专题二·期中综合复习·培优提升讲义（整数与整除 分数 有理数）（知识梳理+典例+练习）2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

专题二·期中综合复习·培优提升讲义（整数与整除 分数 有理数） （知识梳理+典例+练习）2026年沪教版（五四制）六年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握数轴、相反数与绝对值的综合应用，能借助数轴分析动点与规律问题 · 灵活运用有理数大小比较的方法，正确处理含绝对值的比较 · 掌握有理数加减混合运算，会运用加法运算律简便计算 · 理解乘方的意义，正确进行含乘方、乘除的混合运算 · 熟练分数四则运算，解决求一个数的几分之几、分数除法等应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.数轴、相反数与绝对值 数轴三要素：原点、正方向、单位长度；数轴上点与有理数一一对应 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，互为相反数的两个数和为0 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离，|a|≥0，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 化简多重符号：奇负偶正，如−（−a）=a，−（+a）=−a 概念辨析例题：有理数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，试比较a，b，−a，−b的大小 答案：−a＜b＜−b＜a 解析：由数轴可知a为正数、b为负数且|a|＞|b|，则−a为负数且−a＜b，−b为正数且−b＜a，所以从小到大依次为−a＜b＜−b＜a ☆ 2.有理数大小比较 正数大于0，0大于负数，正数大于负数 两个负数比较大小：绝对值大的反而小 数轴上的点从左到右表示的数越来越大，可借助数轴比较 异分母分数比较大小：先通分再比较 概念辨析例题：比较−与−的大小 答案：−＞− 解析：|−|==，|−|==，因＜，即|−|＜|−|，所以−＞− ☆ 3.有理数的加减运算 加法法则：同号相加取相同符号；异号相加取绝对值较大的符号，用较大的绝对值减较小的绝对值 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数 加减混合运算统一为加法后写成省略加号的和的形式 加法交换律、结合律可简化运算：正数负数分别相加、凑整配对 概念辨析例题：计算：−−（−）+（−） 答案：− 解析：原式=−+−=（−+−）=− ☆ 4.有理数的乘除运算与运算律 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 除法法则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数 乘法分配律：a（b+c）=ab+ac，可正用可逆用 多个因数相乘：负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正 概念辨析例题：计算：（−+−）×（−12） 答案：−2 解析：利用乘法分配律：原式=−×（−12）+×（−12）−×（−12）=6−8+2=0；再算（−2）+0=−2 ☆ 5.乘方与有理数混合运算 乘方：an表示n个a相乘，a是底数，n是指数，幂是运算结果 负数的偶次幂为正，奇次幂为负；−an与（−a）n意义不同 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的 能用运算律简化计算的先简化，再按顺序计算 概念辨析例题：计算：−14−（1−0.5）××[2−（−3）2] 答案： 解析：原式=−1−××[2−9]=−1−×（−7）=−1+= ☆ 6.正负数的实际应用 正负数表示具有相反意义的量：如收入与支出、上升与下降、超过与不足 用正负数记录数据后，可通过求和、求差分析总体情况 解决实际问题时先确定基准量，再计算相对基准的增减 概念辨析例题：某厂计划每月生产化肥800吨，一月份实际生产750吨，二月份实际生产800吨，三月份实际生产820吨，试用正负数表示各月超额完成情况 答案：一月份−50吨，二月份0吨，三月份+20吨 解析：以800吨为基准，实际产量减计划产量：750−800=−50（吨），800−800=0（吨），820−800=+20（吨） ☆ 7.分数运算与应用 分数乘法：分子相乘作分子，分母相乘作分母，能约分的先约分 分数除法：除以一个不为0的数等于乘它的倒数 求一个数的几分之几是多少：用乘法；连续求几分之几：用连乘 已知一个数的几分之几是多少，求这个数：用除法 同分母分数加减：分母不变，分子相加减 概念辨析例题：某施工队7天修了一条80米长的铁路，平均每天修这条铁路的几分之几？每天修多少米？ 答案：平均每天修全长的，每天修米 解析：把全长看作单位“1”，7天修完则每天修；80÷7=（米） 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 相反数 a与−a互为相反数，a+（−a）=0 0的相反数是0 绝对值 |a|≥0；|a|=a（a≥0），|a|=−a（a＜0） 绝对值具有非负性 有理数大小比较 两个负数比较，绝对值大的反而小 可借助数轴比较 加减混合运算 a−b=a+（−b） 统一成加法再计算 乘除运算律 a（b+c）=ab+ac 正用逆用都要灵活 乘方 an=a×a×…×a（n个a） −an与（−a）n意义不同 分数除法 ÷=× 除以一个数等于乘它的倒数 分数应用 单位“1”的量×几分之几 先找准单位“1” ⚠️ 核心考点 【考点1】数轴、相反数与绝对值（第1-13题） · 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大 · 互为相反数的两个数到原点的距离相等，和为零 · 化简多重符号按“奇负偶正”处理 · 绝对值非负性：几个非负数的和为0，则每个数都为0 · 数轴上的动点与规律探究题：抓住点的起始位置与运动方向逐步推导 1．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．6和 C．和 D．7和 【答案】B 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的绝对值和相反数，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 先化简A、B、D三项中的相关数据，再根据相反数的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A．和2不互为相反数，故本选项不符合题意； B．6和互为相反数，故本选项符合题意； C．和不互为相反数，故本选项不符合题意； D．7和不互为相反数，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）小梦做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点，其表示的数是，由于粗心，小梦把数轴的原点标错了位置，使点正好落在了的相反数的位置，要把数轴画正确，原点应（　　） A．向右移6个单位长度 B．向右移3个单位长度 C．向左移6个单位长度 D．向左移3个单位长度 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的应用、数轴上找原点 【分析】本题考查了对数轴概念的理解，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的特点．先根据题意画出数轴，便可直观解答． 【详解】解：向右移动6个单位长度，正确画数轴为： 故选：A． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0．据此逐项分析即可． 【详解】解：A．和只有符号不同，是互为相反数，故该选项符合题意； B．和不是相反数，故该选项不符合题意； C．和，不是相反数，故该选项不符合题意； D．和不是相反数，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）若，，且，则的值为（   ） A．5 B．5或1 C．1 D．1或 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了绝对值的性质及有理数的加法、乘法，解题的关键是根据，即，异号分情况讨论．由绝对值的性质，先求得x、y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴当，时，； 当，时，． 故选：D． 5．（24-25六年级上·上海青浦·期中）如果元表示支出80元，那么元表示( )． 【答案】收入150元 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数的意义，即可解答． 【详解】解：∵元表示支出80元， ∴元表示收入150元． 故答案为：收入150元 6．（23-24六年级下·上海·期末）已知，，则______. 【答案】 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】本题考查相反数和绝对值．先计算得到，然后计算解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25六年级上·上海·阶段检测）有理数，在数轴上的对应点位置如图所示． 用“”连接，，，，五个数：___________． 【答案】 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查有理数比较大小，解题的关键在于掌握数轴上数的大小特点，利用数轴找出，所在位置，再根据数轴上的数从左到右依次增大，即可解题． 【详解】解：结合数轴找出，所在位置，如下图所示： 利用数轴特点可知，， 故答案为：． 8．（24-25六年级上·上海·阶段检测）若、、都是有理数，，且，有理数在数轴上所对应的点在原点左侧，则___________． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了绝对值、数轴、有理数的加减混合运算，熟练掌握相关概念及运算法则是解题的关键． 先去绝对值，再根据题意得出，，，即可得出，，，然后将值代入即可得出答案． 【详解】解： ，，， ，有理数在数轴上所对应的点在原点左侧， ，，， ，，， ． 故答案为：． 9．（22-23七年级上·云南昆明·期中）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 0，，，，，． 【答案】 如图所示： 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查的是有理数的大小比较及数轴的特点，解答此类问题时要注意在数轴上表示各数时要用原数． 先把各数化简，在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点把这些数按从大到小的顺序用“”连接起来． 【详解】略 10．（24-25六年级上·上海崇明·期中）请分别写出点A、点B和点C所对应的数，点A是______，点B是_______，点C是_______，并在数轴上，画出点D：，比较A、B、C、D四个数的大小，并用“”连接_________． 【答案】 解：由数轴可知：点A是1，点B是，点C是， 画出点D如图所示， ． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】解：本题考查有理数在数轴上的表示，根据图形即可知点A、点B和点C所对应的数，再根据找出点D，利用数轴上的点表示的数，左边的比右边的小得出大小关系即可． 【详解】略 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）数轴上点表示，B，C两点表示的数互为相反数，且点到点的距离是2，求点所表示的数． 【答案】1或5 【知识点】数轴上两点之间的距离、相反数的定义 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，相反数的定义， 根据数轴上两点之间的距离可得出点表示的数为或，再根据相反数的定义可得出点所表示的数为1或5． 【详解】解：因为点到点的距离是2，点表示， 所以点表示的数为或． 因为B，C两点表示的数互为相反数， 所以点所表示的数为1或5． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）对于一个数，给定条件：该数是负整数，且大于；条件：该数的绝对值等于2，那么同时满足这两个条件的数是_____． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了绝对值和有理数大小比较，首先根据有理数大小比较的方法，可得大于的负整数有：、；然后根据绝对值即可求解；会求限定范围的负整数及一个数的绝对值是解题的关键． 【详解】解：大于的负整数有：、， 绝对值等于2的数有两个：、2， 同时满足这两个条件的数是． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）写出下列各数的相反数，并将这些数连同它们的相反数在数轴上表示出来：； （2）说明上面各数及其相反数对应的点在数轴上的位置特点． 【答案】 （1）的相反数是的相反数是的相反数是的相反数是的相反数是的相反数是4． 如图所示． （2）原数与其相反数对应的点到原点的距离相等． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了相反数的定义，在数轴上表示有理数； （1）根据相反数的定义求出对应数值并在数轴上表示出来即可． （2）根据原数与其相反数对应的点到原点的距离相等即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【考点2】有理数大小比较（第14-17题） · 正数大于负数，0大于负数 · 两个负数比较，绝对值大的反而小 · 借助数轴比较：右边的数大 · 异分母分数比较先通分 14．（24-25六年级上·上海青浦·期中）表中记录了上海冬天某四天气温的变化情况，温差最大是（    ） 最高温度 最低温度 第1天 4.5 第2天 7.8 1.9 第3天 5.4 第4天 9.2 2.4 A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天． 【答案】A 【知识点】有理数大小比较、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，用每天的最高温度减去最低温度，然后相比即可得出答案． 【详解】解：第1天温差为：； 第2天温差为：； 第3天温差为：； 第4天温差为：； ∵， ∴第1天温差最大． 故选：A． 15．（2024七年级·全国·竞赛）把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题主要考查有理数大小比较，先比较各数绝对值的大小，再比较各数即可． 【详解】解：， 又， ∵， ∴， ∴， ． 故选：A． 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）比小的最大整数是 ____． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】此题主要考查了有理数大小比较，正确理解最大整数定义是解题关键．根据有理数大小比较即可得比小的最大整数是． 【详解】解：比小的最大整数是． 故答案为：． 17．（24-25七年级上·吉林·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1) 小杰的视力最差，理由： ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． (2)6名学生中有2人需要配戴眼镜 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的其他应用、有理数大小比较的实际应用 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． 【考点3】有理数的加减运算（第18-22题） · 减去一个数等于加上它的相反数 · 异号相加取绝对值较大的符号 · 加减混合运算统一为加法，省略加号写成代数和 · 运用加法交换律、结合律凑整或抵消简化计算 18．（26-27六年级上·上海青浦·开学考试）某厂计划每月生产化肥800吨，一月份实际生产750吨，二月份实际生产800吨，三月份实际生产950吨，用正数、负数和0表示每月超额完成计划的吨数． 【答案】一月份超额完成计划吨，二月份超额完成计划吨，三月份超额完成计划吨． 【知识点】正负数的实际应用 【分析】用每月实际生产的数量减去计划每月生产的数量可得答案． 【详解】解：吨，吨，吨， 即一月份超额完成计划吨，二月份超额完成计划吨，三月份超额完成计划吨． 19．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1． 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算； （2）根据有理数的加法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（24-25七年级上·北京延庆·期中）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 【答案】(1)同号得正，异号得负，再把绝对值相加；正数与0“”运算得它本身，负数与0“” 运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值 (2)9 (3) 不适用， 例如：           ；    这时，，所以结合律在有理数的“”运算中不适用 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算； （1）观察新定义运算，类比有理数的运算法则，写出“”运算法则，即可求解； （2）根据（1）中的运算法则进行计算即可求解； （3）根据新定义运算与有理数加法结合律，分别举例计算和，即可求解． 【详解】（1）解： “”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加. 一个数与0进行“”运算时，正数与0“”运算得它本身，负数与0“”运算得它的相反数.或：等于这个数的绝对值 （2）解： （3）略 21．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数的加减混合运算、两个有理数的乘法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法运算， （1）根据题干，模仿写出第5个等式，即可作答； （2）由（1）以及题干条件，即得第n个等式：； （3） 由（2）的结论，先化简再运算，即可作答， 掌握第n个等式：是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，第5个等式： ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 故第n个等式：； （3）解：由（2）知第n个等式：； 则 22．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【答案】(1)45 (2)1574元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】（1）根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：，解答即可． （2）先计算正常产量的工资，加上超产的奖励工资即可． 本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：（单）． 答：外卖小哥这一周平均每天送餐45单． （2）解：∵外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元． ∴本周工资为： （元）． 答：外卖小哥这一周工资收入1574元． 【考点4】有理数的乘除运算与运算律（第23-29题） · 先定符号：同号得正，异号得负 · 除以一个数等于乘这个数的倒数 · 乘法分配律可正用、逆用简化计算 · 多个因数相乘，负因数个数决定积的符号 23．（25-26六年级上·上海闵行·期末）下列各算式中，不能利用乘法分配律进行简便运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查的知识点是乘法分配律的应用，解题关键是熟练掌握乘法分配律． 乘法分配律适用于算式中存在加法或减法的情况，据此对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、，可以利用乘法分配律进行简便运算，不符合题意； 、仅为有理数相乘，无加减法，不能利用乘法分配律进行简便运算，符合题意． 故选：． 24．（2024·贵州黔东南·一模）汽车油箱中有汽油，行驶的平均耗油量为，则汽车最多能行驶（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，直接用油箱中的油量除以平均耗油量即可得到答案． 【详解】解：， ∴汽车最多能行驶， 故选：B． 25．（23-24六年级下·上海松江·期中）计算： ________． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算．熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键． 先化成分数，然后进行除法运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 26．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）如何破译密码？梅陇中学六年级的学生就可以做到．请阅读以下材料，开始学习：为了确保信息安全，信息需要加密传输，发送方为由明文密文，接收方由密文明文． 1949年美国数学家香农（）发表了《保密系统的通信理论》论文，建立了保密通信的数学原理，加密与解密才成为一种科学——密码学和密码分析学． 密码的使用对现代社会，尤其是军事信息安全传递是极其重要的，有一种密码的明文（真实文），其中的字母按计算机键盘顺序与26个自然数，，，，，对应（称为密码表，见下表），设明文的任一字母对应的自然数为x，通过某种规定的对应运算把x转化成为对应的自然数对应的字母为密文． 密码表 例如，有一种译文方法按照以下变换实现： ，其中是被除所得的余数与之和． 则时，，即明文译为密文；时，，即明文译为密文． 现有某种变换，将明文字母对应的自然数x变换为密文字母对应的自然数是被26除所得余数与之和（，）． 已知运用此变换，明文译为密文，则________． 请用此变换，把明文（“数学”的首字母简称）译为密文是字母________． 请用此变换，把密文（“梅陇学子”的首字母简称）译为明文是字母________________．（本题直接写出答案，不写过程） 【答案】；； 【知识点】数的整除 【分析】本题考查了数的整除的应用，根据题意分析，分析对应的字母，结合已知条件求得对应关系式中的的值，再根据对应关系分别把明文和密文进行转化，即可求解． 【详解】解：明文译为密文，即时， ∵是被26除所得余数与之和（，）． ∴被26除所得余数为 ∴，其中为自然数， ∴ ∵ ∴当时， ∵明文，对应的， ∴是被26除所得余数与之和，余数为： ∴对应点密文为： ∵明文，对应的， ∴是被26除所得余数与之和，余数为： ∴对应点密文为： ∴把明文（“数学”的首字母简称）译为密文是字母； 密文分别对应的 ∴被26除所得余数分别为 当时， ∵其中为自然数，当时， （舍去） 当时，； 当时， ∵其中为自然数，当时， 当时， ∵其中为自然数，当时， 当时， ∵其中为自然数，当时， （舍去） 当时，， 综上所述，当被26除所得余数分别为时，，则明文为： 故答案为：；；． 27．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查带分数乘法运算，可先将带分数进行变形，再利用乘法分配律来简化计算过程，从而得出结果． 【详解】解: 28．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 将带分数和小数化为分数形式，再计算乘除即可． 【详解】解： ． 29．（25-26六年级上·上海·单元复习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数乘法，有理混合运算，熟练掌握有理数乘法法则与运算律是解题的关键． （1）根据乘法交换律、结合律和有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）把小数化为分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （3）逆运用乘法分配律进行计算即可得解； （4）利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【考点5】乘方与有理数混合运算（第30-38题） · 分清底数与指数，−an与（−a）n勿混淆 · 负数的偶次幂为正、奇次幂为负 · 运算顺序：先乘方再乘除后加减，有括号先算括号 · 程序流程图与“24点”等题型：按规则逐步代入计算 30．（25-26六年级下·上海·期末）下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 【答案】D 【知识点】有理数幂的概念理解 【详解】解：的底数是，负号不属于底数部分，故A错误． 表示个相乘，不是相加，故B错误． 表示个相乘的相反数，表示个相乘，二者意义不同，故C错误． 是的相反数，表示个相乘的积，故表示个相乘的积的相反数，D正确． 31．（24-25七年级上·山西临汾·期中）对于有理数a，b，定义运算：．若有理数x，y满足，则的值为（   ） A． B．2 C． D．12 【答案】A 【知识点】绝对值非负性、乘方的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值、有理数的运算、绝对值和偶次方的非负性，读懂新运算的定义是解题关键．