第1章 有理数（复习讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

第1章 有理数（复习讲义） 1.理解负数、有理数的意义，会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量，能根据不同标准对有理数进行分类。 2.认识数轴，知道其原点、正方向和单位长度三要素，能正确画出数轴，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。 3.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法。 4.通过有理数的性质和运算规律进行推理，正确进行大小比较和运算，发展严谨的数学思维。 5.理解有理数乘方的意义，能准确进行有理数的乘方运算。 6.掌握有理数加、减、乘、除法则，能熟练地进行有理数的四则运算、乘方运算和以三步为主的简单混合运算，理解有理数的运算律，并能合理运用运算律简便运算。 知识点01有理数的引入 1.相反意义的量：用正数和负数表示具有相反意义的量，哪种意义的量为正或负，是可以任意选择的. 2.正数、负数概念 3.有理数的概念 或者 4.数轴 5.相反数 6.绝对值 知识点02有理数的加法与减法 1.有理数的加法 2.有理数的减法 知识点03有理数的乘法法与除法 1. 有理数的乘法 2.有理数的除法 知识点04有理数的乘方 有理数的乘方 知识点05有理数的混合运算 题型一 正数与负数 【例1-1】若将“收入100元”记为“”元，则“支出400元”可记为“ ”元． 【例1-2】把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ，，，，，，，， （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）非正数集合：{ …}； （4）负有理数集合：{ …}． （5）自然数集合：{ …}． 【变式1-1】某大米包装袋上标注着“净含量”，小华从商店买了2袋大米，这两袋大米相差的克数不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25六年级上·上海·期中）下面说法正确的是（   ） A．正数和负数统称为有理数 B．是最大的负数 C．零不是正数，也不是负数，但是整数 D．自然数就是正整数 题型二 数轴 【例2】下列数轴的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【变式2-2】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）如图，点A在数轴上所表示的数是 ． 题型三 相反数 【例3】下列各数互为相反数的是（   ） A．和 B．和2 C．和2 D．和 【变式3-1】（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： ． 【变式3-2】若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【变式3-3】已知，则的相反数为 ． 题型四 绝对值 【例4】（23-24六年级下·上海·期末）已知，，则 . 【变式4-1】一个数的绝对值等于，则这个数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【变式4-3】（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数轴上，到原点的距离等于4个单位长度的点所表示的数是 ． 题型五 有理数大小比较 【例5-1】（23-24六年级下·上海黄浦·期中）比较大小： ． 【例5-2】（24-25六年级上·上海普陀·期中）比较大小： ． 【例5-3】（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数轴上分别写出点，其中点表示3，点表示，点表示，点表示1.5，并把这些数按从小到大的顺序排列． 【变式5-1】（24-25六年级上·上海·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】某一天，哈尔滨，北京，杭州，金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是 ． 题型六 有理数的加减 【例6】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式6-1】利用加法运算律计算各题． (1) (2) 【变式6-2】（23-24六年级下·上海浦东新·期中）计算：． 【变式6-3】（23-24六年级下·上海普陀·期中）计算： 题型七 有理数的乘除 【例7-1】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【例7-2】（23-24六年级上·上海虹口·期中）请阅读下题的解法，再计算． 例题  计算： 解：设， 则 = 所以，即 按照例题解法，请计算：． 【例7-3】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【变式7-1】用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 【变式7-2】（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【变式7-3】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）计算： 题型八 有理数的乘方 【例8】（24-25六年级上·上海·期中）下列各数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式8-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ．（用2的乘方表示） 【变式8-2】（24-25六年级上·上海·期末）已知，那么 ． 【变式8-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 题型九 有理数混合运算 【例9】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： 【变式9-1】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【变式9-2】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【变式9-3】（24-25六年级上·上海·期末）计算： 题型十 利用数轴解决问题 【例10】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算： (1)请在数轴上标出表示和的点，并用字母表示． (2)请在数轴上标出到1的距离为个单位长度的点，并用字母表示． 【变式10-1】（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，在数轴上点表示的数是 ．点表示的数是 ． （1）如果该数轴上点与点之间的距离是3，那么点表示的数是 ； （2）如果该数轴上另有一点，点到点、的距离相等，那么点表示的数是 ． 