专题一·期中综合复习·基础巩固讲义（整数与整除 分数 有理数） ·2026--2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

专题一·期中综合复习·基础巩固讲义（整数与整除 分数 有理数） （知识梳理+典例+练习）·2026年沪教版（五四制）六年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解分数的意义与基本性质，掌握分数大小比较的方法 · 掌握分数乘除法的计算法则，会进行分数四则混合运算 · 能解决“求一个数的几分之几”“连续求一个数的几分之几”等分数应用问题 · 理解有理数的概念与分类，掌握数轴、相反数与绝对值的意义 · 熟练掌握有理数加减乘除及乘方混合运算，会用运算律简便计算 📚 知识梳理 ☆ 1.分数的意义与基本性质 分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数 分数与除法的关系：被除数÷除数=（除数不为0） 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变 同分母或异分母分数大小比较：先通分再比较，或借助分数的基本性质比较 概念辨析例题：把一根6米长的绳子平均分成10段，每段长多少米？每段占全长的几分之几？ 答案：每段长米，每段占全长的 解析：每段长=总长÷段数=6÷10==（米）；每段占全长的1÷10= ☆ 2.分数乘除法 分数乘整数：用分子乘整数的积作分子，分母不变，能约分的先约分 分数乘分数：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母 分数除以整数：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数 连续求一个数的几分之几：用连乘解决，即“一个数×几分之几×几分之几” 概念辨析例题：兴旺小学买来480台电脑，其中的分给了六年级，又把分给六年级的分给了六年级3班，六年级3班分得电脑多少台？ 答案：480××=32（台） 解析：先求出六年级分得的台数：480×=80（台），再求六年级3班分得的台数：80×=32（台），列式为480××=32（台） ☆ 3.分数四则混合运算 运算顺序：有括号先算括号里的，没括号先算乘除后算加减 同级运算从左到右依次计算 运用运算定律（交换律、结合律、分配律）可以使计算简便 结果能约分的要约成最简分数 概念辨析例题：计算：×÷ 答案： 解析：×÷=××== ☆ 4.分数应用问题 求一个数的几分之几是多少：用乘法计算，即“单位‘1’的量×几分之几” 求比一个数多（少）几分之几的数是多少：单位“1”的量×（1±几分之几） 已知一个数的几分之几是多少，求这个数：用除法计算，或列方程解决 解题关键是找准单位“1”，分析数量关系后再列式 概念辨析例题：学校有篮球24个，足球比篮球少，足球有多少个？ 答案：24×（1−）=24×=16（个） 解析：“足球比篮球少”表示足球是篮球的（1−），单位“1”是篮球的个数，用乘法：24×=16（个） ☆ 5.有理数的概念与分类 有理数：整数和分数统称为有理数 分类：有理数可分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数） 正负数表示具有相反意义的量：如收入记为正，支出记为负 0既不是正数也不是负数 概念辨析例题：在−2，5，0，−，中，负有理数有哪些？ 答案：−2和− 解析：负有理数包括负整数和负分数，−2是负整数，−是负分数；0既不是正数也不是负数 ☆ 6.数轴、相反数与绝对值 数轴三要素：原点、正方向、单位长度 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离，记作|a|，绝对值具有非负性 互为相反数的两个数绝对值相等，它们的和为0 概念辨析例题：求−的相反数、绝对值和倒数 答案：相反数是，绝对值是，倒数是− 解析：相反数：符号相反，−的相反数为；绝对值：|−|=；倒数：分子分母互换且符号不变，−的倒数为− ☆ 7.有理数的运算 加法法则：同号相加取相同的符号；异号相加取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数 乘除法法则：两数相乘除，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘除 乘方：求n个相同因数的积的运算，如an表示n个a相乘 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的 概念辨析例题：计算：−22+（−3）×2−|−5| 答案：−15 解析：先算乘方：−22=−4；再算乘法：（−3）×2=−6；然后算绝对值：|−5|=5；最后加减：−4+（−6）−5=−15 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 分数的基本性质 =（c≠0） 分子分母同时乘或除以相同的数（0除外） 分数乘法 ×= 能约分的先约分再计算 分数除法 ÷=× 除以一个不为0的数等于乘它的倒数 求一个数的几分之几 单位“1”的量×几分之几 找准单位“1”是解题关键 有理数 整数和分数统称有理数 0既不是正数也不是负数 相反数 a与−a互为相反数，a+（−a）=0 0的相反数是0 绝对值 |a|≥0，正数的绝对值是它本身 绝对值具有非负性 有理数运算法则 同号得正，异号得负 先定符号，再算绝对值 ⚠️ 核心考点 【考点1】分数的意义、基本性质与大小比较（第1-7题） · 分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数 · 分数与除法的关系：a÷b=（b≠0） · 分数大小比较：同分母比分子，异分母先通分再比较 · 注意“每段占全长的几分之几”与“每段长多少”的区别 1．（25-26六年级上·全国·课后作业）如果，那么（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26六年级上·全国·课后作业）下图中不可以表示的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26六年级上·全国·课后作业）下面图形中表示的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26六年级上·全国·课后作业）在括号里填上“”“”或“”． ( ) ( ) ( ) 5．（25-26六年级上·全国·课后作业）比较大小（填“”“”或“”）． ( ) ( ) 6．（23-24六年级上·山东青岛·阶段检测）填上“”“”或“” _____________       _____________       _____________ 7．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）化简下列分数： (1)； (2)； (3)． 【考点2】分数乘法（与整数、分数相乘及连乘）（第8-14题） · 分数乘整数：分子与整数相乘的积作分子，分母不变 · 分数乘分数：分子相乘作分子，分母相乘作分母 · 连续求一个数的几分之几：用连乘解决 · 计算前先约分可使计算简便 8．（21-22六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）的7倍是（　　） A． B．6 C． D． 9．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测），这一步运算运用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法交换律 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）a、b、c、d都是非0自然数，且，下面（   ）的商最大 A． B． C． D． 11．（25-26六年级上·全国·课后作业）一辆新能源汽车每行驶1千米耗电千瓦时，照这样计算，行驶18千米耗电( )千瓦时，行驶千米耗电( )千瓦时． 12．（24-25六年级上·黑龙江绥化·期末）一辆摩托车平均每小时耗油升，小时耗油________________升． 13．（25-26六年级上·全国·课后作业）口算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) 14．（25-26六年级上·全国·课后作业）直接写得数． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【考点3】分数除法及其应用（第15-18题） · 除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数 · 分数除法转化为乘法后按分数乘法法则计算 · “已知一个数的几分之几是多少，求这个数”用除法 · 注意商与被除数的大小关系：除以小于1的分数，商变大 15．（25-26六年级上·全国·课后作业）六年级有45名学生参加了科技知识竞赛，占六年级学生人数的，六年级学生人数占全校总人数的．全校共有学生( )人． 16．（23-24六年级上·山东滨州·阶段检测）把一根6米长的绳子平均分成10段，每段长( )米，每段占全长的( )． 17．（23-24七年级上·天津·开学考试）甲数的与乙数的相等（甲数不为0），那么甲数( )乙数． 18．（25-26六年级上·全国·课后作业）一台收割机小时可收割公顷的水稻，照这样计算，公顷的水稻需要几小时收割完？ 【考点4】分数四则混合运算与简便运算（第19-26题） · 运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号里的 · 同级运算从左到右依次计算 · 灵活运用乘法分配律、交换律、结合律简化计算 · 计算结果能约分的要约成最简分数 19．（25-26六年级上·全国·课后作业）今年喀什的水果大丰收，李伯伯家里一共采摘了吨石榴，葡萄是石榴的，西梅收获了吨，葡萄比石榴少（   ）吨． A． B． C． 20．（21-22七年级上·山东青岛·开学考试）计算：结果为（   ） A．1 B． C． D． 21．（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26六年级上·全国·课后作业）一袋大米重，吃了它的后，又吃了，还剩( )． 23．（25-26六年级上·全国·课后作业）脱式计算，能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 24．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算． (1)． (2)． 25．（25-26六年级上·全国·课后作业）怎样算简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 26．（25-26六年级上·全国·课后作业）仔细算一算，怎样简便就怎样计算． (1) (2) 【考点5】分数应用问题（第27-31题） · 求一个数的几分之几是多少：用乘法 · 求比一个数多（少）几分之几：单位“1”的量×（1±几分之几） · 连续求一个数的几分之几：用连乘 · 解题时先找准单位“1”，再分析数量关系列式 27．（25-26六年级上·全国·课后作业）学校有篮球24个，足球比篮球少，足球有多少个？正确列式为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26六年级上·全国·课后作业）学校购来800本课外读物，把其中的分给六年级学生；其中六一班分得，六一班分得课外读物( )本． 29．（24-25七年级上·重庆渝北·开学考试）节约用水，从点滴做起．月如家第一季度用水120吨，计划第二季度的用水量是第一季度的，实际第二季度的用水量比原计划节约，求月如家第二季度实际上用水多少吨？ 30．（25-26六年级上·全国·课后作业）小雯看一本240页的故事书，第一天看了，第二天看了余下的，第三天看的是第二天的，第三天看了多少页？ 31．（24-25七年级上·重庆·开学考试）A、B、C三个油桶各盛油若干千克．第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶内的油分别增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、A两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第三次倒之前桶内油的2倍，这样，各桶的油都为16千克．问A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？ 第三次倒以后 第二次倒以后 第一次倒以后 未倒时 【考点6】有理数的概念与分类（第32-35题） · 有理数分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数） · 正负数表示相反意义的量 · 0既不是正数也不是负数，0是最小的非负数 · 注意小数、百分数都可化成分数，属于有理数 32．（20-21七年级上·广东深圳·期中）在有理数：中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25六年级上·上海闵行·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．有理数包括正有理数和负有理数 B．和正整数称为非负数 C．除外，所有的有理数都有倒数 D．规定了原点、单位长度和正方向的射线叫做数轴 34．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）若海平面以上2000米记作“米”，那么海平面以下3000米记作“_________”． 35．（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列各数分别填在相应的大括号内：． 正数：{    }    负分数：{    } 非负整数：{    }    负有理数：{    } 【考点7】数轴、相反数与绝对值（第36-39题） · 数轴三要素：原点、正方向、单位长度 · 互为相反数的两个数到原点的距离相等 · 绝对值是数轴上点到原点的距离，具有非负性：|a|≥0 · 绝对值非负性常与加法、乘法运算结合考查 36．（24-25七年级上·山东临沂·期中）实验室检测四个零件的质量（单位：克），按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”记录如下，其中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D．1.9 37．（24-25八年级上·四川成都·期末）无理数的相反数是________． 38．（24-25七年级上·全国·课后作业）绝对值小于4的所有非零整数的积为______． 39．（23-24七年级上·湖北随州·期中）如图为武汉市地铁2号线地图的一部分，学生小王某天参加志愿者服务活动，从洪山广场站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束．如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下：，，，，，，，． (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 【考点8】有理数的加减运算（第40-49题） · 同号相加取相同符号，异号相加取绝对值较大的符号 · 减去一个数等于加上它的相反数 · 省略加号的和的形式：把加减混合运算统一成加法 · 加法交换律、结合律可使计算简便 40．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各式的计算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25七年级上·全国·单元复习）小磊解题时，将式子先变成，再计算，他运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 42．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）为了计算简便，把“”写成省略加号和括号的形式是（   ） A． B． C． D． 43．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）某次数学考试成绩以90分为标准，高于90分记“”，低于90分记为“”，将某小组五名同学的成绩简记为，，，，，这五名同学的平均成绩应为（   ） A．91分 B．92分 C．93分 D．94分 44．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）一辆巡逻车从A地出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达B地，若规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下表（单位：千米），则B地在A地的_______边（填“东”或“西”）． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 45．（2026·江苏宿迁·一模）计算的结果等于______． 46．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）定义表示不超过的最大整数．例：，，则的值为___________． 47．（25-26七年级上·全国·期中）已知A地海拔高度为，而B地比A地低32米，则B地海拔高度为__________． 48．（26-27七年级上·全国·课后作业）填空： （1）温度比高________； （2）温度比低________； （3）海拔比高________； （4）从海拔到，下降了________． 49．（上海市六年级下学期期中模拟03（沪教版：有理数、一次方程（组）和一次不等式）-2023-2024学年六年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版））比18小5的数是___，比小的数是___． 【考点9】有理数的乘除运算与运算律（第50-54题） · 两数相乘除，同号得正，异号得负 · 除以一个数等于乘这个数的倒数 · 多个因数相乘：先定符号（负因数个数为奇数则积为负），再算绝对值 · 乘法分配律、结合律可简化运算 50．（2024·山西运城·三模）计算：（    ） A． B．3 C． D．12 51．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 52．（23-24七年级上·山东济宁·阶段检测）计算： 53．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 54．（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）定义一种新运算“”，其规则为．例如：． (1)求的值． (2)有理数的加法和乘法运算满足交换律，即．“”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由，若不满足，请举例说明． 专题一·期中综合复习·基础巩固讲义（整数与整除 分数 有理数） （知识梳理+典例+练习）2026年沪教版（五四制）六年级数学上册 【考点10】乘方与有理数混合运算（第55-60题） · 乘方：an表示n个a相乘，注意底数与指数的意义 · 负数的偶次幂为正，奇次幂为负 · −a2与（−a）2的区别：前者先算乘方再取负，后者整体乘方 · 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号 55．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期中）计算：______． 56．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，在正五边形中，已知a，b，c，d，e为正整数，且每条边上的三个数之和都等于，则_____． 57．（25-26七年级上·全国·课后作业）对任意的非零有理数定义一种运算：．例如，的结果是___________． 58．（26-27七年级上·全国·课后作业）地震震级是划分震源放出的能量大小的等级．级地震释放的能量大约是n级地震的1000倍．8级地震释放的能量大约是4级地震的多少倍？ 59．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 60．（23-24六年级上·山东济南·期末）定义一种新运算“”： ，比如：． (1)求的值： (2)已知，请根据上述运算，求值． 💯 课后巩固 复习建议 · 牢记分数乘除法法则：能约分的先约分，结果化成最简分数 · 混合运算遵循“先乘除后加减，有括号先算括号”，灵活运用运算律 · 分数应用题先找准单位“1”，分清“求几分之几”用乘法还是除法 · 数轴、相反数、绝对值三个概念结合数轴图形理解，注意绝对值的非负性 · 有理数运算先定符号再算绝对值，乘方运算分清底数、指数 【作业1】．（25-26六年级上·全国·课后作业）兴旺小学买来480台电脑，其中的分给了6年级，又把分给六年级的分给了6年3班，6年级3班分得电脑（   ）台． A．80 B．96 C．16 D．26 【作业2】．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列运算中，结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）在，5，，，，中，负有理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【作业4】．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，数轴上的A、B两点分别表示有理数a、b，下列式子中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【作业6】．（24-25六年级上·上海金山·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【作业7】．（25-26六年级上·全国·课后作业）在横线上填“”“”或“”． ________ ________ ________ ________ 【作业8】．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）新定义：一个两位数是素数，如果交换它的个位数字和十位数字后还是素数，那么称这个两位数为“绝对素数”．在两位数中，所有“绝对素数”的乘积的个位数字是_____． 【作业9】．（25-26六年级上·全国·课后作业）比12千克多千克是________千克，比12千克多是_______千克． 【作业10】．（2024·陕西榆林·二模）已知数轴上点A表示的数是，点B在点A的左侧，则点B表示的数可能是________．（写出一个即可） 【作业11】．（26-27七年级上·全国·课后作业）一天中午的气温是，晚上下降了，则晚上的气温是______． 【作业12】．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）计算：________． 【作业13】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）中有______个． 【作业14】．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）将写成省略括号的和的形式为_______________． 【作业15】．（25-26六年级上·全国·课后作业）一袋面粉重5千克，已经吃了它的，吃了( )千克． 【作业16】．（23-24七年级上·天津·开学考试）一辆汽车行驶12千米耗油升，照这样计算，行驶1千米要耗油( )升，1升汽油可以行驶( )千米． 【作业17】．（25-26六年级上·全国·课后作业）一个长方形的宽是米，长比宽多，这个长方形的面积是多少平方米？ 【作业18】．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的相反数、倒数和绝对值： (1)1.2； (2)； (3)． 【作业19】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【作业20】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一·期中综合复习·基础巩固讲义（整数与整除 分数 有理数） （知识梳理+典例+练习）·2026年沪教版（五四制）六年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解分数的意义与基本性质，掌握分数大小比较的方法 · 掌握分数乘除法的计算法则，会进行分数四则混合运算 · 能解决“求一个数的几分之几”“连续求一个数的几分之几”等分数应用问题 · 理解有理数的概念与分类，掌握数轴、相反数与绝对值的意义 · 熟练掌握有理数加减乘除及乘方混合运算，会用运算律简便计算 📚 知识梳理 ☆ 1.分数的意义与基本性质 分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数 分数与除法的关系：被除数÷除数=（除数不为0） 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变 同分母或异分母分数大小比较：先通分再比较，或借助分数的基本性质比较 概念辨析例题：把一根6米长的绳子平均分成10段，每段长多少米？每段占全长的几分之几？ 答案：每段长米，每段占全长的 解析：每段长=总长÷段数=6÷10==（米）；每段占全长的1÷10= ☆ 2.分数乘除法 分数乘整数：用分子乘整数的积作分子，分母不变，能约分的先约分 分数乘分数：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母 分数除以整数：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数 连续求一个数的几分之几：用连乘解决，即“一个数×几分之几×几分之几” 概念辨析例题：兴旺小学买来480台电脑，其中的分给了六年级，又把分给六年级的分给了六年级3班，六年级3班分得电脑多少台？ 答案：480××=32（台） 解析：先求出六年级分得的台数：480×=80（台），再求六年级3班分得的台数：80×=32（台），列式为480××=32（台） ☆ 3.分数四则混合运算 运算顺序：有括号先算括号里的，没括号先算乘除后算加减 同级运算从左到右依次计算 运用运算定律（交换律、结合律、分配律）可以使计算简便 结果能约分的要约成最简分数 概念辨析例题：计算：×÷ 答案： 解析：×÷=××== ☆ 4.分数应用问题 求一个数的几分之几是多少：用乘法计算，即“单位‘1’的量×几分之几” 求比一个数多（少）几分之几的数是多少：单位“1”的量×（1±几分之几） 已知一个数的几分之几是多少，求这个数：用除法计算，或列方程解决 解题关键是找准单位“1”，分析数量关系后再列式 概念辨析例题：学校有篮球24个，足球比篮球少，足球有多少个？ 答案：24×（1−）=24×=16（个） 解析：“足球比篮球少”表示足球是篮球的（1−），单位“1”是篮球的个数，用乘法：24×=16（个） ☆ 5.有理数的概念与分类 有理数：整数和分数统称为有理数 分类：有理数可分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数） 正负数表示具有相反意义的量：如收入记为正，支出记为负 0既不是正数也不是负数 概念辨析例题：在−2，5，0，−，中，负有理数有哪些？ 答案：−2和− 解析：负有理数包括负整数和负分数，−2是负整数，−是负分数；0既不是正数也不是负数 ☆ 6.数轴、相反数与绝对值 数轴三要素：原点、正方向、单位长度 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离，记作|a|，绝对值具有非负性 互为相反数的两个数绝对值相等，它们的和为0 概念辨析例题：求−的相反数、绝对值和倒数 答案：相反数是，绝对值是，倒数是− 解析：相反数：符号相反，−的相反数为；绝对值：|−|=；倒数：分子分母互换且符号不变，−的倒数为− ☆ 7.有理数的运算 加法法则：同号相加取相同的符号；异号相加取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数 乘除法法则：两数相乘除，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘除 乘方：求n个相同因数的积的运算，如an表示n个a相乘 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的 概念辨析例题：计算：−22+（−3）×2−|−5| 答案：−15 解析：先算乘方：−22=−4；再算乘法：（−3）×2=−6；然后算绝对值：|−5|=5；最后加减：−4+（−6）−5=−15 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 分数的基本性质 =（c≠0） 分子分母同时乘或除以相同的数（0除外） 分数乘法 ×= 能约分的先约分再计算 分数除法 ÷=× 除以一个不为0的数等于乘它的倒数 求一个数的几分之几 单位“1”的量×几分之几 找准单位“1”是解题关键 有理数 整数和分数统称有理数 0既不是正数也不是负数 相反数 a与−a互为相反数，a+（−a）=0 0的相反数是0 绝对值 |a|≥0，正数的绝对值是它本身 绝对值具有非负性 有理数运算法则 同号得正，异号得负 先定符号，再算绝对值 ⚠️ 核心考点 【考点1】分数的意义、基本性质与大小比较（第1-7题） · 分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数 · 分数与除法的关系：a÷b=（b≠0） · 分数大小比较：同分母比分子，异分母先通分再比较 · 注意“每段占全长的几分之几”与“每段长多少”的区别 1．（25-26六年级上·全国·课后作业）如果，那么（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】异分母异分子分数的大小比较、 分数的基本性质 【分析】本题主要考查了分数乘法和分数大小比较，解题的关键是理解题意，熟练掌握运算法则．一个非0数，乘大于1的数，积大于原数；一个非0数，乘小于1的数，积小于原数；一个非0数，乘1，积等于原数；分子大于或等于分母的分数叫做假分数，假分数大于或等于1，据此分析解答即可． 【详解】解：因为，所以，是假分数，那么． 故答案为：A． 2．（25-26六年级上·全国·课后作业）下图中不可以表示的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】分数的意义 【分析】本题主要考查了分数的意义以及分数乘法的意义，表示把一个图形平均分成4份，其中的1份就是，然后再把这平均分成4份，其中的一份就是的，用 表示，由此逐项分析即可求解． 【详解】解： 表示把长方形平均分成4份，其中的1份是，然后再把这平均分成5份，其中的1份就是的，用表示，所以不可以表示； 表示把一个图形平均分成4份，其中的1份就是，然后再把这平均分成4份，其中的一份就是 的，可以用表示． 不可以表示的只有1个． 故选：A． 3．（25-26六年级上·全国·课后作业）下面图形中表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分数的意义、 分数与分数的乘法 【分析】本题主要考查了分数乘分数，解题的关键是理解分数的意义，读懂图形． 的意义是的是多少．的单位“1”是大长方形，表示的意义是把大长方形平均分成三份，其中的两份．的单位“1”是大长方形的，表示的意义是把大长方形的平均分成五份，其中的三份，据此选出符合的图形即可． 【详解】解：A．图形阴影部分表示，不符合题意； B．图形阴影部分表示，不符合题意； C．图形阴影部分表示，不符合题意； D．图形阴影部分表示，符合题意． 故答案为：D． 4．（25-26六年级上·全国·课后作业）在括号里填上“”“”或“”． ( ) ( ) ( ) 【答案】 【知识点】 分数与除法的关系、异分母异分子分数的大小比较 【分析】本题主要考查了分数除法的计算． （1）根据积和乘数的关系，一个非0数乘小于1的数，积小于它本身； （2）根据商和被除数的关系，一个非0数除以小于1的数，商大于它本身；除以等于1的数，商等于它本身；据此即可填空； （3）根据积和乘数的关系以及商和被除数的关系即可比较． 【详解】解：与 由于，所以 和 由于，所以；，所以， 和 由于，所以；；所以， 故答案为：；； 5．（25-26六年级上·全国·课后作业）比较大小（填“”“”或“”）． ( ) ( ) 【答案】 【知识点】异分母异分子分数的大小比较、 分数与分数的乘法、分数与分数的除法 【分析】本题主要考查了因数和积的大小关系（分数乘法）、被除数与商的大小关系（分数除法） ．一个非0数，除以大于1的数，商小于被除数；一个非0数，除以小于1的数，商大于被除数；一个非0数，乘大于1的数，积大于原数；一个非0数，乘小于1的数，积小于原数，据此解答． 【详解】解：和， 因为，所以； 和 因为，所以；， 因此． 故答案为：；． 6．（23-24六年级上·山东青岛·阶段检测）填上“”“”或“” _____________       _____________       _____________ 【答案】 【知识点】 分数与分数的乘法、分数与分数的除法 【分析】本题主要考查了分数的乘法及除法，熟练掌握分数的除法是解题的关键．根据分数的除法法及乘方法则计算后比较即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：>，，>． 7．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）化简下列分数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)9 【知识点】 分数的基本性质 【分析】本题主要考查分数的化简，化简时要注意分两步完成：第一步先确定符号，第二步按照分数的基本性质进行化简．分数的基本性质是：分数的分子分母同乘以或除以同一个非0的数，分式的值不变． （1）分子分母同时除以2，得出答案即可； （2）分子分母同时除以12，得出答案即可； （3）分子分母同时除以，得出答案即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【考点2】分数乘法（与整数、分数相乘及连乘）（第8-14题） · 分数乘整数：分子与整数相乘的积作分子，分母不变 · 分数乘分数：分子相乘作分子，分母相乘作分母 · 连续求一个数的几分之几：用连乘解决 · 计算前先约分可使计算简便 8．（21-22六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）的7倍是（　　） A． B．6 C． D． 【答案】D 【知识点】 分数与整数的乘法 【分析】本题考查了分数乘法的意义和计算方法的应用．理解运算法则是解题的关键．根据求一个数的几倍是多少用乘法计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 9．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测），这一步运算运用了（   ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法交换律 【答案】C 【知识点】 分数与整数的乘法、运算定律与简便运算 【分析】本题主要考查乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解． 【详解】解：，这一步运算运用了乘法分配律； 故选C． 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）a、b、c、d都是非0自然数，且，下面（   ）的商最大 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】 分数与整数的乘法、分数与整数的除法 【分析】本题考查了分数的除法与乘法，将除法转化为乘法，再比较出，，，最后再由分数乘法的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，，， ∵a、b、c、d都是非0自然数，且， ∴，，， ∴商最大的为， 故选：B． 11．（25-26六年级上·全国·课后作业）一辆新能源汽车每行驶1千米耗电千瓦时，照这样计算，行驶18千米耗电( )千瓦时，行驶千米耗电( )千瓦时． 【答案】 【知识点】 分数与整数的乘法、 分数与分数的乘法 【分析】本题主要考查了分数乘分数、整数乘分数，解题的关键是熟练掌握分数的运算法则． 已知行驶1千米的耗电量，要计算行驶相应路程的耗电量用乘法计算，即行驶18千米的耗电量为，行驶千米的耗电量为，据此解答． 【详解】解：（千瓦时）， （千瓦时）， 所以，行驶18千米耗电千瓦时，行驶千米耗电千瓦时． 故答案为：，． 12．（24-25六年级上·黑龙江绥化·期末）一辆摩托车平均每小时耗油升，小时耗油________________升． 【答案】/ 【知识点】 分数与分数的乘法 【分析】本题考查了分数乘法在实际问题中的应用，准确找出数量关系是解题的关键； 根据每小时耗油量，运用分数乘法计算出指定时间的耗油量即可． 【详解】解：（升）． 故答案为：． 13．（25-26六年级上·全国·课后作业）口算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) 【答案】(1) (2) (3)10 (4) (5) (6) (7) (8) (9)2 (10) (11) (12) (13) (14)0 (15)7 (16) (17) (18)12 (19) (20) 【知识点】 分数与整数的乘法、 分数与分数的乘法、 分数与小数的乘法 【分析】本题主要考查分数乘法的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则计算即可，注意在计算分数乘以小数时要把小数化成分数计算． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）； （17）； （18）； （19）； （20）． 14．（25-26六年级上·全国·课后作业）直接写得数． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)8 (9) (10) 【知识点】 分数与整数的乘法、 分数与分数的乘法 【分析】本题考查了分数的乘法，涉及分数乘以分数，分数乘以整数，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据分数乘以分数，分数乘以整数的运算规则一一计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： （7）解： （8）解： （9）解： （10）解： 【考点3】分数除法及其应用（第15-18题） · 除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数 · 分数除法转化为乘法后按分数乘法法则计算 · “已知一个数的几分之几是多少，求这个数”用除法 · 注意商与被除数的大小关系：除以小于1的分数，商变大 15．（25-26六年级上·全国·课后作业）六年级有45名学生参加了科技知识竞赛，占六年级学生人数的，六年级学生人数占全校总人数的．全校共有学生( )人． 【答案】1188 【知识点】 分数除法的应用 【分析】该题考查了已知一个数的几分之几是多少，求这个数，分数的连除运算．将六年级学生人数看作单位“1”，参加科技知识竞赛的人数对应分率六年级学生人数；再将全校总人数看作单位“1”，六年级学生人数对应分率全校总人数，据此列式计算． 【详解】解： （人）， 全校共有学生1188人． 故答案为：1188． 16．（23-24六年级上·山东滨州·阶段检测）把一根6米长的绳子平均分成10段，每段长( )米，每段占全长的( )． 【答案】 【知识点】 分数除法的应用 【分析】本题考查分数的意义，求每段长多少米，用总长除以段数即可；把一根6米长的绳子平均分成10段，求每段占全长的几分之一，把全长看作单位“”，用1除以段数即可． 【详解】解：米， 每段占全长的， 故答案为：；． 17．（23-24七年级上·天津·开学考试）甲数的与乙数的相等（甲数不为0），那么甲数( )乙数． 【答案】大于 【知识点】 分数除法的应用 【分析】本题主要考查了分数乘法的应用以及数的大小比较，熟练掌握等式的变形和分数乘法计算是解题的关键． 根据题意列出等式，再通过等式变形求出甲数和乙数的关系，进而比较大小． 【详解】解：由题意可得： 甲数乙数， 甲数乙数 甲数乙数 甲数乙数 因为， 所以甲数乙数． 故答案为：大于． 18．（25-26六年级上·全国·课后作业）一台收割机小时可收割公顷的水稻，照这样计算，公顷的水稻需要几小时收割完？ 【答案】公顷的水稻需要小时收割完 【知识点】 分数除法的应用 【分析】本题主要考查了分数的连除运算、有具体量的工程问题，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，先用，求出每小时可以收割水稻的面积，再用每小时收割水稻的面积，即可解答． 【详解】解： （小时） 答：公顷的水稻需要小时收割完． 【考点4】分数四则混合运算与简便运算（第19-26题） · 运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号里的 · 同级运算从左到右依次计算 · 灵活运用乘法分配律、交换律、结合律简化计算 · 计算结果能约分的要约成最简分数 19．（25-26六年级上·全国·课后作业）今年喀什的水果大丰收，李伯伯家里一共采摘了吨石榴，葡萄是石榴的，西梅收获了吨，葡萄比石榴少（   ）吨． A． B． C． 【答案】B 【知识点】分数的四则混合运算 【分析】本题考查了分数的四则混合运算，解题关键是正确分析、掌握分数的四则混合运算． 把石榴的质量看作单位“1”，已知葡萄是石榴的，则葡萄的质量比石榴少；用石榴的质量乘，所得结果即为葡萄比石榴少多少吨． 【详解】解： （吨）， 因此葡萄比石榴少吨． 故选：B． 20．（21-22七年级上·山东青岛·开学考试）计算：结果为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】分数的四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算（含分数四则运算）及乘法分配律的应用，解题的关键是遵循“先算小括号，再算中括号，最后算括号外”的运算顺序，同时利用乘法分配律简化括号内的计算． 先计算小括号内的分数减法，通过乘法分配律计算以简化运算；再计算中括号内的结果，最后计算括号外的除法，得到最终结果后匹配选项． 【详解】解： ， 故选：B． 21．（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分数的四则混合运算 【分析】本题考查分数的混合运算，掌握运算法则先运算括号，然后运算乘除，最后加减解题即可． 【详解】解：A. ，原计算错误； B. ，原计算错误； C. ，计算正确； D. ，原计算错误； 故答案为：C． 22．（25-26六年级上·全国·课后作业）一袋大米重，吃了它的后，又吃了，还剩( )． 【答案】 【知识点】分数的四则混合运算 【分析】本题考查的是整数与分数的减法的应用，理解题意，列出式子是解题关键．用总的重量减去吃掉的重量列式，计算即可得出结果． 【详解】解： （）． 故还剩． 故答案为：． 23．（25-26六年级上·全国·课后作业）脱式计算，能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分数的四则混合运算 【分析】本题考查的是分数的四则混合运算，运用运算律简化计算是解题的关键． （1）利用乘法分配律去括号，即可简算． （2）利用乘法交换律和结合律，即可简算． （3）将拆成，再根据乘法分配律，即可简算． （4）利用乘法分配律的逆运算，即可简算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 24．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分数的四则混合运算 【分析】题目主要考查分数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先把除法转化成乘法，然后利用乘法分配律求解即可； （2）先计算括号内，然后计算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．（25-26六年级上·全国·课后作业）怎样算简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分数的四则混合运算 【分析】本题考查了分数的四则运算，按照运算顺序进行计算，注意通分、约分和除法转乘法． （1）先计算括号里的减法，再计算括号外的除法； （2）连续除法转换为乘法并约分，再进行计算； （3）把除法转换为乘法，再根据乘法分配律的逆运算，再进行计算； （4）先计算括号里的加法，再计算括号外的除法． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 26．（25-26六年级上·全国·课后作业）仔细算一算，怎样简便就怎样计算． (1) (2) 【答案】(1)8 (2)28 【知识点】 分数与整数的乘法、分数的四则混合运算 【分析】本题主要考查了整数乘法运算定律推广到分数乘法，解题的关键是掌握乘法运算律． （1）利用乘法交换律进行简算； （2）利用乘法分配律进行简算． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【考点5】分数应用问题（第27-31题） · 求一个数的几分之几是多少：用乘法 · 求比一个数多（少）几分之几：单位“1”的量×（1±几分之几） · 连续求一个数的几分之几：用连乘 · 解题时先找准单位“1”，再分析数量关系列式 27．（25-26六年级上·全国·课后作业）学校有篮球24个，足球比篮球少，足球有多少个？正确列式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】 求比一个数多/少几分之几的数是多少 【分析】本题考查了求比一个数多/少几分之几的数是多少. 将篮球个数看作单位“1”，篮球个数×足球比篮球少的对应分率＝足球比篮球少的个数，篮球个数－足球比篮球少的个数＝足球个数． 【详解】解：足球数量为：， 故答案为：B． 28．（25-26六年级上·全国·课后作业）学校购来800本课外读物，把其中的分给六年级学生；其中六一班分得，六一班分得课外读物( )本． 【答案】40 【知识点】 分数与整数的乘法、求一个数的几分之几的问题 【分析】本题主要考查了分数的连乘运算、求一个数的几分之几等知识点，根据题意确定“单位1”成为解题的关键． 把学校购来课外读物的总本数看作单位“1”，六年级学生分得其中的，单位“1”已知，用总本数乘，求出六年级分得的本数；其中六一班分得，把六年级分得的本数看作单位“1”，由于单位“1”已知，用六年级分得的本数乘，即可求出六一班分得的本数． 【详解】解： （本）． 所以，六一班分得课外读物40本． 故答案为40． 29．（24-25七年级上·重庆渝北·开学考试）节约用水，从点滴做起．月如家第一季度用水120吨，计划第二季度的用水量是第一季度的，实际第二季度的用水量比原计划节约，求月如家第二季度实际上用水多少吨？ 【答案】99吨 【知识点】连续求一个数的几分之几是多少的问题 【分析】本题主要考查了分数的乘法的实际应用．求出第二季度的原计划用水量，即可求解． 【详解】解： （吨）， 答：月如家二季度实际上用水99吨． 30．（25-26六年级上·全国·课后作业）小雯看一本240页的故事书，第一天看了，第二天看了余下的，第三天看的是第二天的，第三天看了多少页？ 【答案】第三天看了24页 【知识点】求一个数的几分之几的问题、连续求一个数的几分之几是多少的问题 【分析】本题考查了分数的应用，已知总量及一部分分率，求另一部分量、整数乘分数、求一个数的几分之几的问题、分数的连乘运算．求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率．将这本书的总页数看作单位“1”，用单位“1”减去第一天看的分率，求出剩下的分率．将总页数乘剩下的分率，求出第一天看了之后剩下多少页没看．再将第一天之后余下没看的看作单位“1”，将其乘，求出第二天看了多少页．再将第二天看的看作单位“1”，将其乘，求出第三天看了多少页． 【详解】解：第一天看了后余下（页）， 第三天看了：（页）， 答：第三天看了24页． 31．（24-25七年级上·重庆·开学考试）A、B、C三个油桶各盛油若干千克．第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶内的油分别增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、A两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第三次倒之前桶内油的2倍，这样，各桶的油都为16千克．问A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？ 【答案】原来A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千克． 【知识点】求一个数的几分之几的问题 【分析】本题考查的是逻辑推理，解决此问题的关键是用倒推法，从后往前一步步推算，即可得出结果． ①第三次后都为16千克，第三次前是C向A，B倒，并使A、B增加到第三次前的2倍，所以A、B两桶第三次前是16的一半，是即，所以第三次前（千克）； ②第二次是从B桶把油倒入C、A两桶，所以第二次倒前就是把C、A减半，再算出B； ③第一次把A油倒入B、C两桶，所以第一次倒前就是把B、C减半，再算出A． 【详解】解：如下表： 第三次倒以后 第二次倒以后 第一次倒以后 未倒时 用倒推法可得：原来A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千克． 【考点6】有理数的概念与分类（第32-35题） · 有理数分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数） · 正负数表示相反意义的量 · 0既不是正数也不是负数，0是最小的非负数 · 注意小数、百分数都可化成分数，属于有理数 32．（20-21七年级上·广东深圳·期中）在有理数：中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题主要考查了有理数的比较大小，根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数直接进行比较大小，两个负实数比较，绝对值大的反而小，再找出最小的数． 【详解】解：∵ ∴最小的数是, 故选：D． 33．（24-25六年级上·上海闵行·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．有理数包括正有理数和负有理数 B．和正整数称为非负数 C．除外，所有的有理数都有倒数 D．规定了原点、单位长度和正方向的射线叫做数轴 【答案】C 【知识点】有理数的分类、数轴的三要素及其画法、倒数 【分析】本题主要考查了有理数的分类，倒数，数轴，熟练掌握各个知识点是解题的关键．根据有理数的分类，倒数，数轴相关概念逐一判断即可． 【详解】解：、有理数包括正有理数，和负有理数，原选项说法错误，不符合题意； 、和正数称为非负数，原选项说法错误，不符合题意； 、除外，所有的有理数都有倒数，原选项说法正确，符合题意； 、规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 34．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）若海平面以上2000米记作“米”，那么海平面以下3000米记作“_________”． 【答案】米 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键． 根据题意得，海平面以上记作正，则海平面以下记作负，据此即可解答． 【详解】解：若海平面以上2000米记做“米”，那么海平面以下3000米记做“米”． 故答案为：米． 35．（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列各数分别填在相应的大括号内：． 正数：{    }    负分数：{    } 非负整数：{    }    负有理数：{    } 【答案】 正数：；    负分数：； 非负整数：；    负有理数：． 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键. 【详解】略 【考点7】数轴、相反数与绝对值（第36-39题） · 数轴三要素：原点、正方向、单位长度 · 互为相反数的两个数到原点的距离相等 · 绝对值是数轴上点到原点的距离，具有非负性：|a|≥0 · 绝对值非负性常与加法、乘法运算结合考查 36．（24-25七年级上·山东临沂·期中）实验室检测四个零件的质量（单位：克），按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”记录如下，其中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D．1.9 【答案】A 【知识点】绝对值的其他应用 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用．分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵，，，， 且， ∴最接近标准的是选项A中的零件． 故选：A． 37．（24-25八年级上·四川成都·期末）无理数的相反数是________． 【答案】 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的性质．熟练掌握相反数的定义，是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答． 【详解】解：数的相反数是． 故答案为：． 38．（24-25七年级上·全国·课后作业）绝对值小于4的所有非零整数的积为______． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了绝对值的性质、有理数的乘法，先根据绝对值的性质得出绝对值小于4的所有非零整数为：，，，，，，再根据有理数的乘法法则计算即可得解． 【详解】解：绝对值小于4的所有非零整数为：，，，，，， ∴积为， 故答案为：． 39．（23-24七年级上·湖北随州·期中）如图为武汉市地铁2号线地图的一部分，学生小王某天参加志愿者服务活动，从洪山广场站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束．如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下：，，，，，，，． (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求这次小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 【答案】(1)A站是洪山广场站 (2)小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是千米 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据按照正、负数表示的意义，相加计算即可得到答案． （2）利用正、负数表示站数的意义，相加得出总站数，再乘以平均距离即可得出答案． 【详解】（1）解：． ∴A站是洪山广场站． （2）解：， （千米）． ∴小王志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是千米． 【考点8】有理数的加减运算（第40-49题） · 同号相加取相同符号，异号相加取绝对值较大的符号 · 减去一个数等于加上它的相反数 · 省略加号的和的形式：把加减混合运算统一成加法 · 加法交换律、结合律可使计算简便 40．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各式的计算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大．先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【详解】解：A．，是正数，不符合题意； B．，是正数，不符合题意； C．，是负数，符合题意； D．，是正数，不符合题意； 故选：C． 41．（24-25七年级上·全国·单元复习）小磊解题时，将式子先变成，再计算，他运用了（   ） A．加法交换律 B．加法交换律和加法结合律 C．加法结合律 D．无法判断 【答案】C 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键．根据加法交换律和加法结合律的特点，结合题意即可求解． 【详解】解：将式子先变成，再计算，则小磊运用了加法结合律． 故选：C． 42．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）为了计算简便，把“”写成省略加号和括号的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合计算，根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行求解即可． 【详解】解：把“”写成省略加号和括号的形式是， 故选：D． 43．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）某次数学考试成绩以90分为标准，高于90分记“”，低于90分记为“”，将某小组五名同学的成绩简记为，，，，，这五名同学的平均成绩应为（   ） A．91分 B．92分 C．93分 D．94分 【答案】B 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的混合运算． 先计算简记成绩的平均值，再加上标准分90分，即可得到五名同学的平均成绩． 【详解】解：简记成绩的和为：， ∴简记成绩的平均值为：， ∴这五名同学的平均成绩为：（分）． 故选：B． 44．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）一辆巡逻车从A地出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达B地，若规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下表（单位：千米），则B地在A地的_______边（填“东”或“西”）． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 【答案】西 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查有理数加法的应用，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键．根据题意算出两地的距离，然后进行比较即可． 【详解】解：， ∴B地在A地的西边， 故答案为：西． 45．（2026·江苏宿迁·一模）计算的结果等于______． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【详解】解：． 46．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）定义表示不超过的最大整数．例：，，则的值为___________． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解题意；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：； 故答案为：． 47．（25-26七年级上·全国·期中）已知A地海拔高度为，而B地比A地低32米，则B地海拔高度为__________． 【答案】米 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查正负数的意义和有理数的减法，正确理解题意是解题的关键． 根据正负数的意义和有理数减法法则计算即可． 【详解】解：海拔为米，B地比A地低32米， 则海拔高为米 故答案为：米． 48．（26-27七年级上·全国·课后作业）填空： （1）温度比高________； （2）温度比低________； （3）海拔比高________； （4）从海拔到，下降了________． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【详解】解：（1） ∴温度比高； （2）， ∴温度比低； （3）， ∴海拔比高； （4）， ∴从海拔到，下降了． 49．（上海市六年级下学期期中模拟03（沪教版：有理数、一次方程（组）和一次不等式）-2023-2024学年六年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版））比18小5的数是___，比小的数是___． 【答案】 13 【知识点】有理数的减法运算 【分析】根据题意列出算式，计算即可求出值．此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴比18小5的数是13，比小的数是． 故答案为：13；． 【考点9】有理数的乘除运算与运算律（第50-54题） · 两数相乘除，同号得正，异号得负 · 除以一个数等于乘这个数的倒数 · 多个因数相乘：先定符号（负因数个数为奇数则积为负），再算绝对值 · 乘法分配律、结合律可简化运算 50．（2024·山西运城·三模）计算：（    ） A． B．3 C． D．12 【答案】B 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法，直接利用除法法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 51．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)5 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （3）根据有理数乘法运算法则，进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 52．（23-24七年级上·山东济宁·阶段检测）计算： 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数的乘法法则求解即可 【详解】解：原式 53．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2)-2 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，关键是熟记有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 根据有理数乘法法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 54．（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）定义一种新运算“”，其规则为．例如：． (1)求的值． (2)有理数的加法和乘法运算满足交换律，即．“”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由，若不满足，请举例说明． 【答案】(1) (2) 不满足，举例如下： ，， ∴； 故“”运算不满足交换律． 【知识点】有理数乘法运算律、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查定义新运算，有理数的运算： （1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可； （2）根据新运算的法则，进行判断即可． 【详解】（1）解：； （2）略． 【考点10】乘方与有理数混合运算（第55-60题） · 乘方：an表示n个a相乘，注意底数与指数的意义 · 负数的偶次幂为正，奇次幂为负 · −a2与（−a）2的区别：前者先算乘方再取负，后者整体乘方 · 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号 55．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期中）计算：______． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，根据的奇次幂结果为负，的偶次幂结果为正，即可求得． 【详解】解：因为，， 所以． 故答案为： 56．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，在正五边形中，已知a，b，c，d，e为正整数，且每条边上的三个数之和都等于，则_____． 【答案】117 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的运算，根据题意，得到 ，进而推出，且为正整数，分，，三种情况进行讨论计算即可． 【详解】解：由图和题意，可知： ， ∵a，b，c，d，e为正整数， ∴，且为正整数， 当时，， ∴， 当时，，当时，，与矛盾，不符合题意； 当时，，不符合题意； 故答案为：． 57．（25-26七年级上·全国·课后作业）对任意的非零有理数定义一种运算：．例如，的结果是___________． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，弄清题目中的新定义是解题的关键.根据所给的运算规则，将代入进行计算. 【详解】解： 故答案为：. 58．（26-27七年级上·全国·课后作业）地震震级是划分震源放出的能量大小的等级．级地震释放的能量大约是n级地震的1000倍．8级地震释放的能量大约是4级地震的多少倍？ 【答案】 8级地震释放的能量大约是4级地震的1000000倍 【知识点】乘方的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】先计算8级与4级的震级差，统计其中包含多少个2级的震级间隔，再结合每差2级的能量倍数计算总倍数． 【详解】解：∵级地震释放的能量是n级地震的1000倍，（级），，即8级与4级相差2个2级的震级间隔， ∴能量倍数为， 答：8级地震释放的能量大约是4级地震的1000000倍． 59．（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】有理数的乘方运算 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 60．（23-24六年级上·山东济南·期末）定义一种新运算“”： ，比如：． (1)求的值： (2)已知，请根据上述运算，求值． 【答案】(1)； (2)3. 【知识点】有理数四则混合运算、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】此题主要考查了定义新运算，有理数的混合解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据“”列式计算即可； （2）先根据列出方程，再根据解一元一次方程的方法，求出的值即可． 【详解】（1） ； （2）， ， ， ， ， 解得． 💯 课后巩固 复习建议 · 牢记分数乘除法法则：能约分的先约分，结果化成最简分数 · 混合运算遵循“先乘除后加减，有括号先算括号”，灵活运用运算律 · 分数应用题先找准单位“1”，分清“求几分之几”用乘法还是除法 · 数轴、相反数、绝对值三个概念结合数轴图形理解，注意绝对值的非负性 · 有理数运算先定符号再算绝对值，乘方运算分清底数、指数 【作业1】．（25-26六年级上·全国·课后作业）兴旺小学买来480台电脑，其中的分给了6年级，又把分给六年级的分给了6年3班，6年级3班分得电脑（   ）台． A．80 B．96 C．16 D．26 【答案】C 【知识点】 分数的连乘运算 【分析】本题主要考查了分数乘法的应用，把兴旺小学买来的480台电脑看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，用求出分给六年级的电脑台数，再用六年级的电脑台数乘就是分给6年级3班的台数． 【详解】解： （台） 所以6年级3班分得电脑16台． 故选：C． 【作业2】．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列运算中，结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分数的乘、除法的混合运算 【分析】本题考查了分数的乘除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据分数乘法，能约分的要约分，化成最简分数后，分子乘以分子作积的分子，分母乘以分母作积的分母；除以一个数等于乘以这个数的倒数，再根据分数乘法运算计算即可，最后比较大小“分子相同，分母大的数反而小”即可求解． 【详解】解：A、 B、 C、 D、 ∵， ∴结果最小的是， 故选：B ． 【作业3】．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）在，5，，，，中，负有理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查了负有理数的定义，判断每个数是否为负有理数，负有理数需满足两个条件：负数和有理数（可表示为整数之比），由此即可得出结果，熟练掌握负有理数的定义是解此题的关键． 【详解】解：是负有限小数，属于负有理数； 5是正数，不属于负有理数； 是负分数，属于负有理数； 是负无限循环小数，属于负有理数； 是正分数，不属于负有理数； 是负整数，属于负有理数； 综上所述，负有理数有4个， 故选：C． 【作业4】．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，数轴上的A、B两点分别表示有理数a、b，下列式子中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】此题考查了数轴，以及绝对值，有理数的加减法，弄清数轴上点表示的数以及绝对值的含义是解本题的关键．根据数轴上点的位置判断即可． 【详解】解：由数轴得，且， ∴，，， 故选A选项错误，符合题意， 故选：A． 【作业5】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则. 先确定符号，除以一个数就等于乘以一个数的倒数，再从左向右依次进行运算. 【详解】解：原式 故选：D． 【作业6】．（24-25六年级上·上海金山·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据程序流程图计算即可求解，理解程序框图中的运算规则是解题的关键． 【详解】解：当第一次输入的数是，， 第二次输入时，， ∴最后输出的结果为， 故选：． 【作业7】．（25-26六年级上·全国·课后作业）在横线上填“”“”或“”． ________ ________ ________ ________ 【答案】 【知识点】 分数与整数的乘法、 分数与分数的乘法 【分析】本题主要考查了因数和积的大小关系（分数乘法）、分数乘整数、分数乘分数等运算，解题的关键是熟练掌握分数运算的法则． 第一个：根据积和乘数的关系：一个非零数乘小于1的数，积小于它本身； 第二个：根据积和乘数的关系：一个非零数乘大于1的数，积大于它本身； 第三个：根据分数乘法的计算方法，计算两边算式的结果，再比较； 第四个：根据分数乘整数的计算方法，计算左边的结果，再比较． 【详解】解：和， 因为，所以； 和， 因为，所以； 和， 因为，，所以； 和， 因为，，所以； 故答案为：，，，． 【作业8】．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）新定义：一个两位数是素数，如果交换它的个位数字和十位数字后还是素数，那么称这个两位数为“绝对素数”．在两位数中，所有“绝对素数”的乘积的个位数字是_____． 【答案】3 【知识点】质数与合数 【分析】本题考查了新定义，素数； 根据“绝对素数”的定义找出两位数中所有的“绝对素数”，再把它们的个位相乘，可得答案． 【详解】解：由“绝对素数”的定义可知，两位数中的“绝对素数”有9个，分别为：11、13、17、31、37、71、73、79、97， 它们的个位分别是1、3、7、1、7、1、3、9、7， 因为， 所以在两位数中，所有“绝对素数”的乘积的个位数字是3， 故答案为：3． 【作业9】．（25-26六年级上·全国·课后作业）比12千克多千克是________千克，比12千克多是_______千克． 【答案】 16 【知识点】异分母分数加、减法、 求比一个数多/少几分之几的数是多少 【分析】本题考查了异分母分数加、减法的应用，求比一个数多/少几分之几的数是多少，熟练掌握以上知识点是解题的关键．第一个空，根据较小数差较大数，列式计算；第二个空，已知千克数是单位“1”，根据所求千克数是已知千克数的列式计算即可． 【详解】解：（千克） （千克） 故答案为：，16． 【作业10】．（2024·陕西榆林·二模）已知数轴上点A表示的数是，点B在点A的左侧，则点B表示的数可能是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】根据有理数大小比较的基本原则，计算解答即可． 本题考查了有理数大小的比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键． 【详解】根据两个负数相比较，绝对大的反而小的原则，得 ， 故答案为：． 【作业11】．（26-27七年级上·全国·课后作业）一天中午的气温是，晚上下降了，则晚上的气温是______． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】已知中午气温，气温下降需做减法运算，直接列式计算即可得到结果． 【详解】解：晚上的气温是． 【作业12】．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）计算：________． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查混合运算，掌握算理是解决问题的关键．先算括号里的，然后按照先乘除后加减计算即可． 【详解】解： ， ， ， ． 故答案为：10． 【作业13】．（25-26六年级上·上海·阶段检测）中有______个． 【答案】6 【知识点】分数与分数的除法 【分析】本题主要考查了分数的除法．根据分数的除法解答即可． 【详解】解：，， 所以中有6个． 故答案为：6． 【作业14】．（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）将写成省略括号的和的形式为_______________． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数加减运算中去括号的知识，属于基础题，注意掌握括号前面是正号则括号可以直接去掉，括号前面是负号则括号里面的各项要变号． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【作业15】．（25-26六年级上·全国·课后作业）一袋面粉重5千克，已经吃了它的，吃了( )千克． 【答案】 【知识点】求一个数的几分之几的问题 【分析】本题主要考查了求一个数的几分之几的问题、整数乘分数等知识点，正确确定单位“1”成为解题的关键． 由题意可知，把一袋面粉的重量看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此列式计算即可解答． 【详解】解：（千克）． 所以一袋面粉重5千克，已经吃了它的，吃了千克． 故答案为：． 【作业16】．（23-24七年级上·天津·开学考试）一辆汽车行驶12千米耗油升，照这样计算，行驶1千米要耗油( )升，1升汽油可以行驶( )千米． 【答案】 【知识点】 分数除法的应用 【分析】本题考查了分数除法的应用，解题的关键是明确求行驶1千米耗油量和1升油行驶路程时，分别用耗油量除以路程、路程除以耗油量． 求行驶1千米耗油量，用总耗油量除以行驶的总路程；求1升汽油可行驶的路程，用行驶的总路程除以总耗油量，分别通过分数除法计算得出结果． 【详解】解：行驶千米的耗油量：用总耗油量升除以行驶的总路程12千米，即（升）． 升汽油可行驶的路程：用行驶的总路程12千米除以总耗油量升，即（千米）． 故答案为：，． 【作业17】．（25-26六年级上·全国·课后作业）一个长方形的宽是米，长比宽多，这个长方形的面积是多少平方米？ 【答案】这个长方形的面积是平方米 【知识点】分数的四则混合运算 【分析】本题主要考查了分数乘法的计算及应用；由题意可知，把长方形的宽看作单位“1”，长是宽的，求比一个数多几分之几是多少，用这个数乘（几分之几）解答，据此用列式求出长方形的长，再根据长方形的面积长宽求出这个长方形的面积即可． 【详解】 （平方米）． 答：这个长方形的面积是平方米． 【作业18】．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各数的相反数、倒数和绝对值： (1)1.2； (2)； (3)． 【答案】(1)1.2的相反数是，倒数是，绝对值是1.2； (2)的相反数是，倒数是，绝对值是； (3)的相反数是，倒数是，绝对值是． 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、倒数 【分析】此题考查相反数的定义，倒数的定义，绝对值的定义； （1）根据各定义依次解答即可； （2）根据各定义依次解答即可； （3）根据各定义依次解答即可． 【详解】（1）解：1.2的相反数是，倒数是，绝对值是1.2． （2）的相反数是，倒数是，绝对值是． （3）的相反数是，倒数是，绝对值是． 【作业19】．（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，掌握有理数加法的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法法则进行运算即可． （2）根据有理数加法法则进行运算即可． （3）根据有理数加法法则进行运算即可． （4）根据有理数加法法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． 【作业20】．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键. 【详解】解：原式， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $