基础小卷4-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习基础小卷

基础小卷4 建议时间：60分钟　实际用时：________　总分：100分　得分：______分 　 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(江苏苏北七市调研测试二)已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x||x－1|>1}，则 A.A⊆B B.B⊆A C.A∩B＝∅ D.A∪B＝R 2.(江西南昌二中、吉安一中、九江一中测试)若复数z满足＝i，且z在复平面内对应的点的坐标为(a，b)，则 A.a＝1 B.b＝1 C.a＋b＝0 D.a－b＝0 3.(2026·全国Ⅰ卷)已知平面向量a，b不共线，且2a＋yb＝xa－3b，则 A.x＝2，y＝－3 B.x＝－2，y＝3 C.x＝2，y＝3 D.x＝－2，y＝－3 4.(重庆南开中学质检六)直线y＝kx＋1－k被圆x2＋y2＝9所截得的最短弦长为 A.3＋ B.3－ C.2 D. 5.(科技前沿|“擎源”大模型)(湖南教学教研联盟3月联考)国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8 h的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成如下图所示的实际值与预测值对比的折线图(两条折线)： 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是 A.实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段(第5 h左右)达到峰值 B.这8 h内，预测值与实际值的差异(两个值的差的绝对值)平均在10元/MWh左右 C.模型对所有“价格下跌时段”(如第5～6 h)的预测都出现了滞后性(即预测反应慢于实际变化) D.模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 6.(大湾区二模)抛掷一枚质地均匀的硬币n(n≥2)次，记事件A＝“n次中至多有一次反面朝上”，事件B＝“n次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若A与B独立，则n的值为 A.2 B.3 C.4 D.5 7.(2026·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(x)＋f(x－2)＝0，且当x∈时，f(x)＝x2＋ax＋b，则 A.a＝－2，b＝－3 B.a＝－2，b＝3 C.a＝－4，b＝－3 D.a＝－4，b＝3 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8.(福建泉州一模)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝λan＋μ，则下列说法正确的是 A.当λ＝1，μ＝2时，an＝2n－1 B.当λ＝2，μ＝0时，an＝2n C.当λ＝－1，μ＝1时，a2 026＝1 D.当λ＝2，μ＝2时，an＝3×2n-1－2 9.(济南模拟)已知椭圆C：3x2＋4y2＝48的两个焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则 A.C的离心率为 B.△PF1F2的周长为12 C.|PF1|的最小值为3 D.|PF1|·|PF2|的最大值为16 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 10.(安徽江南十校素质检测)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos B＋a sin B－b－c＝0，cos A·cos Bsin C＝，则sin B cos C＝________. 11.(北京门头沟练习)某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩.随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了________万个充电桩；从第1年起，约________年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个(结果保留到个位).(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) 四、解答题：本题共3小题，共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)(原创)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A<0，ω>0，0<φ<)的部分图象如下图所示，图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A(0，－1)，点D为最低点，△BCD为等腰直角三角形. (1)求函数f(x)的解析式及单调区间； (2)先将函数f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再把所得图象整体向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在x∈上的值域. 13.(15分)(浙江五校联考)已知函数f(x)＝ln x－ax，其中a∈R. (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a的值. (2)是否存在实数a，使得f(x)在x∈(0，e]上的最大值是－3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 14.(15分)(湖南新高考教学教研联盟联考)如下图，在三棱锥A－BCD中，AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠CBD. (1)证明：BC⊥AD； (2)若△ABC和△DBC所在平面垂直，且平面ABD与平面BCD所成角的余弦值为，求∠CBA. 基础小卷4 1—5 CDACC　　6 B　　7 D　　8 AD　　9 BD 10 　　11 2.88　8 1.C　集合的交集运算＋集合的并集运算＋集合间的包含关系　由题意知，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∩B＝∅，故选C. 2.D　复数的运算及几何意义＋共轭复数　由题意得，复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则由＝i，得a＋bi＝(a－bi)i＝b＋ai，所以a＝b，即a－b＝0，故选D. 3.A　平面向量的线性表示 解法一(定义法)：因为a，b不共线，所以由平面向量基本定理知，任何一个向量可以由a，b唯一线性表示，所以x＝2，y＝－3，故选A. 解法二(运算法)：将原式变形得(x－2)a＝(y＋3)b，因为a，b不共线，所以a，b均为非零向量，因此x－2＝0，y＋3＝0，解得x＝2，y＝－3，故选A. 4.C　直线与圆的位置关系　因为y＝kx＋1－k＝k(x－1)＋1过定点A(1，1)，圆x2＋y2＝9的圆心为O(0，0)，半径r＝3，连接OA，所以当OA垂直于直线y＝kx＋1－k时弦长最短，所以最短弦长为2＝2，故选C. 5.C　折线图的应用　对于A，由题图易知A正确，不符合题意；对于B，差异平均值为×(|460－450|＋|465－470|＋…＋|490－500|)＝10，故B正确，不符合题意；对于C，没有足够的理由说明预测反应慢于实际变化，故C错误，符合题意；对于D，平均相对误差为×(＋＋…＋)≈0.019，精确度较高，故D正确(另解：由题图可知两折线的趋势基本一致，且误差较小，故精确度较高，故D正确)，不符合题意.综上，故选C. 6.B　相互独立事件的概率公式　根据题意，P(A)＝＋＝(n＋1)，P(B)＝＋＝2×，P(AB)＝(题眼).若A与B独立，则P(A)P(B)＝P(AB)(提示：利用相互独立事件的概率公式列式)，即(n＋1)·2×＝，解得n＝3，故选B. 7.D　函数的周期性、奇偶性及其图象的对称性 [第1步，确定函数f(x)的周期] 由f(x)＋f(x－2)＝0，可得f(x＋2)＋f(x)＝0，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4. [第2步，结合f(x)是偶函数，得到a的值] 因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x).又f(x)＋f(x－2)＝0，所以f(－x)＋f(x－2)＝0，从而可得f(－1)＝0(题眼).由f(－x)＝f(x)＝f(x＋4)可得x＝2是函数f(x)图象的一条对称轴，所以－＝2，则a＝－4.　 [第3步，利用周期性求b的值] 因为函数f(x)的周期T＝4，所以f(3)＝f(－1)＝0，即9＋3a＋b＝0，解得b＝3，故选D. 8.AD　等差数列的定义与通项公式＋等比数列的定义与通项公式　对于A，根据题意，得an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2，且a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以an＝2n－1，故A正确；对于B，根据题意，得an＋1＝2an，a1＝1≠0，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝2n-1，故B错误；对于C，根据题意，得an＋1＝－an＋1，可得＝－(关键：根据题干构造等比数列)，a1－＝≠0，所以数列是首项为，公比为－1的等比数列，所以an－＝×(－1)n-1，所以an＝＋×(－1)n-1，所以a2 026＝＋×(－1)2 025＝0，故C错误；对于D，根据题意，得an＋1＝2an＋2，可得(an＋1＋ 2)＝2(an＋2)，a1＋2＝3≠0，所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，所以an＋ 2＝3×2n-1，所以an＝3×2n-1－2，故D正确.综上，故选AD. 9.BD　椭圆的定义及几何性质　由题意知，椭圆C的标准方程为＋＝1，则a＝4，b＝2，c＝2.对于A，e＝＝，故A错误；对于B，由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，所以△PF1F2的周长|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝8＋4＝12，故B正确；对于C，|PF1|min＝ a－c＝4－2＝2，故C错误；对于D，|PF1|·|PF2|≤＝16，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，即|PF1|·|PF2|的最大值为16，故D正确.综上，故选BD. 10.　两角和的正弦公式＋正弦定理＋辅助角公式由a cos B＋a sin B－b－c＝ 0及正弦定理，得sin A cos B＋sin A·sin B－sin B－sin C＝0(技巧：当等式中出现边的齐次时，可利用正弦定理化边为角)　①，又sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B， sin B≠0　②，联立①②可得sin A－cos A＝1，即2sin＝1，所以sin＝.因为A∈(0，π)，所以A－∈(－，)，所以A－＝，所以A＝(题眼)，所以sin (B＋C)＝sin A＝，cos A＝，则由cos A cos B sin C＝，得cos B sin C＝.又sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝，所以sin B·cos C＝. 11.2.88　8　等比数列的应用＋等比数列的前n项和　由题意可知第3年新建设2× (1＋0.2)2＝2.88 万个充电桩.