【变式10-2】（24-25六年级上·上海松江·期中）数轴上表示有理数a，b，c的点的位置如图所示： (1)请将有理数a，b，c按从小到大的顺序用“”连接起来：_______； (2)如果，，表示数b的点到原点的距离为4，那么_______， _______， _______． (3)在（2）的情况下，如果有一蚂蚁位于有理数c表示的点的位置，要爬行到距离原点三个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 【变式10-3】（24-25六年级上·上海长宁·期中）阅读理解： 若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点． (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”） (2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点； (3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？ 基础巩固通关测 一、单选题 1．（22-23六年级下·上海宝山·阶段练习）在下列各数：，13，0，1，，，，，中，负有理数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列意义叙述不正确的是（    ） A．若上升记作，则指不升不降 B．鱼在水中的高度为表示鱼在水下 C．温度上升，指温度下降 D．盈利元表示赚了1000元 3．下列各数中是有理数的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级上·上海·期末）下列计算的过程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）的计算结果是（    ） A． B．27 C． D．9 6．（24-25六年级上·上海闵行·期末）根据算式，，，，不能得到的结论是（   ） A．两个有理数相乘时，同号得正，异号得负； B．两个有理数相乘时，交换乘数的位置，积不变； C．两个有理数相乘时，积的绝对值等于各乘数绝对值的积； D．两个有理数相乘时，其中一个乘数换成它的相反数，所得的积是原来积的相反数． 7．（24-25六年级上·上海普陀·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．一个数的相反数等于这个数本身的数只有 B．一个数的平方等于这个数本身的数只有 C．一个数的倒数等于这个数本身的数有和 D．一个数的绝对值等于这个数本身的数一定是正数 二、填空题 8．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 9．（24-25六年级上·上海长宁·期中）某一天的早上，测得北京的气温是，上海是，上海比北京高 ． 10．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）用“”将下列各数从大到小进行排列：，，，， ． 11．（24-25六年级上·上海闵行·期末）的倒数减去1的相反数的差是 ． 12．（22-23六年级下·上海虹口·期中）在数轴上点P所表示的数是，到点P的距离等于7个单位的点所表示的数是 ． 三、解答题 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．计算： (1)； (2)． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 17．计算： (1)； (2)； (3)． 18．用简便方法计算： (1)； (2)． 19．（24-25六年级上·上海·期末）计算：． 20．请把下面不完整的数轴补充完整，把下列各数：，，，在数轴上表示出来，并用“”连接起来． 21．（24-25六年级上·上海崇明·期末）玩具店以32元的价格购进30辆汽车模型，针对不同的顾客，售价不完全相同．若以47元为标准价，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如下表： 售出数量/辆 7 6 3 5 4 5 售价/元 0 (1)在这30辆汽车模型中，售价最高的一辆比售价最低的一辆贵多少元？ (2)该玩具店售完这30辆汽车模型能盈利多少元？ 能力提升进阶练 一、单选题 1．（23-24六年级下·上海·期中）下列说法中正确的是（    ） A．任何数都有倒数 B．分数都是有理数． C．平方等于本身的数只有 D．是负数． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期中）均为有理数，则下列说法中正确的个数有（   ） （1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）若，，且，则的值为（   ） A．5 B．5或1 C．1 D．1或 二、填空题 4．（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知，则 ． 5．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则若，则.计算的结果为 . 6．（22-23六年级下·上海虹口·期中）计算：① ；② ； 7．（24-25六年级上·上海·期中）从数，1，，5，中任意选取两个数相乘，其积的最大值是 ，最小值是 ． 8．（24-25六年级上·上海·期中）已知，为有理数，且，，，四个数中恰好有三个数相等，则的值是 ． 9．（24-25六年级上·上海·期中）将一个长为，宽为的长方形放置在数轴上．它的初始位置如图所示，此时A点在数轴上所对应的数字为1，现将长方形沿数轴正方向做顺时针翻动．第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．那么第81次翻动长方形后，A点在数轴上对应的数字表示为 ． 三、解答题 10．（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．（24-25六年级上·上海长宁·期中）观察下图： (1)数A的相反数是C，数B的倒数是D，则C表示数_________；D表示数______．在数轴上画出表示数C、D的点； (2)请比较数A、B、C、D的大小，并用“”连接：______． 12．（24-25六年级上·上海长宁·期中）一辆公交车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站，下表记录了这辆公交车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车的人数．该次公交车从起点站出发，到终点站全体下车．已知中间第四站开车时的人数比起点站的人数多了4个，回答以下问题： 停靠 起点站 中间第一站 中间第二站 中间第三站 中间第四站 中间第五站 中间第六站 终点 上下车人数 (1)中间第二站上车人数是_______，下车人数是_______，中间第二站开车时车上人数是_______； (2)请问的值是_______； (3)到达终点站时的人数比起点站的人数多了还是少了？此时的人数比起点站的人数多了（或少了）几分之几？ (4)如果每人次的车票价格是2元，请问这一趟公交车票价总收入为多少元？ 13．（24-25六年级上·上海普陀·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如图，已知点A在数轴上表示的数为，数轴上任意一点B表示的数为x，那么A，B两点的距离可以表示为______； (2)已知点B表示的数为整数x，那么当x为______时，与的值相等； (3)表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你直接写出的最小值，并求出此时所有符合条件的整数x的和． 14．（24-25六年级上·上海松江·期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作3③，读作“3的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”．一般地，我们把个相除记作ⓝ，读作“的圈次方”．根据以上信息，完成下列问题． (1)列式：_______，_______． (2)负数的圈奇次方的结果是_______（填“正数”或“负数”）． (3)将运算结果直接写成乘方的形式：_______． (4)计算：． 15．（24-25六年级上·上海虹口·期中）阅读下列素材，完成探究任务： 探究“幻圆”、“幻星”之谜 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的“攒九图”中提出“幻圆”的概念．如图是一个“二阶幻圆”模型，将2、3、4、6、7、8、9、11这八个数字填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则它是一个“二阶幻圆”．                  素材2 在一个“二阶幻圆”中，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“二阶幻圆”的幻和．例如，图1中的“二阶幻圆”有4个幻和，它的幻和是25．计算“二阶幻圆”幻和的方法是将图中所有数字之和的2倍，除以幻和的个数．例如，图1中幻和的计算方式为：． 问题解决 任务1 如图2，小明将、4、、8、、12、、16这八个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“二阶幻圆”．请完成下列问题： （1）此“二阶幻圆”的幻和是 _____，x处所填的数字是 ______； （2）y与z两处所填的数字之和是______． 任务2 类似地，如图3是一个“六角幻星”模型，它有6条边，如果每条边上的4个数字之和都相等，那么它是一个“六角幻星”．在一个“六角幻星”中，它的每条边上4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“六角幻星”的幻和．在图3中，小明将、、、、、0、1、2、3、4、5、6这十二个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“六角幻星”．请完成下列问题： （1）此“六角幻星”的幻和是_______； （2）将图3中的“六角幻星”的空缺部分补充完整．________． 16．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数（复习讲义） 1.理解负数、有理数的意义，会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量，能根据不同标准对有理数进行分类。 2.认识数轴，知道其原点、正方向和单位长度三要素，能正确画出数轴，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。 3.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数和绝对值的方法。 4.通过有理数的性质和运算规律进行推理，正确进行大小比较和运算，发展严谨的数学思维。 5.理解有理数乘方的意义，能准确进行有理数的乘方运算。 6.掌握有理数加、减、乘、除法则，能熟练地进行有理数的四则运算、乘方运算和以三步为主的简单混合运算，理解有理数的运算律，并能合理运用运算律简便运算。 知识点01有理数的引入 1.相反意义的量：用正数和负数表示具有相反意义的量，哪种意义的量为正或负，是可以任意选择的. 2.正数、负数概念 3.有理数的概念 或者 4.数轴 5.相反数 6.绝对值 知识点02有理数的加法与减法 1.有理数的加法 2.有理数的减法 知识点03有理数的乘法法与除法 1. 有理数的乘法 2.有理数的除法 知识点04有理数的乘方 有理数的乘方 知识点05有理数的混合运算 题型一 正数与负数 【例1-1】若将“收入100元”记为“”元，则“支出400元”可记为“ ”元． 【答案】 【知识点】正负数的定义、相反意义的量 【分析】根据“正”和“负”是表示互为相反意义的量解答即可． 【详解】解：∵“收入100元”记为“”元， 则“支出400元”可记为“”元， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正数和负数的定义．解本题的根据是掌握正数和负数是互为相反意义的量． 【例1-2】把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ，，，，，，，， （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）非正数集合：{ …}； （4）负有理数集合：{ …}． （5）自然数集合：{ …}． 【答案】（1）；（2）； （3）；（4）；（5）． 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】（1）根据整数的定义进行分析，即可； （2）根据分数的定义进行分析，即可； （3）根据非正数的定义进行分析，即可； （4）根据负数，有理数的定义进行分析，即可； （5）根据自然数的定义进行分析，即可． 【详解】（1）整数集合：； （2）分数集合：； （3）非正数集合：； （4）负有理数集合：； （5）自然数集合：． 【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的分类． 【变式1-1】某大米包装袋上标注着“净含量”，小华从商店买了2袋大米，这两袋大米相差的克数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正负数的实际应用 【分析】此题考查了相反意义的量，根据“正”和“负”所表示的意义得出每袋大米的最多含量和最小含量，再用最多含量减去最小含量，即可得出答案． 【详解】解：， 根据题意得： ， ， 因为两袋两大米最多差， 所以这两袋大米相差的克数不可能是； 故选：D． 【变式1-2】（24-25六年级上·上海·期中）下面说法正确的是（   ） A．正数和负数统称为有理数 B．是最大的负数 C．零不是正数，也不是负数，但是整数 D．自然数就是正整数 【答案】C 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查的是有理数的定义与有理数的分类，根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）． 【详解】解：A、正数和负数、零统称为有理数 ，选项错误，不符合题意； B、是最大的负整数，选项错误，不符合题意； C、零不是正数，也不是负数，但是整数，选项正确，符合题意； D、除0以外的自然数就是正整数，选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型二 数轴 【例2】下列数轴的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查数轴的意义和表示方法，掌握数轴的三要素（规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴）是正确判断的前提．根据数轴的意义，数轴的三要素进行判断即可． 【详解】解：A、缺少单位长度，故此选项不符合题意； B、缺少正方向，故此选项不符合题意； C、和标错了，故此选项不符合题意； D、规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式2-1】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 【变式2-2】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）如图，点A在数轴上所表示的数是 ． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了了数轴表示数，根据所给数轴，得出一个单位长度为小格，据此可得出答案，能根据题意得出一个单位长度为小格是解题的关键． 【详解】解：由所给数轴可知，一个单位长度为小格， ∴点与相距个单位长度，且在的左边， ∴点表示的数为， 故答案为：． 题型三 相反数 【例3】下列各数互为相反数的是（   ） A．和 B．和2 C．和2 D．和 【答案】A 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查相反数的定义，掌握只有符号不同的两个数叫做相反数是关键． 根据互为相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做相反数，逐一判断各个选项即可． 【详解】解：A、，2和互为相反数，故该选项正确； B、，2和2不互为相反数，故该选项错误； C、，2和2不互为相反数，故该选项错误； D、，，2和2不互为相反数，故该选项错误． 故选：A． 【变式3-1】（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： ． 【答案】49 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义计算即可． 【详解】解：由题意得，表示的相反数， 的相反数是， ． 故答案为：49． 【变式3-2】若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【答案】A 【知识点】相反数的应用、绝对值非负性 【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”是解题关键．根据相反数的定义可得，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ， ， ∴， 故选：A． 【变式3-3】已知，则的相反数为 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义、绝对值非负性 【分析】本题主要考查非负性，相反数的定义，根据非负数的性质，可求出的值，相加后取相反数即可，理解非负性，相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴， ∴的相反数为， 故答案为：． 题型四 绝对值 【例4】（23-24六年级下·上海·期末）已知，，则 . 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、相反数的定义 【分析】本题考查相反数和绝对值．先计算得到，然后计算解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】一个数的绝对值等于，则这个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据“一个数的绝对值等于”，得出答案即可． 【详解】解：∵一个数的绝对值等于， ∴这个数是， 故选：C． 【变式4-2】若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值的知识，根据一个数的绝对值是非负数，即可求解． 【详解】解：∵ ∴, ∴，即一定是负数或零 故选：D． 【变式4-3】（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数轴上，到原点的距离等于4个单位长度的点所表示的数是 ． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查数轴，熟知绝对值的意义是解答此题的关键．设该数为，再根据数轴上的点到原点距离的定义求出的值即可． 【详解】解：设该数为，则， 解得． 故在数轴上原点距离等于4个单位长度的点表示， 故答案为：． 题型五 有理数大小比较 【例5-1】（23-24六年级下·上海黄浦·期中）比较大小： ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，先计算绝对值和化简多重符号，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【例5-2】（24-25六年级上·上海普陀·期中）比较大小： ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了负数比较大小，熟练掌握负数的大小比较方法是解题的关键． 因为，，，所以，即可得到答案． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 【例5-3】（24-25六年级上·上海青浦·期中）在数轴上分别写出点，其中点表示3，点表示，点表示，点表示1.5，并把这些数按从小到大的顺序排列． 【答案】数轴见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查有理数在数轴上的表示及大小比较，熟练掌握利用数轴比较有理数大小的方法是解题关键．将各数在数轴上表示出来，然后利用数轴比较各数大小即可． 【详解】解：各数在数轴上表示如下： ． 【变式5-1】（24-25六年级上·上海·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数比较大小，相反数的定义，解题的关键是掌握有理数比较大小的方法．根据有理数比较大小的方法和相反数的定义即可求解． 【详解】解：， ， 故选：C． 【变式5-2】如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、相反数的应用、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的大小比较．从数轴得出，，据此判断即可． 【详解】解：由题意可知，，且，如图， ， 观察四个选项，选项B符合题意． 故选：B． 【变式5-3】某一天，哈尔滨，北京，杭州，金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是 ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数比较大小，绝对值越大的数反而越小，得最低气温是，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则最低气温是， 故答案为： 题型六 有理数的加减 【例6】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） 【变式6-1】利用加法运算律计算各题． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-2】（23-24六年级下·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用加法交换律和结合律计算即可求解，掌握有理数的运算律和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ． 