重难点专题 旋转图形问题（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

重难点专题 旋转图形 重难点一 题干自带旋转条件 主要特征：题目明确写“如:将△XXX绕某点旋转×°得到△XXX”，图形已经完成旋转，全等是直接自带的，不需要自己画辅助线. 方法：证线段相等、角相等：①直接由旋转性质得全等；②对应边、对应角直接转化；③再结合外角、内角和推导. 探究两条线段的数量、位置关系：①旋转全等得线段相等；②利用对应角相等，对顶三角形倒角，证明垂直或夹角等于定角.注意：数量关系+位置关系分开写. 结合勾股定理求线段长：① 旋转转移边；②算出新三角形内角度，判定直角；③勾股计算. 这类题的关键点：读懂题干给的旋转，找准对应三角形，不要找错对应边. 1.如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【分析】根据两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】解：由图形可知，绕着点顺时针旋转得到， 旋转中心是点，旋转角为．选D 2.如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【分析】根据旋转角求得，再根据计算的度数． 【详解】解：绕点按逆时针方向旋转得到， ． ， ．选C 3.如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【分析】根据旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴．选A 4.如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（       ） A． B． C． D． 【分析】先根据旋转的定义得到，再根据角的和差关系即可得到度数． 【详解】解：把绕点顺时针旋转得到， 由旋转的定义得和均为旋转角，且， ， ．选C 5.如图，在菱形中，将绕点逆时针旋转至，连接交于点．若为的中点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【分析】由旋转的性质与菱形的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，结合三角形的内角和定理求出． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵为的中点， ∴， ∵， ∴．选D 6.如图，将绕点C按顺时针方向旋转得到，若，则的度数为______． 【分析】由旋转的性质可得，，利用直角三角形两锐角互余可得即可解答． 【详解】解：∵将绕点C按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴． 7.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，连接，则的长为_________． 【分析】先利用勾股定理求得，再根据旋转性质得到，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 由旋转性质得，，， 在中，， ∴． 8.如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，B、C旋转后的对应点分别是和，连接，求度数. 【分析】先求出，再根据旋转的性质可得，，，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴， ∴． 9.如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，求的长度． 【分析】由旋转得，，用角相减求出，利用含角的直角三角形边长关系求出，再用勾股定理算出． 【详解】解：将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接， ，，， ， ， ， . 10．如图，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形． (1)如图1，过点作于点，过点作于点，求证：． (2)如图2，连接，，若，求的度数． 【分析】（1）由正方形性质与旋转得、，用 证； （2）由旋转得且，先证是等边三角形，再由与求底角． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵于点，于点， ∴． ∵，， ∴． 又， ∴， ∴． （2）解：∵正方形绕点逆时针旋转得到正方形， ∴，，． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． 由图2可知，， ∴， ∴的度数为． 重难点二 没有旋转，构造旋转 主要特征：题目没有说旋转，但是有共端点、两条线段相等，这是构造旋转的信号，需要自己叙述旋转辅助线. 方法：构造旋转，把分散线段集中到一个三角形中：通常几条已知长度的线段从同一点出发（PA、PB、PC），线段分散不在同一个三角形；以等线段为依托，旋转60°/90°；转移一条线段，三条线段汇聚到同一三角形；勾股或者勾股逆定理求角度、边长.已知邻边相等（正方形、等边），求证一条线段等于另外两条线段之和： 旋转，让两条短线段拼接成一条连续线段；二次SAS全等，完成和差证明；对于半角模型本质属于这一类，不再单独叫半角，归 到“证线段和差”.构造旋转，证明角平分线、角度定值问题 旋转SAS全等； 向两边作垂线段，利用全等证垂线段相等，从而证角平分线. 1.如图，点为正方形的中心，，分别为边，的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（     ） A．沿直线翻折 B．沿直线翻折 C．向右平移2个单位 D．绕点逆时针旋转 【分析】首先证明，连接，交于点O，连接，，得到，，，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，分别为边，的中点， ∴， ∴， ∵点为正方形的中心， ∴连接，交于点O，连接，，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点O是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，， ∴绕点O逆时针旋转得到．选D 2.如图，正方形，对角线相交于点O，以O为顶点作与正方形同样大小的正方形，（），与交于点F，与交于点E，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积等于正方形面积的四分之一；④当时，．