先根据绝对值和偶次方的非负性可求出的值，再根据新运算的定义代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 32．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________ 【答案】或或 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 根据有理数的运算法则列式即可． 【详解】解：由图可得，符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 33．（22-23六年级下·上海·期中）平方等于16的负数与立方等于的和是____________． 【答案】/ 【知识点】有理数加法运算、有理数的乘方运算 【分析】根据有理数乘方的定义，先求出符合条件的两个数，再根据有理数加法法则计算两个数的和即可． 【详解】解： ，题目要求平方等16的负数， 符合条件的数是 ， ， 立方等于的数是， ∴平方等于16的负数与立方等于的和是： ． 34．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，在正五边形中，已知a，b，c，d，e为正整数，且每条边上的三个数之和都等于，则_____． 【答案】117 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的运算，根据题意，得到 ，进而推出，且为正整数，分，，三种情况进行讨论计算即可． 【详解】解：由图和题意，可知： ， ∵a，b，c，d，e为正整数， ∴，且为正整数， 当时，， ∴， 当时，，当时，，与矛盾，不符合题意； 当时，，不符合题意； 故答案为：． 35．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）学校买来了5个保温瓶和10个茶杯，共用了90元钱．每个保温瓶是每个茶杯价钱的4倍，每个保温瓶( )元． 【答案】12 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了整数除法的应用，正确列出运算式子是解题关键．根据每个保温瓶是每个茶杯价钱的4倍可将5个保温瓶换成20个茶杯，据此即可求出每个茶杯的价格，然后乘以4即可得每个保温瓶的价格． 【详解】解：每个茶杯的价格是（元）， 所以每个保温瓶的价格是（元）， 故答案为：12． 36．（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________． 【答案】8 【知识点】有理数的乘方运算、乘方的应用、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数乘方的规律型问题．熟练掌握个位数字的变化规律，确定循环组及组数，是解题关键． 观察发现个位数字是以1、7、9、3为一个循环组，再根据即可得的个位数是7，计算即得个位数字． 【详解】∵，，，，，，… ∴每4个数为一个循环组， ∵， ∴的个位数是7， ∴， 故的个位数字为：8． 37．（24-25六年级上·上海宝山·期末）根据如图所示的程序回答问题： (1)当小红输入和这两个数时，请计算说明：她的输出的结果是多少？ (2)当小王输入和这两个数时．输出的结果是4，试求被墨水污染的数． 【答案】(1) (2)或11 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算： （1）根据流程图，列出算式进行计算即可； （2）分2种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：， 是正数，输出； 故输出的结果为； （2）当计算结果为时：； 当计算结果为4时：； 综上：被墨水污染的数为或11． 38．（24-25六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数乘方的应用； （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据十进制转八进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解： ， 则将十进制数“4372”转化为八进制数为：； （3）解：因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为天． 【考点6】分数运算与应用（第39-51题） · 分数乘除法先约分再计算 · 求一个数的几分之几用乘法，已知几分之几求这个数用除法 · 连续求几分之几用连乘 · 平均分问题：每份量=总量÷份数，每份占比=1÷份数 · 找准单位“1”是分数应用题的关键 39．（25-26六年级上·全国·课后作业）小林说：“一个数乘一个分数所得的积一定比这个数小．”下面算式中，能证明他的说法错误的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】 分数与整数的乘法、 分数与分数的乘法、 分数与小数的乘法 【分析】本题考查了因数和积的大小关系（分数乘法），根据乘法法则逐项计算即可求解． 【详解】解：A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：，不符合题意； D：，符合题意． 故选：D． 40．（25-26六年级上·全国·课后作业）小马虎在计算一个数除以时，看成了乘，结果得到，小马虎计算的那道题算式的正确结果应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分数与分数的除法 【分析】本题主要考查了分数与分数的除法、乘、除法的意义和各部分间的关系、分数的连除运算 根据题意可知：将一个数除以时，看成了乘，结果得到，即一个数×，根据一个因数积另一个因数，用求出这个数；再用这个数除以即可得正确结果． 【详解】解： 故选B 41．（25-26六年级上·上海·阶段检测）6的几分之几是，这里的几分之几是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的几分之几的问题、 分数除法的应用 【分析】本题考查了分数的除法，根据题意计算即可得解． 【详解】解：， 故选：D． 42．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）a、b、c、d都是非0自然数，且，下面（   ）的商最大 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】 分数与整数的乘法、分数与整数的除法 【分析】本题考查了分数的除法与乘法，将除法转化为乘法，再比较出，，，最后再由分数乘法的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，，， ∵a、b、c、d都是非0自然数，且， ∴，，， ∴商最大的为， 故选：B． 43．（25-26六年级上·全国·课后作业）a为自然数（a不为0）．，，则a不可能是（   ） A．11 B．9 C．8 【答案】C 【知识点】 分数与分数的乘法 【分析】本题考查了因数和积的大小关系（分数乘法）. 一个非0数，乘大于1的数，积大于原数，一个非0数，乘小于1的数，积小于原数，据此分析解答． 【详解】，则，所以； ，则，所以； ，为自然数（不为0）． a可能是，、．不可能是8． 故答案为：C 44．（25-26七年级上·重庆·开学考试）下面不能用方程来表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分数的四则混合运算 【分析】本题考查了分数的应用；逐项分析各个选项中的数量关系即可得出答案． 【详解】解：A．一个小格为平方厘米，总面积是80平方厘米，可得； B．小三角形的底是大三角形底的，高相等，则小三角形面积，梯形的面积=大三角形的面积+小三角形的面积，即； C．等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，即圆锥体积是，所以； D：一个小格是，则； 综合以上分析可得选项A不能用此方程来表示． 故选：A． 45．（19-20六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）妈妈买了鸡蛋和鸭蛋共27个，其中鸡蛋占，则鸡蛋的个数为（   ） A．12个 B．9个 C．6个 D．3个 【答案】A 【知识点】 分数与整数的乘法 【分析】本题主要考查分数运算的应用，解题的关键是理解题意；由题意可直接列式进行求解即可． 【详解】解：（个）； ∴鸡蛋的个数为12个； 故选A． 46．（25-26六年级上·上海·阶段检测）某施工队7天修了一条80米长的铁路，则平均每天修这条铁路的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】 分数的平均分 【分析】本题考查分数的应用，将整条铁路看成“1”进行计算即可． 【详解】解：把整条铁路看成“1”，7天修完，则平均每天修， 故选：C． 47．（25-26六年级上·上海·阶段检测）米的电线，减去它的还多米，剩下（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【知识点】求一个数的几分之几的问题 【分析】本题考查了分数的相关应用．先求出减去的长度，再求剩下的长度，即可． 【详解】解：米的电线，减去它的，则减去了（米）， 还多米，即减去了（米）， 故剩下的为（米）． 故选：D． 48．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）一根3米长的铁丝平均分成7段，每一段的长度占全长的（　　） A．米 B．米 C． D． 【答案】C 【知识点】 分数的平均分 【分析】本题考查了分数的认识，掌握分数的意义是解答本题的关键．根据分数的意义解答即可． 【详解】解：一根3米长的铁丝平均分成7段，每一段的长度占全长的， 故选：C． 49．（25-26六年级上·上海·阶段检测）中有______个． 【答案】6 【知识点】分数与分数的除法 【分析】本题主要考查了分数的除法．根据分数的除法解答即可． 【详解】解：，， 所以中有6个． 故答案为：6． 50．（24-25六年级上·上海·期末）书法班有60名学生，绘画班的学生人数是书法班的，音乐班的学生人数是绘画班的，音乐班有 _____名学生． 【答案】9 【知识点】连续求一个数的几分之几是多少的问题 【分析】本题考查了分数乘法的应用，熟练掌握用乘法计算求一个数的几分之几是解题的关键． 把书法班的学生数看作单位“1”，用书法班学生数乘，即可求出绘画班的学生人数；再把绘画班的学生人数看作单位“1”，用绘画班的学生人数乘，即可求出音乐班的学生数． 【详解】解：（名）， 音乐班有9名学生， 故答案为：9． 51．（25-26六年级上·上海闵行·期中）为了向消费者提供食品的营养信息，帮助他们做出更健康的食品选择，规定食品包装上必须标注营养成分表．现有一包意式番茄肉酱面，重量为160克（不计包装），其营养成分表如下图所示： 项目 每80克 能量 720千焦 蛋白质 6.4克 脂肪 6.7克 碳水化合物 27.1克 钠 812毫克 意面营养成分表 (1)求这份意面的蛋白质含量占该意面重量的几分之几？（结果化为最简分数） (2)已知100克米饭的能量大约是一整包意式番茄肉酱面的能量的，那么100克米饭的能量大约是多少？ 【答案】(1) (2)千焦 【知识点】求一个数的几分之几的问题、 分数除法的应用 【分析】本题考查分数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）根据每80克中含有6.4克蛋白质，进行计算即可； （2）用意面的能量乘以，计算即可． 【详解】（1）解：； 答：这份意面的蛋白质含量占该意面重量的； （2）（千焦）； 答：100克米饭的能量大约是600千焦． 💯 课后巩固 复习建议 · 数轴、相反数、绝对值是本章基础，务必结合图形理解三者的联系 · 有理数运算先定符号再算绝对值，熟练运用运算律简便计算 · 乘方运算注意底数与指数，警惕−an与（−a）n的区别 · 分数运算牢记“除以一个数等于乘它的倒数”，先约分再计算 · 解决实际问题时先找准基准量与单位“1”，再列式求解 【作业1】．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（  ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】根据圆的滚动可得四个字母一循环，从点与数字对应开始计算，滚动到的时候滚动了次，能被整除，于是可求解． 【详解】解：圆的周长为个单位长度， 个数字为一个循环， ∵点与数字对应，滚动到所对应的点时，滚动了次，能被整除， 对应的字母是． 【作业2】．（25-26六年级上·山东泰安·期末）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【答案】A 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查数轴和规律探究．根据图形总结出规律是解答本题的关键．由图可知规律，滚动一圈，4个单位为一个循环．由，即可知结果． 【详解】解：根据题意得，正方形的顶点每4次滚动为一个循环组依次落在数轴上． ， 正方形在数轴上经过了次循环后，再进行1次滚动停止运动， 此时与重合的点是C． 故选：A． 【作业3】．（24-25六年级下·上海·阶段检测）小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》70元/张 上午场：六折    中午场：五折 下午场：八折    夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 【答案】C 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数乘法和减法的实际应用，先求出小海所看电影的实际票价，再分别求出四个场次的实际票价即可得到答案． 【详解】解：由题意得，小海所看电影的实际票价为元， 上午场的实际票价为元， 中午场的实际票价为元， 下午场的实际票价为元， 夜场的实际票价为元， ∴可判断小海看的场次是下午场， 故选：C． 【作业4】．（25-26六年级上·全国·课后作业）下面各情境中的问题，能用算式解决的是（   ） 一根彩带长，每截一段．一共能截多少段？ 一个油桶装了的油，已经装了．这个油桶最多能装多少的油？ 王叔叔小时骑行了．照这样的速度，他小时骑行多少千米？ 小英有元钱，买笔花去全部的．买笔花了多少元钱？ A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】 分数除法的应用 【分析】本题考查分数除法的应用． 对各情境中的问题进行分析即可． 【详解】解：一根彩带长，每截一段．一共能截多少段？能用算式解决； 一个油桶装了的油，已经装了．这个油桶最多能装多少的油？能用算式解决； 王叔叔小时骑行了．照这样的速度，他小时骑行多少千米？能用算式解决； 小英有元钱，买笔花去全部的．买笔花了多少元钱？算式为，不能用算式解决； ∴能用算式解决的是． 故答案为：A． 【作业5】．（24-25七年级上·山东临沂·期中）如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，，此时标记线对准的数是， ∴开锁密码为“，，”，表示先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格， 所以标记线按顺时针转了格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为， 故选：． 【作业6】．（2025·江西抚州·二模）计算：__________． 【答案】3 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据有理数的减法运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：3． 【作业7】．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：___________，___________，___________． 【答案】 0 0 0 【知识点】相反数的定义、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键． 根据相反数的两个数的和为0即可求解． 【详解】解：； ； ， 故答案为：0，0，0． 【作业8】．（24-25七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】化简多重符号 【分析】本题主要考查的是化简多重符号，掌握相关方法是解题的关键．对这类式子进行化简，非0数的正负与前边的正号的个数无关，而与负号的个数有关，当有奇数个负号时，值是负数，当有偶数个负号时，值是正数，由此依次进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【作业9】．（23-24六年级下·全国·假期作业）填空： （1）_________；     （2） _________； （3） _________；   （4）_________． 【答案】 0 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法，熟练掌握有理数除法法则是解题的关键． 根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：0； （4）． 故答案为：． 【作业10】．（25-26六年级上·黑龙江绥化·开学考试）__________． 【答案】 【知识点】同分母分数加、减法 【分析】本题考查了分数的加法，根据分数的加法法则计算即可得解，熟练掌握分数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为： ． 【作业11】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）将下面一组数填入相应集合的圈内： ，，，，，，，， 【答案】 把数填入相应集合的圈内如图所示： 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类即可求出答案，掌握有理数的分类是解题的关键． 【详解】略 【作业12】．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）新定义：一个两位数是素数，如果交换它的个位数字和十位数字后还是素数，那么称这个两位数为“绝对素数”．在两位数中，所有“绝对素数”的乘积的个位数字是_____． 【答案】3 【知识点】质数与合数 【分析】本题考查了新定义，素数； 根据“绝对素数”的定义找出两位数中所有的“绝对素数”，再把它们的个位相乘，可得答案． 【详解】解：由“绝对素数”的定义可知，两位数中的“绝对素数”有9个，分别为：11、13、17、31、37、71、73、79、97， 它们的个位分别是1、3、7、1、7、1、3、9、7， 因为， 所以在两位数中，所有“绝对素数”的乘积的个位数字是3， 故答案为：3． 【作业13】．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是___________． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算、数轴上点的平移（动点问题）、数轴上的规律探究 【分析】本题考查数轴上点的运动规律问题，根据数轴上运动时“右加左减”计算即可． 【详解】解：∵，， ∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 【作业14】．（24-25七年级上·全国·单元测试）点A、、是数轴上的三个点，点A表示最大的负整数，点表示最小的正整数，点表示最小的自然数． (1)求A、之间的距离； (2)比较点A、、表示的数的大小； 【答案】(1)2； (2) 【知识点】有理数的定义、数轴上两点之间的距离、有理数大小比较 【分析】本题考查有理数的分类及数轴上两点之间的距离， （1）根据最小的正整数是1，最大的负整数是，最小的自然数为0代入求解即可得到答案； （2）根据正负数大小比较方法比较即可． 【详解】（1）最大的负整数是，最小的正整数是1，最小的自然数是0， ∴点A、、是数轴上表示的数分别是，0，1， 、之间的距离； （2）由于正数大于0，负数小于0， ∴； 【作业15】．（24-25六年级上·上海松江·期末）某公交车出发时，车上有人，经过个站点，乘客上下车情况（上车为正，下车为负）：一号站点“，”；二号站点“，”；三号站点“，”．那么此时车上有______人． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正负数的意义的实际应用，有理数加减的实际运算，根据题意列出算式计算即可求解，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：， ∴此时车上有人， 故答案为：． 【作业16】．（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3） ，然后求和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 【作业17】．（25-26六年级上·全国·课后作业）白洋淀是华北地区最大的湿地生态系统，也是东亚和澳大利亚鸟类迁徙路线的中途驿站，新区设立前白洋淀鸟类种群数量是206种，现在白洋淀鸟类种群数量较新区设立前增加了．现在白洋淀鸟类种群数量有多少种？ 【答案】现在白洋淀鸟类种群数量有286种 【知识点】分数的意义、 分数与整数的乘法 【分析】本题主要考查了求比一个数多（少）几分之几的数是多少，解题的关键是熟练掌握分数的意义． 将新区设立前白洋淀鸟类种群数量看作单位“1”，现在白洋淀鸟类种群数量是新区设立前的，新区设立前白洋淀鸟类种群数量×现在对应分率＝现在白洋淀鸟类种群数量． 【详解】解： （种） 答：现在白洋淀鸟类种群数量有286种． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二·期中综合复习·培优提升讲义（整数与整除 分数 有理数） （知识梳理+典例+练习）2026年沪教版（五四制）六年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握数轴、相反数与绝对值的综合应用，能借助数轴分析动点与规律问题 · 灵活运用有理数大小比较的方法，正确处理含绝对值的比较 · 掌握有理数加减混合运算，会运用加法运算律简便计算 · 理解乘方的意义，正确进行含乘方、乘除的混合运算 · 熟练分数四则运算，解决求一个数的几分之几、分数除法等应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.数轴、相反数与绝对值 数轴三要素：原点、正方向、单位长度；数轴上点与有理数一一对应 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，互为相反数的两个数和为0 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离，|a|≥0，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 化简多重符号：奇负偶正，如−（−a）=a，−（+a）=−a 概念辨析例题：有理数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，试比较a，b，−a，−b的大小 答案：−a＜b＜−b＜a 解析：由数轴可知a为正数、b为负数且|a|＞|b|，则−a为负数且−a＜b，−b为正数且−b＜a，所以从小到大依次为−a＜b＜−b＜a ☆ 2.有理数大小比较 正数大于0，0大于负数，正数大于负数 两个负数比较大小：绝对值大的反而小 数轴上的点从左到右表示的数越来越大，可借助数轴比较 异分母分数比较大小：先通分再比较 概念辨析例题：比较−与−的大小 答案：−＞− 解析：|−|==，|−|==，因＜，即|−|＜|−|，所以−＞− ☆ 3.有理数的加减运算 加法法则：同号相加取相同符号；异号相加取绝对值较大的符号，用较大的绝对值减较小的绝对值 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数 加减混合运算统一为加法后写成省略加号的和的形式 加法交换律、结合律可简化运算：正数负数分别相加、凑整配对 概念辨析例题：计算：−−（−）+（−） 答案：− 解析：原式=−+−=（−+−）=− ☆ 4.有理数的乘除运算与运算律 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 除法法则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数 乘法分配律：a（b+c）=ab+ac，可正用可逆用 多个因数相乘：负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正 概念辨析例题：计算：（−+−）×（−12） 答案：−2 解析：利用乘法分配律：原式=−×（−12）+×（−12）−×（−12）=6−8+2=0；再算（−2）+0=−2 ☆ 5.乘方与有理数混合运算 乘方：an表示n个a相乘，a是底数，n是指数，幂是运算结果 负数的偶次幂为正，奇次幂为负；−an与（−a）n意义不同 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的 能用运算律简化计算的先简化，再按顺序计算 概念辨析例题：计算：−14−（1−0.5）××[2−（−3）2] 答案： 解析：原式=−1−××[2−9]=−1−×（−7）=−1+= ☆ 6.正负数的实际应用 正负数表示具有相反意义的量：如收入与支出、上升与下降、超过与不足 用正负数记录数据后，可通过求和、求差分析总体情况 解决实际问题时先确定基准量，再计算相对基准的增减 概念辨析例题：某厂计划每月生产化肥800吨，一月份实际生产750吨，二月份实际生产800吨，三月份实际生产820吨，试用正负数表示各月超额完成情况 答案：一月份−50吨，二月份0吨，三月份+20吨 解析：以800吨为基准，实际产量减计划产量：750−800=−50（吨），800−800=0（吨），820−800=+20（吨） ☆ 7.分数运算与应用 分数乘法：分子相乘作分子，分母相乘作分母，能约分的先约分 分数除法：除以一个不为0的数等于乘它的倒数 求一个数的几分之几是多少：用乘法；连续求几分之几：用连乘 已知一个数的几分之几是多少，求这个数：用除法 同分母分数加减：分母不变，分子相加减 概念辨析例题：某施工队7天修了一条80米长的铁路，平均每天修这条铁路的几分之几？每天修多少米？ 答案：平均每天修全长的，每天修米 解析：把全长看作单位“1”，7天修完则每天修；80÷7=（米） 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 相反数 a与−a互为相反数，a+（−a）=0 0的相反数是0 绝对值 |a|≥0；|a|=a（a≥0），|a|=−a（a＜0） 绝对值具有非负性 有理数大小比较 两个负数比较，绝对值大的反而小 可借助数轴比较 加减混合运算 a−b=a+（−b） 统一成加法再计算 乘除运算律 a（b+c）=ab+ac 正用逆用都要灵活 乘方 an=a×a×…×a（n个a） −an与（−a）n意义不同 分数除法 ÷=× 除以一个数等于乘它的倒数 分数应用 单位“1”的量×几分之几 先找准单位“1” ⚠️ 核心考点 【考点1】数轴、相反数与绝对值（第1-13题） · 在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大 · 互为相反数的两个数到原点的距离相等，和为零 · 化简多重符号按“奇负偶正”处理 · 绝对值非负性：几个非负数的和为0，则每个数都为0 · 数轴上的动点与规律探究题：抓住点的起始位置与运动方向逐步推导 1．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．6和 C．和 D．7和 2．（2024七年级上·全国·专题练习）小梦做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点，其表示的数是，由于粗心，小梦把数轴的原点标错了位置，使点正好落在了的相反数的位置，要把数轴画正确，原点应（　　） A．向右移6个单位长度 B．向右移3个单位长度 C．向左移6个单位长度 D．向左移3个单位长度 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）若，，且，则的值为（   ） A．5 B．5或1 C．1 D．1或 5．（24-25六年级上·上海青浦·期中）如果元表示支出80元，那么元表示( )． 6．（23-24六年级下·上海·期末）已知，，则______. 7．（24-25六年级上·上海·阶段检测）有理数，在数轴上的对应点位置如图所示． 用“”连接，，，，五个数：___________． 8．（24-25六年级上·上海·阶段检测）若、、都是有理数，，且，有理数在数轴上所对应的点在原点左侧，则___________． 9．（22-23七年级上·云南昆明·期中）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 0，，，，，． 10．（24-25六年级上·上海崇明·期中）请分别写出点A、点B和点C所对应的数，点A是______，点B是_______，点C是_______，并在数轴上，画出点D：，比较A、B、C、D四个数的大小，并用“”连接_________． 11．（26-27七年级上·全国·课后作业）数轴上点表示，B，C两点表示的数互为相反数，且点到点的距离是2，求点所表示的数． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）对于一个数，给定条件：该数是负整数，且大于；条件：该数的绝对值等于2，那么同时满足这两个条件的数是_____． 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）写出下列各数的相反数，并将这些数连同它们的相反数在数轴上表示出来：； （2）说明上面各数及其相反数对应的点在数轴上的位置特点． 【考点2】有理数大小比较（第14-17题） · 正数大于负数，0大于负数 · 两个负数比较，绝对值大的反而小 · 借助数轴比较：右边的数大 · 异分母分数比较先通分 14．（24-25六年级上·上海青浦·期中）表中记录了上海冬天某四天气温的变化情况，温差最大是（    ） 最高温度 最低温度 第1天 4.5 第2天 7.8 1.9 第3天 5.4 第4天 9.2 2.4 A．第1天 B．第2天 C．第3天 D．第4天． 15．（2024七年级·全国·竞赛）把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）比小的最大整数是 ____． 17．（24-25七年级上·吉林·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【考点3】有理数的加减运算（第18-22题） · 减去一个数等于加上它的相反数 · 异号相加取绝对值较大的符号 · 加减混合运算统一为加法，省略加号写成代数和 · 运用加法交换律、结合律凑整或抵消简化计算 18．（26-27六年级上·上海青浦·开学考试）某厂计划每月生产化肥800吨，一月份实际生产750吨，二月份实际生产800吨，三月份实际生产950吨，用正数、负数和0表示每月超额完成计划的吨数． 19．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 20．（24-25七年级上·北京延庆·期中）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①；    ②； ③；    ④； ⑤；    ⑥； ⑦；    ⑧． (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“”运算时，______； 一个数与0进行“”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 21．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 22．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【考点4】有理数的乘除运算与运算律（第23-29题） · 先定符号：同号得正，异号得负 · 除以一个数等于乘这个数的倒数 · 乘法分配律可正用、逆用简化计算 · 多个因数相乘，负因数个数决定积的符号 23．（25-26六年级上·上海闵行·期末）下列各算式中，不能利用乘法分配律进行简便运算的是（   ） A． B． C． D． 24．（2024·贵州黔东南·一模）汽车油箱中有汽油，行驶的平均耗油量为，则汽车最多能行驶（    ） A． B． C． D． 25．（23-24六年级下·上海松江·期中）计算： ________． 26．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）如何破译密码？梅陇中学六年级的学生就可以做到．请阅读以下材料，开始学习：为了确保信息安全，信息需要加密传输，发送方为由明文密文，接收方由密文明文． 1949年美国数学家香农（）发表了《保密系统的通信理论》论文，建立了保密通信的数学原理，加密与解密才成为一种科学——密码学和密码分析学． 密码的使用对现代社会，尤其是军事信息安全传递是极其重要的，有一种密码的明文（真实文），其中的字母按计算机键盘顺序与26个自然数，，，，，对应（称为密码表，见下表），设明文的任一字母对应的自然数为x，通过某种规定的对应运算把x转化成为对应的自然数对应的字母为密文． 密码表 例如，有一种译文方法按照以下变换实现： ，其中是被除所得的余数与之和． 则时，，即明文译为密文；时，，即明文译为密文． 现有某种变换，将明文字母对应的自然数x变换为密文字母对应的自然数是被26除所得余数与之和（，）． 已知运用此变换，明文译为密文，则________． 请用此变换，把明文（“数学”的首字母简称）译为密文是字母________． 请用此变换，把密文（“梅陇学子”的首字母简称）译为明文是字母________________．（本题直接写出答案，不写过程） 27．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算： 28．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算： 29．（25-26六年级上·上海·单元复习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点5】乘方与有理数混合运算（第30-38题） · 分清底数与指数，−an与（−a）n勿混淆 · 负数的偶次幂为正、奇次幂为负 · 运算顺序：先乘方再乘除后加减，有括号先算括号 · 程序流程图与“24点”等题型：按规则逐步代入计算 30．（25-26六年级下·上海·期末）下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 31．（24-25七年级上·山西临汾·期中）对于有理数a，b，定义运算：．若有理数x，y满足，则的值为（   ） A． B．2 C． D．12 32．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________ 33．（22-23六年级下·上海·期中）平方等于16的负数与立方等于的和是____________． 34．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，在正五边形中，已知a，b，c，d，e为正整数，且每条边上的三个数之和都等于，则_____． 35．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）学校买来了5个保温瓶和10个茶杯，共用了90元钱．每个保温瓶是每个茶杯价钱的4倍，每个保温瓶( )元． 36．（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________． 37．（24-25六年级上·上海宝山·期末）根据如图所示的程序回答问题： (1)当小红输入和这两个数时，请计算说明：她的输出的结果是多少？ (2)当小王输入和这两个数时．输出的结果是4，试求被墨水污染的数． 38．（24-25六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 【考点6】分数运算与应用（第39-51题） · 分数乘除法先约分再计算 · 求一个数的几分之几用乘法，已知几分之几求这个数用除法 · 连续求几分之几用连乘 · 平均分问题：每份量=总量÷份数，每份占比=1÷份数 · 找准单位“1”是分数应用题的关键 39．（25-26六年级上·全国·课后作业）小林说：“一个数乘一个分数所得的积一定比这个数小．”下面算式中，能证明他的说法错误的算式是（    ） A． B． C． D． 40．（25-26六年级上·全国·课后作业）小马虎在计算一个数除以时，看成了乘，结果得到，小马虎计算的那道题算式的正确结果应该是（   ） A． B． C． D． 41．（25-26六年级上·上海·阶段检测）6的几分之几是，这里的几分之几是（   ）． A． B． C． D． 42．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）a、b、c、d都是非0自然数，且，下面（   ）的商最大 A． B． C． D． 43．（25-26六年级上·全国·课后作业）a为自然数（a不为0）．，，则a不可能是（   ） A．11 B．9 C．8 44．（25-26七年级上·重庆·开学考试）下面不能用方程来表示的是（   ） A． B． C． D． 45．（19-20六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）妈妈买了鸡蛋和鸭蛋共27个，其中鸡蛋占，则鸡蛋的个数为（   ） A．12个 B．9个 C．6个 D．3个 46．（25-26六年级上·上海·阶段检测）某施工队7天修了一条80米长的铁路，则平均每天修这条铁路的（    ） A． B． C． D． 47．（25-26六年级上·上海·阶段检测）米的电线，减去它的还多米，剩下（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 48．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）一根3米长的铁丝平均分成7段，每一段的长度占全长的（　　） A．米 B．米 C． D． 49．（25-26六年级上·上海·阶段检测）中有______个． 50．（24-25六年级上·上海·期末）书法班有60名学生，绘画班的学生人数是书法班的，音乐班的学生人数是绘画班的，音乐班有 _____名学生． 51．（25-26六年级上·上海闵行·期中）为了向消费者提供食品的营养信息，帮助他们做出更健康的食品选择，规定食品包装上必须标注营养成分表．现有一包意式番茄肉酱面，重量为160克（不计包装），其营养成分表如下图所示： 项目 每80克 能量 720千焦 蛋白质 6.4克 脂肪 6.7克 碳水化合物 27.1克 钠 812毫克 意面营养成分表 (1)求这份意面的蛋白质含量占该意面重量的几分之几？（结果化为最简分数） (2)已知100克米饭的能量大约是一整包意式番茄肉酱面的能量的，那么100克米饭的能量大约是多少？ 💯 课后巩固 复习建议 · 数轴、相反数、绝对值是本章基础，务必结合图形理解三者的联系 · 有理数运算先定符号再算绝对值，熟练运用运算律简便计算 · 乘方运算注意底数与指数，警惕−an与（−a）n的区别 · 分数运算牢记“除以一个数等于乘它的倒数”，先约分再计算 · 解决实际问题时先找准基准量与单位“1”，再列式求解 【作业1】．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（  ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【作业2】．（25-26六年级上·山东泰安·期末）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【作业3】．（24-25六年级下·上海·阶段检测）小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》70元/张 上午场：六折    中午场：五折 下午场：八折    夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 【作业4】．（25-26六年级上·全国·课后作业）下面各情境中的问题，能用算式解决的是（   ） 一根彩带长，每截一段．一共能截多少段？ 一个油桶装了的油，已经装了．这个油桶最多能装多少的油？ 王叔叔小时骑行了．照这样的速度，他小时骑行多少千米？ 小英有元钱，买笔花去全部的．买笔花了多少元钱？ A． B． C． D． 【作业5】．（24-25七年级上·山东临沂·期中）如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（2025·江西抚州·二模）计算：__________． 【作业7】．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：___________，___________，___________． 【作业8】．（24-25七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业9】．（23-24六年级下·全国·假期作业）填空： （1）_________；     （2） _________； （3） _________；   （4）_________． 【作业10】．（25-26六年级上·黑龙江绥化·开学考试）__________． 【作业11】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）将下面一组数填入相应集合的圈内： ，，，，，，，， 【作业12】．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）新定义：一个两位数是素数，如果交换它的个位数字和十位数字后还是素数，那么称这个两位数为“绝对素数”．在两位数中，所有“绝对素数”的乘积的个位数字是_____． 【作业13】．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是___________． 【作业14】．（24-25七年级上·全国·单元测试）点A、、是数轴上的三个点，点A表示最大的负整数，点表示最小的正整数，点表示最小的自然数． (1)求A、之间的距离； (2)比较点A、、表示的数的大小； 【作业15】．（24-25六年级上·上海松江·期末）某公交车出发时，车上有人，经过个站点，乘客上下车情况（上车为正，下车为负）：一号站点“，”；二号站点“，”；三号站点“，”．那么此时车上有______人． 【作业16】．（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【作业17】．（25-26六年级上·全国·课后作业）白洋淀是华北地区最大的湿地生态系统，也是东亚和澳大利亚鸟类迁徙路线的中途驿站，新区设立前白洋淀鸟类种群数量是206种，现在白洋淀鸟类种群数量较新区设立前增加了．现在白洋淀鸟类种群数量有多少种？ 学科网（北京）股份有限公司 $