专题三· 期中综合复习·讲义（整数与整除 分数 有理数）2026--2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（整数与整除 分数 有理数） （知识梳理+典例+练习）2026年沪教版（五四制）六年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握分数与分数、分数与整数相乘的运算法则，能先约分再计算 · 理解分数除法的意义，熟练运用除以一个数等于乘这个数的倒数进行运算 · 掌握分数的四则混合运算顺序，能灵活运用运算律进行简便计算 · 理解有理数的概念、相反数与绝对值，会用数轴比较有理数的大小 · 综合运用有理数的乘方与四则混合运算解决实际应用与压轴问题 📚 知识梳理 ☆ 1.分数乘法 分数与整数相乘：用分数的分子乘整数，分母不变，能约分的先约分 分数与分数相乘：分子乘分子作分子，分母乘分母作分母，结果化为最简分数 分数连乘：多个分数相乘时，先约分再相乘，可使计算简便 概念辨析例题：计算 × 答案： 解析：先约分：3与9约去3得×，再约去4与8公因数4得×= ☆ 2.分数除法 除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数 分数除法的应用：已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法 工程问题模型：工作量=工作效率×工作时间，求合作时间用总工作量÷效率和 概念辨析例题：一袋大米重2.5千克，吃了它的 ，还剩多少千克？ 答案：1.5千克 解析：还剩 1−=，2.5×=2.5×0.6=1.5（千克） ☆ 3.分数的四则混合运算 运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号里面的 加法运算律：交换律 a+b=b+a，结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 乘法运算律：交换律 a×b=b×a，结合律 (a×b)×c=a×(b×c)，分配律 (a+b)×c=a×c+b×c 简便计算的常用方法：凑整、约分、去括号（注意符号变化） 概念辨析例题：简便计算：×+× 答案： 解析：逆用乘法分配律：×(+)=×1= ☆ 4.有理数的概念 正负数：大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不是正数也不是负数 数轴三要素：原点、正方向、单位长度；数轴上的点与有理数一一对应 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离，|a|≥0恒成立 概念辨析例题：−(−2025)的相反数的倒数是？ 答案：的相反数是−，其倒数为−2025；故−(−2025)的倒数为− 解析：−(−2025)=2025，2025的相反数是−2025，−2025的倒数是− ☆ 5.有理数的运算 有理数混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内 乘方：an表示n个a相乘；负数的奇次幂为负、偶次幂为正 运算律在有理数范围内同样适用，可先凑整简化运算 程序框图问题：按框图顺序代入数值逐步计算 概念辨析例题：计算：(−2)3−(−3)2÷(−) 答案：10 解析：(−2)3=−8，(−3)2=9，9÷(−)=−18，所以原式=−8−(−18)=10 ☆ 6.数轴上的动点问题 数轴上两点间距离：|a−b|，即右端点表示的数减左端点表示的数 点的平移：向右平移m个单位对应数加m，向左平移m个单位对应数减m 动点问题常转化为行程问题：路程=速度×时间，用含t的式子表示位置再列方程 概念辨析例题：数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为4，点P从A出发以每秒1个单位向右运动，t秒后点P表示的数是多少？ 答案：−2+t 解析：向右运动用加法：点P表示的数=−2+1×t=−2+t ☆ 7.规律探索与实际应用 数字类规律：观察相邻两项的差、比，或与项数n的关系，归纳通项公式 图形类规律：数图形的个数，找图形序号与数量的对应关系 实际应用建模：读懂题意，把实际问题转化为有理数运算或方程模型 新定义运算：按题目给出的新运算规则，代入数值逐步计算 概念辨析例题：观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2401，…，则72025的个位数字是？ 答案：7 解析：个位数字循环为7,9,3,1，周期为4；2025÷4=506余1，故个位数字为7 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 分数乘法 ×= 能约分的先约分，结果化为最简分数 分数除法 ÷=× 除以一个数等于乘这个数的倒数（除数不为0） 倒数 乘积为1的两个数互为倒数 0没有倒数；互为倒数的两数符号相同 正负数 大于0的数是正数，小于0的数是负数 0既不是正数也不是负数 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 a的相反数是−a；0的相反数是0 绝对值 |a|表示数a到原点的距离 |a|≥0；互为相反数的两个数绝对值相等 乘方 an=a×a×…×a（n个a相乘） 负数的偶次幂为正、奇次幂为负 数轴 原点、正方向、单位长度 数轴上的点与有理数一一对应 ⚠️ 核心考点 【考点1】分数乘法与除法（第1-11题） · · 分数乘除运算前先观察能否约分，先约分再计算可简化运算 · · 分数除法先转化为乘法（乘除数的倒数），再按乘法法则计算 · · 求一个数的几分之几用乘法；已知一个数的几分之几求这个数用除法 · · 结果必须化为最简分数，带分数参与运算先化成假分数 1．（25-26六年级上·全国·课后作业）（A、B、C均大于0），则比较A、B、C的大小正确的为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·全国·课后作业）学校买来了个篮球和一些排球，篮球的个数比排球的个数多．求学校买了多少个排球？下面列式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东东营·模拟预测）小明把错当成进行计算，这样算出的结果与正确结果相差（    ）． A． B． C． D．无法确定 4．（25-26七年级上·广东佛山·期末）把一张正方形的纸连续对折3次，折后的每一小份占这张正方形纸的（   ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级上·全国·课后作业）学校购来800本课外读物，把其中的分给六年级学生；其中六一班分得，六一班分得课外读物( )本． 6．（25-26六年级上·全国·课后作业）著名的《希腊文集》是一本用诗歌写成的问题集，当然，还包括一些用童话形式写成的数学题．其中，有这样一道与毕达哥拉斯（毕达哥拉斯是古希腊著名数学家，生活在公元前六世纪）有关的数学问题，有人问毕达哥拉斯：“有多少名学生在你的学校上课？”毕达哥拉斯这样回答：“其中在学习数学，在学习音乐，在默默思考，此外还有3名学生”，毕达哥拉斯一共有( )名学生． 7．（25-26六年级上·全国·课后作业）一辆新能源汽车每行驶1千米耗电千瓦时，照这样计算，行驶18千米耗电( )千瓦时，行驶千米耗电( )千瓦时． 8．（24-25六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）《庄子•天下篇》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完．照这样推算，第三天截取后剩下的长度占这根木棍的 ___________． 9．（24-25七年级下·重庆·自主招生）某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒，这列火车与另一列长98米，速度为每秒16米的列车错车而过，需要______秒钟． 10．（25-26六年级上·全国·课后作业）修一段路，第一天修了米，第二天修了余下的一半少米，第三天修了余下的多米，这时还余下米没有修．这段路全长多少米？ 11．（25-26六年级上·全国·课后作业）在北京举办的第24届冬季奥运会上，中国体育代表团获得15枚奖牌，创历史新高，比上一届多，中国在第23届冬季奥运会获得多少枚奖牌？ 【考点2】分数的四则混合运算与简便计算（第12-20题） · · 牢记运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号里面的 · · 灵活运用加法、乘法交换律与结合律凑整简化 · · 逆用乘法分配律 a×c+b×c=(a+b)×c 是简便计算的关键 · · 括号前是减号或除号时，去括号注意符号与运算顺序的变化 12．（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26七年级上·重庆·开学考试）下面不能用方程来表示的是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26六年级上·全国·课后作业）2024年10月21日，潍烟高铁开通运营，山东高铁运营里程进阶到3000公里＋，解决了烟台龙口、招远等地不通高铁的历史，莱州、招远等地至济南站最快1时3分钟，高铁列车到达济南站时，先下去车里人数的，又上来车里人数的，这时车里人数（   ） A．比原来少 B．比原来多 C．与原来相等 D．无法判断 15．（25-26六年级上·全国·课后作业）比12千克多千克是________千克，比12千克多是_______千克． 16．（25-26六年级上·全国·课后作业）计算．（用适当方法完成计算） (1) (2) 17．（25-26六年级上·全国·课后作业）计算： 18．（25-26六年级上·全国·课后作业）选择合适的方法计算： (1) (2) (3) (4) 19．（25-26六年级上·全国·课后作业）仔细算一算，怎样简便就怎样计算． (1) (2) 20．（25-26六年级上·全国·课后作业）怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【考点3】有理数的概念（第21-26题） · · 判断正负：以0为分界，注意0既不是正数也不是负数 · · 数轴辅助：数轴上右边的数总比左边的数大，距离用绝对值表示 · · 相反数与绝对值：互为相反数的两数和为0，绝对值相等 · · 多重符号化简：奇负偶正，如 −(−a)=a 21．（25-26六年级上·上海·单元复习）下列说法正确的有（　　） ①不是负数的数一定是正数； ②带“”号的数是正数，带“”号的数是负数； ③任意一个正数，前面加上“”号就是负数； ④大于0的数是正数； ⑤一定是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级上·全国·随堂练习）的倒数是（　　） A． B． C． D． 24．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 25．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）已知a、b、c、d为四个不相同的正整数，且满足，则的最小值为________． 26．（24-25七年级上·北京大兴·期中）对于有理数，我们给出如下定义：若满足，则称为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，其中是“和谐有理数对”的是_________； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则________(填“是”或“不是”)“和谐有理数对”，说明你的理由． 【考点4】有理数的运算（第27-33题） · · 混合运算顺序：先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内 · · 乘方注意底数符号，负数的奇次幂为负、偶次幂为正 · · 程序框图题按箭头顺序逐框代入计算，避免跳步出错 · · 新定义运算严格按题目规则代入数值计算 27．（26-27七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 28．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）若，，且，则的值为（   ） A．5 B．5或1 C．1 D．1或 29．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）．2025年元月6日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（　　） 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 A．巴黎是2025年元月6日 B．纽约是2025年元月6日 C．东京是2025年元月6日 D．上海是2025年元月6日 30．（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________． 31．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书．将九个数分别填入如图的九宫格内，使每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数之和相等，则代数式的值为____________． a 5 0 3 1 c b 4 32．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________ 33．（24-25六年级上·上海·期中）有5个有理数两两的乘积是如下的10个数：，1.512，1.8，720，，，，1.89，756，900，求这5个有理数． 【考点5】有理数运算的实际应用与综合压轴（第34-45题） · · 实际应用：把文字信息转化为有理数运算式，注意单位与正负号含义 · · 动点问题：用含时间t的式子表示点的位置，再列方程求解 · · 规律探索：从相邻项差、比或与序号的关系归纳通项，验证前几项 · · 数轴综合：借助数轴分析距离、位置关系，结合绝对值化简 34．（25-26九年级上·广东东莞·期中）对于任意整数n，多项式都能被以下哪个数整除（   ） A．9 B．2 C．11 D．13 35．（24-25六年级上·上海普陀·期中）一个两位数是素数，如果交换它的个位数字和十位数字后得到的新的两位数还是素数，那么称这个两位数为“绝对素数”．请写出一个“绝对素数”______． 36．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）如何破译密码？梅陇中学六年级的学生就可以做到．请阅读以下材料，开始学习：为了确保信息安全，信息需要加密传输，发送方为由明文密文，接收方由密文明文． 1949年美国数学家香农（）发表了《保密系统的通信理论》论文，建立了保密通信的数学原理，加密与解密才成为一种科学——密码学和密码分析学． 密码的使用对现代社会，尤其是军事信息安全传递是极其重要的，有一种密码的明文（真实文），其中的字母按计算机键盘顺序与26个自然数，，，，，对应（称为密码表，见下表），设明文的任一字母对应的自然数为x，通过某种规定的对应运算把x转化成为对应的自然数对应的字母为密文． 密码表 例如，有一种译文方法按照以下变换实现： ，其中是被除所得的余数与之和． 则时，，即明文译为密文；时，，即明文译为密文． 现有某种变换，将明文字母对应的自然数x变换为密文字母对应的自然数是被26除所得余数与之和（，）． 已知运用此变换，明文译为密文，则________． 请用此变换，把明文（“数学”的首字母简称）译为密文是字母________． 请用此变换，把密文（“梅陇学子”的首字母简称）译为明文是字母________________．（本题直接写出答案，不写过程） 37．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）对于数轴上两条线段，，给出如下定义：，分别为，上任意一点，，两点间距离的最小值记作；，两点间距离的最大值记作．为原点，线段，的长度分别为2和4，表示的点在线段上，表示6和10的点在线段上，则________． 38．（2025七年级上·江苏南通·专题练习）6个小朋友参加实验小学一年级跳绳比赛，其中2号小朋友跳了100下，王老师把比赛成绩记录成表．那么这组小朋友平均每人实际跳了________下；如果将1号小朋友的成绩记作0，那么3号小朋友的成绩应记作________． 编号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩/下 0 39．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）学校买来了5个保温瓶和10个茶杯，共用了90元钱．每个保温瓶是每个茶杯价钱的4倍，每个保温瓶( )元． 40．（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． 41．（24-25六年级下·上海虹口·期中）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见表），另有一张该商店的五一促销海报（见图） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)如果在5月1日前，在该店购置一台价值8000元的电器，如果这是一台一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，那么在“五一”期间，可以得到的优惠率是多少？（优惠率，结果在百分号前保留1位小数） (3)如果小红家本次购置电器的消费预算在7200元以内，那么他们应该如何选择才能即不超过预算，又能得到最大的优惠率呢？（优惠率）经过计算：完成以下购置计划清单：（结果在百分号前保留1位小数） 购置计划清单： ________型号的电冰箱、________型号的洗衣机、________型号的微波炉，优惠率为_______． 42．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 43．（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 44．（24-25六年级上·上海闵行·期中）第七届进博会日益临近，其话题热度持续攀升．鉴于此，甲、乙两家广播电台准备在进博会期间对早间新闻进行调整．两家电台均打算在每天早晨同时开始播报早间新闻．其中：甲台每播报9分钟新闻后插播3分钟广告；乙台每播报15分钟新闻后插播3分钟广告，当两家电台的广告第一次同时结束时，早间新闻播报结束．问： (1)早间新闻播报将在几点结束? (2)早间新闻播报期间甲、乙两台将分别插播几分钟广告? 45．（24-25六年级上·上海·阶段检测）出租车司机小刘某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向北为正，向南为负，他这天上午的行程是（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ (2)若汽车耗油量为升/千米，出车时，邮箱有油升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 💯 课后巩固 复习建议 · · 分数计算先观察约分，结果化为最简分数，带分数先化假分数 · · 混合运算牢记先乘除后加减，灵活运用运算律简化计算 · · 借助数轴理解相反数、绝对值，比较大小与求距离一目了然 · · 乘方运算注意底数符号，负数的奇偶次幂符号规律要记牢 · · 压轴题先读透题意，把实际问题转化为运算或方程模型再求解 【作业1】．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）的5倍是（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26六年级上·全国·课后作业）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”． ( ) ( )   ( ) 【作业3】．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）汽车行驶了，消耗了的汽油，则汽车每千米耗油______L． 【作业4】．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）一批零件，第一天做了总数的，第二天做了总数的还多20个，这时还剩360个没完成，这批零件共有多少个？ 【作业5】．（25-26六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）在计算时，琳琳把它算成，她的计算结果与正确的结果比较，（    ） A．大 B．小 C．没有变化 【作业6】．（25-26六年级上·全国·课后作业）一袋大米重，吃了它的后，又吃了，还剩( )． 【作业7】．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）果品公司运进一批橘子，第一天卖出全部的，第二天卖出剩下的，第三天比第一天少卖，这时还剩50千克，果品公司共运进了多少千克的橘子？ 【作业8】．（24-25七年级上·四川泸州·期中）下列说法中，正确的（    ） A．没有最大的正数，但有最大的负数 B．最大的负整数是 C．有理数包括正有理数和负有理数 D．一个有理数的绝对值总是正数 【作业9】．（第1章有理数全章复习与测试【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024））有下列各数：5，0，，． (1)写出这些数的相反数； (2)将这些数及它们的相反数都表示在同一条数轴上； (3)再按从大到小的顺序排列，并用“”连接； (4)写出比这些数都小的最大整数和比这些数都大的最小整数（直接写出答案）． 【作业10】．（24-25六年级上·上海金山·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【作业11】．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）定义一种新运算：※，例：．若，则的值为______． 【作业12】．（24-25六年级上·上海青浦·期中）计算：． 【作业13】．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【作业14】．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）在数轴上，点表示的数为，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点按照此规律不断地左右运动，当第2026次运动到点时对应的数为__________． 【作业15】．（25-26六年级下·上海·期末）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距．下表是本周每天的销售情况（超额记为正．不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周四销售该品牌儿童滑板车 辆； (2)本周销售量最多的一天比最少的一天多 ； (3)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（整数与整除 分数 有理数） （知识梳理+典例+练习）2026年沪教版（五四制）六年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握分数与分数、分数与整数相乘的运算法则，能先约分再计算 · 理解分数除法的意义，熟练运用除以一个数等于乘这个数的倒数进行运算 · 掌握分数的四则混合运算顺序，能灵活运用运算律进行简便计算 · 理解有理数的概念、相反数与绝对值，会用数轴比较有理数的大小 · 综合运用有理数的乘方与四则混合运算解决实际应用与压轴问题 📚 知识梳理 ☆ 1.分数乘法 分数与整数相乘：用分数的分子乘整数，分母不变，能约分的先约分 分数与分数相乘：分子乘分子作分子，分母乘分母作分母，结果化为最简分数 分数连乘：多个分数相乘时，先约分再相乘，可使计算简便 概念辨析例题：计算 × 答案： 解析：先约分：3与9约去3得×，再约去4与8公因数4得×= ☆ 2.分数除法 除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数 分数除法的应用：已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法 工程问题模型：工作量=工作效率×工作时间，求合作时间用总工作量÷效率和 概念辨析例题：一袋大米重2.5千克，吃了它的 ，还剩多少千克？ 答案：1.5千克 解析：还剩 1−=，2.5×=2.5×0.6=1.5（千克） ☆ 3.分数的四则混合运算 运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号里面的 加法运算律：交换律 a+b=b+a，结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 乘法运算律：交换律 a×b=b×a，结合律 (a×b)×c=a×(b×c)，分配律 (a+b)×c=a×c+b×c 简便计算的常用方法：凑整、约分、去括号（注意符号变化） 概念辨析例题：简便计算：×+× 答案： 解析：逆用乘法分配律：×(+)=×1= ☆ 4.有理数的概念 正负数：大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不是正数也不是负数 数轴三要素：原点、正方向、单位长度；数轴上的点与有理数一一对应 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离，|a|≥0恒成立 概念辨析例题：−(−2025)的相反数的倒数是？ 答案：的相反数是−，其倒数为−2025；故−(−2025)的倒数为− 解析：−(−2025)=2025，2025的相反数是−2025，−2025的倒数是− ☆ 5.有理数的运算 有理数混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内 乘方：an表示n个a相乘；负数的奇次幂为负、偶次幂为正 运算律在有理数范围内同样适用，可先凑整简化运算 程序框图问题：按框图顺序代入数值逐步计算 概念辨析例题：计算：(−2)3−(−3)2÷(−) 答案：10 解析：(−2)3=−8，(−3)2=9，9÷(−)=−18，所以原式=−8−(−18)=10 ☆ 6.数轴上的动点问题 数轴上两点间距离：|a−b|，即右端点表示的数减左端点表示的数 点的平移：向右平移m个单位对应数加m，向左平移m个单位对应数减m 动点问题常转化为行程问题：路程=速度×时间，用含t的式子表示位置再列方程 概念辨析例题：数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为4，点P从A出发以每秒1个单位向右运动，t秒后点P表示的数是多少？ 答案：−2+t 解析：向右运动用加法：点P表示的数=−2+1×t=−2+t ☆ 7.规律探索与实际应用 数字类规律：观察相邻两项的差、比，或与项数n的关系，归纳通项公式 图形类规律：数图形的个数，找图形序号与数量的对应关系 实际应用建模：读懂题意，把实际问题转化为有理数运算或方程模型 新定义运算：按题目给出的新运算规则，代入数值逐步计算 概念辨析例题：观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2401，…，则72025的个位数字是？ 答案：7 解析：个位数字循环为7,9,3,1，周期为4；2025÷4=506余1，故个位数字为7 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 分数乘法 ×= 能约分的先约分，结果化为最简分数 分数除法 ÷=× 除以一个数等于乘这个数的倒数（除数不为0） 倒数 乘积为1的两个数互为倒数 0没有倒数；互为倒数的两数符号相同 正负数 大于0的数是正数，小于0的数是负数 0既不是正数也不是负数 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 a的相反数是−a；0的相反数是0 绝对值 |a|表示数a到原点的距离 |a|≥0；互为相反数的两个数绝对值相等 乘方 an=a×a×…×a（n个a相乘） 负数的偶次幂为正、奇次幂为负 数轴 原点、正方向、单位长度 数轴上的点与有理数一一对应 ⚠️ 核心考点 【考点1】分数乘法与除法（第1-11题） · · 分数乘除运算前先观察能否约分，先约分再计算可简化运算 · · 分数除法先转化为乘法（乘除数的倒数），再按乘法法则计算 · · 求一个数的几分之几用乘法；已知一个数的几分之几求这个数用除法 · · 结果必须化为最简分数，带分数参与运算先化成假分数 1．（25-26六年级上·全国·课后作业）（A、B、C均大于0），则比较A、B、C的大小正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】 分数与分数的乘法 【分析】本题主要考查了分数乘分数，掌握分数乘法的特点“积一定，一个数乘的数越大其本身越小”是解题的关键． 