假设第n年后充电桩总量达到30万个，则2＋2×(1＋0.2)＋…＋2×(1＋0.2)n-1≥30，即≥30(技巧：对于等比数列求和结合不等式求解的问题，先写出数列的前n项和，在化简不等式过程中，注意运算规则和符号变化)，则1.2n≥4，则n≥＝≈≈7.62，即约8年内，可达到要求. 12.三角函数的图象与性质 解：(1)由题图可知A＝－2.(1分) 因为△BCD为等腰直角三角形， 所以BC＝4. 又BC＝·＝， 所以＝4. 因为ω>0，所以ω＝.(2分) 因为函数f(x)的图象经过点A(0，－1)， 所以f(0)＝－2sin (0＋φ)＝－1. 所以sin φ＝. 因为0<φ<， 所以φ＝.(3分) 所以f(x)＝－2sin .(4分) 令－＋2kπ<x＋<＋2kπ，k∈Z， 解得x∈(k∈Z)， 令＋2kπ<x＋<＋2kπ，k∈Z， 解得x∈(k∈Z). 则函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)，(5分) 单调递减区间为(k∈Z).(6分) (2)由题意得函数g(x)的解析式为g(x)＝－2sin (πx－)(题眼).(7分) 令－＋2kπ<πx－<＋2kπ，k∈Z，解得x∈(－＋2k，＋2k)(k∈Z)，即函数g(x)在x∈(－＋2k，＋2k)(k∈Z)上单调递减； 令＋2kπ<πx－<＋2kπ，k∈Z， 解得x∈(k∈Z)，即函数g(x)在x∈(＋2k，＋2k)(k∈Z)上单调递增. (9分) 又x∈， 所以函数g(x)在x∈上单调递减.(10分) 当x＝－时，g＝2；(11分) 当x＝时，g＝－.(12分) 所以函数g(x)在x∈上的值域为(－，2].(13分) 【高考风向】 三角函数的图象与性质为高考解答题基础题型，要求掌握三角函数的周期性、单调性、图象的变换、相位、值域等相关知识. 13.导数的几何意义＋利用导数研究函数的单调性与最值 解：(1)f′(x)＝－a，则f′(1)＝1－a. 又f(1)＝－a， 故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＋a＝(1－a)(x－1)(题眼)，即y＝(1－a)x－1， (2分) 当a＝1时，切线方程为y＝－1，不符合题意(易错：忽略对截距是否存在进行讨论)； 当a≠1时，令x＝0，有y＝－1，(4分) 令y＝0，有x＝，故＝－1，即a＝2.(6分) (2)因为f(x)＝ln x－ax，x>0， 所以f′(x)＝－a＝.(7分) ①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递增， 所以f(x)的最大值是f(e)＝1－ae＝－3， 解得a＝>0，舍去；(9分) ②当a>0时，令f′(x)＝＝0，得x＝， 当0<<e，即a>时，f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是. 又f(x)在(0，e]上的最大值为－3， 所以f(x)max＝f＝－1－ln a＝－3.∴a＝e2； 当≥e，即0<a≤时，f(x)在(0，e]上单调递增， 所以f(x)max＝f(e)＝1－ae＝－3， 解得a＝>，舍去.(14分) 综上，存在a符合题意，此时a＝e2(提示：对参数分类讨论要做到不重不漏).(15分) 14.线面垂直的判定定理与性质定理＋二面角的余弦值＋空间向量的应用 解：(1)证明：如图1，取AD的中点M，连接BM，CM. ∵BA＝BD， ∴BM⊥AD.(2分) ∵AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠CBD， ∴△ABC≌△DBC(SAS). ∴AC＝DC. ∴CM⊥AD(题眼).(4分) ∵BM∩CM＝M， ∴AD⊥平面BCM. 又BC⊂平面BCM， ∴BC⊥AD.(6分) 图1 (2)解法一(空间向量法)：设∠CBA＝∠CBD＝θ，AB＝BC＝BD＝1， ∵平面ABC⊥平面DBC，平面ABC∩平面DBC＝BC， ∴可以以B为坐标原点，过点B垂直于平面ABC的直线为x轴，直线BC为y轴，过点B垂直于平面DBC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图1所示(易错：题干无三条两两垂直的线段，需要先说明再建系，此步骤学生容易遗漏).(8分) 则有B(0，0，0)，A(0，cos θ，sin θ)，D(sin θ，cos θ，0)(题眼)， 易知平面DBC的一个法向量为m＝(0，0，1)，(10分) 设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)， 又＝(0，cos θ，sin θ)，＝(sin θ，cos θ，0)， 则有 即 令y＝－sin θ，则x＝z＝cos θ， ∴n＝(cos θ，－sin θ，cos θ).(12分) 由题可知|cos 〈m，n〉|＝＝， 解得cosθ＝±，(14分) ∵θ∈(0°，180°)， ∴∠CBA＝60°或∠CBA＝120°(提醒：二面角的范围为[0°，180°]，若解出两个三角函数值则得到两个结果).(15分) 解法二(几何法)：如图2，过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H，过点A作AG⊥ BD于点G，连接GH. 图2 ∵平面ABC⊥平面DBC，且平面ABC∩平面DBC＝BC，　 ∴AH⊥平面BCD. ∴AH⊥BD.(8分) 又AH∩AG＝A， ∴BD⊥平面AGH， 即∠AGH为平面ABD与平面BCD所成的角(题眼)(拓展：利用三垂线定理找二面角). 由题意得cos ∠AGH＝，可知tan ∠AGH＝2.(10分) 设∠CBA＝∠DBC＝θ，AB＝BC＝BD＝1， 则AH＝sin θ，BH＝|cos θ|. ∴在Rt△AHG中，tan ∠AGH＝＝＝2. ∴GH＝.(12分) 在Rt△BGH中，sin ∠HBG＝sin(π－θ)＝sin θ＝＝，　 解得|cos θ|＝，即cos θ＝±.(14分) ∵θ∈(0°，180°)， ∴∠CBA＝60°或∠CBA＝120°.(15分) 学科网（北京）股份有限公司 $