基础小卷2-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习基础小卷

基础小卷2 建议时间：60分钟　实际用时：________　总分：100分　得分：______分 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(南京、盐城一模)设全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，a－2}，∁UA＝{3，4}，则a＝ A.4 B.5 C.7 D.9 2.(原创)已知命题p：∀x∈R，|log2x|＋>2，命题q：∃x∈R，2x－|x＋1|≤0，则 A.p和q都是假命题 B.p是真命题，q是假命题 C.p是假命题，q是真命题 D.p和q都是真命题 3.(2025·全国Ⅰ卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为 级数 名称 风速大小/(m/s) 2 轻风 1.6～3.3 3 微风 3.4～5.4 4 和风 5.5～7.9 5 劲风 8.0～10.7 图1 　　　　 图2 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 4.(传统文化|《天工开物》)(江西南昌二中、吉安一中、九江一中测试)《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30 cm，高为10 cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3 cm的粘土，然后沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份(如右图)，等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦.若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为 A.45π dm3 B.99π dm3 C.135π dm3 D.198π dm3 5.(新定义|σ变换、τ变换)(南京、盐城一模)设σ和τ表示坐标平面内的几何变换，σ表示将几何对象绕原点O逆时针旋转，τ表示将几何对象关于y轴对称，σk(k∈N*)表示连续k次σ变换.已知角α的终边经过点(－2，1)，若对角α的终边先进行τ变换，再进行σ3变换，得到角β的终边，则tan β＝ A.－3 B.－ C. D.3 6.(新考法|激活函数)(东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁实验中学联合模拟)人工智能(AI)领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规律做预测和识别的数学模型.神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出.σ(x)＝是最常用的激活函数，下面关于σ(x)表述错误的是 A.σ(ln 2)＝ B.0<σ(x)<1 C.σ′(x)＝σ(x)[1－σ(x)] D.σ(2)< 7.(江苏苏锡常镇四市调研一)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＋2a cos C＝0，则tan B的最大值为 A. B. C. D.3 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8.(江西八所重点中学联考)若a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是 A.若a<b，c≠0，则< B.若a<b，c<d，则ac<bd C.若a>0，b>0，且＋＝1，则2a＋3b的最小值为5＋2 D.若a>0，b>0，且a＋b＝2，则a2＋b2的最大值为2 9.(2026·全国Ⅱ卷)设等比数列{an}的公比q≠1，a1>0，2a3＝a1＋a2，记其前n项和为Sn，则 A.q＝－ B.Sn> C.2Sn＋2＝Sn＋1＋Sn D. > 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 10.(北京西城统测)若复数z满足(1＋2i)·z＝3＋i，则|z|＝________. 11.(湖北T8联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，斜率为1的直线l与抛物线C交于M，N两点，则的值为________. 四、解答题：本题共3小题，共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)(成都二模)国民体质是国家和社会发展的重要基础.为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》 《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展.《国民体质制定标准(2023年修订)》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级.某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了200人进行问卷调查，得到如下列联表： 单位：人　　　　　　　　　　　　 组别 体质情况 合格 良好及以上 合计 爱好运动 80 b 150 不爱好运动 c 10 合计 200 (1)求b，c的值，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关； (2)在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望. 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.01 0.001 xα 2.706 6.635 10.828 13.(15分)(湖北开学考)如下图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点. (1)求证：AM⊥平面PCD. (2)试问在线段PB上是否存在一点N，使得平面AMN与底面ABCD所成夹角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 14.(15分)(南京、盐城一模)已知函数f(x)＝x(ln x－a)，直线y＝x－e与曲线y＝f(x)相切. (1)求实数a的值； (2)若x＝1是函数g(x)＝f(x2)－bf(x)的极大值点，求实数b的取值范围. 基础小卷2 1—5 ACADD　　6 D　　7 B　　8 AC　　9 ACD 10 　　11 1.A　集合的补集运算　因为∁UA＝{3，4}，所以A＝{1，2}，所以a－2＝2，解得a＝4，故选A. 2.C　命题真假的判断　对于命题p，当x＝2时，|log2x|＋＝2，所以p是假命题.对于命题q，当x＝1时，2x－|x＋1|＝0，所以q是真命题，故选C. 3.A　向量的加法运算＋向量的模　如下图，由题意得真风风速对应的向量＝视风风速对应的向量－船行风风速对应的向量＝视风风速对应的向量＋船速对应的向量＝(题眼)，显然||＝2∈(1.6，3.3)，故该时刻的真风为轻风，故选A. 4.D　圆柱的体积　因为四片瓦需要的粘土的体积为π×(15＋3)2×10－π×152×10＝990π cm3，所以800片瓦需要的粘土的体积为990π×200＝198 000π cm3＝198π dm3(易错：注意单位的转换)，故选D. 5.D　三角函数的定义＋角的变换＋两角和的正切公式 [第1步，根据τ变换得到角θ，利用三角函数的定义得到tan θ的值] 因为角α的终边经过点(－2，1)，若对角α的终边先进行τ变换，得到角θ，则角θ的终边经过点(2，1)，则tan θ＝. [第2步，将角θ的终边进行σ3变换，得到β＝θ＋] 再将角θ的终边进行σ3变换，得到角β的终边，则β＝θ＋(题眼). [第3步，利用两角和的正切公式求值计算] 所以tan β＝tan ＝＝＝3，故选D. 6.D　求函数值＋函数的值域＋导数的应用　对于A，σ(ln 2)＝＝＝＝，故A正确；对于B，因为e－x>0恒成立，所以1＋e－x>1，所以0<<1，即0<σ(x)<1，故B正确；对于C，σ′(x)＝，σ(x)[1－σ(x)]＝·＝·＝，所以σ′(x)＝σ(x)[1－σ(x)]，故C正确；对于D，σ(2)＝＝，－＝>0，所以σ(2)>，故D错误.综上，故选D. 7.B　正弦定理＋两角和的正弦公式＋两角和的正切公式＋基本不等式　因为b＋2a cos C＝0，所以sin B＋2sin A·cos C＝0(关键：利用正弦定理边化角).又A＋B＋C＝π，则B＝π－ (A＋C)，所以sin [π－(A＋C)]＋2sin A cos C＝0，即sin (A＋C)＋2sin A cos C＝0，则sin A cos C＋cos A·sin C＋2sin A cos C＝0，所以cos A sin C＝－3sin A cos C.因为b＋2a cos C＝0，所以 b＝－2a cos C(题眼).因为a>0，b>0，所以cos C<0，所以C∈，所以A∈，则cos A≠0，cos C≠0，所以tan C＝－3tan A，所以tan B＝tan [π－(A＋C)]＝－tan (A＋C)＝ －，即tan B＝.因为A∈，所以tanA>0，所以tan B＝≤＝＝，当且仅当3tan 2A＝1，即tan A＝时，等号成立，所以 tan B的最大值为，故选B. 8.AC　不等式的性质＋基本不等式的应用　对于A，因为a<b，c≠0，所以c2>0，a－b<0(题眼)，所以－＝(a－b)<0，所以<，故A正确；对于B，令a＝－3，b＝－2，c＝－4，d＝－1，满足a<b，c<d，则ac＝－3×(－4)＝12，bd＝－2×(－1)＝2，此时ac>bd，故B错误；对于C，因为a>0，b>0，且＋＝1，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·＝5＋≥5＋＝5＋2(题眼)，当且仅当＝时等号成立，故C正确；对于D，因为a>0，b>0，且a＋b＝2，则a∈(0，2)，所以a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2(a－1)2＋2∈[2，4)，所以a2＋b2的最小值为2，无最大值，故D错误.综上，故选AC. 9.ACD　等比数列的通项公式与前n项和公式＋数列的递推关系　对于A，由题意可得2a1q2＝a1＋a1q，结合q≠1，a1>0，得q＝－，故A正确.对于B，由等比数列的前n项和公式Sn＝，得Sn＝a1·(题眼).当n为偶数时，Sn<a1，故B错误.对于C，2Sn＋2－Sn＋1－Sn＝(Sn＋2－Sn＋1)＋(Sn＋2－Sn)＝2an＋2＋an＋1＝2an＋1q＋an＋1.因为q＝－，所以2Sn＋2－Sn＋1－Sn＝0，即2Sn＋2＝Sn＋1＋Sn，故C正确.对于D，＝na1＋a1.又1－>0，所以>na1，故D正确.综上，故选ACD. 10.　复数的运算＋复数的模 解法一：由题意，得z＝＝＝1－i，所以|z|＝＝. 解法二：由题意，得z＝，所以|z|＝＝＝＝. 11.　抛物线的定义＋弦长公式　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由抛物线的定义得|FM|＝x1＋，|FN|＝x2＋，所以＝＝＝. 12.独立性检验＋分层随机抽样＋离散型随机变量的分布列与数学期望 解：(1)由题意得 解得(2分) 零假设H0：国民体质情况与爱好运动无关(易错：进行独立性检验之前，必须有零假设)， χ2＝ ＝ ＝ ≈11.111 >6.635.(5分) 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为国民体质情况与爱好运动有关，此推断犯错误的概率不超过0.01(易错：独立性检验的结论有严格的书写标准，不可省略、改变其中的关键字句).(6分) (2)易知6名体质情况“合格”的对象中有4人爱好运动，2人不爱好运动，故X的所有可能取值为0，1，2，(7分) P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝＝，(10分) 则X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝(另解：X服从X～H(6，4，2)，故E(X)＝2×＝). (13分) 13.面面垂直的性质定理＋线面垂直的判定定理＋平面与平面的夹角＋空间向量的坐标运算 解：(1)证明：由题意可知AM⊥PD，CD⊥AD(题眼).(1分) ∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，　 ∴CD⊥平面PAD(技巧：面面垂直的性质定理).(3分) ∵AM⊂平面PAD， ∴CD⊥AM. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，(5分) ∴AM⊥平面PCD(技巧：线面垂直的判定定理).(6分) (2)假设存在满足题意的点N，如下图，分别取AD，BC的中点O，G，连接OG，OP，易知OA，OG，OP两两垂直，则以O为坐标原点，OA，OG，OP所在直线分别为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系. 由题意可知P(0，0，)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，M(－，0，)， ∴＝(－1，0，)，＝，＝(1，2，－).(7分) 设＝λ(λ∈[0，1])(易错：注意参数的取值范围)， 则＝(λ，2λ，－λ)， ∴＝＋＝(λ－1，2λ，－λ). 设平面AMN的法向量为n＝(x，y，z)， 则(技巧：平面的法向量与平面内的任意向量垂直)， 则 不妨令x＝λ，则n＝(λ，λ－1，λ).(11分) 由题意可知，平面ABCD的一个法向量为＝(0，0，)， 则＝， ∴＝，(13分) 解得λ＝或λ＝－1(舍去). ∴＝. 因此存在满足题意的点N，且＝.(15分) 14.导数的几何意义＋利用导数研究函数的极值点 解：(1)[第1步，设切点，利用导数的几何意义得到切线的斜率，求解切点坐标] 设直线y＝x－e与曲线y＝f(x)的切点坐标为(x0，x0(ln x0－a)). 因为f(x)＝x(ln x－a)，x>0， 所以f′(x)＝1－a＋ln x. 所以切线斜率为1－a＋ln x0. 所以1－a＋ln x0＝1， 解得x0＝ea. 所以切点坐标为(ea，0)(题眼).(2分) [第2步，建立方程，求解方程] 又切点(ea，0)在直线y＝x－e上， 所以ea－e＝0. 所以a＝1.(4分) (2)[第1步，对函数g(x)求导] 因为g(x)＝f(x2)－bf(x)＝x2(ln x2－1)－bx(ln x－1)＝2x2ln x－x2－bx ln x＋bx， 所以g′(x)＝(4x－b)ln x(题眼).(6分) [第2步，根据实数b的取值情况进行分类讨论，结合函数的单调性研究极值点情况] 若b≤0，当0<x<1时，g′(x)<0， 当x>1时，g′(x)>0， 所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增. 所以x＝1是g(x)的极小值点，不满足题意.(8分) 若0<b<4，当0<x<时，g′(x)>0， 当<x<1时，g′(x)<0， 当x>1时，g′(x)>0， 所以g(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增. 所以x＝1是g(x)的极小值点，不满足题意.(10分) 若b＝4，当x>0时，g′(x)≥0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增. 所以x＝1不是g(x)的极值点，不满足题意.(12分) 若b>4，当0<x<1时，g′(x)>0， 当1<x<时，g′(x)<0， 当x>时，g′(x)>0， 所以g(x)在(0，1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以x＝1是g(x)的极大值点，满足题意(关键：函数的导函数为0的点不一定是极值点，还需要考虑该点左、右两边的导数值的正负，以此确定左、右两边单调性情况，进而确定是否是极值，且是极大值还是极小值).(14分) [第3步，确定参数的取值范围] 综上，b的取值范围是(4，＋∞).(15分) 学科网（北京）股份有限公司 $