专题1.1 有理数的引入（2）（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制六年级上册

本讲义聚焦有理数引入的核心知识点，以数轴为基础支架，系统梳理其三大要素及有理数表示方法，进而衔接相反数的代数与几何意义，深化绝对值的几何意义、代数意义及非负性，最终落实有理数大小比较的数轴法与绝对值法，各知识点均配套即学即练形成完整学习链。 该资料通过题型分类（如数轴表示、相反数意义等8类题型）和典例变式设计，强化数形结合，培养学生抽象能力（符号意识）、几何直观（数轴应用）与推理意识（绝对值非负性）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过练习巩固知识，有效查漏补缺。

专题1.1 有理数的引入（2） 教学目标 1. 理解数轴的定义、三大要素，能将有理数准确表示在数轴上，也能读出数轴上任意已知点所对应的有理数。 2. 理解相反数的概念，掌握互为相反数的两个数的代数特征（只有符号不同，绝对值相等），明确0的相反数是0这一特殊结论。 3. 理解绝对值的几何意义、代数意义，会求任意有理数的绝对值，知道绝对值非负（|a|≥0），且互为相反数的两数绝对值相等。 4. 熟练运用有理数大小比较法则。 教学重难点 1.重点 数轴的三要素，相反数的意义，绝对值的意义，有理数的大小比较。 2.难点 多重符号的化简，理解绝对值的几何意义，绝对值的非负性。 知识点01 数轴 1. 数轴的三要数 （1）原点 （2）单位长度 （3）正方向 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. 2. 用数轴上的点表示有理数 （1）任何一个有理数都可以用数轴上点来表示。 正有理数可用原点右边的点表示,负有理数用原点左边的点表示,0用原点表示，0是正数和负数是分界点. （2）数轴上右边的数总大于左边的数。 【即学即练】 1. 下列图形是四个同学画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、没表示正方向，不正确； B、单位长度不一致，不正确 C、原点、单位长度、正方向都正确； D、数轴上的点不是按照从小到大的顺序排列，不正确． 故选：C． 2. 在下面数轴上，A、B、C、D、E各点分别表示什么数？ 【详解】解：A、B、C、D、E各点分别表示，，0，0.5，3． 知识点02 相反数 1. 相反数的代数意义 只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 2. 相反数的几何意义 数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点两侧，并且到原点距离相等。 3. 易错提醒 （1）带“-”的数不一定表示负数，如“”表示a的相反数； 带“+”的数不一定表示正数，如“”表示a的本身； （2）“”表示（）的相反数等于，所以=； “”表示（）的相反数等于，所以=； “”表示（）的本身等于，所以=； “”表示（）的本身等于，所以=； 【即学即练】 1. 分别写出下列各数的相反数：． 【详解】解：的相反数分别是，0，． 知识点03 绝对值 1. 绝对值的几何意义 我们把一个数a在数轴上对应的的点到原点之间的距离叫作数a的绝对值。 的绝对值表示为 2. 绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零. 3.绝对值的非负性 （1）； （2）若+=0，则a=b=0. 4.绝对值方程 若，则 5 两点之间的距离 （1）=几何意义：在数轴上表示数a的点与原点之间的距离； （2）的几何意义:在数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离； 【即学即练】 1. 分别写出的相反数和绝对值． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是； 的相反数是，的绝对值是； 的相反数是，的绝对值是． 2. 有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简：______；______； 【详解】∵a<0 ∴; ∵b>0 ∴ 知识点04 有理数的大小比较 1. 利用数轴比较有理数的大小 每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示. （1） 比较规律 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）比较法则 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 2. 利用绝对值比较有理数的大小 1. 两个正数 两个正数比较大小，绝对值大的数大； 2. 两个负数 两个负数比较大小，绝对值大的反而小； 3. 两个负数大小比较的步骤： （1）求两个数的绝对值； （2）比较绝对值的大小； （3）判定原数的大小. 【即学即练】 1. 把数表示在数轴上，并用“”把这些数连接起来． 【详解】解：数轴上表示如图， ∴ 2. 比较下列数的大小． (1)和； (2)和； (3)和． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，，， ； （3）解：，， ． 题型01 用数轴上的点表示有理数 【典例1】如图所示的图形为四名同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：、没有正方向，不符合题意； 、符合数轴定义，符合题意； 、单位长度不统一，不符合题意； 、负方向数值错误，不符合题意； 故选：． 【典例2】在下面数轴上，A、B、C、D、E各点分别表示什么数？ 【详解】解：A、B、C、D、E各点分别表示，，0，0.5，3． 【典例3】已知下列有理数：，，，，． (1)在给定的数轴上表示这些数． (2)这些数中是否存在两个数到原点的距离相同？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数． 【详解】（1）解：，数轴表示如下： （2）解：存在，和到原点的距离相同，这两个数之间所有的整数有：，，． 【变式1】下列图形是四个同学画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A、没表示正方向，不正确； B、单位长度不一致，不正确 C、原点、单位长度、正方向都正确； D、数轴上的点不是按照从小到大的顺序排列，不正确． 故选：C． 【变式2】在下面的数轴中，表示和的点依次是（   ） A．①④ B．②④ C．③④ D．③⑤ 【详解】解：由数轴上0与3可知，⑤表示2，④表示，③表示，②表示，①表示，所以表示和的点依次是③④， 故选：C． 【变式3】在数轴上表示下列各数：，，，，，，． 【详解】解：画出数轴并在数轴上表示出各数如图所示： 【变式4】在数轴上表示出下列各点． A．        B．        C．       D． （）点和点之间相差___________个单位长度． 【详解】解：（）如图所示 （）由图可得：点和点之间相差个单位长度． 题型02 相反数的意义 【典例1】分别写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出各数及它们的相反数． 1.5，0，，1， 【详解】解：的相反数是， 0的相反数是0， 的相反数是， 1的相反数是， 的相反数是． 在数轴上表示如图 【变式1】下列关于0的说法正确的是（    ） A．0是最小的正整数 B．0没有相反数 C．0既不是正数，也不是负数 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的分类，相反数的定义．根据有理数的分类，相反数的定义对各选项依次判断即可解答． 【详解】解：A、最小的正整数是1，原说法错误，该选项不符合题意； B、0的相反数是0，原说法错误，该选项不符合题意； C、0既不是正数，也不是负数，原说法正确，该选项符合题意； D、当时，，原说法错误，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此作答即可． 【详解】∵相反数的定义：数的相反数为， ∴的相反数为， 故选：A． 【变式3】写出下列各数的相反数：16，，0，，m，． 【详解】解：16的相反数为，的相反数为3，0的相反数为0，的相反数为，m的相反数为，的相反数为n． 【变式4】已知a、b在数轴上的位置如图，在数轴上标出a的相反数，b的相反数的位置． 【详解】解：如图所示． 题型03 绝对值的意义 【典例1】 在数轴上画出表示下列各数的点，并求出它们的绝对值． ，，0，，． 【详解】解：各数在数轴上表示如图． ，，，，． 【变式1】________． 【详解】解． 【变式2】 的绝对值是___． 【详解】解：． 【变式3】绝对值等于6的数是（     ） A．6 B． C． D． 【详解】设绝对值等于6的数为x， 根据绝对值的定义可得：， ∵绝对值等于正数的数有两个，且两个数互为相反数， ∴． 故选：． 【变式4】请写出下列各数： (1)一个正数，它的绝对值等于7.2． (2)一个负数，它的绝对值等于24． (3)绝对值等于的数． 【详解】（1）解：，是正数， ． （2），是负数， ． （3）， ． 题型04 化简多重符号 【典例1】化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【详解】（1）， 所以与互为相反数； （2），， 所以与互为相反数； （3），， 所以与相等； （4），， 所以与相等． 【典例2】有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简：______；______； 【详解】∵a<0 ∴; ∵b>0 ∴ 【变式1】．_______ 【详解】解：∵ ∴ 【变式2】化简下列各式： (1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式3】化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式4】下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 _________（填序号）． 【详解】解：①和互为相反数； ②，，和互为相反数，和互为相反数； ③，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ④，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ⑤，和互为相反数，和互为相反数； ⑥，和互为相反数，和互为相反数． 互为相反数的是①②⑤⑥． 故答案为：①②⑤⑥． 题型05 简单的绝对值方程 【典例1】．若，则______________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义，绝对值为正数的数有两个，且互为相反数，据此列出两个一元一次方程，分别求解即可得到的值． 【详解】解： ∴或 解得： 解得： ∴或． 【典例2】．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】利用绝对值的性质：若（），则，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：对于方程， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． （2）解：对于方程， 两边同乘，得， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． 【变式1】若，则______． 【答案】1或 【分析】根据绝对值的性质，绝对值等于的数为和，将原绝对值方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解： 或 当时，解得 当时，解得 【变式2】已知，求x的取值范围． 【答案】 【分析】根据绝对值的化简法则得出，然后解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 【变式3】解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次方程，绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质． 