因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1，|a－b|2＝ (a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝3，两式相减，得4a·b＝－2，即a·b＝－，故选D. 3.A　同角三角函数的基本关系　由α∈(0，π)得sin α>0，则sin α＝＝＝，则tanα＝＝，所以＋＝＋＝3，故选A. 4.D　空间中点、直线、平面之间的位置关系　对于A，若α∥β，m∥α，则m⊂β或m∥β，故A错误.对于B，面面平行的判定定理为如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，由于直线l，m不一定相交，所以命题不一定成立，故 B错误.对于C，若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，故C错误.对于D，若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线(题眼).又n∥α，则存在直线m′⊂α，使得m′∥n.又m⊥m′，所以m⊥n，故D正确.综上，故选D. 5.B　直线与圆的位置关系＋点到直线的距离公式　易求得圆心(0，－2)到直线y＝ x＋2的距离d＝2.当r＝1时，该圆上到直线的距离为1的点有且仅有一个.当r＝3时，该圆上到直线的距离为1的点有且仅有三个，故当1<r<3时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，故选B. 6.D　余弦型函数的图象与性质　令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以f(x)＝cos －1图象的对称中心为，k∈Z，当k＝0时，函数 f(x)图象的对称中心是，故选D. 【方法技巧】 函数g(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0)的性质 若求函数g(x)的单调递增区间，则令－π＋2kπ≤ωx＋φ≤2kπ，k∈Z； 若求函数g(x)的单调递减区间，则令2kπ≤ωx＋φ≤π＋2kπ，k∈Z； 若求函数g(x)图象的对称轴或极值点，则令ωx＋φ＝kπ，k∈Z； 若求函数g(x)图象的对称中心或零点，则令ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z. 7.D　抛物线的方程与几何性质＋两点间的距离公式　因为抛物线C1经过点(4，8)，所以82＝2p1×4，解得p1＝8，则C1的焦点坐标为(4，0).因为抛物线C2经过点(4，8)，所以42＝2p2×8，解得p2＝1，则C2的焦点坐标为，所以C1的焦点与C2的焦点之间的距离为＝，故选D. 8.BCD　条件概率＋组合＋复数的运算＋超几何分布　对于A，记事件A为“两个小孩中有女孩”，事件B为“两个小孩中有男孩”，则P(A)＝1－＝，P(AB)＝，则P(B|A)＝＝，故A错误.对于B，C＝20，故B正确.对于C，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i＝0，所以 视上式为关于a，b的二元一次方程组，可得 所以a(c2＋d2)＝0.当c2＋d2＝0，即z2＝0时，方程组有无数多个解；当c2＋d2≠0，即z2≠0时，方程组有且只有唯一解a＝b＝0，即z1＝0.因此当z1z2＝0时，z1， z2中至少有一个为0，故C正确.对于D，因为从中随机连续取3次不放回，所以X服从超几何分布，即X～H(10，3，2).故D正确.综上，故选BCD. 9.BD　旋转体的体积与表面积、几何体的外接球　该平面图形以AG为轴旋转一周得到的几何体是一个圆台与圆柱结合的立体图形.对于A，圆柱的底面圆半径为2，高为2，圆台的高为2，上底面圆半径为2，下底面圆半径为4，则该几何体的表面积为π×22＋π×42＋ 2π×2×2＋(2π×2＋2π×4)×2×＝(28＋12)π，故A错误.对于B，由题意，该几何体的体积V＝V圆柱＋V圆台＝π×22×2＋×(π×22＋π×42＋)×2＝π，故B正确.对于C，易知直角梯形ABCD绕轴旋转一周得到的几何体的外接球的球心在直线AG上且在线段AD外(题眼)，设外接球球心到D点距离为m，外接球的半径为R，则R＝＝，解得m＝2，R＝2，故外接球表面积为4πR2＝80π，故C错误.对于D，正方形DEFG绕轴旋转一周得到的几何体的外接球球心为DG中点H，结合C选项可知直角梯形ABCD绕轴旋转一周得到的几何体的外接球的球心为G，则球心距GH＝1，故D正确.故选BD. 10.2 279　数列的求和＋数列的周期性　1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，…，除以3所得余数分别为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，发现数列{bn}是周期为8的周期数列(题眼).因为2 026＝8×253＋2，b1＋b2＋…＋b8＝9，所以数列{bn}的前2 026项和为253×9＋1＋1＝2 279. 11.－　利用导数研究函数的单调性＋基本不等式 解法一(讨论参数法)：因为f(x)＝＋ax，所以f′(x)＝＋a＝＋a(题眼).令g(x)＝，ex＋≥2＝2，当且仅当ex＝，即x＝0时等号成立，则g(x)≤.当a≤－时，f′(x)≤0恒成立，此时f(x)在R上单调递减；当a>－时(关键：讨论参数的取值范围)，f′(x)不恒为负，故不满足f(x)在R上单调递减，所以a≤－，故实数a的最大值为－. 解法二(分离参数法)： [第1步，等价转换题干条件] 因为f(x)＝＋ax在R上单调递减，所以f′(x)≤0在R上恒成立，所以f′(x)＝＋a≤0在R上恒成立(题眼). [第2步，分离参数，结合函数最值确定参数的取值范围] 所以a≤－在R上恒成立，令g(x)＝－，则g(x)＝－≥－＝－，当且仅当ex＝，即x＝0时等号成立，所以a≤－，故实数a的最大值为－. 【考情速递】 凸显思维能力，化归与转化思想 以函数的单调性为载体，求参数的取值范围，既考查学生的化归与转化的思想，又考查学生运算求解能力，是落实数学思维能力的一个重要考点.2025年上海卷第19题涉及利用导数求参数的取值范围，本题也是考查利用导数求参数的取值范围，本题可先令导数大于或等于0，再分离参数，等价转换为求函数的最值问题. 12.余弦定理的推论＋基本不等式 解：(1)证明：由已知得c＋2b cos A＝0，即cos A＝－， 由余弦定理的推论可得cos A＝－＝(技巧：当条件等式中出现边与角的余弦混合式时，可考虑利用余弦定理的推论转化为边的关系)， 所以a2＝b2＋2c2.(6分) (2)由(1)知a2＝b2＋2c2，所以c2＝(题眼). 所以cos C＝＝ ＝≥＝，(10分) 当且仅当a＝b，即B＝，A＝时，等号成立， 所以cos C的最小值为，即内角C的最大值为[规律：余弦函数y＝cos x在(0，π)上单调递减].(13分) 13.导数在研究函数中的应用 解：(1)由题意得f′(x)＝2e2x－a(提示：当导函数中含有参数，且参数的范围对导函数的正负区间有影响时，需根据参数的范围分段讨论).(2分) 若a≤0，则f′(x)>0，y＝f(x)在R上单调递增，无极值点(小结：单调函数无极值).(4分) 若a>0，令2e2x－a＝0，得x＝ln ， 由于f′(x)＝2e2x－a是增函数，(5分) 所以当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增. 故ln 是y＝f(x)的唯一极小值点. 综上，当a≤0时，y＝f(x)无极值点；当a>0时，y＝f(x)有唯一极小值点.(7分) (2)设切点为(x0，g(x0)). 由(1)知a>0，x轴为y＝g(x)的切线， 则g′(x0)＝0(关键：导函数在切点处的函数值为切线的斜率，且与x轴平行的直线的斜率为0)， 且g(x0)＝0，则 (9分) 解得x0＝ln ，b＝－ln (题眼).(11分) 令h(a)＝－ln (a>0)， 则h′(a)＝－＝－ln .(12分) 当a∈(0，2)时，h′(a)>0，h(a)单调递增， 当a∈(2，＋∞)时，h′(a)<0，h(a)单调递减， 故a＝2是h(a)＝－ln 的唯一极大值点.(13分) h(a)≤h(2)＝1. 所以b的最大值为1.(15分) 14.椭圆的方程＋直线与椭圆的位置关系 解：(1)F(－c，0)，设P(a，y0)， 则直线PF的斜率为＝， 可得y0＝，则S△PFA＝(a＋c)×＝， 得(a＋c)2＝9，即a＋c＝3.　①(3分) 又离心率e＝＝，即a＝2c，　② 联立①②解得a＝2，c＝1，(4分) 所以b2＝a2－c2＝3. 所以椭圆的方程为＋＝1.(6分) (2)证明：由(1)知P(2，1)，易知直线PB的斜率存在， 设直线PB的斜率为k， 则直线PB的方程为y－1＝k(x－2)， 联立 得(4k2＋3)x2＋8k(1－2k)x＋4(1－2k)2－12＝0，(8分) 则Δ＝192k＋96，令Δ＝0，得k＝－， 所以直线PB的方程为y－1＝－(x－2)， 即y＝－x＋2.(9分) 联立 化简得x2－2x＋1＝0， 解得x＝1，则y＝， 所以B.(10分) 则＝，＝(3，1)，＝(3，0)， 所以cos ∠BFP＝ ＝ ＝，　 cos ∠AFP＝ ＝ ＝.(12分) 因为cos ∠BFP＝cos ∠AFP，∠BFP，∠AFP∈(0，π)， 所以∠BFP＝∠AFP(题眼)， 即PF平分∠AFB.(15分) 学科网（北京）股份有限公司 $