上述结论中，所有正确结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．个 【分析】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【详解】：①∵四边形是正方形 ，，， ， ∵四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，故结论①正确； ②设与相交于点T，如图所示： ，， 是等腰直角三角形， ， ， ∴在中，， ， ， ， 在中，， ， ，故结论②正确； ③， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ④过点O作于点H，如图所示： 是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：， ，，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ，即，故结论④正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④．选D 3.如图，在平面直角坐标系中，是经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果中任意一点M的坐标为，那么它的对应点N的坐标是________． 【分析】先观察图形可知，是绕点O旋转后得到的图形，即它们关于原点成中心对称；再利用关于原点对称的点的坐标特征“N点坐标与M点坐标互为相反数”即可作答． 【详解】解：观察图形可知、、、、、， ∴C、R关于原点对称，A、P关于原点对称，B、Q关于原点对称， ∴和关于原点对称． ∵和关于原点对称，与N是对称点， ∴N点坐标为：． 4.如图，在正方形中，点E，F分别在，上，连接，，，．若，则一定等于________． 【分析】根据正方形的性质可得，，将绕点A顺时针旋转，得，易证，根据全等三角形的性质可得，进一步根据求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ∴，， 将绕点A顺时针旋转至，如图： 由旋转可得，，，，，， ， 点H，B，C三点共线， ，，， ， ∵， ∴， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 5.如图，在中，，且，是内一点，若的最小值为，则的长度为______． 【分析】将绕点顺时针旋转构造等边三角形，将转化为折线段，当，，，共线时和最小，此时最小值为的长；在等腰直角中求出的长，再在中利用勾股定理求出的长 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，，过点作于点，则，，，，， ，， 是等边三角形， ， ， 当四点共线时，的值最小，最小值为的长， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 解得， 在中，，， ，， ， ， ∴在中， ． 6.如图，中，，点O在内，连接，求的长． 【分析】由且可知为等边三角形，利用旋转变换构造全等三角形，将 和转化到同一个三角形中，结合角度关系发现直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：，， ∴将绕点逆时针旋转得到，连接， 如图， ， ，，， 旋转角，， 是等边三角形， ，， ， 在 Rt 中，由勾股定理得． 7.我们学习过正方形，如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接． 【特例感知】 (1)试证明：． (2)如图1，延长到点G，使得，连接．图中与的数量关系是_______.       【结论探索】 (3)如图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，此时与还存在（2）中的数量关系吗？判断并说明理由．           【分析】（1）根据正方形的性质及已知条件得出，证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）连接，证明，由全等三角形的性质得出，，得出为等腰直角三角形即可； （3）类似（2）的方法，先证明，再证，得出为等腰直角三角形即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）存在， 理由：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8.如图1：在四边形中，，，，分别是上的点，且 (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，再证明，可得出三者间有何关系？ (2)【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，如果成立，请说明理由； (3)【学以致用】如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． 【分析】（1）根据两个三角形全等的判定与性质，证明，推出，即可得到三者间的关系； （2）延长到点使，连接，如图所示，同（1）求解即可； （3）将绕着点顺时针旋转到，如图所示，由旋转性质和正方形性质得到点三点共线，均在直线上，再由三角形全等的判定与性质得出，最后数形结合表示出的周长，代入相关线段长度计算即可． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接，如图所示： ，， ，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； （2）解：结论仍然成立． 理由如下： 延长到点使，连接，如图所示： ， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； （3）解：将绕着点顺时针旋转到，如图所示： ，则，，， 在正方形中，，，则， ，即点三点共线，均在直线上， ， ，则， ， 在和中， ， ∴， ， ，， 重难点三 ：旋转全等的变化探究题（动态、图形位置改变） 主要特征：图形位置变化（点在线上、延长线上），问原来结论是否仍然成立. 方法：先猜想；思路和原图一致，依然用旋转SAS；重点注意：线段和差关系会由a+b=c变成a-b=c，注意符号变化. 1.将绕点C逆时针旋转，得到，点A的对应点恰好落在边上，下列结论不正确的是（     ） A．若，则 B． C． D． 【分析】根据旋转的性质可得到，，，，以此为基础推导其余结论．因为，所以是等腰三角形，可得与的关系。根据等腰三角形内角和关系，结合已知的度数推导旋转角的大小．因为点、、共线，所以，结合前面得到的角的等量关系，可推导和的数量关系．因为题目未给出的相关确定条件，所以判断该选项是否存在确定性，其余选项结合上述推导验证是否成立． 【详解】由旋转的性质可得， ∴， 当时，， ∴； A正确； B正确； 根据现有条件无法得到， C不正确； ； D正确． 2.雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（     ） A． B． C． D． 【分析】过作轴于H，连接，根据旋转性质得到每6次一个循环，旋转第次得到的点的坐标与的坐标相同．根据菱形的性质和含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求得的坐标，根据对称性质可得与关于原点对称，进而求得的坐标即可． 【详解】解：过作轴于H，连接， ∵将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转， ∴每6次一个循环， ∵， ∵四边形是菱形，B的坐标是，， ∴，， ∴， ∴， ∴的坐标为， 由题意得，与关于x轴对称，与B关于x轴对称，与关于原点对称， ∴的坐标为， ∴旋转第次得到的点的坐标为． 3.在平面直角坐标系中，菱形如图所示，，点D在线段的垂直平分线上．若菱形绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒，则第时点D对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【分析】根据菱形的性质和垂直平分线的性质，可以得到点D的坐标，根据旋转的性质，可以得到点D的对应点第2028秒在第三象限且与点D关于原点对称，即可写出点D对应点的坐标． 【详解】解：如图，连接， 点在线段的垂直平分线上， ， 在菱形中，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 点的坐标为， 菱形绕点逆时针旋转，旋转速度为每秒， 菱形绕点每秒旋转一周， ，， 第2028秒时点的对应点在第三象限，与点关于原点对称， 此时点的对应点的坐标为． 4.如图，在正方形中，为对角线的中点，把线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接并延长，与的角平分线交于点，连接，若，则正方形的面积为 . 【分析】由旋转可得，，因此．根据正方形的性质有，，结合角平分线的定义得到，进而利用三角形外角的性质求出．连接，证明，得到，因此，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，从而根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：由旋转可得，， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 连接． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴． ∵在中，，， ∴， ∴． 5.观察图（1）中各图的阴影部分构成的图案，这些图案具有怎样的对称性？它们的面积有什么共同特征？在图（2）中设计图案，使它也具备上述特征． 【分析】因为（1）中的图案绕红点旋转后都可以与原来的图形重合，所以（1）中的图案都是中心对称图形；根据大正方形的面积和阴影的面积可知每个图形中阴影部分的面积占大正方形面积的；在大正方形中涂出的阴影是中心对称图形且面积是大正方形的即可． 【详解】解：如下图所示：（1）中的图案绕红点旋转后都可以与原来的图形重合， （1）中的图案都是中心对称图形； 设网格中每个小正方形的边长为， （1）中大正方形的面积为，阴影部分的面积为， 阴影部分的面积占大正方形面积的； （1）中第个图形中正方形的边长为， 图案的面积为，阴影部分的面积为， 阴影部分的面积占大正方形面积的； （1）中第个图形阴影部分的面积为， 阴影部分的面积占大正方形面积的； 综上所述，每个图形中阴影部分的面积占大正方形面积的. 在图（2）中设计图案，如下图所示： 6.如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点在的延长线上，点的对应点恰好落在边上，延长交边于点，，． (1)求的长； (2)与垂直吗？请说明理由． 【分析】（1）根据旋转的性质和线段的和差关系即可得到答案； （2）根据旋转的性质和等量代换得到，再由三角形内角和定理即可求出，证明结论成立． 【详解】（1）解：∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， 即， 解得， ∴ （2）与垂直．理由如下： ∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 即与垂直． 7.[定义]若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． [概念理解] (1)如图（1），四边形是正方形，点在上，将绕点顺时针旋转，使和重合，此时，点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由．（请将以下过程补充完整） 解：四边形是“直等补”四边形．理由如下： 四边形是正方形， ． 由旋转性质，得 ， ， ， °， 四边形是“直等补”四边形． [性质初探] (2)如图（2），四边形是“直等补”四边形，，，连接．若，，学习小组探究发现，通过将绕点顺时针旋转，可以求得的长（用含，的式子表示）．请完成探究过程． [拓展应用] (3)如图（3），四边形是“直等补”四边形，，，连接，，，当取何值时，的面积最大？最大值是多少？ 【分析】（1）利用正方形和旋转的性质证明即可； （2）由“直等补”四边形的定义可得，则可将绕点顺时针旋转得到，由旋转可得，，，，进而由可得、、三点共线，即得，再利用勾股定理得到，即可求解； （3）由（2）可得，即得，设，则，可得，由二次函数的性质得到当时，的面积最大，最大值是，再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出即可． 【详解】（1)四边形是“直等补”四边形．理由如下： 四边形是正方形， ． 由旋转性质，得，， ， ， 四边形是“直等补”四边形． （2）解：四边形是“直等补”四边形，， ， 则可将绕点顺时针旋转得到，如图， 由旋转可得，，，， ， ， ， 、、三点共线， ， ， ， ； （3）解：由（2）可得， ， ， 设，则， ， 当时，的面积最大，最大值是， ， ，， ， 四边形是“直等补”四边形，， ， ， 综上，当时，的面积最大，最大值是． 8.如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为N，M． (1)如图1，当点落在的延长线上，且，，，求的长； (2)如图2，绕点顺时针旋得到，延长交于点，连接并延长至点，使得，连接，连接交于点，且，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想. 【分析】（1）利用勾股定理分别在和中求出和的长，最后根据线段的和差关系求出的长． （2）将绕点顺时针旋转，得到，利用旋转得出是等边三角形，进而证明且；最后通过证明，将转化为，再结合得出最终结论． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针旋转得到， ， ∵，点落在的延长线上， ， ∵， ，， ； 即的长为； （2）线段，，之间存在的数量关系：； 证明：由旋转可知，，旋转角， 如图，将绕点顺时针旋转，可使与重合，得到． ，即， 三点共线， 由旋转可知：，旋转角， 是等边三角形， ． 由旋转可知，旋转角，，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，即， ， ． 9.探究应用 【初步探究】 (1)如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，，连接，判断的形状是________． 【拓展应用】 (2)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第四象限内，若是等腰直角三角形，则点C的坐标是________． (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上的动点，线段绕点C按逆时针方向旋转至线段，，连接，则求的最小值． 【分析】（1）证明，即可求解； （2）分、、，三种情况画图求解即可； （3）求出，则：，的值相当于求点到点和点的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：如图，满足条件点的坐标分别为或或． （3）解：如图，作于． 设点的坐标为， 由（1）知：，， 则点， 则：， 的最小值，相当于求点到点和点的最小值， 相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小， 作关于直线的对称点， 而， ， 故：的最小值为． 10.综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 【分析】（1）根据题意得：，，，再由等边三角形的判定和性质得出是等边三角形，再由全等三角形的判定和性质得出（），，，再由矩形的判定即可证明； （2）延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定和性质得出（），，，再由旋转的性质得出，，结合图形得出，即可得出结果． 【详解】(1)解：矩形，理由如下： 根据题意得：，，， ，， 点落在边上， 中，，， 是等边三角形， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ∴E是中点，， 在和中： ，， （）， ，， ， ∴， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． (2)解：，且， 理由：延长至点，使，连接， 是的中点， ， 在和中： ， ， ， （）， ，， ， 是绕点逆时针旋转得到， ，， ， ∴C、B、F共线， ， 在和中： ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 旋转图形 重难点一 题干自带旋转条件 主要特征：题目明确写“如:将△XXX绕某点旋转×°得到△XXX”，图形已经完成旋转，全等是直接自带的，不需要自己画辅助线. 方法：证线段相等、角相等：①直接由旋转性质得全等；②对应边、对应角直接转化；③再结合外角、内角和推导. 探究两条线段的数量、位置关系：①旋转全等得线段相等；②利用对应角相等，对顶三角形倒角，证明垂直或夹角等于定角.注意：数量关系+位置关系分开写. 结合勾股定理求线段长：① 旋转转移边；②算出新三角形内角度，判定直角；③勾股计算. 这类题的关键点：读懂题干给的旋转，找准对应三角形，不要找错对应边. 1.如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 2.如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3.如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则的大小为（     ） A． B． C． D． 4.如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（       ） A． B． C． D． 5.如图，在菱形中，将绕点逆时针旋转至，连接交于点．若为的中点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6.如图，将绕点C按顺时针方向旋转得到，若，则的度数为______． 7.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，连接，则的长为_________． 8.如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转到的位置，使刚好落在上，B、C旋转后的对应点分别是和，连接，求度数. 9.如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，求的长度． 10．如图，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形． (1)如图1，过点作于点，过点作于点，求证：． (2)如图2，连接，，若，求的度数． 重难点二 没有旋转，构造旋转 主要特征：题目没有说旋转，但是有共端点、两条线段相等，这是构造旋转的信号，需要自己叙述旋转辅助线. 方法：构造旋转，把分散线段集中到一个三角形中：通常几条已知长度的线段从同一点出发（PA、PB、PC），线段分散不在同一个三角形；以等线段为依托，旋转60°/90°；转移一条线段，三条线段汇聚到同一三角形；勾股或者勾股逆定理求角度、边长.已知邻边相等（正方形、等边），求证一条线段等于另外两条线段之和： 旋转，让两条短线段拼接成一条连续线段；二次SAS全等，完成和差证明；对于半角模型本质属于这一类，不再单独叫半角，归 到“证线段和差”.构造旋转，证明角平分线、角度定值问题 旋转SAS全等； 向两边作垂线段，利用全等证垂线段相等，从而证角平分线. 1.如图，点为正方形的中心，，分别为边，的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（     ） A．沿直线翻折 B．沿直线翻折 C．向右平移2个单位 D．绕点逆时针旋转 2.如图，正方形，对角线相交于点O，以O为顶点作与正方形同样大小的正方形，（），与交于点F，与交于点E，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积等于正方形面积的四分之一；④当时，．上述结论中，所有正确结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．个 3.如图，在平面直角坐标系中，是经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果中任意一点M的坐标为，那么它的对应点N的坐标是________． 4.如图，在正方形中，点E，F分别在，上，连接，，，．若，则一定等于________． 5.如图，在中，，且，是内一点，若的最小值为，则的长度为______． 6.如图，中，，点O在内，连接，求的长． 7.我们学习过正方形，如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接． 【特例感知】 (1)试证明：． (2)如图1，延长到点G，使得，连接．图中与的数量关系是_______.       【结论探索】 (3)如图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，此时与还存在（2）中的数量关系吗？判断并说明理由．           8.如图1：在四边形中，，，，分别是上的点，且 (1)小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，再证明，可得出三者间有何关系？ (2)【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，如果成立，请说明理由； (3)【学以致用】如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． 重难点三 ：旋转全等的变化探究题（动态、图形位置改变） 主要特征：图形位置变化（点在线上、延长线上），问原来结论是否仍然成立. 方法：先猜想；思路和原图一致，依然用旋转SAS；重点注意：线段和差关系会由a+b=c变成a-b=c，注意符号变化. 1.将绕点C逆时针旋转，得到，点A的对应点恰好落在边上，下列结论不正确的是（     ） A．若，则 B． C． D． 2.雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（     ） A． B． C． D． 3.在平面直角坐标系中，菱形如图所示，，点D在线段的垂直平分线上．若菱形绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒，则第时点D对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4.如图，在正方形中，为对角线的中点，把线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接并延长，与的角平分线交于点，连接，若，则正方形的面积为 . 5.观察图（1）中各图的阴影部分构成的图案，这些图案具有怎样的对称性？它们的面积有什么共同特征？在图（2）中设计图案，使它也具备上述特征． 6.如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点在的延长线上，点的对应点恰好落在边上，延长交边于点，，． (1)求的长； (2)与垂直吗？请说明理由． 7.[定义]若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． [概念理解] (1)如图（1），四边形是正方形，点在上，将绕点顺时针旋转，使和重合，此时，点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由．（请将以下过程补充完整） 解：四边形是“直等补”四边形．理由如下： 四边形是正方形， ． 由旋转性质，得 ， ， ， °， 四边形是“直等补”四边形． [性质初探] (2)如图（2），四边形是“直等补”四边形，，，连接．若，，学习小组探究发现，通过将绕点顺时针旋转，可以求得的长（用含，的式子表示）．请完成探究过程． [拓展应用] (3)如图（3），四边形是“直等补”四边形，，，连接，，，当取何值时，的面积最大？最大值是多少？ 8.如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为N，M． (1)如图1，当点落在的延长线上，且，，，求的长； (2)如图2，绕点顺时针旋得到，延长交于点，连接并延长至点，使得，连接，连接交于点，且，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想. 9.探究应用 【初步探究】 (1)如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，，连接，判断的形状是________． 【拓展应用】 (2)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第四象限内，若是等腰直角三角形，则点C的坐标是________． (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上的动点，线段绕点C按逆时针方向旋转至线段，，连接，则求的最小值． 10.综合与探究 学习材料：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 如图1，在中，取的中点O，连接并延长，使得，连接、，四边形为平行四边形． 初步探究： (1)如图2，数学活动课上，老师让同学们制作两张全等的直角三角形纸片并重合放置，将保持固定，绕点A按逆时针方向旋转，其中，若，当点E落在AB边上时，连接并延长，使得，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图3，当绕点A按逆时针方向旋转90°时，连接、，取的中点P，连接交于点Q，试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $