专题02 有理数中的规律问题（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级上册

**基本信息** 聚焦有理数规律问题，以七类核心题型为框架，系统整合定义辨析、公式推导与迁移应用，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差数列|5题|定义理解+通项公式推导|从公差概念到二阶等差拓展| |等比数列|8题|公比计算+错位相减法|类比等差构建公式体系| |符号交替型|6题|(-1)^n符号调节法|数与形的符号规律整合| |算式规律|6题|结构归纳+递推公式|从特殊算式到一般表达式| |循环周期|6题|周期划分+余数定位|周期现象的数学化表达| |数阵规律|4题|行列求和+通项公式|线性规律到平面排列延伸| |幻方规律|5题|和/积相等关系建立|对称与均衡的数学思维|

专题02 有理数中的规律问题 题型一 等差数列中的规律 题型二 等比数列中的规律 题型三 符号交替型数列中的规律 题型四 算式中的规律 题型五 循环周期中的规律 题型六 数阵中的规律 题型七 幻方中的规律 题型一：等差数列 1．阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，排在第位的数称为第项，记为．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示．如：数列为等差数列，其中，，公差为．根据以上材料，解答下列问题： (1)等差数列5，10，15…的公差为_____，第5项是_____． (2)如果一个数列，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到：，，…由此，请你填空完成等差数列的通项公式：________． (3)是不是等差数列的项？如果是，是第几项？ 【答案】(1)5，25 (2) (3)是，是第2025项 【分析】本题考查了规律型-数字变化类，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． （1）根据等差数列的概念可进行求解； （2）根据题目所给等量关系，数列中的第n个数为第1个数加上与公差的积； （3）先写出等差数列的通项公式：，解方程得，从而可判断是等差数列的第2025项． 【详解】（1）解：等差数列5，10，15，…的公差d为5，第4项是为20，第5项为25； 故答案为：5，25； （2）解：∵， ， ， …..； ∴； 故答案为； （3）解：是． 理由如下：等差数列的通项公式：， 当时，， 解得， 即是等差数列的第2025项． 2．观察下列数列，用含的式子表示第个数： 【答案】 【详解】解：；；；；， ∴第个数为； 3．摆一摆，找规律 摆第7个图形需要用_____根小棒． 【答案】15 【分析】由图可知，每一个图像都是在前一个三角形的基础上再加2根火柴，所以第一个是3根小棒，第二个是根小棒，第三个是根小棒，第个就是根小棒． 【详解】解：∵①由3根小棒组成； ②由根小棒组成； ③由根小棒组成； ④由根小棒组成； ∴⑦由根小棒组成． 4．我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如，，，，，就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如，，，，就是一个等差数列，它的公差为．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列，，，，，，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是，，，，，这是一个公差为的等差数列，所以，数列，，，，，是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列，，，，的第五个数应是______． 【答案】21 【分析】由于，，，．．．由此得出相邻两数之差依次大2，故13的后一个数比13大8． 【详解】解：由数字规律可知，第四个数，设第五个数为， 则， 解得， 即第五个数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字变化规律类问题．确定等差数列的公差为2，列出方程是解本题的关键． 5．观察下列数列：，第个数是_____ 【答案】 【分析】观察可得，第1项；第2项；第3项；第4项 ，据此即可求解． 【详解】解： 相邻两项的差： ． 差分别为 ，依次增加1． 观察可得：第1项；第2项；第3项；第4项 ； 因此第项． 验证：当时，，正确；当时， ，正确． ∴第个数是． 题型二：等比数列 1.【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）3；243；（2）；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）根据例题的方法求得，然后错位相减法，即可求解． 【详解】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为， 故答案为：3，243； （2），，， ， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得， ． 2．1，2，4，8，16，…，是按一定规律排列的一组数，则第2017个数是（　　） A． B． C． D．4032 【答案】B 【分析】根据给定的数字，得到第个数为，即可得出结果． 【详解】解：由可知，第个数为， ∴第2017个数是； 故选B． 3．找规律：，，，，…，第8个数是_____． 【答案】 【分析】观察已知数的特征，分子均为1，分析分母可得规律，第个数的分母为，据此计算第8个数即可． 【详解】解：观察已知数列： 第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， ... 由此可得，第个数为， 当时， ． 4.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列．下列数列属于等比数列的是（    ） A．1，2，3，4，5        B．2，6，18，21，63 C．56，28，14，7，         D．－11，22，－33，44，－55 【答案】C； 【详解】解：（1）1，2，3，4，5的后一项与前一项的比不一样，不符合定义，故A错误， 2，6，18，21，63的后一项与前一项的比不一样，不符合定义，故B错误， 56，28，14，7，的后一项是前一项的，符合等比数列的定义，故C正确， －11，22，－33，44，－55的后一项与前一项的比不一样，不符合定义，故D错误， 故选C． 5.像1，2，4，8，16…这样的一串数，从第二个数开始，每个数和前一个数的比值为一个定值，叫做等比数列，在一个等比数列中，第一个数为2，第三个数为，则第二个数为____. 【答案】±3 【分析】设第二个数为，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：设第二个数为x， 根据题意得，2：x＝x：， 解得：x＝±3， 故答案为：±3. 【点睛】本题考查了数字的变化类，根据题意列方程是解题的关键． 6．观察下列各数：3，8，18，38，…．按此规律，第5~7个数可能为（    ） A．48，58，68 B．58，78，98 C．76，156，316 D．78，158，318 【答案】D 【解析】略 7. 观察下列数列，用含的式子表示第个数： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：；；；；， ∴第个数为； （2）解：；；；；，…… ∴第个数为． 8. 阅读并解决问题． 观察下列数：我们发现，这列数从第项起，每一项与它前一项的比值都是．我们把这样的一列数称为等比数列，这个共同的比值称为等比数列的公比． (1)等比数列，，，的第项是________； (2)一个等比数列的第项是，第项是，求它的第项和第项； 【答案】(1) (2)， 【分析】（）求出等比数列的公比即可求解； （）求出等比数列的公比即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴等比数列的公比为， ∴第项是， 故答案为：； （2）解：∵等比数列的第项是，第项是， ∴等比数列的公比为， ∴第项为，第项为； 题型三：符号交替型的数列 1．一列数据按1，，3，，5，……的规律书写，则第2021个数字为（    ） A．2021 B． C．2022 D． 【答案】A 【分析】找出该列数据的书写规律即可求解． 【详解】解：观察所给数据可知，第n个数字的绝对值是n，奇数项符号为正，偶数项符号为负， 由此可知，第2021个数字为2021． 故选A． 【点睛】本题属于数字规律题，找出所给数据的书写规律是解题的关键． 2．有一数列，前五个数依次为、、、、，…，则这个数列的第n项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式相关规律的探索．观察数列的分子、分母和符号规律，分子为n，分母为，符号规律：n为奇数时为正，n为偶数时为负，用 表示符号． 【详解】解：∵ 数列前五项：，，，， ， ∴分子为n，分母为，符号规律：n为奇数时为正，n为偶数时为负， ∵，当n为奇数时，为偶数，； 当n为偶数时，为奇数，， ∴ 第n项为， 故选：D． 3．观察下列一组代数式：，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为____________． 【答案】 【分析】观察代数式可得分子的规律是，分母的规律是，正负交替出现的规律为，由此即可得出结果． 【详解】解：分子的规律是，分母的规律是，正负交替出现的规律为． ∴可表示为． 4．观察下列各数：，1，，，⋯，按此规律，第12个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据前4个数的数字变化特点得出规律，再根据规律解答． 【详解】解：第1个数为：； 第2个数为：； 第3个数为：； 第4个数为：； …； 第n个数是， 第12个数是． 5. 按一定规律排列的一组数据：，则按此规律排列的第个数是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了探究数字的规律问题，确定分子和分母变化的规律是解题的关键．通过观察：从符号看，正负相隔，奇数项为正数，偶数项为负数，从绝对值看，它们的分子是连续的正整数的平方，分母是连续的奇数．据此求解即可． 【详解】解：∵、、、、、 ∴按此规律排列的第个数是， 故答案为：． 6．观察下面三行数： ，4，，16，，64，……① 1，7，－5，19，，67，……② ，2，，8，，32，……③ (1)第①行的第8个数是__________． (2)第②行的第8个数是__________第③行的第n个数是_________． (3)取每行中的第9个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)256 (2)259， (3) 【分析】本题主要考查了用代数式表示数字变化规律， （1）根据数字变化特点可知第①行的数是的序号数次方，解答即可； （2）第②行的数比第①行的数大3，可得答案，第③行的数的序号数次方，再乘以2的序号数少1次方，可得答案； （3）分别根据数字变化规律得出第9个数，再求出和． 【详解】（1）解：第①行的数是； 故答案为：256； （2）解：第②行的数是； ． 故答案为：259, ； （3）解：第①行中的第9个数是，第②行中的第9个数是，第③行中的第9个数是， 所以． 题型四：算式中的规律 1．观察下列等式：．．．根据规律，第n个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．观察已知等式，左边均为连续奇数的和，右边为平方数，且平方数的底数等于左边奇数的个数．因此第n个等式对应n个奇数的和，等于． 【详解】解：观察给定等式： 可以发现规律：前个奇数的和等于， 前个奇数的序列为：， ∴第个等式为： 故选：A． 2．观察下面的式子的排列规律，写出它后面的式子： ， ， ， ______． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类，有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点（原式等于左边第一个数的平方乘以左边第二个数且分母是左边第一个数的平方减），从而写出后面的式子． 【详解】解：总结规律可得它后面的式子是：． 故答案为：． 3．观察下列等式： 第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：； …… 按照以上规律，第n个等式为________． 【答案】 【解析】略 4．观察下列等式，回答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … (1)按以上规律写出第6个等式： ； (2)若是正整数，请用含的代数式表示第个等式： ； (3)求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查用代数式表示运算规律，涉及有理数的混合运算，关键是观察等式中分母的变化规律并概括． （1）通过观察前4个等式，找到第个等式分母的两个数为和，代入即可写出第6个等式； （2）根据前几个等式的共性，用含的代数式表示出第个等式的分母及裂项形式； （3）利用裂项相消法，将每一项展开后，中间的项相互抵消，最后计算剩余的部分即可求出总和． 【详解】（1）解：观察等式可知，第个等式的分母为两个连续奇数的乘积，即，当时，，， ； （2）解：由前个等式的规律可得，第个等式的分母为， ； （3）解： ． 5．观察下列各式的计算结果： ； ； ； ； … （1）用你发现的规律填写下列式子的结果：_____×_____． （2）用你发现的规律计算： _____． 【答案】 【分析】（1）根据所给的等式直接写出即可； （2）通过观察可将所求的式子变形为，再运算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：，； （2） ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，读懂题意，根据题意进行准确变形是解本题的关键． 6. 观察下列算式，用你发现的规律解决下列问题： ， ， ， ， … (1)请另外写出一个符合上述规律的算式． (2)设算式中第一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，请用含a和b的式子表示你所发现的规律． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【解析】略 题型五：循环周期中的规律 1．观察等式：，，，，，，，…．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是_____． 【答案】6 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数字每4个数为一个循环，其个位数字依次为2，4，8，6，再根据即可得到答案． 【详解】解：，，，，，，，…， 以此类推可得，这一列数字每4个数为一个循环，其个位数字依次为2，4，8，6， ∵， ∴的个位数字是6， 故答案为：6． 2. 如下为年月份的日历，请推算2026年国庆节是星期_______ 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 【答案】星期四 【分析】由日历表可知6月30日是星期二，国庆节距离6月30日93天，星期是每七天一个周期，93天里有13个周期余两天，所以10月1日是周四。 故答案为：四． 3. 计算：1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8……+(-994)+(-995)+996+997=____________ 【答案】997 【分析】由题意可以看出四个数相加为一个周期，每个周期的和为0，所以到996为止，前面224个周期，和为0，所以加上997后和为997. 4．在小学阶段，我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数，，，，…，以及负奇数，，，，…．图中是我们将这些负偶数与负奇数按如图所示排列，观察它们的规律，发现在第 _____列． 【答案】四 【分析】根据所给的排列规律，利用列表法，重新排列发现规律，据此可解决问题． 本题考查实数的排列规律，能发现每8个数一循环且每行4个数字是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 发现规律是：每8个数字一个循环，余数为1，在第二列；余数为2，在第三列；余数为3，在第四列；余数为4，在第五列；余数为5，在第四列；余数为6，在第三列；余数为7，在第二列；余数为0，在第一列； 又． 故在第四列． 故答案为：四． 5．将一列有理数按如图所示的方式有序排列，4所在位置为峰1，-9所在位置为峰2，…… (1)处在峰5位置的有理数是______； (2)第2024个数排在对应中的哪个位置？ 【答案】(1)24 (2)第2024个数排在对应的位置 【分析】（1）（2）观察题中数列的规律：奇数前面是负号，偶数前面是正号；每10个数为一个周期，C的位置为10n+4，且为单峰；H的位置为10n+9，且为双峰。 【详解】（1）解：处在峰位置的有理数是第 三个周期第四个数，所以为是24； （2）解：∵， 所以第2024个数排在对应的位置． 6．小时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2024时对应的指头是（   ） A．无名指 B．食指 C．中指 D．大拇指 【答案】B 【分析】本题考查了根据数列之间数的特征，确定数的位置，解题的关键是认真观察数与数字之间的关系．并把这种关系用代数式表示出来． 【详解】解：由题图可得，每8个数为一个周期，大拇指对应的数是8n+1，食指8n+2和8n，中指对应的数是8n+3和8n+7，……， ∵ 所以2024对应的手指为：食指， 故选：B． 题型六：数阵中的规律 1．如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6……第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（   ） A．36 B．96 C．226 D．426 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给排列方式，发现从第三行起，第n行的左起的第3个数可表示为：（n为大于等于2的整数）是解题的关键． 根据所给排列方式，发现每行最后一个数可表示为两个连续整数的积，据此发现第三行开始的每行左起第3个数的规律即可解答． 【详解】解：由题知，， 所以第n行的最后一个数可表示为， 则从第三行起，第n行的左起的第3个数可表示为：（n为大于等于2的整数）． 因为，故A选项不符合题意； 因为，故B选项不符合题意； 因为且，故C选项符合题意； 因为，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，将一列数按数表中的规律排列，则第n行最中间的数可以表示为___________．（用含n的代数式表示）    【答案】 【分析】观察最中间的数为正数，第行有个数；第行有个数；第行有个数；第行有个数所以第行就有个数；再者第行最后一个数为；第行最后一个数为，；第行第一个数为，所以当为偶数时，第行最后一个数为，当为奇数时，第一个数为；由此可推的第行最中间的数就是第行最后一个数或第一个数减去即可． 【详解】解：如图可得： 第一行有个数； 第二行有个数； 第三行有个数； 第行有个数； 第一行的数为； 第二行最后一个数为； 第三行第一个数为； 当为偶数时，第行最后一个数为，当为奇数时，第一个数为；由此可得：第行最中间的数就是第行最后一个（或第一个）数减去， 即：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的变化规律：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或规律变化的因素，然后推广到一般情况． 3．探索规律与代数推理：观察下面的数阵，完成下列问题． 第1行：1 第2行：        3         第3行：5                7                9 第4行：        11                13               15         …… (1)第n行有 个数，第n行最右边的数为 （用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算第5行所有数的和； (3)若某一行最右边的数为2025，求该行所有数的和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了用代数式表示数的规律，观察数阵，推断出规律是解题的关键． （1）观察数阵，由此推断规律即可； （2）先将第5行所有数列出，再求其和即可； （3）由（1）可知，2025位于第45行，该行共有89个数，前88个数分成44组，且每组的和为，由此求解即可． 【详解】（1）解：观察数阵可知：第1行有（个）数， 第2行有（个）数， 第3行有（个）数， 第4行有（个）数， 则第n行有个数； 第2行最右边的数为， 第3行最右边的数为， 第4行最右边的数为， 则第n行最右边的数为， 故答案为：，； （2）第5行的9个数为：17，，19，，21，，23，，25， 它们的和为； （3）由（1）可知，2025位于第45行，该行共有89个数， 前88个数分成44组，每组的和为， 所以该行所有数的和为． 4. 如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，……，则的值为（　　） A．1275 B．1326 C．1378 D．1431 【答案】B 【分析】由题将已知数列分为两个新数列，找出两个新数列的变化规律即可计算． 【详解】∵，，，， ∴是新数列第50项， ∵，，，， ∴是新数列第50项，， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了根据图形数字变化找规律；能将已知数列分成两个新数列寻找规律是解题的关键． 题型七：幻方中的规律 1．三阶幻方的历史可以追溯到大禹治水时期，洛书上的神秘图案就是其早期形式．它不仅是数学和哲学研究的重要对象，还体现了中国传统文化中的“尚和”、“取中”理念．它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”．下左图就是“和幻方”，右图为“积幻方”，则________． 【答案】8 【分析】本题主要考查有理数的乘方及代数式的值，解题的关键是理解“积幻方”的意义；由题意得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ∴， ∴； 故答案为：8． 2．三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．图1所示的是“和幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等．    （1）=__________，=__________． （2）如图2是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中字母表示的数是_________； （3）图3所示是“积幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个数字之积均相等，则_________． 【答案】 7 【分析】（1）本题考查列代数计算，根据题意由“和幻方”直接列式求解即可得到答案；（2）本题考查列代数计算，根据题意由“和幻方”直接列式求解即可得到答案；（3）本题考查列代数计算，根据题意由“积幻方”直接列式求解即可得到答案； 【详解】解：（1）由题意可得， ， ∴，， 故答空1答案为，答空2答案为； （2）由题意可得， ， 解得：，    ∴， 解得：，， ∴， 解得：， 故答空3答案为：7； （3）由题意可得， ， 解得：，， ∴， 故答空4答案为：． 3．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，除了教材介绍的常规幻方，还有变形幻方，下面介绍一个．现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有类似的“幻方”如图2所示，其中有两个数和2，则的值是（）    A． B． C．8 D．16 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数加法的运算方法，以及幻方的特征和应用，要熟练掌握． 根据：每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，可得：，据此分别求出的值各是多少，即可求出的值是多少． 【详解】解：根据题意，可得： ， 故选：B． 4．我国古代的“洛书”被认为是世界上最早的幻方（三阶幻方），它将填入的方格中，使得每行、每列及对角线上的数字和均相等，这种“数字均衡”的思想也延伸出许多趣味填数问题．现有一个仿幻方结构的填数图如图所示，将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则该填数图余下的空位一共有（    ）种填法． A．4 B．8 C．12 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律题，熟练找准规律是解题的关键． 根据每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，可以得到、、的关系，观察发现，小正方形的顶点数字和与左上斜线的数字和之间的关系，进而分情况讨论求解即可． 【详解】解：假设填数图中右上角为、左下角为、中间右下角为， 每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，设为， 则， 即， 根据得：， 所有数的总和为： ， 则， 即 因此； 由题意可知，、、、为2、、6、中的数， 由可得， 当时，，符合题意， 则此时有种情况， 当时，，符合题意， 则此时有种情况， 综上，该填数图余下的空位一共有种填法． 故选：B． 5．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将，，0，1，4这五个数字填入表格（数字不重复使用），补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“〇”中的数的和都相等．则　　　　（注：） 【答案】(1) 补充完整的三阶幻方如图所示： (2) 补充完整的新的三阶幻方如图所示： (3)或11 【分析】本题考查了有理数的加减法，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）由题意求出每行、列和对角线上的数字之和，然后依次求出三阶幻方内的其他数字即可； （2）由题意求出新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和，然后依次求出三阶幻方内的其他数字即可； （3）根据题意求出每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和，再求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意可知：每行、列和对角线上的数字之和都相等， 和对角线上的数字之和， 第三行第三列上的数字为， 第一行第二列上的数字为， 第一行第一列上的数字为， 第二行第一列上的数字为， 第二行第三列上的数字为， （2）解：根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：， 第一行第一列上的数字为， 第二行第二列上的数字为， 第二行第三列上的数字为， 第三行第一列上的数字为， 第三行第三列上的数字为 （3）解：根据题意得：每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和为： ， ，，， 解得：，，或， 或11． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02 有理数中的规律问题 参考答案 题型一：等差数列 1.【答案】(1)5,25 (2)an=41+(n-1)d (3)是，是第2025项 【详解】(1)解：等差数列5,10,15，…的公差d为5，第4项是为20，第5项为25： 故答案为：5,25： (2)解：0=a+d, a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d, a4=a3+d=(a1+2d)+d=a+3d, ..a=a+(n-1)d; 故答案为a,=a+(n-1)d: (3)解：是. 理由如下：等差数列-5，-7，-9…的通项公式：0。=-5+(n-1)×(-2), 当an=-4053时，-5+(n-1)×(-2)=-4053, 解得n=2025, 即-4053是等差数列-5，-7，-9…的第2025项。 2. 【答案】3n-1 【详解】解：2=3×1-1：5=3×2-1：8=3×3-1,11=3×4-1：14=3×5-1，… ,第n个数为3n-1: n(n+1) 3. 2 4.15 5.21 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二：等比数列 1. 112025-11 【答案】(1)3,243；(2)g-1:(3) 10 【详解】解：(1)等比数列3,9,27…的公比9为3， 第四项为27×3=81，第五项为81×3=243， 故答案为：3,243： (2)a2=a9,43=a9=a99=a9,a4=49=a92=a9, .d=a'g, 故答案为：49： (3)设S=11+112+113++11204①， 则11S=112+1P+.+112025②， ②-①得11S-S=10S=11225-11, S=1+1P+13+.+114_1125- 10 2.B. 1 3.256 4.C 5.3. 6.D 7.观察下列数列，用含n的式子表示第n个数： (1)2,5,8,11,14,. (2)1,37,15,31,… 【答案】(1)3n-1 (2)2”-1 【详解】(1)解：2=3×1-1,5=3×2-1：8=3×3-1；11=3×4-1：14=3×5-1，… ∴.第n个数为3n-1; (2)解：1=2-1；3=22-1：7=23-1：15=2-1：31=2-1，… 218 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴第n个数为2”-1 8.【答案】(1)-135 5 (220’2 【分析】(1)求出等比数列的公比即可求解： (2)求出等比数列的公比即可求解： 【详解】(1)解：：-15÷5=-3,45÷(-15)=-3， ∴等比数列的公比为-3， ·第4项是45×(-3)=-135 故答案为：-135： (2)解：等比数列的第2项是10，第3项是5， “等比数列的公比为5÷10= -2 六第1项为10*2=20，第4项为5x)- 1 22 题型三：符号交替型的数列 1.A 2.D 3. 4.A 5” 2n+1 6.【答案】(1)256 (2)259,(-1)”×2- 3)-1277 【详解】(1)解：第①行的数是 （-2)=-2,(-2)2=4,(-2)3=-8,(-2)4=16,(-2)°=-32，(-2)°=64，(-2)7=-128，(-2)8=256： 故答案为：256： (2)解：第②行的数是(-2)八+3=1，(-2)2+3=7，(-2)°+3=-5，(-2)+3=19，(-25+3=-29， 318 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (-2)+3=67,(-2)7+3=-125,(-2)3+3=259: (-1)×2°=-1，(-1×2=2，(-1°×22=4，(-1)×23=8，(-1)°×24=-16.(-1)°×2-. 故答案为：259，（-1)”×2： (3)解：第①行中的第9个数是(-2)'=-512，第②行中的第9个数是(-2)°+3=-509，第③行中的第9 个数是(-1)°×2-256， 所以-512+(-509)+(-256)=-1277 题型四：算式中的规律 1.A 2. 【答案】5+-5”× 24 24 5 详解】解：总结规律可得它后面的式子是：5+4三5× 24 5 5 故答案为：5+ =52× 24 24 3.【答案】m2(n+1)-(n+1)=(n+1)2(n-1) 4【路1品 11 1 2)(2n-1)(2n+1)2(2n-12n+1: 2025 314051 【详解】(1)解：观察等式可知，第k个等式的分母为两个连续奇数的乘积，即(2k-(2k+),当k=6 时，2k-1=11,2k+1=13, 1111 .4。=1x132(i13月 (2)解：由前n个等式的规律可得，第n个等式的分母为(2n-l)(2n+l), 1.11 a,=(2n-1(2n+02*2m-12n+1 -X 418 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 111 1 (3)解：1×33x55 7+.+4049×4051 -传引… 11 40494057 1 40494051 14051-1 24051 14050 =2X4051 2025 4051· 9 11 1011 5.【答案】 10 10 2021 1021-1 (1)1- 99_911 【详解】解： 1001001010 911 故答案为：10,10 2)0-2x1- 3)x0-1 13243520192021.20202022 223344 2020202020212021 1、2022 =22021 1011 2021 6.【答案】(1)23×10-(2+3)=9×25（答案不唯一） (2)10a+b)10-(a+b)=9(11a+b) 题型五：循环周期中的规律 1.6 2.星期四 3.997 4.四 518 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.【答案】(1)24 (2)第2024个数排在对应C的位置 【详解】(1)解：处在峰5位置的有理数是第三个周期第四个数，所以为是24： (2)解：2024÷10=2024. 所以第2024个数排在对应C的位置. 6.B. 题型六：数阵中的规律 1.C 2.n2-n+1 3.【答案】((2n-1),(-1)n2 (2)21 (3)1981 【详解】(1)解：观察数阵可知：第1行有2×1-1=1（个）数， 第2行有2×2-1=3（个）数， 第3行有2×3-1=5（个）数， 第4行有2×4-1=7（个）数， 则第n行有(2n-)个数： 第2行最右边的数为(-1)×2=-4。 第3行最右边的数为(-1)×32=9， 第4行最右边的数为(-1)×42=-16， 则第n行最右边的数为(1)n2, 故答案为：(2n-),（-1)n2: (2)第5行的9个数为：17，-18,19，-20,21，-22,23，-24,25， 它们的和为(17-18)+(19-20)+(21-22)+(23-24)+25=(-1)×4+25=21： (3)由(1)可知，2025位于第45行，该行共有89个数， 618 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 前88个数分成44组，每组的和为-1， 所以该行所有数的和为44×(-1)+2025=1981 4.B 题型七：幻方中的规律 1.8 【分析】本题主要考查有理数的乘方及代数式的值，解题的关键是理解“积幻方”的意义：由题意得 6×1×4.5=6×1.5n=4.5mn,然后进行求解即可. 【详解】解：由题意得： 6×1×4.5=6×1.5n=4.5mn, n=3,m=2, .m”=23=8: 故答案为：8. 2.【答案】 7 16 12 -6 9 【分析】(1)本题考查列代数计算，根据题意由“和幻方”直接列式求解即可得到答案：(2)本题考查 列代数计算，根据题意由“和幻方”直接列式求解即可得到答案；(3)本题考查列代数计算，根据题意 由“积幻方”直接列式求解即可得到答案； 【详解】解：(1)由题意可得， 8+3+(-2)=8+7+b=b+3+a. ∴b=-6,a=12, 故答空1答案为12，答空2答案为6： (2)由题意可得， 5+p+m=3+8+m, 解得：p=6 5 3 p m 5+6+m=x+6+8=3+6+y, 解得：x=m-3,y=m+2」 718 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.5+x+y=5+m-3+m+2=3+8+m」 解得：m=7, 故答空3答案为：7： (3)由题意可得， 3x(x2=-3mm=2x2n 4 解得：m=- 3’n=2: 3 99 16 故答空4答案为：9· 3.B. 4.B. 5. 【答案】(1) 补充完整的三阶幻方如图所示： 3 5 7 6 (2) 补充完整的新的三阶幻方如图所示： 2 3 2 5 -3 0 (3)-10或11 818 专题02 有理数中的规律问题 题型一 等差数列中的规律 题型二 等比数列中的规律 题型三 符号交替型数列中的规律 题型四 算式中的规律 题型五 循环周期中的规律 题型六 数阵中的规律 题型七 幻方中的规律 题型一：等差数列 1．阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，排在第位的数称为第项，记为．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示．如：数列为等差数列，其中，，公差为．根据以上材料，解答下列问题： (1)等差数列5，10，15…的公差为_____，第5项是_____． (2)如果一个数列，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到：，，…由此，请你填空完成等差数列的通项公式：________． (3)是不是等差数列的项？如果是，是第几项？ 2．观察下列数列，用含的式子表示第个数： 3．观察下列数列：，第个数是_____ 4．摆一摆，找规律 摆第7个图形需要用_____根小棒． 5．我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如，，，，，就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如，，，，就是一个等差数列，它的公差为．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列，，，，，，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是，，，，，这是一个公差为的等差数列，所以，数列，，，，，是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列，，，，的第五个数应是______． 题型二：等比数列 1.【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 2．1，2，4，8，16，…，是按一定规律排列的一组数，则第2017个数是（　　） A． B． C． D．4032 3．找规律：，，，，…，第8个数是_____． 4.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列．下列数列属于等比数列的是（    ） A．1，2，3，4，5        B．2，6，18，21，63 C．56，28，14，7，         D．－11，22，－33，44，－55 5.像1，2，4，8，16…这样的一串数，从第二个数开始，每个数和前一个数的比值为一个定值，叫做等比数列，在一个等比数列中，第一个数为2，第三个数为，则第二个数为____. 6．观察下列各数：3，8，18，38，…．按此规律，第5~7个数可能为（    ） A．48，58，68 B．58，78，98 C．76，156，316 D．78，158，318 7. 观察下列数列，用含的式子表示第个数： (1) (2) 8. 阅读并解决问题． 观察下列数：我们发现，这列数从第项起，每一项与它前一项的比值都是．我们把这样的一列数称为等比数列，这个共同的比值称为等比数列的公比． (1)等比数列，，，的第项是________； (2)一个等比数列的第项是，第项是，求它的第项和第项； 题型三：符号交替型的数列 1．一列数据按1，，3，，5，……的规律书写，则第2021个数字为（    ） A．2021 B． C．2022 D． 2．有一数列，前五个数依次为、、、、，…，则这个数列的第n项是（   ） A． B． C． D． 3．观察下列一组代数式：，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为____________． 4．观察下列各数：，1，，，⋯，按此规律，第12个数为（   ） A． B． C． D． 5. 按一定规律排列的一组数据：，则按此规律排列的第个数是___________． 6．观察下面三行数： ，4，，16，，64，……① 1，7，－5，19，，67，……② ，2，，8，，32，……③ (1)第①行的第8个数是__________． (2)第②行的第8个数是__________第③行的第n个数是_________． (3)取每行中的第9个数，计算这三个数的和． 题型四：算式中的规律 1．观察下列等式：．．．根据规律，第n个等式为（    ） A． B． C． D． 2．观察下面的式子的排列规律，写出它后面的式子： ， ， ， ______． 3．观察下列等式： 第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个：； …… 按照以上规律，第n个等式为________． 4．观察下列等式，回答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … (1)按以上规律写出第6个等式： ； (2)若是正整数，请用含的代数式表示第个等式： ； (3)求的值． 5．观察下列各式的计算结果： ； ； ； ； … （1）用你发现的规律填写下列式子的结果：_____×_____． （2）用你发现的规律计算： _____． 6. 观察下列算式，用你发现的规律解决下列问题： ， ， ， ， … (1)请另外写出一个符合上述规律的算式． (2)设算式中第一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，请用含a和b的式子表示你所发现的规律． 题型五：循环周期中的规律 1．观察等式：，，，，，，，…．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是_____． 2. 如下为年月份的日历，请推算2026年国庆节是星期_______ 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3. 计算：1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8……+(-994)+(-995)+996+997=____________ 4．在小学阶段，我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数，，，，…，以及负奇数，，，，…．图中是我们将这些负偶数与负奇数按如图所示排列，观察它们的规律，发现在第 _____列． 5．将一列有理数按如图所示的方式有序排列，4所在位置为峰1，-9所在位置为峰2，…… (1)处在峰5位置的有理数是______； (2)第2024个数排在对应中的哪个位置？ 6．小时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2024时对应的指头是（   ） A．无名指 B．食指 C．中指 D．大拇指 题型六：数阵中的规律 1．如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6……第n行有n个数……．探究其中规律，你认为第n行从左至右第3个数不可能是（   ） A．36 B．96 C．226 D．426 2．如图，将一列数按数表中的规律排列，则第n行最中间的数可以表示为___________．（用含n的代数式表示）    3．探索规律与代数推理：观察下面的数阵，完成下列问题． 第1行：1 第2行：        3         第3行：5                7                9 第4行：        11                13               15         …… (1)第n行有 个数，第n行最右边的数为 （用含n的式子表示，n为正整数）； (2)计算第5行所有数的和； (3)若某一行最右边的数为2025，求该行所有数的和． 4. 如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，……，则的值为（　　） A．1275 B．1326 C．1378 D．1431 题型七：幻方中的规律 1．三阶幻方的历史可以追溯到大禹治水时期，洛书上的神秘图案就是其早期形式．它不仅是数学和哲学研究的重要对象，还体现了中国传统文化中的“尚和”、“取中”理念．它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”．下左图就是“和幻方”，右图为“积幻方”，则________． 2．三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．图1所示的是“和幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个数字之和均相等．    （1）=__________，=__________． （2）如图2是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中字母表示的数是_________； （3）图3所示是“积幻方”，其每行、每列、每条对角线上的三个数字之积均相等，则_________． 3．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，除了教材介绍的常规幻方，还有变形幻方，下面介绍一个．现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有类似的“幻方”如图2所示，其中有两个数和2，则的值是（）    A． B． C．8 D．16 4．我国古代的“洛书”被认为是世界上最早的幻方（三阶幻方），它将填入的方格中，使得每行、每列及对角线上的数字和均相等，这种“数字均衡”的思想也延伸出许多趣味填数问题．现有一个仿幻方结构的填数图如图所示，将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则该填数图余下的空位一共有（    ）种填法． A．4 B．8 C．12 D．以上都不正确 5．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将，，0，1，4这五个数字填入表格（数字不重复使用），补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“〇”中的数的和都相等．则　　　　（注：） 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $