基础小卷6-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习基础小卷

基础小卷6 建议时间：60分钟　实际用时：________　总分：100分　得分：______分 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2026·全国Ⅰ卷)样本数据6，8，4，5，12的中位数为 A.5 B.6 C.8 D.9 2.(广东深圳调研)复数z＝sin 1＋icos 1，则|z|＝ A.1 B.2 C.3 D.4 3.(湖南九校联盟二联)全集U＝{1，2，3，4}，2∈B，且B⊆U，则满足条件的集合B的个数为 A.8 B.7 C.4 D.2 4.(北京海淀期末)已知A(－2，0)，B(2，0).若动点P满足|PA|－|PB|＝2，则P的轨迹方程为 A.x2－＝1 B.x2－＝1(x≤－1) C.－x2＝1 D.x2－＝1(x≥1) 5.(浙江名校协作体联考)已知(1＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a3＝ A.32 B.16 C.8 D.4 6.(2025·天津卷)已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2＋8n，则数列{|an|}的前12项和为 A.144 B.112 C.80 D.48 7.(福州适应性练习)已知函数f(x)＝为增函数，则a的最小值是 A. B.2 C.4 D.5 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8.(2026·全国Ⅱ卷)已知⊙O：x2＋y2＝1，⊙A：x2＋y2－6x－8y＋k＝0，则 A.点A的坐标为(－3，－4) B.当k＝9时，⊙A与x轴相切 C.当k＝－11时，⊙O与⊙A相切 D.当⊙O与⊙A相交时，两个交点所在直线的方程为6x＋8y－k－2＝0 9.(乌鲁木齐质监二)将一个质地均匀的正方体骰子独立地抛掷3次，则 A.三次点数均为偶数的概率是 B.三次点数之和为9的概率是 C.事件“三次点数有且仅有一次为6”与事件“三次点数之和为9”相互独立 D.在三次点数互不相同的条件下，点数之和为9的概率是 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 10.(2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x).若a⊥(a－b)，则|a|＝________. 11.(合肥质检二)设函数f(x)＝tan (ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，且|AB|的最小值为π.若f＝，则φ＝________. 四、解答题：本题共3小题，共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)(2025·北京卷)在△ABC中，cos A＝－，asin C＝4. (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC边上的高. 条件①：a＝6； 条件②：asin B＝； 条件③：△ABC的面积为10. 注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 13.(15分)(原创)已知函数f(x)＝x cos x，g(x)＝x－2sin x. (1)求曲线y＝f(x)在x＝2π处的切线方程； (2)讨论函数y＝f(x)＋g(x)在区间[0，π]上的极值点个数. 14.(15分)(新考法|椭圆柱)(江苏苏北七市调研测试二)一个椭圆沿着垂直于其所在平面的方向上平行移动形成的空间图形叫作椭圆柱，平移起止位置的两个面叫作椭圆柱的底面.如下图，在椭圆柱OO′中，椭圆O的长轴长为4，短轴长为2，OO′＝2.A，B是椭圆O上关于O对称的两点，C，D是椭圆O′上关于O′对称的两点，且AB⊥CD. (1)证明：CD⊥平面AO′B； (2)若AB＝CD，求直线AC与底面所成角的正弦值； (3)求四面体ABCD的内切球半径的最小值. 基础小卷6 1—5 BAADA　　6 C　　7 C　　8 BC　　9 ABD 10 　　11 1.B　中位数　将样本数据从小到大排列，得到4，5，6，8，12，共5个数，中位数为第3个数，即该组数据的中位数为6，故选B. 2.A　【解析】复数的模长＋同角三角函数的基本关系　由题意得|z|＝＝1，故选A. 3.A　集合的子集　因为全集U＝{1，2，3，4}，2∈B，且B⊆U，所以B可能为{2}，{1，2}，{2，3}，{2，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，共8个，即满足条件的集合B的个数为8，故选A. 4.D　双曲线的定义＋双曲线的方程　由双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且c＝2，a＝1，所以b2＝c2－a2＝3，所以点P的轨迹方程是x2－＝1(x≥1)，故选D. 5.A　二项式定理　(1＋2x)4的展开式的通项为Tr＋1＝C·14-r·(2x)r，令r＝3，得T4＝C·14-3·(2x)3＝4×1×8x3＝32x3，所以a3＝32，故选A. 6.C　数列求和＋数列的通项公式　由Sn＝－n2＋8n　①，得当n≥2时，Sn－1＝－(n－1)2＋8(n－1)＝－n2＋10n－9　②.①－②，得当n≥2时，an＝－2n＋9.又a1＝S1＝－1＋8＝7满足上式，所以an＝－2n＋9，所以{|an|}的前12项和为a1＋a2＋a3＋a4＋|a5＋a6＋…＋ a12|＝7＋5＋3＋1＋|－1－3－…－15|＝16＋＝16＋64＝80，故选C. 7.C　分段函数的单调性＋函数的图象 解法一(代数分析法)：当函数y＝x＋(x≥a)时，由对勾函数的单调性知，其在[2，＋∞)上单调递增(题眼)，所以a≥2　①.当x≥a时，函数f(x)的最小值为f(a)＝a＋；当x<a时，函数f(x)的值域为.结合题意可得a＋≥＋4，整理得3a2－16a＋16≥0，解得a≤或a≥4　②(易错：分析分段函数的单调性时，未考虑分界点处函数值的大小).由①②知a≥4，所以a的最小值为4，故选C. 解法二(图象法)：在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝x＋(x≠0)与函数y＝x＋4的图象，如下图所示(题眼)，由图易知，当a≥4时，函数f(x)为增函数，所以实数a的最小值为4，故选C. 8.BC　圆的标准方程＋圆与圆的位置关系＋直线与圆的位置关系　对于A，由题意可得⊙A的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－k，故点A的坐标为(3，4)，故A错误；对于B，当k＝9时，⊙A的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝16，半径为4，则⊙A与x轴相切，故B正确；对于C，当k＝－11时，⊙A的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝36，此时OA＝5＝6－1，则⊙O内切于⊙A，故C正确；对于D，当两圆相交时，两圆的方程作差，得6x＋8y－1－k＝0，即为交点所在直线方程，故D错误.综上，故选BC. 9.ABD　古典概型＋独立事件的判断＋独立事件的乘法概率公式　对于A，每次出现点数为偶数的概率是(题眼)，所以三次点数均为偶数的概率是＝，故A正确. 对于B，[第1步，求样本点的总数] 将一个质地均匀的正方体骰子独立地抛掷3次，样本点的总数为63＝216. [第2步，用列举法求三次点数之和为9的样本点数] 三次点数之和为9的样本点有(1，2，6)，(1，3，5)，(1，4，4)，(1，5，3)，(1，6，2)，(2，1，6)，(2，2，5)，(2，3，4)，(2，4，3)，(2，5，2)，(2，6，1)，(3，1，5)，(3，2，4)，(3，3，3)，(3，4，2)，(3，5，1)，(4，1，4)，(4，2，3)，(4，3，2)，(4，4，1)，(5，1，3)，(5，2，2)，(5，3，1)，(6，1，2)，(6，2，1)(易错：在列举所有可能的结果时，可能会遗漏某些情况或者重复计算，导致概率计算错误)，共25个， [第3步，由古典概型的概率公式求结果] 所以所求概率为，故B正确. 对于C，[第1步，设出相关事件] 设事件“三次点数有且仅有一次为6”为事件A，事件“三次点数之和为9”为事件B. [第2步，求P(A)，P(B)，P(AB)] 所以(题眼)，所以事件AB的样本点有(1，2，6)，(1，6，2)，(2，1，6)，(2，6，1)，(6，1，2)，(6，2，1)，共6个，P(A)P(B)＝×＝，所以P(AB)＝＝. [第3步，根据事件独立性的条件作判断] 所以P(A)P(B)≠P(AB)，所以事件A，B不相互独立(技巧：“P(A)P(B)＝P(AB)”是判断事件是否相互独立的充要条件)，故C错误. 对于D，[第1步，求三次点数互不相同的样本点的总数] 三次点数互不相同的样本点的总数为6×5×4＝120， [第2步，求三次点数互不相同且点数之和为9的样本点数] 三次点数互不相同且点数之和为9的样本点有(1，2，6)，(1，3，5)，(1，5，3)，(1，6，2)，(2，1，6)，(2，3，4)，(2，4，3)，(2，6，1)，(3，1，5)，(3，2，4)，(3，4，2)，(3，5，1)，(4，2，3)，(4，3，2)，(5，1，3)，(5，3，1)，(6，1，2)，(6，2，1)，共18个， [第3步，由古典概型的概率公式求结果] 所以在三次点数互不相同的条件下，点数之和为9的概率是＝，故D正确.综上，故选ABD. 10.　平面向量的坐标运算＋向量垂直的性质＋平面向量的模　由题意得，a－b＝(1，1－2x).因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝x＋(1－2x)＝0，解得x＝1，所以＝＝. 11.　三角函数的图象与性质 [第1步，根据|AB|的最小值求出ω的值] 因为曲线y＝f(x)与直线y＝相邻两个交点的距离就是函数f(x)的最小正周期T，且|AB|的最小值为π，所以f(x)＝tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝＝π(题眼)，则ω＝1(关键：由最小正周期求得ω)，所以函数f(x)＝tan (x＋φ). [第2步，根据f＝求出φ] 因为f＝，所以tan ＝，则＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝＋kπ－＝ kπ＋(k∈Z).又φ∈，所以φ＝. 12.同角三角函数的基本关系＋正弦定理＋三角形的面积公式 解：(1)因为cos A＝－，且0<A<π(提示：三角形内角的范围)， 所以sin A＝(方法：同角三角函数的基本关系).(2分) 因为a sin C＝4，＝， 所以a sin C＝c sin A＝＝4(题眼). 解得c＝6.(5分) (2)若选①，则c＝a＝6， 所以△ABC是以A，C为底角的等腰三角形. 但由cos A＝－知A>， 所以此时不存在△ABC. 若选②，因为a sin B＝，a sin C＝4， 所以＝＝. 所以b＝5. 所以a＝＝9. 过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D，过点A作AE⊥BC，交BC于E. 因为sin ∠BAC＝，c＝6， 所以BD＝4.(9分) 因为S△ABC＝BD·AC＝AE·BC(题眼)， 所以AE＝＝4×＝. 即BC边上的高为.(13分) 若选③，S△ABC＝bc sin A＝2b＝10(提示：三角形面积公式的应用)， 解得b＝5.(7分) 过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D，过点A作AE⊥BC，交BC于E. 因为sin ∠BAC＝，cos ∠BAC＝－，c＝6， 所以BD＝4，AD＝2. 所以CD＝7. 所以BC＝＝9.(11分) 因为S△ABC＝BD·AC＝AE·BC(题眼)， 所以AE＝＝. 即BC边上的高为.(13分) 13.导数的几何意义、函数的极值点、导数在函数中的应用 解：(1)由f(x)＝x cos x得f′(x)＝cos x－x sin x(题眼)，(1分) 所以曲线y＝f(x)在x＝2π处的切线斜率k＝f′(2π)＝cos 2π－2πsin 2π＝1(提示：切点处对应的函数的导数值即为切线的斜率).(2分) 又f(2π)＝2π，(3分) 所以曲线y＝f(x)在x＝2π处的切线方程为y－2π＝1×(x－2π)，即y＝x.(4分) (2)由题可得y＝h(x)＝f(x)＋g(x)＝x＋x cos x－2sin x，(5分) 则h′(x)＝1－x sin x－cos x.(6分) 令φ(x)＝h′(x)＝1－x sin x－cos x(题眼)(方法：在导函数的零点无法直接求解时，可考虑构造函数继续讨论)，则φ′(x)＝－x cos x.(7分) 当x∈时，φ′(x)≤0， 所以φ(x)在上单调递减.(8分) 当x∈时，φ′(x)>0， 所以φ(x)在上单调递增.(9分) 又φ(0)＝0，φ＝1－<0，φ(π)＝2>0，(10分) 所以存在x0∈，使得φ(x0)＝0(提示：虚拟零点的应用).(12分) 所以当x∈(0，x0)时，φ(x)<0，即h′(x)<0，则h(x)单调递减；(13分) 当x∈(x0，π)时，φ(x)>0，即h′(x)>0，则h(x)单调递增.(14分) 所以函数y＝f(x)＋g(x)在[0，π]上有1个极值点.(15分) 14.椭圆柱体的结构特征＋线面垂直的判定定理＋直线与平面所成角的正弦值＋椭圆的方程＋四面体的内切球 解：(1)证明：记椭圆O′所在平面为α， 由椭圆柱的定义可知，OO′⊥平面α. ∵CD⊂平面α， ∴OO′⊥CD(题眼).(2分) ∵AB⊥CD，AB，OO′⊂平面AO′B，AB∩OO′＝O， ∴CD⊥平面AO′B.(4分) (2)[第1步，在平面直角坐标系xOy中，求出椭圆O的方程，从而求出OA，OC1的长] 设C，D在下底面的射影分别为C1，D1， 则AB⊥C1D1. 如下图，在平面直角坐标系xOy中， 由题意知椭圆O的方程为＋y2＝1(题眼). 设A(x1，y1)，C1(x2，y2)， 则B(－x1，－y1)，D1(－x2，－y2). 若AB与坐标轴不垂直，设直线AB的方程为y＝kx，k≠0， 联立直线AB与椭圆的方程，得x＝， ∴|OA|＝＝.(6分) 同理，可得|OC1|＝＝. [第2步，由相等线段建立方程求k2的值，从而可得|AC|，进而可求直线AC与底面所成角的正弦值] 由AB＝CD得AB＝C1D1， 则＝， 解得k2＝1， ∴|OA|＝|OC1|＝.(8分) 结合(1)可知，|AC|2＝|O′A|2＋|O′C|2＝|OO′|2＋|OA|2＋|OC1|2＝， ∴|AC|＝. 设直线AC与底面所成的角为θ， 则sin θ＝＝， ∴直线AC与底面所成角的正弦值为.(10分) (3)[第1步，表示出四面体ABCD的体积] 由题意知四面体ABCD的体积V＝VCO′AB＋VDO′AB＝S△O′AB·CD＝×·OO′·AB·CD＝OA·OC1(题眼). [第2步，结合V＝(S△ACD＋S△BCD＋S△ABC＋S△ABD)·R表示出四面体的内切球半径R，再结合基本不等式求R的最小值，并求出此时k的值] 由题意得S△ACD＝S△BCD＝·O′A·CD＝OC1·，　 S△ABC＝S△ABD＝·OC·AB＝OA·.(12分) 设四面体ABCD的内切球半径为R， 则V＝(S△ACD＋S△BCD＋S△ABC＋S△ADB)·R， ∴R＝ ＝ ＝ ＝(13分) ≥＝， 当且仅当5k2＋2＝2k2＋5，即k＝±1时，等号成立.(14分) [第3步，确定内切球半径的最小值] 若AB与坐标轴垂直，不妨设AB为长轴，C1D1为短轴， 即OA＝2，OC1＝1， 此时内切球半径R＝>. 综上，四面体ABCD内切球半径的最小值为.(15分) 学科网（北京）股份有限公司 $