基础小卷5-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习基础小卷

基础小卷5 建议时间：60分钟　实际用时：________　总分：100分　得分：______分 　　　　　 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2026·全国Ⅰ卷)已知集合A＝，B＝，则A∩B＝ A. B. C. D. 2.(原创)如下图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，DE，DF分别交对角线AC于点G，H，则＝ A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 3.(武汉调研)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S9＝S3＋S6，且＋＋＝0，则正整数k的值为 A.3 B.6 C.9 D.12 4.(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则 A＝ A.45° B.60° C.120° D.135° 5.(跨物理学科——声音)(郑州质量预测二)声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y＝A sin ωt，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sin x＋sin 2x(x∈R)，则下列说法正确的是 A.f(x)的一个周期为π B.f(x)的最大值为 C.f(x)的图象关于点对称 D.f(x)在区间[0，π]上有2个零点 6.(郑州质量预测二)已知椭圆C：＋y2＝1(a>0)，椭圆上一点P到直线x－2y＝0距离的最大值为，则该椭圆的离心率为 A. B. C. D. 7.(南京、盐城一模)已知函数f(x)＝(x2－kx＋k－2)ex＋(k－2)e2，若存在x0<2，对于任意x∈(x0，2)都有f(x)<0，则实数k的取值范围是 A.(－∞，3) B.(－3，0) C.(0，3) D.(－3，＋∞) 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8.(南京、盐城一模)设z1，z2为复数，则下列说法中正确的有 A.|z1|＋|z2|＝|z1＋z2| B.＋＝ C.若|z1|＝|z2|，则z＝z D.若z<0，则z1为纯虚数 9.(北京海淀期末，改编)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，点M在三棱柱的表面上运动，且⊥，则下列结论正确的是 A.点M可以在点A处 B.点M在底面ABC上的轨迹为线段 C.点M的轨迹是直角三角形 D.直线A1C与点M的轨迹所在平面相交 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 10.(广东一模)随机变量X～N(μ，σ2 )，若P(X≥70)＝P(X≤90)且P(72≤X≤80)＝0.3，则随机变量X的第80百分位数是________. 11.(2025·上海卷)已知4名家长与2名儿童去爬山，并拍摄亲子郊游活动照片.若6个人需要排成一条队列，且队列的头和尾均是家长，则不同的排列方式有________种. 四、解答题：本题共3小题，共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)(福建厦门模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝3，Sn＝nan－n(n－1). (1)证明{an}是等差数列，并求an； (2)记数列的前n项和为Tn，证明：Tn<. 13.(15分)(湖南九校联盟二联)在抛物线Γ：y2＝2px(p>0)中，直线l与Γ交于A，B两点，F为Γ的焦点.当直线l为y＝x－4时，|AB|＝4. (1)求抛物线Γ的标准方程； (2)若线段AB中点的纵坐标始终为1，求|AF|＋|BF|的取值范围； (3)已知直线x＝m与Γ相交于P，Q两点，直线x＝n与Γ相交于C，D两点(点P，C在x轴的上方)，若|CD|＝4|PQ|，四边形PQDC的外接圆圆心坐标为(s，t)，求证：s＋t >2. 14.(科技前沿|“奋斗者”号姿态校准)(15分)(浙江温州适应性考试二)在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为＋1个单位，向“负方向姿态修正一次”记为－1个单位. (1)求6次姿态修正后达到＋2个单位的概率. (2)以下三种情况将导致校准流程终止. 情况1：累计姿态偏移达到＋2个单位(校准到位)； 情况2：累计姿态偏移达到－2个单位(需紧急干预)； 情况3：完成6次姿态修正(能源耗尽). (ⅰ)求在能源耗尽的条件下校准到位的概率. (ⅱ)设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求E(X). 基础小卷5 1—5 CDAAD　　6 D　　7 A　　8 BD　　9 ABC 10 88　　11 288 1.C　三角函数值＋集合的交集运算　因为sin ＝－，cos ＝，tan ＝1，所以A＝，则A∩B＝，故选C. 2.D　平面向量的线性运算　如下图，连接BD交AC于点O，则O为BD的中点.因为E，F分别为AB，BC的中点，所以G，H分别为△ABD和△BCD的重心，则＝，＝，所以＝＋＝(＋)＝＝＋，故选D. 3.A　等比数列的通项公式与前n项和公式　设等比数列{an}的公比为q，由题意知q≠1，由2S9＝S3＋S6，得＝＋，整理得2q6－q3－1＝0.令t＝q3，则2t2－t－1＝0，解得t＝－或t＝1(舍去)，所以q3＝(题眼). 解法一：由＋＋＝0，得＝0(公式：等比数列中任意两项间的关系为an＝amqn－m)，即1＋＋＝0，代入q3＝－，整理得q3-k＝1，所以3－k＝0，解得k＝3，故选A. 解法二：由＋＋＝0，得＋＋＝0，即＋＋＝0，则＝0，即＋＋＝0.因为q3＝－，所以－2＋4＋＝0，可得qk＝－，所以k＝3，故选A. 4.A　余弦定理的推论＋特殊角的三角函数值　根据余弦定理的推论得cos A＝，将题中数值代入可得cos A＝＝.因为A∈(0，π)，且cos ＝，所以A＝，故选A. 5.D　三角函数的图象与性质＋函数的零点与最值　对于A，因为函数y＝sin x的周期为2π，y＝sin 2x的周期为π，所以f(x)＝sin x＋sin 2x的周期为2π.故A错误；对于B，因为函数y＝sin x的最大值为1，y＝sin 2x的最大值为，故两个函数同时取最大值时，f(x)的最大值为，此时需满足x＝＋2kπ，k∈Z，且2x＝＋2kπ，k∈Z，不能同时成立，故f(x)的最大值不为，故B错误；对于C，f(π－x)＝sin (π－x)＋sin [2(π－x)]＝sin x－sin 2x，则f(x)＋f(π－x)＝2sin x≠0，故f(x)的图象不关于点对称，故C错误；对于D，因为当f(x)＝sin x＋sin 2x＝sin x(1＋cos x)＝0时，sin x＝0，或1＋cos x＝0，又x∈[0，π]，所以x＝0，或x＝π，所以f(x)在区间[0，π]上有2个零点，故D正确.综上，故选D. 6.D　椭圆的几何性质＋点到直线的距离公式＋两条平行直线间的距离＋三角恒等变换 解法一(判别式法)：设与直线x－2y＝0平行的直线方程为x－2y＋m＝0，当该直线与椭圆相切时，切点到直线x－2y＝0的距离即为最大距离.将x＝2y－m代入椭圆方程＋y2＝ 1中，得＋y2＝1，整理得(4＋a2)y2－4my＋m2－a2＝0，当直线与椭圆相切时，Δ＝ (－4m)2－4(4＋a2)(m2－a2)＝0，即4－m2＋a2＝0，解得m＝±.又两条平行线x－2y＝ 0与x－2y＋m＝0之间的距离d＝＝，则＝，解得a2＝2，则c2＝ a2－b2＝1，所以椭圆的离心率e＝＝＝，故选D. 解法二(参数法)：设椭圆C：＋y2＝1(a>0)上任意点P(a cos θ，sin θ)，θ∈R，根据点到直线的距离公式，可得点P到直线x－2y＝0的距离d＝＝，其中tan φ＝，φ∈，所以dmax＝(题眼)，解得a2＝2，则c2＝a2－b2＝2－1＝1，所以椭圆的离心率e＝＝＝，故选D. 7.A　利用导数研究函数的单调性、最值 [第1步，根据条件，分析解题方向] 因为f(2)＝(4－2k＋k－2)e2＋(k－2)e2＝0，所以要使存在x0<2，对于任意x∈(x0，2)都有f(x)<0，则在x＝2的左侧附近，函数f(x)<0(题眼). [第2步，对函数进行求导，通过分类讨论，即可求解] 因为f(x)＝(x2－kx＋k－2)ex＋(k－2)e2，所以f′(x)＝[x2＋(2－k)x－2]ex，所以f′(2)＝(6－2k)e2(难点：讨论f′(2)的正负，即讨论6－2k的正负).若k>3，则f′(2)<0，当x∈(x0，2)时， f′(x)<0，则f(x)在(x0，2)上单调递减，则f(x)>f(2)＝0，矛盾，所以k>3不成立；若k＝3，则f′(x)＝(x2－x－2)ex，令f′(x)<0可得－1<x<2，则f(x)在(－1，2)上单调递减，则f(x)>f(2)＝0，矛盾，所以k＝3不成立；若k<3，则f′(2)>0，当x∈(x0，2)时，f′(x)>0，所以f(x)在(x0，2)上单调递增，则f(x)<f(2)＝0，所以k<3成立，所以k的取值范围为(－∞，3)，故选A. 8.BD　复数的模＋复数的运算＋共轭复数＋纯虚数的概念 对于A，取z1＝1＋i，z2＝1－i(题眼)(技巧：特值法是选择题排除错误选项的常用方法)，则|z1|＋|z2|＝2，|z1＋z2|＝2，所以|z1|＋|z2|≠|z1＋z2|，故A错误；对于B，令z1＝a＋bi， z2＝m＋ni，且a，b，m，n∈R，则＝a－bi，＝m－ni，所以＋＝(a＋m)－(b＋n)i＝，故B正确；对于C，取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但z＝1，z＝－1，所以z≠z，故C错误；对于D，令z1＝a＋bi，a，b∈R，则z＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则可得所以z1为纯虚数，故D正确.综上，故选BD. 9.ABC　线面平行与垂直的判定＋空间向量的运算＋点的轨迹　如下图，以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz.令AB＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C1(0，1，1)，A1(0，0，1)，C(0，1，0).设点M(x，y，z)，故＝(x－1，y，z－1)，＝(1，－1，－1)，由于⊥，则·＝x－1－y－z＋ 1＝0，即x－y－z＝0.对于A，当点M在点A处时，连接B1A，则＝(－1，0，－1)，· ＝－1＋0＋1＝0，即⊥，点M可以在点A处，故A正确.对于B，当点M在底面ABC上时，z＝0，即x－y＝0，得y＝x.由于AC＝AB＝1，取BC的中点D，连接AD，则点M在底面ABC上的轨迹是线段AD，故B正确.对于C，由A，B的分析可知，⊥，点M在AD上运动，连接B1D，则⊥.又DB1∩AB1＝B1，所以C1B⊥平面AB1D，所以△AB1D就是点M的轨迹.因为AB1＝＝，BD＝AD＝BC＝×＝，所以B1D＝＝＝，故AB＝AD2＋B1D2，则△AB1D为直角三角形，故 C正确.对于D，△AB1D是点M的轨迹，且C1B⊥平面AB1D，则为平面AB1D的一个法向量.由于＝(0，1，－1)，·＝0－1＋1＝0，所以⊥，即A1C⊥C1B，又 A1C⊄平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D，故D错误.综上，故选ABC. 【方法技巧】 (1)与平行有关的轨迹问题的解题策略 ①线面平行转化为面面平行得轨迹； ②线面平行时可利用直线的方向向量与法向量的垂直关系得轨迹. (2)与垂直有关的轨迹问题的解题策略 ①利用线线与线面垂直，转化为面面垂直得轨迹； ②利用空间向量坐标运算得轨迹； ③将垂直关系转化为平行关系得轨迹. (3)与距离有关的轨迹问题的解题策略 ①将空间中的距离关系转化为平面内的距离关系，结合圆锥曲线定义或者球或者圆的定义等知识得轨迹； ②利用空间向量坐标运算得轨迹. (4)与角度有关的轨迹问题的解题策略 ①直线与平面成定角，可能是圆锥侧面； ②直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面； ③利用空间向量坐标运算得轨迹. 10.88　百分位数＋正态分布的性质　因为随机变量X～N(μ，σ2)，P(X≥70)＝P(X≤90)，所以μ＝80，故P(80≤X≤88)＝P(72≤X≤80)＝0.3，则P(X≤88)＝0.5＋P(80≤X≤88)＝0.8(题眼)，所以随机变量X的第80百分位数是88. 11.288　排列　先排头尾，再排其他位置(题眼)，有AA＝288种. 12.等差数列的定义＋等差数列的通项公式与前n项和公式＋裂项相消法求和 解：(1)当n≥2时，Sn－1＝(n－1)an－1－(n－1)(n－2)(易错：注意n的范围)，(1分) 则an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－n(n－1)＋(n－1)(n－2)，(2分) 即(n－1)(an－an－1－2)＝0，(3分) 由于n－1≥1，所以an－an－1＝2(n≥2).(4分) 所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列.(5分) 所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.(6分) (2)证明：由(1)知Sn＝n2＋2n，(8分) 所以(题眼).(9分) 所以Tn＝(10分) ＝ ＝－.(12分) 又>0， 所以Tn<.(13分) 13.抛物线的标准方程＋直线与抛物线的位置关系 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当直线l为y＝x－4时，联立 消去x，得y2－2py－8p＝0(题眼)，(1分) 所以Δ＝(－2p)2－4×1×(－8p)＝4p2＋32p>0，y1＋y2＝2p，y1y2＝－8p.(2分) 所以|AB|＝|y1－y2| ＝· ＝·＝4，(3分) 化简得p2＋8p－20＝0，解得p＝2或p＝－10(舍去).(4分) 所以抛物线Γ的标准方程为y2＝4x.(5分) (2)设直线AB：x＝ay＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 消去x，得y2－4ay－4b＝0(题眼)， Δ＝(－4a)2＋16b＝16(a2＋b)>0(关键：Δ>0保证直线与抛物线有两个不同的交点，是后续求范围的约束条件，不可省略)，y1＋y2＝4a，y1y2＝－4b.(6分) 因为AB中点的纵坐标为1， 所以y1＋y2＝2. 所以4a＝2，解得a＝. 所以x＝y＋b.(7分) 又|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1) ＝(x1＋x2)＋2 ＝(y1＋y2)＋2(b＋1) ＝2b＋3，(8分) 又Δ＝16(a2＋b)>0， 所以b>－a2＝－. 所以|AF|＋|BF|>.(9分) 故|AF|＋|BF|的取值范围为.(10分) (3)证明：由已知可得m，n>0，联立 得P(m，2)，Q(m，－2)， 则|PQ|＝4， 同理可得C(n，2)，D(n，－2)，则|CD|＝4，(11分) 当|CD|＝4|PQ|时，4＝4×4， 解得n＝16m(题眼).(12分) 由对称性可得四边形PQDC的外接圆圆心在x轴上，故t＝0，设圆心为S(s，0)， 因为|SP|＝|SC|， 所以＝(技巧：圆上任意点到圆心的距离相等，利用|SP|＝|SC|建立等式)，(13分) 将n＝16m代入整理得6sm＝51m2＋12m.(14分) 因为m>0，所以s＝m＋2. 所以s＋t＝m＋2>2.(15分) 14.条件概率＋独立重复试验的概率＋离散型随机变量的数学期望 解：(1)6次姿态修正后达到＋2个单位，说明有4次向正方向姿态修正，2次向负方向姿态修正， 所以所求概率p＝C＝.(5分) (2)(ⅰ)记事件A为能源耗尽，事件B为校准到位， 所以P(B|A)＝＝＝(易错：误认为P(AB)＝).(10分) (ⅱ)[第1步，确定X的所有可能取值] 由题意得X的所有可能取值为2，4，6(题眼)(易错：在计算随机变量的取值情况时，容易遗漏某些情况，导致分布列不完整).(11分) [第2步，求X的对应取值的概率，列出分布列] 则P(X＝2)＝＋＝， P(X＝4)＝C·××[＋]＝，　 P(X＝6)＝＝. 所以X的分布列如下表所示. X 2 4 6 P (14分) [第3步，利用期望公式求E(X)] 所以E(X)＝2×＋4×＋6×＝.(15分) 学科网（北京）股份有限公司 $