基础小卷8-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习基础小卷

基础小卷8 建议时间：60分钟　实际用时：________　总分：100分　得分：______分 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(福建厦门模拟)设M，N为全集U的两个非空子集，若M⊆∁UN，则N∩(∁UM)＝ A.∅ B.N C.∁UM D.∁U(M∪N) 2.(原创)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1＋i，则|z＋z2|＝ A. B.10 C. D.5 3.(长沙适应性考试)若空间中三条不同直线a，b，c满足a⊥b，且b∥c，则直线a与直线c必定 A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面 4.(合肥质检一)某公司50名员工的月工资统计表如下： 工资/元 3 600 4 000 4 400 5 000 6 000 7 000 人数/名 5 10 20 7 5 3 记这50名员工月工资的平均数为a元，中位数为b元，众数为c元，则 A.a<b＝c B.a>b＝c C.a＝b＝c D.a＝b>c 5.(2026·天津卷)设x∈R，则“x>0”是“x2＋3x>0”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(武汉三月调研考试)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，则＝ A.2 B.3 C.4 D.5 7.(哈尔滨三中一模)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，若x∈[1，2]时，关于x的不等式f(2x＋1)<f(x＋a)恒成立，则实数a的取值范围为 A.(－7，－4)∪(2，3) B.(－7，－3)∪(2，4) C.(－∞，－7)∪(3，＋∞) D.(－∞，－4)∪(2，＋∞) 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8.(甘肃一模)已知a，b为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是 A.|a＋b|＝1 B.(a＋b)⊥(a－b) C.若c＝2a＋b，则cos 〈c，a〉＝ D.若cos 〈d，a〉＝，则|d－a|的最小值为 9.(贵阳、安顺、黔南州摸底)如右图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，M为线段B1D1上的动点(包括端点)，则下列结论正确的是 A.当M为B1D1中点时，C1M⊥平面BB1D1D B.当M为B1D1中点时，直线DM与直线BC所成角的余弦值为 C.当点M在线段B1D1上运动时，三棱锥C1－BDM的体积是定值 D.点M到直线BC1距离的最小值为 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 10.(开放性试题|直线与圆的位置关系)(江苏G4联考)写出与圆x2＋y2＝1和(x－4)2＋(y－3)2＝16都相切的一条直线的方程为________. 11.(安徽六校教育研究会素质测试)倾斜角为锐角的直线l经过双曲线C：－＝1(m>0)的左焦点F1，分别交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若线段AB的垂直平分线经过双曲线C的右焦点F2，则直线l的斜率为________. 四、解答题：本题共3小题，共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)(模块融合|三角函数与数列)(福州适应性练习)已知函数f(x)＝sin 2x－sin (x＋φ). (1)若f(x)是奇函数，求φ； (2)当φ＝时，f(x)的所有正零点从小到大排列构成数列{xn}，求{xn}的前20项和S20. 13.(15分)(天津和平质量调查一)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点(0，1)的直线l与椭圆交于M，N两点，若点P(－4，0)，且点M关于x轴的对称点在直线PN上，求直线l的方程. 14.(15分)(北京海淀期中)设函数f(x)＝x2－ln (ax＋1)＋ax(a≠0). (1)当a＝1时，求证：直线y＝0是曲线y＝f(x)的切线. (2)求f(x)的单调区间. (3)判断函数g(x)＝xf(x)是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. 基础小卷8 1—5 BACBA　　6 C　　7 C　　8 BD　　9 ACD 10 y＝－1(或24x－7y＋25＝0或4x＋3y－5＝0)　　11 1.B　集合的交集与补集运算＋韦恩图　由M⊆∁UN，且M，N为全集U的两个非空子集，可得韦恩图，如下图所示，则N∩(∁UM)＝N，故选B. 2.A　复数的几何意义与运算、复数的模　由题意可得z2＝－1＋i，因此，z＋z2＝(1＋i)2＋ (－1＋i)＝2i－1＋i＝－1＋3i，则|z＋z2|＝＝，故选A. 3.C　空间中直线与直线的位置关系　由a⊥b，b∥c可得a⊥c，故选C. 4.B　众数＋中位数＋平均数　由题意得，a＝(3 600×5＋4 000×10＋4 400×20＋ 5 000×7＋6 000×5＋7 000×3)＝4 640；将这50名员工的月工资按从小到大的顺序排列，第25和第26个数均为4 400，所以b＝＝4 400；这50名员工的月工资中4 400出现的次数最多，为20次，所以c＝4 400.综上，a>b＝c，故选B. 5.A　解一元二次不等式＋充分条件与必要条件的判断　由x2＋3x>0，得x<－3或x>0，所以“x>0”是“x2＋3x>0”的充分而不必要条件，故选A. 6.C　正弦定理＋两角和的正弦公式＋同角三角函数的基本关系＋诱导公式　根据正弦定理，得sin A cos B－sin B·cos A＝sin C　①，又sin C＝sin (π－A－B)＝sin (A＋B)＝ sin A cos B＋sin B cos A　②.联立①②得sin A cos B＝4sin Bcos A，即tan A＝4tan B，所以 ＝4，故选C. 7.C　函数的单调性和奇偶性＋不等式恒成立问题＋导数的应用　由题意可得f′(x)＝－1＝，令f′(x)＝0，解得x＝0，所以当x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x> 0时，f′(x)>0，f(x)单调递增(提示：利用导数判断函数的单调性).又f(－x)＝ln ＋ x＝ln ＋x＝ln (1＋e2x)－x＝f(x)，所以f(x)为偶函数(题眼).大致图象如下图.若x∈[1，2]时，关于x的不等式f(2x＋1)<f(x＋a)恒成立，则|2x＋1|<|x＋a|对x∈[1，2]恒成立[提示：偶函数的性质，即若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)]，则x＋a>2x＋1或x＋a<－2x－1[提示：绝对值的性质，即|x|>a(a>0)⇔x>a或x<－a].所以a>x＋1或a<－3x－1对x∈[1，2]恒成立，所以a> (x＋1)max＝3或a<(－3x－1)min＝－7，所以实数a的取值范围为(－∞，－7)∪(3，＋∞)， 故选C. 【知识延伸】 不等式恒成立问题相关的结论 ①∀x∈D，均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A. ②∀x∈D，均有f(x)<A恒成立，则f(x)max<A. ③∀x∈D，均有f(x)>g(x)恒成立，则F(x)＝f(x)－g(x)>0，∴F(x)min>0. ④∀x∈D，均有f(x)<g(x)恒成立，则F(x)＝f(x)－g(x)<0，∴F(x)max<0. ⑤∀x1∈D，∀x2∈E，均有f(x1)>g(x2)恒成立，则f(x)min>g(x)max. ⑥∀x1∈D，∀x2∈E，均有f(x1)<g(x2)恒成立，则f(x)max<g(x)min. 8.BD　　单位向量＋向量的模及夹角＋向量垂直＋向量的数量积　因为a，b为两个互相垂直的单位向量，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0(题眼).对于A，|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋|b|2＝1＋1＝2，所以|a＋b|＝，故A错误；对于B，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0，所以(a＋b)⊥(a－b)，故B正确[技巧：(a＋b)⊥(a－b)等价于|a|2＝|b|2]；对于C，因为c＝2a＋b，所以c·a＝(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝2|a|2＝2，|c|2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4|a|2＋|b|2＝5，所以|c|＝，所以cos 〈c，a〉＝＝＝，故C错误；对于D，|d－a|2＝d2－2d·a＋a2＝|d|2－2|d||a|cos 〈d，a〉＋|a|2＝|d|2－|d|＋1＝(|d|－)2＋，当|d|＝时，|d－a|2取得最小值，即|d－a|取得最小值，故D正确.综上，故选BD. 9.ACD　空间线面间的位置关系＋三棱锥的体积公式＋点到直线的距离　如下图，以 D为坐标原点，建立空间直角坐标系D－xyz，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，D1(0，0，1)，B1(2，2，1).设M(t，t，1)，0≤t≤2，对于A，令t＝1，故M(1，1，1)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(2，2，0)(题眼)，所以· ＝0，·＝0，所以MC1⊥DD1，MC1⊥DB.又DD1∩DB＝D，DD1，DB⊂平面BB1D1D，所以C1M⊥平面BB1D1D(提示：线面垂直的判定定理)，故A正确.对于B，因为BC∥AD，所以∠ADM或其补角即为直线DM与直线BC所成的角.因为＝(1，1，1)，＝(2，0，0)，所以cos 〈，〉＝＝＝(提示：空间向量夹角公式)，故B错误.对于C，易知点C1到平面BB1D1D的距离为(题眼)，且△BDM的面积为BD·DD1＝，所以三棱锥C1－BDM的体积为××＝，是定值，故C正确.对于D，因为＝(－2，0，1)，＝(t，t－2，0)(题眼)，所以点M到直线BC1的距离d＝＝＝≥(提示：二次函数的性质)，当且仅当t＝时取等号.故D正确.综上，故选ACD. 10.y＝－1(或24x－7y＋25＝0或4x＋3y－5＝0)　圆与圆的位置关系＋圆的公切线方程＋点到直线的距离公式　由题意可知，x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r＝1，圆(x－4)2＋(y－3)2＝16的圆心为A(4，3)，半径R＝4，则|AO|＝＝5＝r＋R，所以圆O与圆A外切，有三条公切线.设公切线方程为y＝kx＋b，则由题意得 得 即 或 由 解得 或 由 解得 所以所求的公切线方程为y＝－1或24x－7y＋25＝0或4x＋3y－5＝0. 11.　直线的斜率＋双曲线的渐近线方程　取AB的中点M，两渐近线可写成－y2＝0[规律：mx2－ny2＝λ(m，n，λ均不为0)表示双曲线，可令λ＝0求渐近线方程]，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M(，)，且 由①－②可得＝(y1－y2)(y1＋y2)，整理得·＝，即kAB·kOM＝　(*)(题眼).如下图，在Rt△F1MF2中，|OM|＝|F1F2|＝|OF1|，则∠MOF2＝2∠MF1O，故tan ∠MOF2＝tan 2∠MF1O＝，即kOM＝，将此式代入(*)得，＝，解得k＝.依题意kAB>0，则kAB＝. 12.奇函数的性质＋三角恒等变换＋三角函数的图象与性质＋等差数列的前n项和公式＋分组求和法 解法一：(1)(性质法) 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，(1分) 即sin(－2x)－sin (－x＋φ)＝－[sin 2x－sin (x＋φ)]恒成立， 得sin (x＋φ)＋sin (－x＋φ)＝0恒成立.(2分) 所以sin x cos φ＋sin φcos x＋sin φcos x－sin x cos φ＝0恒成立.(3分) 所以sin φcos x＝0恒成立.(4分) 所以sin φ＝0，(5分) 解得φ＝kπ，k∈Z.(6分) (2)(正弦函数图象法) 当φ＝时，f(x)＝sin 2x－sin . 令f(x)＝0，则sin 2x＝sin ，(8分) 所以2x＝x＋＋2k1π，k1∈Z或2x＋x＋＝π＋2k2π，k2∈Z(易错：易漏掉两角互补的情形)，(10分) 解得x＝＋2k1π，k1∈Z或x＝，k2∈Z(题眼).(11分) 令an＝π，bn＝π，n∈N*， 则b3k－2<ak<b3k－1，k∈N*， 所以S20＝x1＋x2＋…＋x20＝(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＋(b1＋b2＋…＋b15)(技巧：求和时，若数列是由两个等差数列组成的，选用分组求和法求解).(12分) 所以S20＝＋＝＋＝95π.(13分) 解法二：(1)(特殊点法) 因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0(结论：一个定义域为R的奇函数，其图象一定过原点).(2分) 所以sin φ＝0，(3分) 解得φ＝kπ，k∈Z.(4分) 经检验，f(x)＝sin 2x－sin (x＋kπ)，k∈Z是奇函数. 所以φ＝kπ，k∈Z.(6分) (2)(二倍角公式＋正、余弦函数图象法) 当φ＝时，f(x)＝sin 2x－cos x.(7分) 令f(x)＝0，则sin 2x－cos x＝0，(9分) 所以cos x(2sin x－1)＝0.(10分) 所以cos x＝0或sin x＝， 解得x＝＋k1π，k1∈Z或x＝＋2k2π，k2∈Z或x＝＋2k3π，k3∈Z(题眼). (11分) 令an＝π，bn＝π，cn＝π，n∈N*， 则(2k－2)π<bk<a2k－1<ck<a2k<2kπ，k∈N*. 所以S20＝x1＋x2＋…＋x20＝(a1＋a2＋…＋a10)＋(b1＋b2＋…＋b5)＋(c1＋c2＋…＋c5). 所以S20＝＋＋＝95π.(13分) 解法三：(1)同解法一. (2)(周期法) 当φ＝时，f(x)＝sin 2x－sin . 因为f(x＋2π)＝f(x)，所以2π是f(x)的一个周期.(7分) 当0<x≤2π时，令f(x)＝0，则sin 2x＝sin ，(9分) 解得x＝，，，，(10分) 所以f(x)在(0，2π]上的零点之和为＋＋＋＝3π(题眼).(11分) 令an＝x4n－3＋x4n－2＋x4n－1＋x4n， 则{an}是以3π为首项，8π为公差的等差数列，(12分) 所以S20＝x1＋x2＋…＋x20 ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5 ＝ ＝ ＝95π.(13分) 13.椭圆的标准方程与几何性质＋直线与椭圆的位置关系 解：(1)依题意得(2分) 解得 故椭圆方程为＋＝1.(5分) (2)[第1步，求直线斜率不存在时直线l的方程] 当直线l的斜率不存在时(易错：忽略直线斜率不存在时情形的讨论)，直线l的方程为 x＝0，满足题意.(7分) [第2步，求直线斜率存在时直线l的方程] 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1， 设点M(x1，y1)，点N(x2，y2)， 联立 消去y整理得(3k2＋2)x2＋6kx－9＝0， 则Δ＝144k2＋72>0，x1＋x2＝，x1x2＝(题眼)，(11分) 易知直线PM的斜率kPM＝， 直线PN的斜率kPN＝，由题意有kPM＋kPN＝0， 即＋＝0，即＋＝0， 整理得2kx1x2＋(4k＋1)(x1＋x2)＋8＝0， 则2k·＋(4k＋1)·＋8＝0， 化简得24k＝16，解得k＝， 则直线l的方程为y＝x＋1. [第3步，得出结论] 综上，直线l的方程为x＝0或2x－3y＋3＝0.(15分) 14.导数的几何意义＋利用导数研究函数的单调性与极值 解：(1)证明：当a＝1时，f(x)＝x2－ln (x＋1)＋x，定义域为(－1，＋∞)， 所以f′(x)＝2x－＋1.(2分) 因为f(0)＝0，f′(0)＝0，(3分) 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线为y＝0.(4分) (2)[第1步，求导函数f′(x)及其零点] 因为f′(x)＝2x－＋a＝， 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝(题眼).(5分) [第2步，分别讨论当a>0，a<0时函数f(x)的单调区间] 当a>0时，f(x)的定义域为，x2＝－－<－<0(易错：未结合函数的定义域判断x2的范围)， f′(x)与f(x)的变化情况如下表所示： x 0 (0，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  极小值  所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为.(7分) 当a<0时，f(x)的定义域为，x2＝－－>－>0， f′(x)与f(x)的变化情况如下表所示： x (－∞，0) 0 f′(x) － 0 ＋ f(x)  极小值  所以当a<0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(－∞，0).(9分) [第3步，得出结论] 综上，当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为； 当a<0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(－∞，0).(10分) (3)g(x)不存在极值. 理由如下： [第1步，求g′(x)](12分) 因为g(x)＝xf(x)， 所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x).(13分) [第2步，结合(2)判断g′(x)的符号] 由(2)知， 当a>0时，若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0， 所以xf′(x)>0. 若x∈，则f′(x)<0，所以xf′(x)>0. 当a<0时，若x∈，则f′(x)>0，所以xf′(x)>0. 若x∈(－∞，0)，则f′(x)<0，所以xf′(x)>0. 且f(x)≥f(0)＝0， 所以g′(x)≥0， [第3步，得出结论] 故g(x)不存在极值.(15分) 【方法技巧】 函数f(x)无极值的情况 分析导函数f′(x)的符号.若导数在区间内恒为正或恒为负，则函数没有极值；若导数为零的点两侧函数值符号不变，则该点也不是极值点. 学科网（北京）股份有限公司 $