第8章 第7节 抛物线(课时跟踪检测)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

**基本信息** 高中数学抛物线专项训练，一轮复习，聚焦定义、方程、性质及综合应用，以题载法构建系统性方法体系，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与标准方程|3|待定系数法、定义法|从定义推导方程，建立坐标与几何特征关联| |几何性质应用|5|定义转化、焦半径公式|性质与距离、最值问题结合，强化数形结合| |直线与抛物线综合|3|韦达定理、方程思想|代数运算与几何关系融合，提升综合解题能力| |实际与创新应用|3|建模分析、动态几何|实际问题抽象为数学模型，培养应用意识|

第7节　抛物线 （时间：60分钟，满分：90分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.（2026·湖南邵阳模拟）已知抛物线y＝x2，则抛物线的焦点到准线的距离为（　　） A. B. C.8 D.16 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.（2026·山西朔州模拟）顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（－2，3）的抛物线的标准方程是（　　） A.y2＝－x B.y2＝x C.x2＝y D.x2＝－y 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.（2026·青海西宁模拟）已知面积为的等边△OAB（O为坐标原点）的三个顶点都在抛物线y2＝2px（p＞0）上，则p＝（　　） A. B. C. D.2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4.（2026·陕西西安期末）已知动圆P与定圆C：（x－2）2＋y2＝1外切，又与定直线l：x＝－1相切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（　　） A.y2＝4x B.y2＝－4x C.y2＝8x D.y2＝－8x 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5.已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（　　） A.2 B.3 C. D. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6.〔多选〕（2026·山东菏泽模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P（x0，y0）在C上，则（　　） A.抛物线C的准线方程为x＝2 B.F的坐标为（1，0） C.若y0＝2，则｜PF｜＝2 D.｜PF｜≥2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7.（2026·陕西安康模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线l的距离为1，过点（2p，－p）的直线与抛物线C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则y1y2＋y1＋y2＝　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m.若水面下降1 m，则水面宽度为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9.抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在双曲线C：－＝1的一条渐近线上，O为坐标原点，若｜OF｜＝｜PF｜，则△PFO的面积为　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10.（13分）已知抛物线y2＝8x. （1）求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围； （2）以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，｜OA｜＝｜OB｜，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长. 11.内壁光滑的抛物线型容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2＝4y，圆的半径为r，当圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是（　　） A.（2，＋∞） B.（1，＋∞） C.[2，＋∞） D.[1，＋∞） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12.〔多选〕已知F（2，0）是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点，则（　　） A.p＝4 B.｜MF｜≥｜OF｜ C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D.当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13.（2026·浙江宁波期中）若抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P为C上一点且｜PF｜＝3，O为坐标原点，则S△OPF＝　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14.（15分）（2026·广东揭阳模拟）已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从C1，C2上分别取两个点，将其坐标记录于下表中： x 1 2 y 2 0 2 （1）求C1和C2的标准方程； （2）若C1和C2交于不同的两点A，B，求·的值. 答案 第7节　抛物线 1.C　2.C　3.A　 4.C　令P点坐标为（x，y），动圆的半径为r，定圆C的圆心C（2，0），则根据两圆外切及直线与动圆相切的性质可得，PC＝1＋r，d＝r，P在直线的右侧，故P到定直线的距离是x＋1，所以PC－d＝1，即－（x＋1）＝1，化简得：y2＝8x.故选C. 5.C　依题意，抛物线y2＝4x中的焦点F（1，0），点P到准线的距离｜PQ｜＝｜PF｜，故点P到点A（0，2）的距离｜PA｜与点P到该抛物线准线的距离之和为：｜PA｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PF｜≥｜AF｜＝＝，当且仅当A，P，F三点共线时等号成立，所以｜PA｜＋｜PQ｜的最小值为，故选C. 6.BC　对于A、B，由抛物线方程为y2＝4x，则焦点F（1，0），准线方程为x＝－1，故A错误，B正确；对于C，将y0＝2代入y2＝4x，得x0＝1，则｜PF｜＝x0＋＝1＋1＝2，故C正确；对于D，由抛物线定义得｜PF｜＝x0＋＝x0＋1≥1，当x0＝0时，取等号，故D错误.故选B、C. 7.－4　解析：由题意有p＝1，所以抛物线的方程为y2＝2x，设过点（2，－1）的直线方程为x＝m（y＋1）＋2，所以⇒y2－2my－2m－4＝0，所以y1＋y2＝2m，y1y2＝－2m－4，所以y1y2＋y1＋y2＝－4. 8.4 m 9.　解析：抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），双曲线C：－＝1的渐近线方程为x±y＝0，不妨设P在渐近线x－y＝0上，可设P（m，m），m＞0，由｜OF｜＝｜PF｜可得 ＝1，解得m＝，则△PFO的面积为｜OF｜｜yP｜＝×1×＝. 10.解：（1）抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为（0，0），（2，0），x＝－2，x轴，x≥0. （2）如图所示.由｜OA｜＝｜OB｜可知AB⊥x轴，设垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心，则｜OF｜＝ ｜OM｜. 因为F（2，0），所以｜OM｜＝｜OF｜＝3.所以M（3，0）. 故设A（3，m），代入y2＝8x得m2＝24.所以m＝2或m＝－2. 所以A（3，2），B（3，－2）.所以｜OA｜＝｜OB｜＝.所以△OAB的周长为2＋4. 11.A　设圆心为P（0，a），a＞0，半径为r，Q（x，y）是抛物线上任一点，｜PQ｜2＝x2＋（y－a）2＝4y＋（y－a）2＝（y－a＋2）2＋4a－4.若｜PQ｜2的最小值不在点O（0，0）处取得，则圆P不过原点，所以a－2＞0，即a＞2，此时圆的半径为r＝＝2＞2.故选A. 12.ABC　A项，因为F（2，0）是抛物线C的焦点，所以＝2，则p＝4，故A正确；B项，｜MF｜＝xM＋＝xM＋2，而｜OF｜＝2，且xM≥0，则｜MF｜≥｜OF｜，故B正确；C项，以M为圆心且过F的圆的半径为｜MF｜，而由抛物线的定义可得，M到准线的距离也等于｜MF｜，则该圆与C的准线相切，故C正确；D项，过点M作x轴的垂线交于点N（图略），设｜FN｜＝a，由于∠OFM＝120°，则∠MFN＝60°，从而｜MN｜＝a，｜FM｜＝2a，则xM＝2＋a，｜yM｜＝a，将点M坐标代入抛物线方程y2＝8x可得，3a2－8a－16＝0，解得a＝4，此时｜FM｜＝2a＝8，△OFM的面积S△OFM＝×｜OF｜×｜FM｜×sin∠OFM＝×2×8×＝4，故D错误. 13.　解析：如图，不妨设点P（x，y）在第一象限，过点P作PH与抛物线的准线x＝－1垂直，垂足为H，则｜PH｜＝｜PF｜＝3.又｜PH｜＝x＋1，所以x＝2，所以y2＝4×2＝8，y＝2，所以S△OPF＝·｜OF｜·｜y｜＝×1×2＝. 14.解：（1）设抛物线C2的标准方程为y2＝2px（p＞0），则2p＝， 结合表格数据，因为＝＝4，所以点（1，2），（2，2）在抛物线C2上，且2p＝4，解得p＝2， 所以抛物线C2的标准方程为y2＝4x. 将点（，），（，0）代入椭圆C1的标准方程＋＝1（a＞b＞0）中，得解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆C1的标准方程为＋y2＝1. （2）根据对称性，可设A，B两点的坐标分别为（x0，y0），（x0，－y0）， 联立方程组消y得x2＋8x－2＝0，解得x1＝－4－3，x2＝－4＋3， 因为x＝≥0，所以x0＝3－4. 所以·＝－＝－4x0＝－4（3－4）＝50－36. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $