第二十八章 旋转 旋转中的最值 专项练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

九年级数学人教版上册第二十八章旋转 专题：旋转中的最值 专题1轴对称与最短路径 1.如图，正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点P在对角线AC上运动，连接PE、 PB. (1)求证：PB=PD; (2)求PE+PB的最小值. E 2.如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，点E是AB的中点，点P在对角线AC上运 动，连接PE、PB. (1)求证：PB=PD: (2)求PE+PB的最小值. D E B 3.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC的中点，点P在对角线BD上运动，连接PE、 PC. (1)求证：PC=PA; (2)求PE+PC的最小值. D C E A B 4.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2,点D是BC的中点，点E是 AB的中点，点P在AD上运动，连接PE、PB. (1)求证：PB=PC; (2)求PE+PB的最小值. D E 专题2旋转与三角形三边关系 5. 如图，在△ABC中，AB=4,AC=2,点D是BC的中点，将△ABD绕点D旋转180°得到 △A'CD (1)求证：A'C=AB; (2)求AA'的取值范围. A B 6.如图，在△ABC中，AB=5,AC=3,点D是BC的中点，将△ABD绕点D旋转180°得到 △A'CD (1)判断四边形ABA'C的形状，并说明理由； (2)求AA'的取值范围. A B 7.如图，在△ABC中，AB=c,AC=b(c>b),点D是BC的中点，将△ABD绕点D旋转 180°得到△A'CD (1)求证：A'C=AB: (2)用b、c表示AA'的取值范围. A D 8.如图，在△ABC中，D是BC的中点，将△ABD绕点D旋转180°得到△A'CD,连接 AA'. (1)若AB=6,AC=4,求AA'的取值范围； (2)若AA'=8,AB=5,求AC的取值范围 A D 专题3旋转后的线段计算 9.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到 △AB'C',连接BB'. (1)求证：△ABB'是等边三角形； (2)求BB'的长. B 10.如图，正方形ABCD的边长为2，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°，点A的对应点为点 C,连接AA'(A'为点A的对应点). (1)求证：∠ABA'=90°； (2)求AA'的长. A B 11.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=2V3,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到 △AB'C',连接BB' (1)求证：△ABB'是等边三角形； (2)求BB'的长，并说明点C与线段AB'的位 D 置关系 B 12.如图，正方形ABCD的边长为2，将正方形绕点A按顺时针方向旋转45°得到正方形AB'C'D' ,连接BD' (1)求证：AB=AD'; (2)求∠D'AB的度数. D C 专题4垂线段最短 13.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=4,点P在斜边AC上运动，连接BP. (1)求AC的长； (2)求BP的最小值， 14.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在边BC上运动，连接AP. (1)求△ABC的高； (2)求AP的最小值. A P 15.如图，正方形ABCD的边长为2，点P在对角线BD上运动，连接AP. (1)求对角线BD的长； (2)求AP的最小值. D C A B 专题5综合应用 16.如图，正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点P在对角线AC上运动. (1)求PE+PB的最小值； (2)求PE+PB取最小值时AP的长. D A B E 17.如图，在△ABC中，AB=4,AC=2,∠BAC=60°，点D是BC的中点，将△ABD绕点D 旋转180°得到△A'CD. (1)求BC的长； (2)求AA'的取值范围. A 18.【归纳】如图，点A、B在直线1的同侧，点P在1上运动，A,是点A关于1的对称点，连接 PA、PB (1)说明PA+PB取最小值时点P的位置； (2)若两条线段分散在两个三角形中，可以用什么变换把它们集中？ (3)用一句话概括求线段和最值的基本思路 P A B Ao 参考答案 1.(1)证明：四边形ABCD是正方形，∴.对角线AC所在直线是它的对称轴， ∴.点B与点D关于AC对称，∴.PB=PD (2)解：由(1)得PE+PB=PE+PD, .点E、D在AC的两侧，∴.当E、P、D三点共线时，PE+PD取最小值DE, ,E是AB的中点，AB=2,.AE=1,又AD=2,∠DAE=90°， .DE=A E2+AD2=1+4=5, .PE+PB的最小值为5. D E 2.(1)证明：：'四边形ABCD是菱形，.对角线AC所在直线是它的对称轴， ∴.点B与点D关于AC对称，PB=PD. (2)解：由(1)得PE+PB=PE+PD≥DE, ‘∠BAD=60°，AB=AD=2,.△ABD是等边三角形，BD=2, .E是AB的中点，∴.DE⊥AB(等边三角形三线合一)， 在Rt△ADE中，AE=1,AD=2,∴.DE=AD2-AE2=V4-1=V3, .PE+PB的最小值为3. D A E B 3.(1)证明：：四边形ABCD是正方形，∴.对角线BD所在直线是它的对称轴， ∴.点C与点A关于BD对称，.PC=PA. (2)解：由(1)得PE+PC=PE+PA≥AE, ,A、E在BD的两侧，.当A、P、E三点共线时取等号， .E是BC的中点，BC=4,BE=2,又AB=4,∠ABE=90, ∴.AE=AB2+BE2=V16+4=25, ∴.PE+PC的最小值为25. D E B 4.(1)证明：：AB=AC,D是BC的中点，∴.AD所在直线是△ABC的对称轴， ∴点B与点C关于AD对称，.PB=PC (2)解：由(1)得PE+PB=PE+PC≥CE, ,B、C在AD的两侧，.当C、P、E三点共线时取等号， E是AB的中点，AB=2,∴.AE=1,又AC=2,∠EAC=90°， .'.CE=AE2+AC2=1+4=5, .PE+PB的最小值为V5. D P E 5.(1)证明：，'将△ABD绕点D旋转180°得到△A'CD, 点B与点C重合，点A的对应点是A',.AB=A'C (2)解：·旋转180°，.A、D、A'三点共线，且AD=A'D, 在△AA'C中，AC=2,A'C=AB=4, 由三角形三边关系得|A'C-ACI<AA'<A'C+AC,即2<AA'<6. D B 6.(1)解：四边形ABA'C是平行四边形 理由：'旋转180°，.AD=A'D,BD=CD, .四边形ABA'C的对角线互相平分，∴.它是平行四边形 (2)解：·四边形ABA'C是平行四边形，∴.A'C=AB=5, 在△AA'C中，由三角形三边关系得|A'C-ACK<AA'<A'C+AC, ∴.2<AA'<8 A B 7.(1)证明：同第5题，旋转180°后B与C重合，AB=A'C. (2)解：.A'C=AB=c,AC=b, 在△AA'C中，由三角形三边关系得|c-bKAA'<c+b, ∴.AA'的取值范围是c-b<AA'<c+b. D B 8.(1)解：：A'C=AB=6,AC=4, ∴.由三角形三边关系得16-4<AA'<6+4,即2<AA'<10. (2)解：AA'=8,A'C=AB=5, 在△A'C中，|A'C-ACK<AA'<A'C+AC,即I5-AC<8<5+AC, 由8<5+AC得AC>3;由I5-AC<8得AC<13(当AC25)或恒成立（当AC<5), ∴.3<AC<13 9.(1)证明：由旋转得AB=AB',∠BAB'=60°， ∴△ABB'是等边三角形 (2)解：AB=2,△ABB'是等边三角形，.BB=AB=2. C C B B 10.（1)证明：由旋转得∠ABA'=90°. (2)解：.旋转90，.BA=BA=2,∠ABA'=90, 在Rt△ABA'中，AA'=AB2+BA2=V4+4=2V2】 D B C A 11.(1)证明：由旋转得AB=AB',∠BAB'=60°，.△ABB'是等边三角形. (2)解：AB=2,△ABB'是等边三角形，.BB'=AB=2 .AB=2,BC=23,∠B=90°，∴.AC=AB2+BC=V4+12=4, ∴.AC=2AB,.∠ACB=30°，∠BAC=60, ∠BAB'=60°，.∠CAB'=∠BAB'-∠BAC=0°， 即点C在射线AB'上 C C A B B 12.(1)证明：由旋转得AB=AB',AD=AD','正方形中AB=AD,.AB=AD' (2)解：，'正方形中∠DAB=90°，旋转45， .∴.∠D'AB=∠DAB-45°=45°. D D A 13.(1)解：∠B=90°，AB=3,BC=4,∴.AC=V9+16=5. (2)解：当BP⊥AC时，BP取最小值（垂线段最短）， AB-BC-AC-BP. B即-ABC4是，即B即的最小值为是. AC P B 14.(1)解：过点A作AH⊥BC于H,,△ABC是等边三角形，AB=2, .BH=1,AH=AB2-BH2=4-1=3. (2)解：当AP⊥BC时，AP取最小值（垂线段最短），此时P与H重合， .AP的最小值为3. 15.(1)解：：正方形边长为2，∴.BD=√22+2=22. (2)解：当AP⊥BD时，AP取最小值， :正方形中AC1BD且互相平分，.此时P为对角线交点， AP号AC=号22-迈，即AP的最小值为吃. A B 16.(I)解：，点B关于AC的对称点是D,.PE+PB=PE+PD≥DE, :AE=1,AD=2,∠DAE=90°，.DE=V1+4=5, 即PE+PB的最小值为5. (2)解：取最小值时E、P、D三点共线，即P是DE与AC的交点， .正方形中AC平分∠DAB,.设AP=x, 由△AEP与△ADP的面积关系可得AP 2V2 3 D C E 17.(1)解：过点C作CH1AB于H,∠BAC=60°，AC=2, ACH-30,AH-AC=1,CH-YAC-A-3, ∴.BH=AB-AH=3,∴.BC=VBH+CH=9+3=2V3, (2)解：A'C=AB=4,AC=2,∴.由三边关系得2<AA'<6. D 18.(1)解：：点A0是点A关于1的对称点，.PA=PA, ∴.PA+PB=PAo+PB≥AB, 当且仅当A0、P、B三点共线时取等号， ∴.当点P是线段AoB与直线I的交点时，PA+PB取最小值AB (2)解：可以用旋转变换，把其中一个三角形旋转到与另一个三角形共顶点、共边的位置， 使分散的线段成为同一个三角形（或同一条折线）的边. (3)解：把“折”变“直”一通过对称或旋转把折线拉直，再用“两点之间线段最短”求最小 值. D B Ao