基础小卷7-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习基础小卷

基础小卷7 建议时间：60分钟　实际用时：________　总分：100分　得分：______分 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(成都二模)设集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，若B⊆A，则a的取值范围是 A.a≤1 B.a≤2 C.a≥1 D.a≥2 2.(2025·全国Ⅰ卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为 A. B. C. D. 3.(湖北黄冈3月模拟)设复数2＋i是关于x的方程x2－ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则ab＝ A.20 B.15 C.10 D.8 4.(传统文化|一百零八塔)(2026·全国Ⅰ卷)一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第i行中塔的座数记为ai(i＝1，2，…，12)，其中a1＝1，a2＝a3＝3，a4＝a5＝5，且a6，a7，…，a12是一个首项为7，公差为2的等差数列.将a1，a2，…，a12分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为d(d>0)的等差数列，则d＝ A.2 B.4 C.6 D.8 5.(湖南九校联盟二联)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin C＋b＝2b cos2＋a cosB，则△ABC一定为 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 6.(生产生活|楔体形构件)(北京西城模拟)楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用.如右图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF，其中平面ABCD为正方形.若AB＝6 cm，EF＝3 cm，且EF与平面ABCD的距离为2 cm，则该楔体形构件的体积为 A.18 cm3 B.24 cm3 C.30 cm3 D.48 cm3 7.(湖北十一校月考)已知点P为椭圆C：＋＝1上任意一点，直线l过⊙M：x2＋y2－4x＋3＝0的圆心且与⊙M交于A，B两点，则·的取值范围是 A.[3，35] B.(3，35] C.[2，6] D.(2，6] 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8.(北京丰台期末)在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC折起，使得二面角A－BC－D为直二面角，得图2所示四面体ABCD.小明对四面体ABCD中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断，其中判断正确的是 A.CD⊥平面ABC B.AB⊥平面ACD C.平面ABD⊥平面ACD D.平面ABD⊥平面BCD 9.(兰州诊断)已知曲线C：x2＋y2＝2|x|－2|y|，则以下说法正确的是 A.点(1，－1)在曲线内部 B.曲线关于原点对称 C.曲线与坐标轴围成的面积为2π－4 D.曲线的周长是π 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 10.(原创)曲线C1：y＝ex－1与C2：y＝ln (x＋2)－1的公切线方程为________(写出一条即可). 11.(福州适应性练习)为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组.现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是________.(用数字作答) 四、解答题：本题共3小题，共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)(沈阳质监二)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an－2. (1)求证：数列{an－1}为等比数列； (2)设bn＝an＋n，求数列{bn}的前n项和Sn. 13.(15分)(山东青岛适应性测试一)已知函数f(x)＝ax2－ln x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若存在x1，x2∈[1，3]，x2－x1≥1，使得f(x1)＝f(x2)，求a的最大值. 14.(15分)(石家庄质检一)某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为100分，得分不低于80分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了100名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，统计结果如下图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数. (2)从该样本分数不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在[90，100]的人数为X，求X的分布列和均值. (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取50人，这50名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为Y，当P(Y＝k)最大时，求k的值. 基础小卷7 1—5 DBABA　　6 C　　7 A　　8 ABC　　9 BC 10 y＝x　　11 30 1.D　集合的包含关系 2.B　正切型函数图象的对称中心　令x－＝，k∈Z，得x＝＋，k∈Z(提示：正切函数y＝tan x图象的对称中心为(，0)，k∈Z)，故y＝2tan 图象的对称中心为，k∈Z，由题意知a＝＋>0，k∈Z，所以a的最小值为，故选B. 3.A　复数范围内方程的根 解法一(韦达定理法)：由题意可知，复数2－i是该方程的另一个根，则 所以ab＝20，故选A. 解法二(代入法)：将x＝2＋i代入方程得(2＋i)2－a(2＋i)＋b＝0，整理得(3－2a＋b)＋ (4－a)i＝0，所以 解得 所以ab＝20，故选A. 4.B　等差数列的通项公式与前n项和公式　由题意得a1＝1，a2＝a3＝3，a4＝a5＝5，当6≤n≤12时，an＝7＋2(n－6)＝2n－5，则a1＋a2＋…＋a12＝1＋3＋3＋5＋5＋＝108.设新的项数为6的等差数列为{bn}，则6b1＋d＝108，即2b1＋5d＝36.因为b1∈N*，d>0，所以d∈N*，且d＝2k，k∈N*.又由题意知a1，a2，…，a12都为奇数，所以任意两项之和都为偶数，即b1为偶数.经分析得当d＝4，b1＝8时满足上述要求，此时数列{bn}各项分别为8，12，16，20，24，28，可由(1，7)，(3，9)，(3，13)，(5，15)，(5，19)，(11，17)组成，符合题意，故选B. 5.A　正弦定理＋余弦定理的推论＋二倍角公式 解法一(正弦定理)：在△ABC中，a sin C＋b＝2b cos2＋a cosB，则a sin C＋b＝2b×＋a cos B，即a sin C＝b cos A＋a cos B，由正弦定理得sin A sin C＝sin B cos A＋ sin Acos B＝sin (A＋B)，即sin A sin C＝sin C.又C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以sin A＝1(易错：忽略sin C≠0的前提直接约去，在其他题目中可能导致漏解)，结合A∈(0，π)，可得 A＝，即△ABC一定为直角三角形，故选A. 解法二(余弦定理的推论)：在△ABC中，a sin C＋b＝2b cos2＋a cosB，则a sin C＋b＝2b×＋a cos B，即a sin C＝b cos A＋a cos B，将cos A＝和cos B＝代入，得a sin C＝＝＝c.由正弦定理得c＝a，得a sin C＝a.因为C∈(0，π)，所以sin C≠0.又a>0，所以1＝，即sin A＝1，结合A∈(0，π)，得 A＝，所以△ABC一定为直角三角形，故选A. 6.C　四棱锥的体积＋三棱柱的体积　如下图，设G，H分别为AB，DC的中点，连接EG，EH，GH.因为平面ABCD为正方形，所以AB∥DC.又AB⊄平面EFCD，DC⊂平面EFCD，所以AB∥平面EFCD.又平面EFCD∩平面ABFE＝EF，所以AB∥EF.因为G，H分别为AB，DC的中点，AB＝6 cm，EF＝3 cm，所以EF∥GB，EF＝GB，所以四边形EGBF为平行四边形，所以EG∥FB，同理EH∥FC.又GH∥BC，所以几何体EGH－FBC为三棱柱(关键：先确定空间几何体为棱柱，再求解体积)，设三棱柱EGH－FBC的高为h，则V四棱锥E－AGHD＝ S矩形AGHD·h＝AD·AG·h＝×6×3×2＝12.又V三棱柱EGH－FBC＝3V三棱锥B－EGH＝3V三棱锥E－BGH＝3× ×V四棱锥E－AGHD＝×12＝18，所以该多面体的体积V＝V四棱锥E－AGHD＋V三棱柱EGH－FBC＝12＋ 18＝30(cm3)，故选C. 7.A　椭圆与圆的综合＋平面向量的线性运算＋平面向量的数量积　由题意可得⊙M的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，所以⊙M的圆心为M(2，0)，半径为1.由椭圆的方程知a＝4， b＝2，所以c＝＝2，所以M恰为椭圆C的右焦点(题眼)，所以a－c≤||≤a＋c，即2≤||≤6.因为直线l过⊙M的圆心，且与⊙M交于A，B两点，所以＝－，所以·＝(＋)·(＋)＝(－)(＋)＝||2－||2＝||2－1∈[3，35](关键：利用平面向量的线性运算，将所求向量转化为已知向量)，故选A. 8.ABC　空间直线与平面间的位置关系　对于A，因为二面角A－BC－D为直二面角，所以平面ABC⊥平面BCD.又平面ABC∩平面BCD＝BC，DC⊥BC，且DC⊂平面BCD，所以DC⊥平面ABC，故A正确.对于B，因为DC⊥平面ABC，且AB⊂平面ABC，所以AB⊥CD.又AB⊥AC，且AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD，所以AB⊥平面ACD，故B正确.对于C，因为AB⊥平面ACD，AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面ACD，故C正确.对于D，过点A作AF⊥BD于点F，取BC的中点E，连接AE，EF.若平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，AF⊂平面ABD，则AF⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，所以AF⊥BC.易得AE⊥BC，因为AF∩AE＝A，AE，AF⊂平面AEF，所以BC⊥平面AEF.又EF⊂平面AEF，所以BC⊥EF，则EF∥CD.因为E为BC中点，所以F为BD中点，所以AB＝AD.但由已知可得AB<AD，所以矛盾，所以平面ABD和平面BCD不垂直，故D错误.综上，故选ABC. 9.BC　由曲线方程研究曲线的图象与性质　对于A，把x＝1代入曲线方程，整理得 y2＋2|y|－1＝0，解得|y|＝－1，所以y＝－1或1－.因为－1<1－，所以点(1，－1)在曲线外部，故A错误.对于B，由x2＋y2＝2|x|－2|y|，得(难点：用零点分段法将曲线方程写成分段形式)， 即当x＝0时，y＝0.由此可画出曲线C如图1所示(题眼)，可知曲线关于原点对称，故B正确.对于C，设曲线在第一象限与坐标轴围成的面积为S，则结合图1知曲线与坐标轴围成的面积为4S.当x>0，y>0时，曲线方程为(x－1)2＋ (y＋1)2＝2，其表示圆心为C′(1，－1)，半径r＝的圆在第一象限内的部分.如图2，令y＝ 0时，得x＝0或x＝2，所以|OA|＝2.连接OC′，C′A，则OC′2＋C′A2＝OA2，所以∠OC′A＝，所以S＝πr2－r2＝π－1，所以4S＝2π－4，故C正确.对于D，由题意可知曲线的周长为4＝4××2πr＝2π，故D错误.综上，故选BC. 10.y＝x　导数的几何意义　对于C1：y＝ex－1，则y′＝ex.对于C2：y＝ ln (x＋2)－1，则y′＝.设公切线与曲线C1相切于点(t，et－1)，与曲线C2相切于点(s， ln (s＋2)－1)，可得在这两个切点处的切线方程分别为y－(et－1)＝et(x－t)和y－[ln (s＋2)－ 1]＝(x－s).因为是公切线，所以s＋2＝e－t，et(1－t)－1＝ln (s＋2)－1－.由s＋2＝ e－t得＝＝1－2et，则et(1－t)－1＝－t－1－[1－2et]，即(t＋1)(1－et)＝0，可得t＝－1或t＝0，则两条公切线方程分别为y＝x和y＝＋－1(写出一条即可). 11.30　计数原理　要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，那么资源组、电芯组、基建组的人数分配情况有1∶3∶1与1∶2∶2(题眼).①当甲、乙两人在同一组时，那么甲、乙只能同在电芯组或基建组，有CCC＋2C＝12(种)分配方案；②当甲、乙两人在不同组时，那么甲、乙只能一人在电芯组另一人在基建组，有2(C＋CCC)＝18(种)分配方案.综上，不同的安排方案种数为12＋18＝30. 【方法技巧】 对于“元素分配到不同组，每组至少1人”的排列组合问题，一般“先分类确定分组类型，再分步计算分配方案”.但本题另增加了限制条件，通过增加分组数量、叠加约束条件、设置人员限制，实现难度升级，符合新课标“从基础到综合”的命题导向. 12.等比数列的定义与通项公式＋等差数列和等比数列的求和公式 解：(1)证明：因为an＋1＝3an－2， 所以an＋1－1＝3(an－1)(题眼).(3分) 所以数列{an－1}是以a1－1＝1为首项，3为公比的等比数列.(6分) (2)由(1)知，an＝3n-1＋1(题眼)， 所以bn＝an＋n＝3n-1＋n＋1.(9分) 所以Sn＝＋，(11分) 整理得Sn＝. 故数列{bn}的前n项和Sn＝.(13分) 13.利用导数研究函数的单调性＋存在性问题 解：(1)由题意得x>0，f′(x)＝2ax－(题眼)， 若a≤0，则f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减.(3分) 若a>0，则当x∈时，f′(x)<0； 当x∈时，f′(x)>0. 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.(6分) (2)由(1)可知，若存在x1，x2∈[1，3]，使得f(x1)＝f(x2)，则必有1<<3， 所以x2≥x1＋1等价于f(x1)＝f(x2)≥f(x1＋1)(技巧：利用单调性转化不等关系)，(9分) 即ax－ln x1≥a(x1＋1)2－ln (x1＋1)， 化简得a≤(题眼)(技巧：分离参数法).(12分) 令F(x)＝，x∈， 则F′(x)＝<0， 所以F(x)在上单调递减. 所以a≤F(x)max＝F(1)＝. 所以a的最大值为.(15分) 14.频率分布直方图＋分层随机抽样＋随机变量的分布列与均值＋二项分布 解：(1)该样本中学生分数为优秀的频率p＝(0.010＋0.015)×10＝0.25，(1分) 所以该样本中学生分数为优秀的人数为100×0.25＝25.(2分) (2)[第1步，利用分层随机抽样，确定分数在[90，100]的人数，得到随机变量的所有可能取值] 从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，其中分数在[90，100]的人数为×11＝2.(4分) 若从座谈名单中随机抽取3人，则X的所有可能取值为0，1，2， [第2步，计算随机变量所有可能取值的概率，写出分布列] 所以P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 则X的分布列为 X 0 1 2 P (7分)(每种情况1分) [第3步，计算均值] 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(9分) (3)[第1步，确定随机变量Y的分布] 由题可知，Y～B(50，0.25)， [第2步，求P(Y＝k)] 则P(Y＝k)＝C(0.25)k(1－0.25)50-k(题眼)，(11分) [第3步，作商，建立不等式，当P(Y＝k)最大时，求k的值] 则＝＝， 当>1时，解得k<11.75(关键：指数型的大小比较一般采用作商便于处理).(13分) 因为k∈N，所以当k≤11时，P(Y＝k)<P(Y＝k＋1)； 当k≥12时，P(Y＝k)>P(Y＝k＋1). 所以当k＝12时，P(Y＝k)最大.(15分) 学科网（北京）股份有限公司 $