基础小卷9-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习基础小卷

基础小卷9 建议时间：60分钟　实际用时：________　总分：100分　得分：______分 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(山西适应性测试)已知集合A＝{x|≤1}，B＝{－1，0，1，2，4}，则右图中阴影部分表示的集合为 A.{1} B.{－1，1} C.{0，1} D.{－1，0，1} 2.(江苏苏锡常镇四市调研一)(x－1)8的二项展开式的第6项系数是 A.C B.C C.－C D.－C 3.(沈阳质监二)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝35，S10＝120，则a8＝ A.13 B.15 C.17 D.19 4.(2025·北京卷)为了得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上所有点的 A.横坐标变为原来的倍(纵坐标不变) B.横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变) C.纵坐标变为原来的倍(横坐标不变) D.纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变) 5.(福州适应性练习)设α，β是两个不重合的平面，则α∥β的充要条件是 A.存在无数条直线与α，β都平行 B.存在无数个平面与α，β都垂直 C.对任意的直线l⊂α，都存在直线m⊂β，使得l∥m D.对任意的直线l⊂α，都存在直线m⊂β，使得l⊥m 6.(新考法|欧拉函数)(湖南九校联盟二联)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数，例如：φ(1)＝1，φ(4)＝2，现将φ(2)，φ(4)，φ(6)，φ(8)，φ(10)的函数值排成一列，则组成的不同五位数的个数为 A.60 B.30 C.15 D.120 7.(新考法|物体的影子长度随太阳高度的变化)(太原二模)物体在太阳光照射下影子的长度随着太阳高度(相对于地面)的变化而变化.如下图，在某斜坡面道路旁A，B两点处(其中A在斜坡路面底，B在斜坡路面上)，有两根长度均为10 m且垂直于水平面放置的路灯杆，在阳光的照射下(阳光可视为平行光)，A处路灯杆的影子在水平路面上，长度为10 m；B处路灯杆的影子完全在斜坡路面上，长度为10 m，则该斜坡面与水平面的夹角α的正弦值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8.(2026·全国Ⅰ卷)设z＝3＋2i，则 A.＝3－2i B.|z|＝5 C.z2＝5＋12i D.∈R 9.(浙江名校协作体模拟)设函数f(x)与其导函数f′(x)的定义域均为R，且f′(x＋2)为偶函数，f(1＋x)－f(1－x)＝0，则 A.f′(1＋x)＝f′(1－x) B.f′(3)＝0 C.f′(2 025)＝0 D.f(2＋x)＋f(2－x)＝2f(2) 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 10.(北京海淀期中)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若C上一点P满足|PF1|＝3，则|PF2|＝________. 11.(兰州模拟)正四面体ABCD的棱长为，过棱AB作平面α与棱CD平行，则平面α截该正四面体的外接球所得截面的面积为________. 四、解答题：本题共3小题，共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)(2026·全国Ⅱ卷)从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间(单位：天)，由试验结果得到如下频率分布直方图： (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数(假设数据在组内均匀分布).　 (2)记为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率的估计值. (ⅰ)求； (ⅱ)该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设X～B(100，)，求E(X)，D(X). 13.(15分)(2025·全国Ⅱ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，长轴长为4. (1)求C的方程. (2)过点(0，－2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为，求|AB|. 14.(15分)(原创)如下图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2A1D1，E，F分别为BC，AD的中点. (1)已知EF∥A1B1，证明：平面EFA1B1∥平面CDD1C1. (2)已知AB＝2，AD＝BC＝4，二面角C－DE－C1的余弦值为，点A1，B，C，D在球O的球面上.求直线EC1与直线CO所成角的正弦值. 基础小卷9 1—5 CCCAC　　6 B　　7 A　　8 ACD　　9 BCD 10 7　　11 1.C　集合的运算＋根式不等式＋Venn图　因为≤1，所以0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}.又Venn图中阴影部分表示A∩B，所以阴影部分表示的集合为{0，1}，故选C. 2.C　二项式定理　(x－1)8的二项展开式的第6项为T6＝T5＋1＝Cx8-5(－1)5＝－Cx3，所以第6项系数是－C，故选C. 3.C　等差数列的性质与求和公式 解法一(性质法)：由题意知，S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝5a8＝120－35＝85，所以 a8＝17，故选C. 解法二(公式法)：由题意知， 解得所以 a8＝a1＋7d＝3＋14＝17，故选C. 4.A　函数图象的伸缩变换　因为y＝9x＝32x(题眼)，所以将函数y＝3x的图象上的所有点的横坐标变为原来的倍(易错：伸缩变换时误认为是横坐标变为原来的2倍，故而错选B)，纵坐标不变，即可得到函数y＝9x的图象，故选A.　 5.C　充分条件与必要条件的判断＋空间中直线与平面的位置关系　对于A，若α，β相交，也存在无数条直线与α，β都平行，因此“存在无数条直线与α，β都平行”不能推出“α∥β”，故A错误.对于B，若α，β垂直，仍然存在无数个平面与α，β都垂直，因此“存在无数个平面与α，β都垂直”不能推出“α∥β”，故B错误.对于C，若α∥β，则α内任意的直线l都与β平行，因此在β内一定能找到与l平行的直线m，故必要性成立；若对任意的l⊂α，都存在m⊂β，使得l∥m，则α与β不可能相交，否则，α内与β相交的直线，在β内无法找到与其平行的直线，因此α∥β，故充分性成立.因此“对任意的直线l⊂α，都存在直线m⊂β，使得l∥m”是“α∥β”的充要条件，故C正确.对于D，即使α，β相交，也能满足“对任意的直线l⊂α，都存在直线m⊂β，使得l⊥m”，故D错误.综上，故选C. 6.B　排列　由题意可知，φ(2)＝1，φ(4)＝2，φ(6)＝2，φ(8)＝4，φ(10)＝4(题眼)，将φ(2)，φ(4)，φ(6)，φ(8)，φ(10)的函数值排成一列，则组成不同的五位数的个数为＝30(提示：倍缩法).故选B. 7.A　解三角形的实际应用＋正弦定理＋两角差的正弦公式 [第1步，求平行光线与水平面的夹角] 由A处路灯杆垂直于水平面，高10 m，影子长10 m知，平行光线与水平面的夹角为45°. [第2步，在B处路灯杆构成的三角形中，利用正弦定理求解正弦值] 在由B处路灯杆、斜坡上的影子、平行光线构成的三角形中，路灯杆垂直于水平面，故其与斜坡的夹角为(90°＋α)，又平行光线与水平面的夹角为45°，所以平行光线与斜坡的夹角为(45°－α)，由三角形内角和定理得第三个角为45°，根据正弦定理得＝，所以＝(题眼)，所以sin (45°－α)＝. [第3步，利用两角差的正弦公式求解] 因为0°<α<45°，所以45°－α＝30°，解得α＝15°，所以sin 15°＝sin (45°－30°)＝ ×－×＝，故选A. 8.ACD　共轭复数＋复数的模＋复数的四则运算　对于A，因为z＝3＋2i，所以＝ 3－2i，故A正确；对于B，|z|＝＝≠5，故B错误；对于C，z2＝(3＋2i)2＝9＋ 12i－4＝5＋12i，故C正确；对于D，＝＝＝2∈R，故D正确.综上，故选ACD. 9.BCD　函数的对称性＋周期函数＋偶函数的性质　对于A，因为f(1＋x)－f(1－x)＝0，所以f′(1＋x)＋f′(1－x)＝0(题眼)，即f′(x)的图象关于(1，0)对称，故A错误；对于B， f′(x＋2)为偶函数，故f′(x＋2)＝f′(－x＋2)，即f′(x)的图象关于x＝2对称，所以f′(3)＝f′(1)＝0，故B正确；对于C，由f′(x)的图象关于(1，0)对称，可得f′(x)＝－f′(－x＋2)＝f′(－x＋4)，故f′(x＋4)＝－f′(x＋2)＝－(－f′(x))＝f′(x)，即f′(x)的周期为4(提示：周期函数的定义)，所以f′(2 025)＝f′(506×4＋1)＝f′(1)＝0，故C正确；对于D，由f′(x＋2)＝f′(－x＋2)，得f(x＋2)＝－f(－x＋2)＋m，即f(x＋2)＋f(－x＋2)＝m，令x＝0得，2f(2)＝m，故f(2＋x)＋ f(2－x)＝2f(2)，故D正确.综上，故选BCD. 10.7　双曲线的定义　由题意可知，a＝2.由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a(题眼)(易错：在应用双曲线的定义时，忘记添加绝对值符号)，即|3－|PF2||＝4，解得|PF2|＝7或|PF2|＝－1(舍去). 11.　正四面体的结构特征＋正四面体的外接球　设正四面体的外接球半径为R，则，解得R＝(题眼)(技巧：正四面体可以看作是从以其棱长为面对角线的正方体中截取的，所以正四面体的外接球与正方体的外接球是同一个球，该球的直径与该正四面体的棱长之比为∶)，易知对棱AB和CD互相垂直且距离为＝.因为平面α过AB且平行于CD，所以平面α与CD的距离等于AB与CD的距离，即为.因为球心为正四面体的中心，所以球心到平面α的距离d＝(规律：球心到平面α的距离为CD到平面α距离的一半)，则截面圆的半径r＝＝＝，所以截面的面积S＝πr2＝. 12.频率分布直方图＋百分位数＋中位数＋用频率估计概率＋二项分布及其均值与方差 解：(1)各区间的频率： 0.005×10＝0.05，0.010×10＝0.1，0.020×10＝0.2， 0.025×10＝0.25， 0.015×10＝0.15，0.015×10＝0.15， 0.005×10＝0.05，0.005×10＝0.05.(3分) 因为前两组的累计频率为0.05＋0.1＝0.15<0.25， 前三组的累计频率为0.15＋0.2＝0.35>0.25， 所以第一四分位数为365＋＝370.(6分) 因为前四组的累计频率为0.35＋0.25＝0.60>0.50， 所以中位数为375＋＝381.(8分) (2)(ⅰ)这种电子产品首次出现故障的时间小于365天为前两组， 则＝0.05＋0.1＝0.15.(11分) (ⅱ)由题意知，X～B(100，0.15)， 则E(X)＝100×0.15＝15，　 D(X)＝100×0.15×0.85＝12.75.(13分) 13.椭圆的标准方程与几何性质＋弦长公式＋点到直线的距离公式＋直线与椭圆的位置关系 解：(1)因为椭圆的长轴长为4，所以2a＝4. 所以a＝2. 由离心率公式e＝及e＝， 得＝， 解得b2＝2. 因此，椭圆C的方程为＋＝1.(5分) (2)当直线l的斜率不存在时，显然不成立. 所以直线l的斜率存在(提示：斜率不存在时，A，O，B不构成三角形，故斜率必存在). 不妨设直线l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线l的方程代入椭圆方程得(1＋2k2)x2－8kx＋4＝0， Δ＝(－8k)2－16(1＋2k2)>0，x1＋x2＝， x1x2＝， 得k2>.(9分) 由弦长公式得|AB|＝·|x1－x2|＝·　(提示：弦长公式中， |x1－x2|＝，利用韦达定理简化计算). 点O到直线l的距离d＝＝. 则S△AOB＝|AB|·d＝···＝＝， 解得k2＝(题眼). 所以|AB|＝×＝×＝.(15分) 【方法技巧】 直线与圆锥曲线相交问题： 直线y＝kx＋b与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2). 弦长公式：|AB|＝|x1－x2|； 面积问题：结合点到直线的距离公式，转化为关于斜率k的方程. 14.面面平行的判定定理、二面角、异面直线所成角 解：(1)证明：在四棱台ABCDA1B1C1D1中，A1B1∥AB， 又EF∥A1B1， ∴EF∥AB. 又E，F分别为BC，AD的中点， ∴AB∥CD. 又BC∥AD，AB⊥AD， ∴易证四边形ABCD为矩形(题眼). ∴A1B1∥C1D1. 又C1D1⊂平面CDD1C1， ∴A1B1∥平面CDD1C1.(2分) 由AD∥A1D1，AD＝2A1D1，E，F分别为BC，AD的中点得，DF∥A1D1，DF＝A1D1， ∴四边形A1D1DF为平行四边形. ∴A1F∥D1D. 又D1D⊂平面CDD1C1， ∴A1F∥平面CDD1C1.(4分) ∵A1B1⊂平面EFA1B1，A1F⊂平面EFA1B1，A1B1∩A1F＝A1， ∴平面EFA1B1∥平面CDD1C1.(6分) (2)由题可得，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥AD，AA1⊥AB，AB⊥AD，连接A1C，则易得A1C为球O的直径. ∵AB＝2，AD＝BC＝4， ∴A1C2＝AB2＋BC2＋A1A2＝20＋A1A2.(8分) 以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，连接DC1，ED. 设AA1＝h，h>0， 则A(0，0，0)，E(2，2，0)，C(2，4，0)，C1(1，2，h)，D(0，4，0)， 则＝(－1，0，h)，＝(1，－2，h). 设n＝(x，y，z)为平面DEC1的法向量， 则 即 不妨令z＝1，可得n＝(h，h，1).(10分) 易知m＝(0，0，h)为平面CDE的一个法向量， 因此cos 〈m，n〉＝＝＝， 解得h＝2(舍负).(12分) 则C1(1，2，2)，A1(0，0，2)， ＝(－1，0，2)，＝(－2，－4，2). 由于球心O在A1C上，故直线EC1与直线CA1所成角即为直线EC1与直线CO所成角， 设直线EC1与直线CO所成角为θ， 则cos θ＝ ＝ ＝，(14分) 则sin θ＝. ∴直线EC1与直线CO所成角的正弦值为.(15分) 学科网（北京）股份有限公司 $