根据积一定，一个数乘的数越大其本身越小，据此比较已知的各乘数即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴． 故选：C． 2．（25-26六年级上·全国·课后作业）学校买来了个篮球和一些排球，篮球的个数比排球的个数多．求学校买了多少个排球？下面列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】 求比一个数多/少几分之几的数是多少、 分数除法的应用 【分析】本题考查了已知比一个数多少几分之几是多少，求这个数，先把排球的个数看作单位“”，则篮球个数是排球的，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，据此解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、篮球的个数比排球的个数多，所以是，不是，故选项错误； 、已知排球的是个，求排球个数用除法，所以列式为，故选项正确； 、篮球的个数比排球的个数多，所以是，不是，故选项错误； 、 已知排球的是个，求排球个数用除法，而不是乘法，故选项错误； 故答案为：． 3．（2024·山东东营·模拟预测）小明把错当成进行计算，这样算出的结果与正确结果相差（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】 分数与分数的乘法 【分析】本题考查乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键； 根据乘法分配律运算求解即可； 【详解】解： ； 故选：B． 4．（25-26七年级上·广东佛山·期末）把一张正方形的纸连续对折3次，折后的每一小份占这张正方形纸的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的几分之几的问题 【分析】本题主要考查了求一个数的几分之几，确定把一张正方形的纸连续对折3次后得到8份是解题的关键． 根据题意可知把一张正方形的纸连续对折3次得到8份，再求每一小份占这张正方形纸的几分之几即可． 【详解】解：∵对折一次，份数变为2份；对折两次，份数变为4份；对折三次，份数变为8份， ∴每一小份占这张正方形纸的． 故选C． 5．（25-26六年级上·全国·课后作业）学校购来800本课外读物，把其中的分给六年级学生；其中六一班分得，六一班分得课外读物( )本． 【答案】40 【知识点】求一个数的几分之几的问题、 分数与整数的乘法 【分析】本题主要考查了分数的连乘运算、求一个数的几分之几等知识点，根据题意确定“单位1”成为解题的关键． 把学校购来课外读物的总本数看作单位“1”，六年级学生分得其中的，单位“1”已知，用总本数乘，求出六年级分得的本数；其中六一班分得，把六年级分得的本数看作单位“1”，由于单位“1”已知，用六年级分得的本数乘，即可求出六一班分得的本数． 【详解】解： （本）． 所以，六一班分得课外读物40本． 故答案为40． 6．（25-26六年级上·全国·课后作业）著名的《希腊文集》是一本用诗歌写成的问题集，当然，还包括一些用童话形式写成的数学题．其中，有这样一道与毕达哥拉斯（毕达哥拉斯是古希腊著名数学家，生活在公元前六世纪）有关的数学问题，有人问毕达哥拉斯：“有多少名学生在你的学校上课？”毕达哥拉斯这样回答：“其中在学习数学，在学习音乐，在默默思考，此外还有3名学生”，毕达哥拉斯一共有( )名学生． 【答案】126 【知识点】 分数除法的应用 【分析】此题考查了运用分数运算解决实际问题，将学生总人数看作单位“1”， 学习数学的对应分率学习音乐的对应分率默默思考的对应分率剩余学生的对应分率，剩余学生的人数对应分率总人数，据此列式计算． 【详解】解： （名）． 答：毕达哥拉斯一共有126名学生． 故答案为：126． 7．（25-26六年级上·全国·课后作业）一辆新能源汽车每行驶1千米耗电千瓦时，照这样计算，行驶18千米耗电( )千瓦时，行驶千米耗电( )千瓦时． 【答案】 【知识点】 分数与分数的乘法、 分数与整数的乘法 【分析】本题主要考查了分数乘分数、整数乘分数，解题的关键是熟练掌握分数的运算法则． 已知行驶1千米的耗电量，要计算行驶相应路程的耗电量用乘法计算，即行驶18千米的耗电量为，行驶千米的耗电量为，据此解答． 【详解】解：（千瓦时）， （千瓦时）， 所以，行驶18千米耗电千瓦时，行驶千米耗电千瓦时． 故答案为：，． 8．（24-25六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）《庄子•天下篇》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完．照这样推算，第三天截取后剩下的长度占这根木棍的 ___________． 【答案】 【知识点】 分数的连乘运算 【分析】本题考查了分数的乘法，掌握分数的乘法运算法则是解题的关键． 根据题意列式计算即可求解； 【详解】解： 故第三天截取后剩下的长度占这根木棍的； 故答案为： 9．（24-25七年级下·重庆·自主招生）某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒，这列火车与另一列长98米，速度为每秒16米的列车错车而过，需要______秒钟． 【答案】5 【知识点】分数的乘、除法的混合运算 【分析】先计算火车的车长和速度，再根据答即可． 本题考查了分数的应用，熟练掌握分数的应用是解题的关键． 【详解】解：火车的速度为：米/秒， 故车长为：（米）， 故（秒）， 故答案为：5． 10．（25-26六年级上·全国·课后作业）修一段路，第一天修了米，第二天修了余下的一半少米，第三天修了余下的多米，这时还余下米没有修．这段路全长多少米？ 【答案】这段路全长米 【知识点】工程问题、 分数除法的应用 【分析】本题考查工程问题，分数除法的应用． 先把第二天修完后余下的长度看作单位“”，则米占它的，由此可得第二天修完后余下的长度，再把第一天修完后余下的长度看作单位“”，则第二天修完后余下长度减去米的长度占它的，由此可得第一天修完后余下的长度，从而可得这段路的全长． 【详解】第二天修完后余下的长度： （米） 第一天修完后余下的长度： （米） 全长：（米） 答：这段路全长米． 11．（25-26六年级上·全国·课后作业）在北京举办的第24届冬季奥运会上，中国体育代表团获得15枚奖牌，创历史新高，比上一届多，中国在第23届冬季奥运会获得多少枚奖牌？ 【答案】中国在第23届冬季奥运会获得9枚奖牌 【知识点】 分数除法的应用 【分析】本题考查已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数：将第23届冬季奥运会获得奖牌数看作单位“1”，第24届冬季奥运会获得奖牌数是第23届的，第24届冬季奥运会获得奖牌数对应分率第23届冬季奥运会获得奖牌数． 【详解】解：（枚）； 答：中国在第23届冬季奥运会获得9枚奖牌． 【考点2】分数的四则混合运算与简便计算（第12-20题） · · 牢记运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号里面的 · · 灵活运用加法、乘法交换律与结合律凑整简化 · · 逆用乘法分配律 a×c+b×c=(a+b)×c 是简便计算的关键 · · 括号前是减号或除号时，去括号注意符号与运算顺序的变化 12．（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分数的四则混合运算 【分析】本题考查分数的混合运算，掌握运算法则先运算括号，然后运算乘除，最后加减解题即可． 【详解】解：A. ，原计算错误； B. ，原计算错误； C. ，计算正确； D. ，原计算错误； 故答案为：C． 13．（25-26七年级上·重庆·开学考试）下面不能用方程来表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分数的四则混合运算 【分析】本题考查了分数的应用；逐项分析各个选项中的数量关系即可得出答案． 【详解】解：A．一个小格为平方厘米，总面积是80平方厘米，可得； B．小三角形的底是大三角形底的，高相等，则小三角形面积，梯形的面积=大三角形的面积+小三角形的面积，即； C．等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，即圆锥体积是，所以； D：一个小格是，则； 综合以上分析可得选项A不能用此方程来表示． 故选：A． 14．（25-26六年级上·全国·课后作业）2024年10月21日，潍烟高铁开通运营，山东高铁运营里程进阶到3000公里＋，解决了烟台龙口、招远等地不通高铁的历史，莱州、招远等地至济南站最快1时3分钟，高铁列车到达济南站时，先下去车里人数的，又上来车里人数的，这时车里人数（   ） A．比原来少 B．比原来多 C．与原来相等 D．无法判断 【答案】A 【知识点】分数的四则混合运算 【分析】本题主要考查了异分母分数加、减法、分数乘分数、求一个数的几分之几的问题，解题的关键是理解分数的意义．可以把车里原来的人数看作单位“1”，则下去车里人数的之后还剩下，再上来车里人数的，即上来的，据此用加法进一步算出此时车里的人数，再和原来的人数比较即可． 【详解】解：， ， ， ， 所以，车里现在只有原来总人数的，所以这时车里人数比原来少． 故答案为：A． 15．（25-26六年级上·全国·课后作业）比12千克多千克是________千克，比12千克多是_______千克． 【答案】 16 【知识点】 求比一个数多/少几分之几的数是多少、异分母分数加、减法 【分析】本题考查了异分母分数加、减法的应用，求比一个数多/少几分之几的数是多少，熟练掌握以上知识点是解题的关键．第一个空，根据较小数差较大数，列式计算；第二个空，已知千克数是单位“1”，根据所求千克数是已知千克数的列式计算即可． 【详解】解：（千克） （千克） 故答案为：，16． 16．（25-26六年级上·全国·课后作业）计算．（用适当方法完成计算） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】分数的四则混合运算 【分析】本题考查了运算律和分数的混合运算，先观察分数之间的关系，再进行合理的拆解和简化，运用加法的交换律、加法结合律、乘法的分配律以及减法的运算性质进行简便． （1）先把带分数拆解为整数和真分数，然后根据加法的交换律和加法结合律，把整数与整数相加，分数与分数相加，可以分解为，可以分解为，其他的分数也都分解为两个分数相减的形式，然后再加减相抵消，最后再与整数部分相加． （2）假设，，则，再把字母代入算式中，再根据乘法分配律、加法的交换律、结合律及减法的运算性质，进行简便运算． 【详解】（1） ； （2）假设，， 则， 则 ． 17．（25-26六年级上·全国·课后作业）计算： 【答案】 【知识点】分数的四则混合运算 【分析】本题考查了分数的四则运算，解题的关键是利用整体思想化简所求式子，再进行计算．设，，把和代入式子进行简化，然后利用乘法分配律、减法的性质进行计算，据此解答． 【详解】解：设，， ． 18．（25-26六年级上·全国·课后作业）选择合适的方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)110 (2)0.726 (3)47 (4) 【知识点】分数的四则混合运算 【分析】本题考查了分式的四则混合运算． （1）根据乘法分配律的逆运算简算； （2）先算，再算除法； （3）根据乘法分配律简算； （4）先将小括号去掉，减去变成加上，先算加法，再根据乘法分配律简算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．（25-26六年级上·全国·课后作业）仔细算一算，怎样简便就怎样计算． (1) (2) 【答案】(1)8 (2)28 【知识点】分数的四则混合运算、 分数与整数的乘法 【分析】本题主要考查了整数乘法运算定律推广到分数乘法，解题的关键是掌握乘法运算律． （1）利用乘法交换律进行简算； （2）利用乘法分配律进行简算． 【详解】（1）解：； （2）解：． 20．（25-26六年级上·全国·课后作业）怎样简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)2 (3)13 (4)1 (5)13 (6)10 【知识点】运算定律与简便运算、分数的四则混合运算 【分析】本题考查了分数的四则混合运算、分数除法相关的简便计算、整数乘法运算定律推广到分数乘法． （1）根据运算顺序，先算括号里的除法，再算括号里的减法，最后算括号外的乘法； （2）根据运算顺序，先算除法，再根据减法的性质变为：，即可简便运算； （3）根据乘法分配律的逆运算，原式变为：即可简便运算； （4）先算小括号里的加法；再算中括号里的乘法，最后算中括号外的除法； （5）除以一个数相当于乘它的倒数，把除法转换成乘法，最后运用乘法分配律变为：，即可简便运算； （6）根据小数化分数的方法，将原式变为：，再根据乘法分配律的逆运算变为：，即可简便运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【考点3】有理数的概念（第21-26题） · · 判断正负：以0为分界，注意0既不是正数也不是负数 · · 数轴辅助：数轴上右边的数总比左边的数大，距离用绝对值表示 · · 相反数与绝对值：互为相反数的两数和为0，绝对值相等 · · 多重符号化简：奇负偶正，如 −(−a)=a 21．（25-26六年级上·上海·单元复习）下列说法正确的有（　　） ①不是负数的数一定是正数； ②带“”号的数是正数，带“”号的数是负数； ③任意一个正数，前面加上“”号就是负数； ④大于0的数是正数； ⑤一定是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】正负数的定义、相反数的定义 【分析】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键．根据正数和负数的定义进行判断即可． 【详解】解：不是负数的数是正数或0，则①错误； ，它是负数，，它是正数，则②错误； 一个正数前面加上“”号就是负数，则③正确； 正数都大于0，则④正确； 当为负数时，为正数，则⑤错误； 综上，正确的个数为2个， 故选：B． 22．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用数轴比较有理数的大小、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 23．（24-25七年级上·全国·随堂练习）的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值、倒数、相反数的定义 【分析】本题考查了绝对值、相反数、倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据绝对值、相反数的定义化简，再根据倒数的定义即可解答． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：D． 24．（24-25七年级上·山东聊城·期末）下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】化简多重符号 【分析】本题主要考查有理数的化简，熟练掌握相反数和绝对值是解题的关键．根据相反数和绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 25．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）已知a、b、c、d为四个不相同的正整数，且满足，则的最小值为________． 【答案】23 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据、、、为四个不相同的正整数，且满足，可以求得、、、对应的数字，然后即可得到的最小值． 【详解】解：、、、为四个不相同的正整数，且满足， ， ， ，，，是1，，2，中的一个数字，且只能对应其中的一个数字， 不妨设，，，， 解得，，，， ，，，是4，2，5，1中的一个数字，且只能对应其中的一个数字， 当，，，时，取得最小值，此时的值为23， 故答案为：23． 26．（24-25七年级上·北京大兴·期中）对于有理数，我们给出如下定义：若满足，则称为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，其中是“和谐有理数对”的是_________； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则________(填“是”或“不是”)“和谐有理数对”，说明你的理由． 【答案】(1) (2)7 (3)是， 理由如下： ，是和谐有理数对， ， 当，时， ，， 是“和谐有理数对”， 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知字母的值 ，求代数式的值、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和新定义，代数式求值； （1）先分别求出各组数据中的和的值，然后根据已知条件中的新定义解析判断即可； （2）先根据新定义，列出关于的等式，求出的值，再利用整体代入求出答案即可； （3）先根据已知条件和新定义，求出关于，的等式，然后再求出当，时，和，进行判断即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， ， 是“和谐有理数对”； 当，时， ， 不是“和谐有理数对”； 当，时， ， 是“和谐有理数对”； 故答案为：． （2） 是“和谐有理数对”， ， ， ， ， ； （3） 略 【考点4】有理数的运算（第27-33题） · · 混合运算顺序：先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内 · · 乘方注意底数符号，负数的奇次幂为负、偶次幂为正 · · 程序框图题按箭头顺序逐框代入计算，避免跳步出错 · · 新定义运算严格按题目规则代入数值计算 27．（26-27七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】先统一成乘法运算，再按从左往右的顺序依次计算． 【详解】解：． 28．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）若，，且，则的值为（   ） A．5 B．5或1 C．1 D．1或 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算、绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了绝对值的性质及有理数的加法、乘法，解题的关键是根据，即，异号分情况讨论．由绝对值的性质，先求得x、y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴当，时，； 当，时，． 故选：D． 29．（24-25七年级上·湖南娄底·期末）下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）．2025年元月6日，我国中央广播电视总台综合频道《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（　　） 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差 A．巴黎是2025年元月6日 B．纽约是2025年元月6日 C．东京是2025年元月6日 D．上海是2025年元月6日 【答案】A 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查有理数加减的实际应用，正负数的应用，根据题意，分别计算纽约，巴黎，东京，上海在此时的时间，即可求解． 【详解】解：A、巴黎与北京的时差为，， 故巴黎此时时间为2025年元月6日，而不是，故选项A符合题意； B、纽约与北京的时差为，， 故纽约此时时间为：2025年元月6日，故选项B不符合题意； C、东京与北京的时差为，， 故东京此时时间为2025年元月6日，故选项C不符合题意； D、上海与北京没有时差，故上海是2025年元月6日，故选项D不符合题意； 故选：A． 30．（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________． 【答案】8 【知识点】乘方的应用、有理数的乘方运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数乘方的规律型问题．熟练掌握个位数字的变化规律，确定循环组及组数，是解题关键． 观察发现个位数字是以1、7、9、3为一个循环组，再根据即可得的个位数是7，计算即得个位数字． 【详解】∵，，，，，，… ∴每4个数为一个循环组， ∵， ∴的个位数是7， ∴， 故的个位数字为：8． 31．（25-26七年级上·陕西渭南·期中）九宫格是一款数学游戏，起源于河图洛书．将九个数分别填入如图的九宫格内，使每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数之和相等，则代数式的值为____________． a 5 0 3 1 c b 4 【答案】 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)、有理数加减混合运算的应用 【分析】此题考查了有理数的加减运算能力，解题关键是能利用九宫格进行有理数加减运算．由可知，每行、每列、每条对角线上的三个数字之和为3，则可求得、、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：， 解得：， 故答案为． 32．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________ 【答案】或或 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 根据有理数的运算法则列式即可． 【详解】解：由图可得，符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 33．（24-25六年级上·上海·期中）有5个有理数两两的乘积是如下的10个数：，1.512，1.8，720，，，，1.89，756，900，求这5个有理数． 【答案】，，，，或，，，， 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查有理数的乘法，先将5个有理数两两的积由小到大排列，5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0，可得这5个有理数中有1个负数和4个正数，或者一个正数和4个负数，再据此分类讨论解答． 【详解】解：将5个有理数两两的积由小到大排列： ， 因为5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0， 所以这5个有理数中有1个负数和4个正数，或者一个正数和4个负数， 分两种情况： 若这5个有理数是1负4正，可设，则 ， 所以，，， 由， 解得：，，， 再由，，得，， 经检验，，，，满足题意； 若这5个有理数1正4负，可设，则 ， 其中，的大小关系暂时不能确定， 所以，，， 由， 解得：，，， 再由，，得，， 经检验，，，，满足题意； 综上，这五个有理数是，，，，或，，，，． 【考点5】有理数运算的实际应用与综合压轴（第34-45题） · · 实际应用：把文字信息转化为有理数运算式，注意单位与正负号含义 · · 动点问题：用含时间t的式子表示点的位置，再列方程求解 · · 规律探索：从相邻项差、比或与序号的关系归纳通项，验证前几项 · · 数轴综合：借助数轴分析距离、位置关系，结合绝对值化简 34．（25-26九年级上·广东东莞·期中）对于任意整数n，多项式都能被以下哪个数整除（   ） A．9 B．2 C．11 D．13 【答案】A 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，将多项式进行因式分解后进行判断即可． 【详解】解： ； 故多项式能被9整除； 故选A． 35．（24-25六年级上·上海普陀·期中）一个两位数是素数，如果交换它的个位数字和十位数字后得到的新的两位数还是素数，那么称这个两位数为“绝对素数”．请写出一个“绝对素数”______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】质因数的含义 【分析】本题考查了新定义“绝对素数”，根据“绝对素数”的定义找出两位数中的“绝对素数”，可得答案． 【详解】解：解：由“绝对素数”的定义可知，两位数中的“绝对素数”有个，分别为：、、、、、、、、， 故答案为：． 36．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）如何破译密码？梅陇中学六年级的学生就可以做到．请阅读以下材料，开始学习：为了确保信息安全，信息需要加密传输，发送方为由明文密文，接收方由密文明文． 1949年美国数学家香农（）发表了《保密系统的通信理论》论文，建立了保密通信的数学原理，加密与解密才成为一种科学——密码学和密码分析学． 密码的使用对现代社会，尤其是军事信息安全传递是极其重要的，有一种密码的明文（真实文），其中的字母按计算机键盘顺序与26个自然数，，，，，对应（称为密码表，见下表），设明文的任一字母对应的自然数为x，通过某种规定的对应运算把x转化成为对应的自然数对应的字母为密文． 密码表 例如，有一种译文方法按照以下变换实现： ，其中是被除所得的余数与之和． 则时，，即明文译为密文；时，，即明文译为密文． 现有某种变换，将明文字母对应的自然数x变换为密文字母对应的自然数是被26除所得余数与之和（，）． 已知运用此变换，明文译为密文，则________． 请用此变换，把明文（“数学”的首字母简称）译为密文是字母________． 请用此变换，把密文（“梅陇学子”的首字母简称）译为明文是字母________________．（本题直接写出答案，不写过程） 【答案】；； 【知识点】数的整除 【分析】本题考查了数的整除的应用，根据题意分析，分析对应的字母，结合已知条件求得对应关系式中的的值，再根据对应关系分别把明文和密文进行转化，即可求解． 【详解】解：明文译为密文，即时， ∵是被26除所得余数与之和（，）． ∴被26除所得余数为 ∴，其中为自然数， ∴ ∵ ∴当时， ∵明文，对应的， ∴是被26除所得余数与之和，余数为： ∴对应点密文为： ∵明文，对应的， ∴是被26除所得余数与之和，余数为： ∴对应点密文为： ∴把明文（“数学”的首字母简称）译为密文是字母； 密文分别对应的 ∴被26除所得余数分别为 当时， ∵其中为自然数，当时， （舍去） 当时，； 当时， ∵其中为自然数，当时， 当时， ∵其中为自然数，当时， 当时， ∵其中为自然数，当时， （舍去） 当时，， 综上所述，当被26除所得余数分别为时，，则明文为： 故答案为：；；． 37．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）对于数轴上两条线段，，给出如下定义：，分别为，上任意一点，，两点间距离的最小值记作；，两点间距离的最大值记作．为原点，线段，的长度分别为2和4，表示的点在线段上，表示6和10的点在线段上，则________． 【答案】20 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算、用数轴上的点表示有理数、有理数加法运算 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减法，数轴上两点之间的距离，解题的关键是理解新定义的含义，运用数形结合和分类讨论思想；由题意可知，线段b两个端点表示的数分别为6、10，再讨论表示的点是线段a的左，右端点，进而求出和，再计算求解即可． 【详解】解：表示6和10的点在线段上，的长度为4，， 线段b两个端点表示的数分别为6、10， 当表示的点是线段a的右端点时，则线段a的左端点为：， ， 当表示的点是线段a的左端点时，则线段a的右端点为：， ， ， 故答案为：20． 38．（2025七年级上·江苏南通·专题练习）6个小朋友参加实验小学一年级跳绳比赛，其中2号小朋友跳了100下，王老师把比赛成绩记录成表．那么这组小朋友平均每人实际跳了________下；如果将1号小朋友的成绩记作0，那么3号小朋友的成绩应记作________． 编号 1号 2号 3号 4号 5号 6号 成绩/下 0 【答案】 102 +2 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数的混合运算应用，解决此题的关键是正确的计算；先算出总成绩，即可算出平均数；根据正负数的意义得到第二空的答案即可； 【详解】解：（下）， （下）， 答：平均每个小朋友跳102下． ， 如果将1号小朋友的成绩记作0，那么3号小朋友的成绩应记作． 故答案为：102；． 39．（24-25七年级上·广西南宁·开学考试）学校买来了5个保温瓶和10个茶杯，共用了90元钱．每个保温瓶是每个茶杯价钱的4倍，每个保温瓶( )元． 【答案】12 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了整数除法的应用，正确列出运算式子是解题关键．根据每个保温瓶是每个茶杯价钱的4倍可将5个保温瓶换成20个茶杯，据此即可求出每个茶杯的价格，然后乘以4即可得每个保温瓶的价格． 【详解】解：每个茶杯的价格是（元）， 所以每个保温瓶的价格是（元）， 故答案为：12． 40．（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 41．（24-25六年级下·上海虹口·期中）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见表），另有一张该商店的五一促销海报（见图） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)如果在5月1日前，在该店购置一台价值8000元的电器，如果这是一台一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，那么在“五一”期间，可以得到的优惠率是多少？（优惠率，结果在百分号前保留1位小数） (3)如果小红家本次购置电器的消费预算在7200元以内，那么他们应该如何选择才能即不超过预算，又能得到最大的优惠率呢？（优惠率）经过计算：完成以下购置计划清单：（结果在百分号前保留1位小数） 购置计划清单： ________型号的电冰箱、________型号的洗衣机、________型号的微波炉，优惠率为_______． 【答案】(1)6400元 (2) (3)二级冰箱，一级洗衣机，一级微波炉， ． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，弄清题意，理清各量间的关系，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据题意，国补后只需要支付元，解答即可． （2）根据题意，购买一级冰箱国补金额，购买一级洗衣机国补金额，购买一级微波炉国补金额，计算国补后的总金额，计算再优惠金额，根据题意，计算可得优惠率解答即可． （3）根据题意，分类计算，比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补：元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付元． （2）解：根据题意，购买一级冰箱国补元， 购买一级洗衣机国补元， 购买一级微波炉国补元， 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠1000元， 根据题意，优惠率． （3）解：根据题意，依据国补标准，计算如下： 一级冰箱国补元，实付4800元； 二级冰箱国补元，实付4250元； 一级洗衣机国补元，实付3200元； 二级洗衣机国补元，实付2140元； 一级微波炉国补元，实付720元； 二级微波炉国补元，实付510元； 第一种组合：购买一级冰箱，一级洗衣机，一级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠1000元，实际支付7720元，超出预算，不符合题意； 第二种组合：购买一级冰箱，一级洗衣机，二级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠1000元，实际支付7510元，超出预算，不符合题意； 第三种组合：购买一级冰箱，二级洗衣机，一级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600元，实际支付7060元，没有超出预算，符合题意； 优惠率． 第四种组合：购买一级冰箱，二级洗衣机，二级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600元，实际支付6940元，没有超出预算，符合题意； 优惠率． 第五种组合：购买二级冰箱，一级洗衣机，一级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠1000，实际支付7170元，没有超出预算，符合题意； 优惠率． 第六种组合：购买二级冰箱，一级洗衣机，二级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600，实际支付7360元，超出预算，不符合题意； 第七种组合：购买二级冰箱，二级洗衣机，一级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600，实际支付6560元，不超出预算，符合题意； 优惠率． 第八种组合：购买二级冰箱，二级洗衣机，二级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600，实际支付6300元，不超出预算，符合题意； 优惠率． 故购买二级冰箱，购买一级洗衣机，购买一级微波炉，优惠率最高，且为， 故答案为：二级冰箱，一级洗衣机，一级微波炉， ． 42．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【答案】(1)45 (2)1574元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】（1）根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：，解答即可． （2）先计算正常产量的工资，加上超产的奖励工资即可． 本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：（单）． 答：外卖小哥这一周平均每天送餐45单． （2）解：∵外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元． ∴本周工资为： （元）． 答：外卖小哥这一周工资收入1574元． 43．（2025·安徽合肥·二模）学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【知识点】图形类规律探索、有理数的乘方运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3） ，然后求和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 44．（24-25六年级上·上海闵行·期中）第七届进博会日益临近，其话题热度持续攀升．鉴于此，甲、乙两家广播电台准备在进博会期间对早间新闻进行调整．两家电台均打算在每天早晨同时开始播报早间新闻．其中：甲台每播报9分钟新闻后插播3分钟广告；乙台每播报15分钟新闻后插播3分钟广告，当两家电台的广告第一次同时结束时，早间新闻播报结束．问： (1)早间新闻播报将在几点结束? (2)早间新闻播报期间甲、乙两台将分别插播几分钟广告? 【答案】(1) (2)早间新闻播报期间甲、乙两台分别插播了9分钟和6分钟广告． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、 公倍数与最小公倍数 【分析】本题主要考查最小公倍数及整数四则运算的应用，理解题意是解题关键． （1）甲台新闻加广告是12分钟，乙台新闻加广告是18分钟；12，18的最小公倍数是36，所以是36分钟之后早间新闻播报结束，由此即可得； （2）用最小公倍数36分别除以新闻加广告共用的时间再乘插播广告时间即可． 【详解】（1）解：分钟，分钟， 因为12和18的最小公倍数为36， 所以早间新闻播报用了36分钟， 因为早晨开始播报早间新闻， 所以结束时间为； （2）解：分钟，分钟， 答：早间新闻播报期间甲、乙两台分别插播了9分钟和6分钟广告． 45．（24-25六年级上·上海·阶段检测）出租车司机小刘某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向北为正，向南为负，他这天上午的行程是（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ (2)若汽车耗油量为升/千米，出车时，邮箱有油升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【答案】(1)小张距上午出发点的距离13千米，在出发点的南方 (2)需要加油，需要加升才能返回出发地． 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了正负数的意义及有理数的运算； （1）先将各数相加，再根据正负号判断即可； （2）先算出总路程，再算出消耗油量，最后判断即可． 【详解】（1）解：（千米）， 故小张距上午出发点的距离13千米，在出发点的南方． （2）解： 共耗油（升）， 至少需要加（升）， 需要加油，需要加升才能返回出发地． 💯 课后巩固 复习建议 · · 分数计算先观察约分，结果化为最简分数，带分数先化假分数 · · 混合运算牢记先乘除后加减，灵活运用运算律简化计算 · · 借助数轴理解相反数、绝对值，比较大小与求距离一目了然 · · 乘方运算注意底数符号，负数的奇偶次幂符号规律要记牢 · · 压轴题先读透题意，把实际问题转化为运算或方程模型再求解 【作业1】．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）的5倍是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】 分数与整数的乘法 【分析】本题考查了分数乘以整数，计算分数与整数的乘法，将分子乘以整数，分母保持不变，然后化简分数． 【详解】解：∵ ， ∴ 的5倍是， 故选：C． 【作业2】．（25-26六年级上·全国·课后作业）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”． ( ) ( )   ( ) 【答案】 【知识点】分数与整数的除法、 分数与小数的乘法 【分析】本题考查因数和积的大小关系（分数乘法）、被除数与商的大小关系（分数除法）、同分母分数加、减法、分数与整数的除法： 一个数（0除外），除以小于1的数，商比原数大；乘小于1的数，积比原数小；加大于0的数，和比原数大；除以一个数等于乘这个数的倒数，据此填空即可． 【详解】解：，故； ； ，故； 故答案为：，， 【作业3】．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）汽车行驶了，消耗了的汽油，则汽车每千米耗油______L． 【答案】/0.0125 【知识点】 分数除法的应用 【分析】本题考查了分数的除法，本题问汽车行驶了，消耗了的汽油，则汽车每千米耗油量为多少，用消耗的汽油量除以行驶的路程即可得每千米的耗油量． 【详解】解：汽车行驶了，消耗了的汽油，则汽车每千米耗油量为， 答：汽车每千米耗油量为． 故答案为： ． 【作业4】．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）一批零件，第一天做了总数的，第二天做了总数的还多20个，这时还剩360个没完成，这批零件共有多少个？ 【答案】600个 【知识点】 分数除法的应用 【分析】本题主要考查了分数的应用， 把这批零件的总个数看作单位“1”，用单位“1”减去第一天做的，再减去第二天做的，求出剩下的占这批零件的几分之几，用剩下的个数加上20个，求出这批零件的是多少个，再除以即可求出这批零件共有多少个． 【详解】解： （个）． 答：这批零件共有600个． 【作业5】．（25-26六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）在计算时，琳琳把它算成，她的计算结果与正确的结果比较，（    ） A．大 B．小 C．没有变化 【答案】A 【知识点】分数的四则混合运算 【分析】本题核心考查乘法分配律的正确应用及分数、小数的四则运算，解题关键是通过设未知数写出正确与错误的算式结果，正确计算应用乘法分配律展开后，与错误计算比较，变量项抵消，仅常数项差异，计算差值即可． 【详解】解：设□为， 正确结果：， 错误结果：， ∴错误结果正确结果， ∵， ∴， 故计算结果大． 故选：A． 【作业6】．（25-26六年级上·全国·课后作业）一袋大米重，吃了它的后，又吃了，还剩( )． 【答案】 【知识点】分数的四则混合运算 【分析】本题考查的是整数与分数的减法的应用，理解题意，列出式子是解题关键．用总的重量减去吃掉的重量列式，计算即可得出结果． 【详解】解： （）． 故还剩． 故答案为：． 【作业7】．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）果品公司运进一批橘子，第一天卖出全部的，第二天卖出剩下的，第三天比第一天少卖，这时还剩50千克，果品公司共运进了多少千克的橘子？ 【答案】1500千克 【知识点】 分数除法的应用、分数的四则混合运算 【分析】本题考查分数应用题，根据题意，把运进的一批橘子看作单位“1”，第一天卖出这批橘子的，还剩下这批橘子的；第二天把第一天卖出后剩下的橘子看作单位“1”，卖出剩下的，所以第二天相当于卖出这批橘子的；第三天是把第一天卖出的橘子看作单位“1”，第三天比第一天少卖，第三天卖的橘子是第一天卖的（1－），所以第三天卖的相当于这批橘子的；用1减去三天卖出这批橘子的几分之几等于三天后还剩下这批橘子的几分之几，也就50千克所对应的这批橘子的分率，根据已知一个数的几分之几，求这个数用除法，用50除以它所对应的这批橘子的几分之几即等于公司共运进橘子的千克数，据此即可解答． 【详解】解： ， ， （千克）， 答：果品公司共运进了1500千克的橘子． 【作业8】．（24-25七年级上·四川泸州·期中）下列说法中，正确的（    ） A．没有最大的正数，但有最大的负数 B．最大的负整数是 C．有理数包括正有理数和负有理数 D．一个有理数的绝对值总是正数 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的分类、有理数的定义 【分析】根据有理数的分类、绝对值的意义逐项分析即可． 【详解】解：A． 没有最大的正数，也没有最大的负数，故不正确； B． 最大的负整数是，正确； C． 有理数包括正有理数，负有理数和0，故不正确； D． 一个有理数的绝对值可能是正数，也可能是0，故不正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的两种分类方式是解答本题的关键．有理数可分为正有理数，零和负有理数．也考查了绝对值的定义． 【作业9】．（第1章有理数全章复习与测试【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024））有下列各数：5，0，，． (1)写出这些数的相反数； (2)将这些数及它们的相反数都表示在同一条数轴上； (3)再按从大到小的顺序排列，并用“”连接； (4)写出比这些数都小的最大整数和比这些数都大的最小整数（直接写出答案）． 【答案】(1)5的相反数是，0的相反数是0，的相反数是3，的相反数是 (2) 将它们表示在数轴上，如图： (3) (4)比这些数都小的最大整数为，比这些数都大的最小整数为6 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、相反数的定义 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，涉及相反数、有理数大小比较等知识，解题的关键是把这些数表示在数轴上． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）将这些数及它们的相反数表示在同一条数轴即可； （3）根据数轴上表示的数，从右到左写出这些数，用连接即可； （4）根据数轴上表示的数，写出比小的最大整数，比5大的最小整数即可． 【详解】（1）解：5的相反数是，0的相反数是0，的相反数是3，的相反数是； （2）解：略． （3）解：用“”连接为：； （4）解：比这些数都小的最大整数为，比这些数都大的最小整数为6． 【作业10】．（24-25六年级上·上海金山·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行如图所示的程序框图：如果第一次输入的数是，则最后输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据程序流程图计算即可求解，理解程序框图中的运算规则是解题的关键． 【详解】解：当第一次输入的数是，， 第二次输入时，， ∴最后输出的结果为， 故选：． 【作业11】．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）定义一种新运算：※，例：．若，则的值为______． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，分和两种情况，列出方程解答即可，看懂新定义运算是解题的关键． 【详解】解：当，即时， ， 解得，（不合，舍去）； 当，即时， ， 解得，（不合，舍去）； 综上，的值为或， 故答案为：或． 【作业12】．（24-25六年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的加减法及乘法运算法则，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算，再运用分配律，进行简便计算即可． 【详解】解：原式 ． 【作业13】．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【详解】解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 【作业14】．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）在数轴上，点表示的数为，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点按照此规律不断地左右运动，当第2026次运动到点时对应的数为__________． 【答案】 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、有理数加减中的简便运算 【分析】根据动点运动规律列出对应算式，利用分组法计算即可得到结果． 【详解】解：由题意可得，第次运动到点时对应的数为， 将相邻两项两两分组可得原式， 共有组，每组的和为， 因此原式． 【作业15】．（25-26六年级下·上海·期末）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距．下表是本周每天的销售情况（超额记为正．不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周四销售该品牌儿童滑板车 辆； (2)本周销售量最多的一天比最少的一天多 ； (3)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划？ 【答案】(1) (2) 辆 (3) 本周实际销售总量达到了计划 【知识点】有理数减法的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】（1）用计划数加上差额进行计算即可； （2）表格中的最大数据减去最小数据即可得出结果； （3）求出本周实际销量，进行判断即可. 【详解】（1）解：（辆）， 答：本周四销售该品牌儿童滑板车92辆； （2）解：（辆）， 答：本周销售量最多的一天比最少的一天25辆； （3）解：（辆）， （辆）， ， 故本周实际销售总量达到了计划. 学科网（北京）股份有限公司 $