基础小卷12-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习基础小卷

基础小卷12 建议时间：60分钟　实际用时：________　总分：100分　得分：______分 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2026·全国Ⅱ卷)(1－3i)2＝ A.－8＋6i B.－8－6i C.8＋6i D.8－6i 2.(太原一模)已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{－2，－1，0，1}，则右图中阴影部分表示的集合为 A.{－2，－1，0，1，2，3} B.{0，1} C.{2，3} D.{－2，－1} 3.(昆明摸底测试)设非零平面向量a，b，c两两不垂直，那么“(a·b)c＝a(b·c)”是“a∥c”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(武汉调研)有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为 A.40 B.48 C.52 D.60 5.(数学文化|《算法统宗》)(北京房山综练)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第三天走的路程为 A.12里 B.24里 C.48里 D.96里 6.(湖南教学教研联盟联考)化简＝ A. B. C.5 D.3 7.(原创)已知函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为 A.f(x)＝(2x－2－x)·sin x B.f(x)＝sin (2x－2－x)·cos x C.f(x)＝－(2x＋2－x)·sin x D.f(x)＝cos (2x＋2－x)·sin x 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8.(重庆质量抽测)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P为椭圆C上一点，∠F1PF2＝60°，点P关于原点O的对称点为Q，则 A.椭圆C的离心率为 B.|PF1|·|PF2|＝ C.直线PQ的斜率为2 D.|PQ|＝ 9.(江苏常州调研)甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛甲获胜的概率为p(0<p<1)，且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有 A.若采用3局2胜制，则甲获胜的概率是p2(3－2p)　 B.若采用5局3胜制，则甲以3∶1获胜的概率是5p3(1－p) C.若p＝0.6，甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大 D.若p＝0.6，采用5局3胜制，在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是3 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 10.(长春质监一)过A(0，0)，B(1，)，C(4，0)三点圆的方程为________________. 11.(南宁适应性测试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin (C－A)＝2sin Acos C，且a＝4，则△ABC面积的最大值为________. 四、解答题：本题共3小题，共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)(北京海淀期末)已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－. (1)求曲线y＝f(x)的两条对称轴之间距离的最小值； (2)若f(x)在区间上的最大值为，求a的值. 13.(15分)(山东潍坊模拟)已知函数f(x)＝ln x＋ax－2. (1)若a<0，求f(x)的单调区间； (2)若存在a∈[－3，－1]，对任意x∈，f(x)＋≥b恒成立，求实数b的最大值. 14.(15分)(2025·天津卷)如下图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为A1D1和B1C1的中点，G在线段CC1上，且CG＝3GC1. (1)求证：GF⊥平面EBF； (2)求平面EBF和平面EBG夹角的余弦值； (3)求三棱锥D－EBF的体积. 基础小卷12 1—5 BDCBC　　6 A　　7 B　　8 BD　　9 AC 10 (x－2)2＋y2＝4(或x2＋y2－4x＝0)　　11 16 1.B　复数的运算　(1－3i)2＝1－6i－9＝－8－6i，故选B. 2.D　Venn图＋集合的运算　由题意可得A∩B＝{0，1}，所以题图中阴影部分表示的集合∁B(A∩B)＝{－2，－1}，故选D. 3.C　充分条件与必要条件的判断＋向量平行的充要条件由(a·b)c＝a(b·c)得a＝c，所以a∥c(规律：两个向量的数量积，也称为内积，是两向量的模相乘，再乘两向量夹角的余弦值，它的结果是一个实数，不带有方向)，故充分性成立；若a∥c，则存在非零实数λ使得a＝λc(题眼)，则(a·b)c＝(λc·b)c，a(b·c)＝λc(b·c)，所以(a·b)c＝a(b·c)，故必要性成立.所以“(a·b)c＝a(b·c)”是“a∥c”的充要条件，故选C. 4.B　排列组合　有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，要求其中恰有一对双胞胎的选法分2步：第1步选出一对双胞胎，共有C＝4种不同的选法，第2步从剩下的6人中选出其他2人，且不能是同一对双胞胎，这相当于从剩余三对双胞胎中选出两对，再从每对中各选出1人，共CCC＝12种不同的选法，由分步乘法计数原理可知，满足条件的不同的选法种数为4×12＝48，故选B. 5.C　等比数列的通项公式及其前n项和公式　由题可得该人6天所走的路程构成一个等比数列，设该等比数列的首项为a1，公比q＝.因为6天走完378里路，所以378＝，解得a1＝192.所以第三天所走的路程a3＝a1q2＝192×＝48(里)，故选C. 6.A　指数与对数的运算　＝＝＝＝＝(易错：指数与对数的运算法则容易混淆)，故选A. 7.B　函数的奇偶性与单调性、导数在研究函数中的应用　观察题图可得f(x)为奇函数，且当x刚开始大于0时会存在部分函数单调递增，结合导数可知f′(0)>0(题眼).令g(x)＝2x＋2－x，易得g(x)＝g(－x)，又定义域为R，所以g(x)为偶函数.g′(x)＝(2x－2－x)ln 2，当x>0时，g′(x)>0，则g(x)单调递增.令h(x)＝2x－2－x，易得h(x)＝－h(－x)，又定义域为R，所以h(x)为奇函数.h′(x)＝(2x＋2－x)ln 2>0恒成立，则h(x)单调递增.对于A，f(x)＝(2x－2－x)·sin x，f(－x)＝sin (－x)·h(－x)＝sin x·h(x)＝f(x)，满足偶函数的性质，故A不符合题意.对于B，f(x)＝sin (2x－2－x)·cos x，f(－x)＝sin [h(－x)]·cos (－x)＝sin [－h(x)]·cos x＝－sin [h(x)]·cos x＝ －sin (2x－2－x)·cos x＝－f(x)，满足奇函数的性质，此时f′(x)＝cos (2x－2－x)·cos x·(2x＋ 2－x)ln 2－sin (2x－2－x)·sin x，f′(0)＝2ln 2>0，满足题意，故B符合题意.对于C，f(x)＝ －(2x＋2－x)·sin x，f(－x)＝－g(－x)·sin (－x)＝g(x)·sin x＝(2x＋2－x)·sin x＝－f(x)，满足奇函数的性质，此时f′(x)＝－sin x·(2x－2－x)ln 2－(2x＋2－x)·cos x，f′(0)＝－2<0，不满足题意，故C不符合题意.对于D，f(x)＝cos (2x＋2－x)·sin x，f(－x)＝cos [g(－x)]·sin (－x)＝－cos [g(x)]· sin x＝－cos (2x＋2－x)·sin x＝－f(x)，满足奇函数的性质，此时f′(x)＝－sin (2x＋2－x)·sin x· (2x－2－x)ln 2＋cos (2x＋2－x)·cos x，f′(0)＝cos 2<0，不满足题意，故D不符合题意.综上，故选B. 8.BD　椭圆的定义及几何性质＋余弦定理＋三角形面积公式　对于A，由题意知a2＝8，b2＝4，所以c＝＝2，所以e＝＝＝，故A错误.对于B，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，即16＝32－3|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝，故B正确.对于C，因为S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝|F1F2|·|yP|，即×＝4|yP|，所以|yP|＝，代入椭圆方程解得|xP|＝.因为点P和点Q关于原点O对称，所以xQ＝－xP，yQ＝－yp，所以kPQ＝＝＝＝±，故C错误.对于D，|PQ|＝＝＝＝，故D正确.综上，故选BD. 9.AC　相互独立事件的概率＋条件概率＋离散型随机变量的数学期望　对于A，若采用3局2胜制，甲获胜分为一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜三种情况，则最终甲胜的概率P1＝p2＋p(1－p)p＋(1－p)p2＝p2(3－2p)，故A正确；对于B，若采用5局3胜制，要让甲以3∶1获胜，则前三局甲胜两局，最后一局甲胜，所以甲以3∶1获胜的概率P2＝Cp2(1－p)p＝3p3(1－p)，故B错误；对于C，因为p＝0.6，结合选项A可知，若采用3局2胜制，最终甲胜的概率P1＝p2(3－2p)＝0.62×(3－2×0.6)＝0.648，若采用5局3胜制，甲获胜的比分为3∶0，3∶1，3∶2三种情况，所以甲在5局3胜制中甲获胜的概率P3＝0.63＋C× 0.62×(1－0.6)×0.6＋C×0.62×(1－0.6)2×0.6＝0.682 56.因为0.682 56>0.648，所以甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大，故C正确；对于D，因为p＝0.6，且采用5局 3胜制，甲获胜的概率P3＝0.682 56，在甲获胜的条件下比赛局数X＝3，4，5，由条件概率公式可知，P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝；P(X＝ 5)＝＝，所以在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望E(X)＝3×＋4×＋5×≈4，故D错误.综上，故选AC. 10.(x－2)2＋y2＝4(或x2＋y2－4x＝0)　圆的方程　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则由题意得 解得 所以该圆的方程为x2＋ y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4. 11.16　解三角形＋三角恒等变换　由sin (C－A)＝2sin A cos C得sin Ccos A＝3sin A cos C.由A＋B＋C＝π得sin (A＋C)＝sin B，则sin C cos A＋sin A cos C＝sin B，所以3sin A cos C＋ sin Acos C＝sin B，即4sin A cos C＝sin B，所以4a cos C＝b，所以S△ABC＝ab sin C＝a· 4a cos C sin C＝a2sin 2C.因为sin 2C≤1，所以S△ABC＝a2sin 2C≤a2＝16，当且仅当sin 2C＝1，即C＝时，△ABC的面积取得最大值，且最大值为16. 12.二倍角公式＋辅助角公式＋三角函数的图象与性质 解：(1)由题易得f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)(提示：利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式)，(3分) 令2x＋＝kπ＋，k∈Z， 解得x＝＋，k∈Z， 所以曲线y＝f(x)的两条对称轴之间的距离最小值为.(6分) (2)当x∈时，2x＋∈， 因为f(x)在区间上的最大值为<1， 所以(题眼).(9分) 由正弦函数的性质可知，f(x)在上单调递减， 所以f(a)＝. 所以2a＋＝. 所以a＝.(13分) 13.利用导数研究函数的单调性＋函数的最值＋不等式恒成立与存在性问题的应用 解：(1)由题意可知，x>0，f′(x)＝＋a＝，(2分) 因为a<0， 令f′(x)>0，得0<x<－， 令f′(x)<0，得x>－，(5分) 所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.(6分) (2)[第1步，构造函数，利用导数判断函数的单调性] 令g(x)＝f(x)＋， 可得g′(x)＝＋a－＝.(8分) 令h(x)＝ax2＋x－1，则Δ＝1＋4a， 因为a∈[－3，－1]， 所以Δ<0. 所以g′(x)<0. 所以g(x)在上单调递减.(10分) [第2步，将恒成立和存在性问题转化为最值问题求解] 要使得对任意的x∈，f(x)＋≥b恒成立， 则b≤g(x)min(题眼)，即b≤g(1)＝ln 1＋a－2＋1＝a－1.(12分) 因为存在实数a∈[－3，－1]，b≤a－1恒成立， 所以b≤(a－1)max(关键：注意存在性问题与恒成立问题的区别)，即b≤－2.(14分) 所以实数b的最大值为－2.(15分) 14.空间中线面间的位置关系＋平面与平面的夹角＋三棱锥的体积 解法一(几何法)：(1)证明：∵E，F分别为A1D1，B1C1的中点， ∴EF∥A1B1. 又A1B1⊥平面BB1C1C， ∴EF⊥平面BB1C1C. 又GF⊂平面BB1C1C， ∴EF⊥GF.(2分) ∵正方体的棱长为4，CG＝3GC1， ∴易得GF＝，FB＝2，BG＝5. 则GF2＋FB2＝BG2， ∴BF⊥GF.(4分) 又BF∩EF＝F，BF，EF⊂平面EBF， ∴GF⊥平面EBF.(5分) (2)如图1，在△EBF中，过点F作FH⊥BE，垂足为H，连接HG， ∵GF⊥平面EBF， ∴GF⊥BE. 又GF∩FH＝F，GF，FH⊂平面HGF， ∴BE⊥平面HGF. ∴BE⊥HG. ∴∠FHG即为平面EBF与平面EBG的夹角(题眼).(7分) 在△EBF中，因为EF⊥FB， ∴BE＝＝6. ∴HF＝＝＝.(8分) 又GF⊥平面EBF，HF⊂平面EBF， ∴GF⊥HF. ∴在Rt△HFG中，tan ∠FHG＝＝＝. ∴cos ∠FHG＝. ∴平面EBF与平面EBG夹角的余弦值为.(10分) (3)如图2，连接BD，DE，DF， ∵CD∥C1D1，EF∥C1D1， ∴CD∥EF. 又CD⊄平面EBF，EF⊂平面EBF， ∴CD∥平面EBF. ∴点D到平面EBF的距离即为点C到平面EBF的距离(题眼).(12分) 延长BF，CC1交于点P，则C1为PC的中点. 过点C作CQ⊥FB，垂足为Q，则GF∥CQ. 又GF⊥平面EBF， ∴CQ⊥平面EBF， 且＝， 即＝. 可得CQ＝.(13分) 又△FBE的面积S△EBF＝×EF×BF＝×4×2＝4，　 ∴三棱锥D－EBF的体积VD－EBF＝×S△EBF×CQ＝×4×＝.(15分) 解法二(向量法)：如图3，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(2，0，4)，F(2，4，4)，G(0，4，3).(2分) (1)证明：＝(2，0，1)，＝(0，4，0)，＝(－2，0，4)， ∵·＝2×0＋0×4＋1×0＝0， ∴⊥. ∵·＝2×(－2)＋0×0＋1×4＝0， ∴⊥. ∴GF⊥EF，GF⊥BF.(4分) 又BF∩EF＝F，BF，EF⊂平面EBF， ∴GF⊥平面EBF.(5分) (2)设平面EBF的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则 令x1＝2，得m＝(2，0，1).(7分) 设平面EBG的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 由＝(－4，0，3)，＝(－2，－4，4)， 则 令x2＝6，得n＝(6，5，8).(9分) 设平面EBF与平面EBG的夹角为θ，则 cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝(题眼). ∴平面EBF与平面EBG的夹角的余弦值为.(10分) (3)由(1)得·＝0，因此EF⊥BF. 故△EBF的面积S△EBF＝×||×||＝×4×2＝4.(11分) ＝(2，0，4)，设点D到平面EBF的距离为d， 则(题眼).(13分) ∴三棱锥D－EBF的体积VD－EBF＝×S△EBF×d＝×4×＝.(15分) 学科网（北京）股份有限公司 $