将原方程变形为，再根据绝对值的性质得到或，再解一元一次方程即可． 【详解】解： ∴ ∴或 解得：或 【变式4】 用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，（为常数），已知． (1)求的值： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，解题的关键是准确利用新运算的定义列式和列方程准确计算． （1）根据新运算定义列式计算求解； （2）根据新运算定义先求得，再将值代入到方程中，求解即可． 【详解】（1）解：， ，即， ． （2）解：由（1）可知，， ， 将代入得： ，即， ． 题型06 绝对值的非负性 【典例1】． ⑴若|x|+|y|=0，则x=______，y=_______. ⑵若|a-6|+|b|=0，则a=_____，b=_____. 【详解】（1）∵|x|，|y| 又∵|x|+|y|=0， ∴|x|=0，|y|=0， ∴x=y=0. （2）∵|a-6|，|b| 又∵|a-6|+|b|=0， ∴|a-6|=0，|b|=0， ∴a-6=0，b=0 ∴a=6,b=0 【典例2】．已知，，，则的值等于____________． 【答案】8或 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴当时，，，两种情况均不符合条件，舍去， ∴， ①当，时，满足， ； ②当，时，满足， ； 综上所述，的值为或． 【变式1】若a为有理数，则下列式子结果为正数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负性判断各选项式子的取值范围，即可选出结果一定为正数的选项． 【详解】∵对任意有理数，都有，， A选项，当时，，0不是正数，A选项不符合题意； B选项，当时，，0不是正数，B选项不符合题意； C选项，∵，∴，无论取任何有理数，结果都是正数，C选项符合题意； D选项，当时，，结果为负数，D选项不符合题意． 【变式2】判断对错 （1）一定是非负数； （2）一定是非负数 ； （3）若，则； （4）若，则. 【详解】（1）∵一定是非负数∴一定是非正数，所以（1）“错误”； （2）∵一定是非负数，所以（2）“正确”； （3）∵，则或m=，所以（3）“错误”； （4）∵m=，∴m、n互为相反数，∴，所以（4）“正确”； 【变式3】代数式|a-3|的最小值是 _____|a|+3的最小值是 _____ 【详解】（1）∵|a-3|是个非负数，∴当a=3时，|a-3|的最小值是0； （2）∵一定是非负数，所以当a=0时，|a|+3的最小值是3； 【变式4】若，则______． 【答案】7 【分析】根据绝对值和平方的非负性，得到，，解方程求出，的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：， 又，， ，， 解得，， ． 【变式5】回答下列问题 (1)若，求的值 (2)若，则 ． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ， 解之得， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ， ． 题型07 数轴上两点间的距离 【典例1】．如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为________． 【详解】解：已知点表示的数为，点表示的数为， 则． 故答案为：． 【典例2】．在教材中，我们曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记做；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记做，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，那么A，B两点间的距离就可记做． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和4的两点之间的距离可记做______，数轴上表示1和的两点之间的距离可记做______； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记做______；如果这两点之间的距离为2，那么x为______； (3)表示____________________________________，结果等于_____ 【详解】（1）解：数轴上表示2和4的两点之间的距离可记做 或，数轴上表示1和的两点之间的距离可记做； 故答案为：；； （2）解：数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记做； ∵这两点之间的距离为2， ∴， ∴或， 故答案为：；1或； （3）解：表示在数轴上表示-2的点与表3的点之间的距离，结果等于5. 【变式1】在数轴上与距离等于6个单位长度的点表示的数是__________． 解：或， ∴与这个点的距离等于6个单位长度的点所表示的数为3或， 故答案为：3或． 【变式2】数轴上的点、点所对应的数分别是和4，数轴上另有一点，且点到点的距离等于点到点的距离的一半，则点所对应的数是______． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值方程，熟练掌握数轴上两点间距离，是解题的关键．先计算点A到点B的距离，再得到点C到点A的距离，根据点C在点A的左右两侧分别求解即可． 【详解】解：点A对应的数为，点B对应的数为4，点A到点B的距离为， 点C到点A的距离等于点A到点B距离的一半，即， 设点C对应的数为x，则，即， 所以或， 解得：或． 综上分析可知：点C对应的数为或． 故答案为：或． 【变式3】在数轴上，点表示的数是，到点的距离是2个单位长度的点所表示的数是______． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，其他问题(一元一次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 分点B在点A右侧和左侧两种情况讨论，分别求出点B表示的数． 【详解】解：设点B表示的数为， 则点B到点A的距离为． 当点B在点A右侧时，， 解得：； 当点B在点A左侧时，， 解得：． 故答案为：或． 【变式4】如图，点为数轴的原点，点，在数轴上分别表示数，，且，满足，在数轴上有一点，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，求点在数轴上表示的数________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，数轴上两点距离计算，先由非负数的性质得到，则，设点M表示的数为x，则，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设点M表示的数为x，则， ∵点到点的距离是点到点的距离的3倍， ∴， ∴或， 解得或， ∴点M表示的数为或， 故答案为：或． 题型08 有理数的大小比较 【典例1】．在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示．    (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：， （3）解：， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，相反数，绝对值和有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数． 【典例2】．比较下列每组数的大小 （1） （2） （3） （4）． 【详解】解：（1）∵，， ∵， ∴； （2）∵，， ∵， ∴； （3）∵，， ∴， （4）∵ ∴． 【典例2】．比较大小：和． 【详解】解：，， ∴ 【变式1】请用“”、“”或“”填空： （1）3___________；        （2）___________； （3）___________；        （4）___________； （5）___________0；                （6）3.2___________． 【详解】解：（1）3是正数，是负数，正数大于负数，因此； （2）和都是负数， ，，， 绝对值小的反而大，因此； （3）和都是负数， ，，， 绝对值大的反而小，因此； （4），，因此； （5）是负数，0既不是正数也不是负数，但负数小于0，因此； （6）3.2是正数，是负数，正数大于负数，因此． 故答案为：；；；；；． 【变式2】比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵，， ∴，，而， ∴. 【变式3】把有理数：，，0，，，按下列要求作答： (1)在数轴上表示出来； (2)用“＜”把上面的数连接起来； (3)把上面的数填入对应的集合内． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据数轴的定义解答即可； （2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大解答即可； （3）根据有理数的分类解答即可． 【详解】（1）解：，，数轴表示如下： ； （2）解：根据有理数大小比较的原则，得到： ； （3）解：根据题意，填充如下： 【变式4】请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【详解】（1）上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）∵， ∴， ∴． 1．绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 【答案】A 【详解】解：设满足条件的整数为， ∵是整数，且， ∴， ∴绝对值小于3的整数有，共5个． 2．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．2和 B．2和 C．1和 D．和 【答案】D 【详解】解：A．，不满足相反数定义，A错误． B．，两数相等，不满足相反数定义，B错误． C．，两数相等，不满足相反数定义，C错误． D．，，满足，符合相反数定义，D正确． 3．下列各数中，比小的数是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∴比小的数是． 4．如果，且 ，那么的值为 （     ） A． B． C．或 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，有理数比较大小，求一个数的绝对值，根据绝对值的定义和可确定b的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 5．把0.3、、0.03、、这五个数按从大到小的顺序排列，第四个数是（    ） A． B．0.03 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，据此解答． 【详解】解：，，，， 所以， 所以从大到小排列为：0.3、0.03、、、， 第四个数是， 故选D． 6．数轴上到距离为8的点记为点A，那么点A表示的数是________ ． 【答案】或3 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间距离的定义，点A到点的距离为8，则点A可能在点的左侧或右侧，分别计算即可． 【详解】解：点A可能在点的左侧时，则点A表示的数为； 点A可能在点的右侧时，则点A表示的数为． 故答案为：或3． 7．比较大小：_____________．（填“”、“”或“ 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，化简绝对值和多重符号，先化简绝对值和多重符号，再比较有理数大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 8．比较大小：__________ 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，求一个数的绝对值，化简多重符号，先计算两个数的值，再根据，可得答案． 【详解】解：， ∵，， ∴， ， 故答案为：． 9．在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来． ，，，． 【答案】， 【详解】解：，，． 图见答案，用“”连接见答案． 10．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值的非负性，根据绝对值的非负性可得，则，据此去绝对值并解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 1．下列说法中正确的是（   ） A．正有理数和负有理数统称为有理数 B．因为不能被整除，所以不能用数轴上的点来表示 C．表示相反意义的两个量互为相反数 D．一个负数的绝对值是它的相反数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类，数轴，相反数和绝对值的概念，根据概念逐项判断正误即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、有理数包括正有理数、负有理数和零，故原选项错误，不符合题意； 、任何有理数都可以用数轴上的点表示，是有理数，能用数轴上的点来表示，故原选项错误，不符合题意； 、相反数是指数值相等但符号相反的数，而表示相反意义的量不一定数值相等，故原选项错误，不符合题意； 、负数的绝对值是它的相反数，故原选项正确，符合题意； 故选：． 2．如果a是正数，那么在四个数、、、中，正数有（    ）． A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 【答案】C 【分析】由求一个数的相反数，，进行逐一判断，即可求解． 【详解】解：因为是正数，所以的相反数为是负数； 因为，是正数 所以是正数，是正数； 因为，所以是正数， 所以正数有三个． 故选：C． 【点睛】本题考查了判断代数式的正负性，相反数的求法，绝对值性质，掌握求法是解题的关键． 3．，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先根据绝对值非负性的性质求得的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值非负性的性质是解题的关键． 4．、两个有理数在数轴上对应的点的位置如图，把，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数，绝对值的意义，数形结合是解答本题的关键．观察数轴可知：，，从而得到，且，，即可得解． 【详解】解：由图可知，，， ，且，， ． 故选：C ． 5．数轴上到表示的点距离等于3的点所对应的数是_______． 【答案】、 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数加法运算，有理数的减法运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 到一个点的距离等于3的点有两个，分别位于该点的左侧和右侧． 【详解】解∶ 数轴上到表示的点距离等于3的点所对应的数有两个，分别位于该点的左、右侧，这两个数分别是，， 故答案为：、． 6．比较大小：_______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较有理数的大小，熟练掌握有理数比较大小的方法是解题的关键． 先计算绝对值的值，得到正数，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． 故答案为：． 7．比较下列两数的大小：___________（填“>”或“<”）． 【答案】< 【分析】本题考查有理数的大小比较，先将分数化为小数，再根据“负数的绝对值越大，该数越小”的规则进行比较． 【详解】解：先将化为小数，得． ∵，，且， ∴根据负数比较大小的规则，绝对值大的数更小，可得，即． 故答案为：<． 8．如果，，，那么，，，的大小顺序为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了用数轴判断式子的大小，能够由题意判断出，在数轴上的大致位置是解题的关键． 根据题意将，表示在数轴上即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，将，，，在数轴上表示， 根据数轴特点可得：， 故答案为：． 9．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为4，则C点表示的数是______． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了数轴与翻折，数轴上两点间距离，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据点对折后的对应点与点的距离是4，得出对应点所表示的数，再结合点所表示的数即知A与对应点间的距离，而C是其中点，则可知A，C两点间的距离，则C点表示的数可求． 【详解】解：因为点对折后的对应点与点的距离是4，且点表示的数为， ∴或， 又因为点表示的数是， 当点的对应点表示的数为时， ，，， 即点表示的数是1； 当点的对应点表示的数为6， ，，， 即点表示的数是； 综上所述，点表示的数为：或1． 故答案为：或1． 10．机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 11．解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次方程，化简绝对值，分情况讨论，分别解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴或 解得：或 12．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A、B、C． (1)在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离为______；由此可得点A、B之间的距离为______． (2)化简： 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴和绝对值、合并同类项等知识点，能正确去掉绝对值符号是解此题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式求解； （2）根据数轴得出，，去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离为； A，B之间的距离为； 故答案为：；； （2）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， ∴ ． 13．先阅读下列解题过程，然后解答问题 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当b为何值时，方程 ①无解； ②只有一个解； ③有两个解 【答案】(1)或 (2)①；②；③． 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解答本题的关键． （1）利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）利用绝对值的意义讨论：①当时方程无解；②当时，方程只有一个解；③当时，方程有两个解． 【详解】（1）解：， 当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得； 所以原方程的解是或． （2）解：∵， ∴， ∵， ①当，即时方程无解； ②当，即时，方程只有一个解； ③当，即时，方程有两个解． 14．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 ＋0.031 -0.017 ＋0.023 -0.021 ＋0.022 -0.011 (1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？ (3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；用学过的绝对值的知识说明． 【答案】(1)张兵、蔡伟； (2)蔡伟；李明； (3)蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明；说明见详解． 【分析】（1）绝对值大于0.02毫米的就是不合格，所以张兵、蔡伟是合格的； （2）绝对值越小质量越好，越大质量越差，所以蔡伟做的质量最好，李明的最差； （3）按绝对值由大到小排即可． 【详解】（1）直径与规定直径不超过0.02毫米的误差视为合格，张兵的是，蔡伟的是，两人的都不超过0.02毫米的误差， 张兵、蔡伟做的乒乓球是合格的． （2）蔡伟做的为毫米，李明做的为， 蔡伟做的质量最好，李明的最差． （3）， 6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名为：蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明． 【点睛】此题考查了正数与负数，以及绝对值的意义，正确理解题目的意思是解此题的关键． 15．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是______；式子的几何意义是_______． (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______． 【答案】(1)，数轴上表示数的点与数的点之间的距离 (2)或5 (3)7 (4)8 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式列式，根据绝对值的意义，进行作答即可； （2）根据绝对值的几何意义，以及两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据绝对值的几何意义，进行求解即可； （4）根据绝对值的几何意义，得到当在和7之间时，的值最小，为和7之间距离，进行求解即可． 【详解】（1）解：几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）解：，即数轴上表示的点到表示2的点的距离为3， ∴或； 故答案为：或5； （3）解：当表示x的点在与5之间移动时，； （4）解：表示数轴上表示的点到表示的点以及到表示的点的距离之和， ∴当表示x的点在与7之间移动时，的值最小，为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 有理数的引入（2） 教学目标 1. 理解数轴的定义、三大要素，能将有理数准确表示在数轴上，也能读出数轴上任意已知点所对应的有理数。 2. 理解相反数的概念，掌握互为相反数的两个数的代数特征（只有符号不同，绝对值相等），明确0的相反数是0这一特殊结论。 3. 理解绝对值的几何意义、代数意义，会求任意有理数的绝对值，知道绝对值非负（|a|≥0），且互为相反数的两数绝对值相等。 4. 熟练运用有理数大小比较法则。 教学重难点 1.重点 数轴的三要素，相反数的意义，绝对值的意义，有理数的大小比较。 2.难点 多重符号的化简，理解绝对值的几何意义，绝对值的非负性。 知识点01 数轴 1. 数轴的三要数 （1）原点 （2）单位长度 （3）正方向 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫_____. 2. 用数轴上的点表示有理数 （1）任何一个有理数都可以用数轴上点来表示。 正有理数可用原点右边的点表示,负有理数用原点左边的点表示,0用原点表示，0是正数和负数是分界点. （2）数轴上右边的数总_____左边的数(填大于或小于)。 【即学即练】 1. 下列图形是四个同学画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 2. 在下面数轴上，A、B、C、D、E各点分别表示什么数？ 知识点02 相反数 1. 相反数的代数意义 只有符号不同的两个数叫做互为_____. 2. 相反数的几何意义 数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点两侧，并且到原点距离_____。 3. 易错提醒 （1）带“-”的数不一定表示负数，如“”表示a的相反数； 带“+”的数不一定表示正数，如“”表示a的本身； （2）“”表示（）的相反数等于，所以=_____； “”表示（）的相反数等于，所以=_____； “”表示（）的本身等于，所以=_____； “”表示（）的本身等于，所以=_____； 【即学即练】 1. 分别写出下列各数的相反数：． 知识点03 绝对值 1. 绝对值的几何意义 我们把一个数a在数轴上对应的的点到原点之间的距离叫作数a的_____。 的绝对值表示为_____ 2. 绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它_____；一个负数的绝对值是它的_____；零的绝对值是_____. 3.绝对值的非负性 （1）； （2）若+=0，则a=b=_____. 4.绝对值方程 若，则_____ 5 两点之间的距离 （1）=几何意义：在数轴上表示数a的点与_____之间的距离； （2）的几何意义:在数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的_____； 【即学即练】 1. 分别写出的相反数和绝对值． 2. 有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简：______；______； 知识点04 有理数的大小比较 1. 利用数轴比较有理数的大小 每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示. （1） 比较规律 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数_____。 （2）比较法则 正数都_____0，负数都_____0，正数_____负数。 2. 利用绝对值比较有理数的大小 1. 两个正数 两个正数比较大小，绝对值大的数_____； 2. 两个负数 两个负数比较大小，绝对值大的反而_____； 3. 两个负数大小比较的步骤： （1）求两个数的绝对值； （2）比较绝对值的大小； （3）判定原数的大小. 【即学即练】 1. 把数表示在数轴上，并用“”把这些数连接起来． 2. 比较下列数的大小． (1)和； (2)和； (3)和． 题型01 用数轴上的点表示有理数 【典例1】如图所示的图形为四名同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】在下面数轴上，A、B、C、D、E各点分别表示什么数？ 【典例3】已知下列有理数：，，，，． (1)在给定的数轴上表示这些数． (2)这些数中是否存在两个数到原点的距离相同？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数． 【变式1】下列图形是四个同学画的数轴，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在下面的数轴中，表示和的点依次是（   ） A．①④ B．②④ C．③④ D．③⑤ 【变式3】在数轴上表示下列各数：，，，，，，． 【变式4】在数轴上表示出下列各点． A．        B．        C．       D． （）点和点之间相差___________个单位长度． 题型02 相反数的意义 【典例1】分别写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出各数及它们的相反数． 1.5，0，，1， 【变式1】下列关于0的说法正确的是（    ） A．0是最小的正整数 B．0没有相反数 C．0既不是正数，也不是负数 D． 【变式2】的相反数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】写出下列各数的相反数：16，，0，，m，． 【变式4】已知a、b在数轴上的位置如图，在数轴上标出a的相反数，b的相反数的位置． 题型03 绝对值的意义 【典例1】 在数轴上画出表示下列各数的点，并求出它们的绝对值． ，，0，，． 【变式1】________． 【变式2】 的绝对值是___． 【变式3】绝对值等于6的数是（     ） A．6 B． C． D． 【变式4】请写出下列各数： (1)一个正数，它的绝对值等于7.2． (2)一个负数，它的绝对值等于24． (3)绝对值等于的数． 题型04 化简多重符号 【典例1】化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【典例2】有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简：______；______； 【变式1】．_______ 【变式2】化简下列各式： (1) (2) 【变式3】化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 _________（填序号）． 题型05 简单的绝对值方程 【典例1】．若，则______________． 【典例2】．解下列方程： (1)； (2)． 【变式1】若，则______． 【变式2】已知，求x的取值范围． 【变式3】解方程： 【变式4】 用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，（为常数），已知． (1)求的值： (2)若，求的值． 题型06 绝对值的非负性 【典例1】． ⑴若|x|+|y|=0，则x=______，y=_______. ⑵若|a-6|+|b|=0，则a=_____，b=_____. 【典例2】．已知，，，则的值等于____________． 【变式1】若a为有理数，则下列式子结果为正数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】判断对错 （1）一定是非负数； （2）一定是非负数 ； （3）若，则； （4）若，则. 【变式3】代数式|a-3|的最小值是 _____|a|+3的最小值是 _____ 【变式4】若，则______． 【变式5】回答下列问题 (1)若，求的值 (2)若，则 ． 题型07 数轴上两点间的距离 【典例1】．如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为________． 【典例2】．在教材中，我们曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记做；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记做，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，那么A，B两点间的距离就可记做． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和4的两点之间的距离可记做______，数轴上表示1和的两点之间的距离可记做______； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记做______；如果这两点之间的距离为2，那么x为______； (3)表示____________________________________，结果等于_____ 【变式1】在数轴上与距离等于6个单位长度的点表示的数是__________． 【变式2】数轴上的点、点所对应的数分别是和4，数轴上另有一点，且点到点的距离等于点到点的距离的一半，则点所对应的数是______． 【变式3】在数轴上，点表示的数是，到点的距离是2个单位长度的点所表示的数是______． 【变式4】如图，点为数轴的原点，点，在数轴上分别表示数，，且，满足，在数轴上有一点，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，求点在数轴上表示的数________． 题型08 有理数的大小比较 【典例1】．在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示．    (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． 【典例2】．比较下列每组数的大小 （1） （2） （3） （4）． 【典例2】．比较大小：和． 【变式1】请用“”、“”或“”填空： （1）3___________；        （2）___________； （3）___________；        （4）___________； （5）___________0；                （6）3.2___________． 【变式2】比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【变式3】把有理数：，，0，，，按下列要求作答： (1)在数轴上表示出来； (2)用“＜”把上面的数连接起来； (3)把上面的数填入对应的集合内． 【变式4】请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 1．绝对值小于3的整数有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 2．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．2和 B．2和 C．1和 D．和 3．下列各数中，比小的数是（     ） A． B．0 C． D． 4．如果，且 ，那么的值为 （     ） A． B． C．或 D．7 5．把0.3、、0.03、、这五个数按从大到小的顺序排列，第四个数是（    ） A． B．0.03 C． D． 6．数轴上到距离为8的点记为点A，那么点A表示的数是________ ． 7．比较大小：_____________．（填“”、“”或“ 8．比较大小：__________ 9．在数轴上表示下列各数，再用“”连接起来． ，，，． 10．解方程： 1．下列说法中正确的是（   ） A．正有理数和负有理数统称为有理数 B．因为不能被整除，所以不能用数轴上的点来表示 C．表示相反意义的两个量互为相反数 D．一个负数的绝对值是它的相反数 2．如果a是正数，那么在四个数、、、中，正数有（    ）． A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 3．，则的值是（    ） A． B． C． D．1 4．、两个有理数在数轴上对应的点的位置如图，把，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 5．数轴上到表示的点距离等于3的点所对应的数是_______． 6．比较大小：_______（填“”、“”或“”）． 7．比较下列两数的大小：___________（填“>”或“<”）． 8．如果，，，那么，，，的大小顺序为______． 9．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为4，则C点表示的数是______． 10．机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． 11．解方程： 12．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A、B、C． (1)在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离为______；由此可得点A、B之间的距离为______． (2)化简： 13．先阅读下列解题过程，然后解答问题 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当b为何值时，方程 ①无解； ②只有一个解； ③有两个解 14．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 ＋0.031 -0.017 ＋0.023 -0.021 ＋0.022 -0.011 (1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？ (3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；用学过的绝对值的知识说明． 15．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是______；式子的几何意义是_______． (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $