基础小卷11-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习基础小卷

基础小卷11 建议时间：60分钟　实际用时：________　总分：100分　得分：______分 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2025·全国Ⅱ卷)已知z＝1＋i，则＝ A.－i B.i C.－1 D.1 2.(2025·全国Ⅰ卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为 A.0 B.3 C.5 D.8 3.(广东模拟一)在(1－x)4＋(1－x)5的展开式中，含x2的项的系数是 A.－4 B.4 C.－16 D.16 4.(生产生活|降雨量)(昆明质量诊断)降雨量是在一定时间内降落在水平地面上某一单位面积上的水层深度(未经蒸发、渗漏、流失)，以mm计算.24 h降雨量的等级划分如下表： 降雨量 0.1～9.9 10～24.9 25～49.9 等级 小雨 中雨 大雨 降雨量 50～99.9 100～249.9 ≥250 等级 暴雨 大暴雨 特大暴雨 某数学小组为了测量当地某日的降雨量，用一个开口半径为50 mm，底面半径为100 mm，高为50 mm的圆台型铁桶(如下图所示)收集雨水，若在一次降水过程中用此桶水平放置接了24 h的雨水后，桶内水深为20 mm，则当日降雨量的等级是 A.暴雨 B.大雨 C.中雨 D.小雨 5.(原创)已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在C上，且满足3|PF1|＝2|PF2|，PF1⊥PF2，则C的离心率为 A. B. C.5 D. 6.(太原二模)已知{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列，其前n项和分别是Sn和Tn，且a1＝b1＝1，a2＋b2＝5，T3＝3，则S3＝ A.5或11 B.7或13 C.9或18 D.12或21 7.(广州综测一)已知a＝，3b＝5，5c＝8，则 A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8.(贵阳、毕节、六盘水高三4月适应性考试)已知函数f(x)＝2sin ，则 A.f(x)的最小正周期为3π B.f(x)图象的一条对称轴是x＝ C.f(x)在(0，2π)内有6个零点 D.f(x)图象的一个对称中心是(π，0) 9.(南京、盐城二模)有n(n∈N*，n≥10)个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；……，以此类推.记“从i号盒子取出的球是白球”为事件Ai(i＝1，2，3，…，n)，则 A.P(A1A2)＝ B.P(A1|A2)＝ C.P(A1＋A2)＝ D.P(A10)＝ 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 10.(长沙模拟)在△ABC中，＝，E为CD的中点.若AC＝2，AB＝3，则 ·＝________. 11.(东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学联合模拟二)函数f(x)＝axex－x－1有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________. 四、解答题：本题共3小题，共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)(2026·全国Ⅰ卷)如下图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别为AB，AC1的中点. (1)证明：DE∥平面BCC1B1； (2)设CC1＝2，直线DE与平面ACC1A1所成的角为45°，求直线DE到平面BCC1B1的距离. 13.(15分)(科技前沿|AI深度学习模型)(昆明摸底测试)为研究AI深度学习模型训练达标与工程师参与的关系.现随机抽取140次训练样本，对参与人员及其训练结果进行统计.工程师甲是否参与训练、结果是否达标的2×2列联表如下(单位：次)： 参与情况 训练结果 合计 达标 不达标 参与 90 100 未参与 10 合计 140 (1)完成2×2列联表，工程师甲参与的训练中，达标的概率记为p，求p的估计值； (2)根据小概率值α＝0.025的独立性检验，分析训练达标是否与工程师甲参与有关. 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.025 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 14.(15分)(2025·上海卷)已知f(x)＝x2－(m＋2)x＋m ln x，其中m∈R. (1)若f(1)＝0，求不等式f(x)≤x2－1的解集； (2)若函数y＝f(x)在(0，＋∞)上存在极大值，求实数m的取值范围. 基础小卷11 1—5 ACDAD　　6 D　　7 C　　8 BC　　9 BC 10 －　　11 (0，＋∞) 1.A　复数的运算　由题意得＝＝－i，故选A. 2.C　集合的补集运算＋集合中元素的个数　由题得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，故∁UA＝{2，4，6，7，8}，其有5个元素，故选C. 3.D　二项式定理　在(1－x)4＋(1－x)5的展开式中，含x2的项为C(－x)2＋C(－x)2＝16x2，所以含x2的项的系数为16，故选D. 4.A　圆台的体积　设桶内水面半径为R，根据相似三角形的性质可得＝，解得R＝80(规律：对于圆台类的“液面高度问题”，通常用相似三角形的相似比求出液面所在截面圆的半径，再计算其体积)，则桶内雨水的体积V＝×20×(π×802＋＋π×1002)＝π×24 400(mm3).又接雨面积为桶的开口面积，即S＝ π×502＝2 500π(mm2)，所以根据降雨量定义得＝≈65.07(mm)，所以结合 24 h降雨量的等级划分可知当日降雨量的等级是暴雨，故选A. 5.D　双曲线的定义、双曲线的离心率　由3|PF1|＝2|PF2|，可设|PF2|＝3x，则|PF1|＝2x.因为PF1⊥PF2，所以△F1PF2为直角三角形.所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2(题眼).所以|F1F2|＝ 2c＝x.又2a＝|PF2|－|PF1|＝3x－2x＝x，所以C的离心率e＝＝＝＝，故选D. 6.D　等差、等比数列的通项公式＋等差数列的前n项和公式　设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.因为a1＝b1＝1，a2＋b2＝5，T3＝3，所以 由②得q＝1或q＝－2，所以d＝3或d＝6，所以S3＝3×1＋3×3＝12或S3＝3×1＋3×6＝21，故选D. 7.C　实数的大小比较＋对数函数的单调性＋对数的运算性质＋基本不等式　由题意得b＝log35，c＝log58.因为a＝＝log33＝log3>log35＝b，所以a>b.又a＝＝log55＝log5>log58，所以a>c.因为＝×＝>＝＝>1，所以b>c.故a>b>c.故选C. 8.BC　三角函数的图象与性质　对于A，f(x)的最小正周期T＝，故A错误；对于B，f＝2sin ＝－2，所以直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，故B正确(另解：令 3x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝1时，对称轴为x＝，故B正确)；对于C，当x∈(0，2π)时，3x－∈，由y＝sin t，t∈的图象知， f(x)在(0，2π)内有6个零点，故C正确；对于D，f(π)＝2sin ≠0，故D错误(另解：令3x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故D错误).综上，故选BC. 9.BC　独立事件的概率＋条件概率＋等比数列的定义和通项公式　对于A，P(A1A2)＝ ×＝，故A错误；对于B，P(A2)＝×＋×＝，故P(A1|A2)＝＝，故B正确；对于C，P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)－P(A1A2)＝＋－＝，故C正确；对于D，由题意得P(An)＝P(An－1)＋[1－P(An－1)]，所以P(An)－＝.又P(A1)＝，所以 P(A1)－＝－＝.所以P(An)－＝×＝×.所以P(An)＝×.则P(A10)＝ ×>，故D错误.综上，故选BC. 10.－　【解析】平面向量的数量积 解法一(三角形法则法)：如下图，因为＝，AB＝3，所以AD＝1.又E为CD的中点，所以(题眼).因为＝－，所以·＝(＋)(－)＝(2－2)＝×(12－22)＝－. 解法二(特殊图形＋平面向量坐标运算法)：不妨令AC⊥AB，以A为坐标原点，以， 的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(3，0)，C(0，2)，由＝，得D(1，0).又E为CD的中点，所以E，所以·＝·(1， －2)＝－2＝－. 11.(0，＋∞)　函数的零点＋利用导数研究函数的单调性 [第1步，由f(x)＝0分离参数a，将函数零点问题等价转化为函数图象的交点问题] 因为f(0)＝－1≠0，所以由f(x)＝axex－x－1＝0，得a＝(x≠0)(技巧：分离参数，构建新函数).令g(x)＝(x≠0)，则问题等价于直线y＝a与函数y＝g(x)的图象有两个不同的交点(题眼). [第2步，利用导函数判断g(x)的单调性] 因为g′(x)＝＝ －＝－<0，所以g(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减. [第3步，判断出g(x)的临界值，确定g(x)的大致图象，结合函数图象求实数a的取值范围] 若x∈(0，＋∞)，且当x→0时，g(x)→＋∞，当x→＋∞时，g(x)→0，此时g(x)的值域为(0，＋∞)；若x∈(－∞，0)，且当x→0时，g(x)→－∞，当x→－∞时，g(x)→＋∞，此时g(x)的值域为R，画出g(x)的大致图象如下图所示，由图可知，若直线y＝a与函数y＝g(x)的图象有两个不同的交点，则a>0，故实数a的取值范围是(0，＋∞). 12.线面平行的判定定理＋线面角＋直线到平面的距离＋空间向量的应用 解法一(向量法)：(1)证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC， ∴CC1⊥AC，CC1⊥BC. 又AC⊥BC， ∴AC，BC，CC1两两垂直(题眼).(2分) ∴以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图1所示的空间直角坐标系，连接BC1. 设AC＝BC＝2a，a>0，CC1＝2h，h>0， 则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，C1(0，0，2h)，D(a，a，0)，E(a，0，h)， 则＝(0，－a，h)，＝(0，－2a，2h). ∴＝2. ∴∥. ∴BC1∥DE.(5分) 又DE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1， ∴DE∥平面BCC1B1.(6分) (2)由(1)及已知得CC1＝2h＝2， ∴h＝1. ∴＝(0，－a，1). 易得平面ACC1A1的一个法向量为m＝(0，1，0)， ∴sin 45°＝＝＝.(9分) ∴a＝1(题眼). ∵DE∥平面BCC1B1， ∴直线DE到平面BCC1B1的距离即点D到平面BCC1B1的距离，即为1.(13分) 解法二(几何法1)：(1)证明：如图2，连接BC1. ∵D，E分别是AB，AC1的中点， ∴DE∥BC1.(3分) 又DE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1， ∴DE∥平面BCC1B1.(6分) (2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC. ∵BC⊂平面ABC， ∴CC1⊥BC. ∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC. 又CC1∩AC＝C，CC1，AC⊂平面ACC1A1， ∴BC⊥平面ACC1A1. 如图2，取AC的中点F，连接DF，EF. ∵D，F分别是AB，AC的中点， ∴DF∥BC. ∴DF⊥平面ACC1A1， 则∠DEF是直线DE与平面ACC1A1所成的角(题眼). ∴∠DEF＝45°.(9分) ∵DF⊥EF，CC1＝2，E，F分别为AC1，AC的中点， ∴DF＝EF＝CC1＝1. ∴AC＝BC＝2DF＝2. 由(1)知DE∥平面BCC1B1，所以直线DE到平面BCC1B1的距离即为点D到平面BCC1B1的距离. 设点D到平面BCC1B1的距离为d， ∵VD－BCC1＝VC1－BCD， ∴××d＝×××2. ∴d＝1. ∴直线DE到平面BCC1B1的距离为1.(13分) 解法三(几何法2)：(1)证明：如图3，取AC的中点F，连接DF，EF. ∵D，E分别是AB，AC1的中点， ∴DF∥BC，EF∥CC1. 又DF⊄平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1， ∴DF∥平面BCC1B1.(3分) 同理，EF∥平面BCC1B1. ∵DF∩EF＝F，DF，EF⊂平面DEF， ∴平面DEF∥平面BCC1B1. ∵DE⊂平面DEF， ∴DE∥平面BCC1B1.(6分) (2)由(1)知，平面DEF∥平面BCC1B1， ∴直线DE到平面BCC1B1的距离即为点F到平面BCC1B1的距离. 在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC. ∵FC⊂平面ABC， ∴CC1⊥FC. ∵∠ACB＝90°， ∴FC⊥BC. 又CC1∩BC＝C，CC1，BC⊂平面BCC1B1， ∴FC⊥平面BCC1B1. ∴线段FC的长即为所求距离(题眼).(9分) ∵BC⊥AC，DF∥BC， ∴DF⊥AC. ∵CC1⊥平面ABC，DF⊂平面ABC， ∴CC1⊥DF. 又CC1∩AC＝C，CC1，AC⊂平面ACC1A1， ∴DF⊥平面ACC1A1. ∴∠DEF是直线DE与平面ACC1A1所成的角. ∴∠DEF＝45°. ∵DF⊥EF，CC1＝2，E，F分别为AC1，AC的中点， ∴DF＝EF＝CC1＝1. ∴AC＝BC＝2DF＝2. ∴FC＝1. ∴直线DE到平面BCC1B1的距离为1.(13分) 13.2×2列联表＋独立性检验＋古典概型 解：(1)补全2×2列联表如下表所示. 训练结果 参与情况 合计 达标 不达标 参与 90 10 100 未参与 30 10 40 合计 120 20 140 (2分) 由表格可知，工程师甲参与的训练中，估计达标的概率p＝＝(易错：工程师甲参与的训练总次数是100次，不是140次，容易误用总体样本作为分母).(5分) (2)零假设H0：训练达标与工程师甲参与无关， χ2＝＝5.25>5.024(题眼)，(10分) 故依据小概率值α＝0.025的独立性检验，推断H0不成立， 即认为训练达标与工程师甲参与有关.(15分) 14.利用函数的单调性解不等式＋利用导数研究函数的单调性、极值 解：(1)当f(1)＝0时，1－(m＋2)＝0， 解得m＝－1. 所以f(x)＝x2－x－ln x(x>0)(题眼).(2分) 所以解不等式f(x)≤x2－1， 即解不等式x2－x－ln x≤x2－1， 即解不等式x＋ln x－1≥0. 令g(x)＝x＋ln x－1(x>0)，(4分) 则g′(x)＝1＋>0. 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增. 又g(1)＝0， 所以当x＋ln x－1≥0， 即g(x)≥0时，g(x)≥g(1). 所以x≥1. 即不等式f(x)≤x2－1的解集为[1，＋∞).(6分) (2)因为f(x)＝x2－(m＋2)x＋m ln x， 所以f′(x)＝2x－(m＋2)＋＝＝(题眼).(8分) 当≤0，即m≤0时，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 此时，f(x)不存在极大值，不符合题意.(10分) 当0<<1，即0<m<2时，令f′(x)＝0，得x＝或x＝1.f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减， 此时，f(x)在x＝处取得极大值，符合题意.(11分) 当＝1，即m＝2时，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意(易错：忽视对两值相等情况的讨论，导致多解).(12分) 当>1，即m>2时，f(x)在(0，1)，上单调递增，在上单调递减， 此时，f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意.(13分) 综上，m的取值范围为(0，2)∪(2，＋∞).(15分) 学科网（北京）股份有限公司 $