【变式6-3】（23-24六年级下·上海普陀·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法交换律和结合律，熟练掌握有理数的加减混合运算及有理数的加法的运算律是解题的关键．根据有理数加法的运算律，将能凑整的数先凑整，得到，再进一步计算，即得答案． 【详解】解：原式． ． 题型七 有理数的乘除 【例7-1】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数乘法，有理混合运算，熟练掌握有理数乘法法则与运算律是解题的关键． （1）根据乘法交换律、结合律和有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）把小数化为分数，然后根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （3）逆运用乘法分配律进行计算即可得解； （4）利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【例7-2】（23-24六年级上·上海虹口·期中）请阅读下题的解法，再计算． 例题  计算： 解：设， 则 = 所以，即 按照例题解法，请计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键． 首先看懂例题的做法，先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可． 【详解】解：设， 则 = ， 所以，即． 【例7-3】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】2 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】根据有理数乘除的混合运算解答即可． 本题考查了有理数乘除的混合运算，熟练掌握运算法则是阶梯的关键． 【详解】解： ． 【变式7-1】用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 【答案】(1)7 (2) (3)24 (4) (5) (6)3 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】（1）利用乘法的交换律计算； （2）利用乘法的交换律与结合律计算； （3）利用乘法的分配律计算即可； （4）逆用乘法的分配律运算即可． （5）利用乘法的分配律计算即可； （6）逆用乘法的分配律运算即可． 本题主要考查有理数的运算，能够熟练掌握运算律可使运算简便是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式7-2】（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数运算律和相关运算法则．先用乘法分配律计算，再算括号内，后算加减即可． 【详解】解： ． 【变式7-3】（24-25六年级上·上海长宁·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除运算法则即可得到本题答案． 【详解】解： ． 题型八 有理数的乘方 【例8】（24-25六年级上·上海·期中）下列各数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和有理数的乘方．根据有理数的乘方法则和有理数的乘法法则逐项计算排查即可解答． 【详解】解：A、，，和的数值不相等，本选项不符合题意； B、，，和的数值不相等，本选项不符合题意； C、，，和的数值不相等，本选项不符合题意； D、和，和的数值相等，本选项符合题意． 故选：D． 【变式8-1】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： ．（用2的乘方表示） 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，把原式变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25六年级上·上海·期末）已知，那么 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了非负数的性质，解题关键是根据非负数的性质求出字母的值，再根据乘方的计算方法求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， ， 故答案为：． 【变式8-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键． 题型九 有理数混合运算 【例9】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将带分数化为假分数，再计算乘方，然后计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号内运算． 【详解】解： 【变式9-1】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】解： ． 【变式9-2】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，先计算乘方，再计算乘除法即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式9-3】（24-25六年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算、含乘方的有理数混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先算平方、再算绝对值，然后按有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 题型十 利用数轴解决问题 【例10】（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算： (1)请在数轴上标出表示和的点，并用字母表示． (2)请在数轴上标出到1的距离为个单位长度的点，并用字母表示． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数． （1）根据数轴表示有理数的方法求解即可； （2）画出数轴，根据数轴可得答案． 【详解】（1）解：点，点如图所示， ； （2）解：点，点如图所示． 【变式10-1】（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，在数轴上点表示的数是 ．点表示的数是 ． （1）如果该数轴上点与点之间的距离是3，那么点表示的数是 ； （2）如果该数轴上另有一点，点到点、的距离相等，那么点表示的数是 ． 【答案】，4 （1）或2 （2）1.5 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】此题考查了数轴，数轴上两点的距离，弄清数轴上的点与有理数之间的对应关系是解本题的关键． 找出数轴上与表示的数即可； （1）找出数轴上与点之间的距离是3的点C表示的数即可，注意点C可在点A的左右两边； （2）根据数轴，找出点表示的数即可． 【详解】 解：由图可得，在数轴上点表示的数是，点表示的数是4； 故答案为：，4． （1）在数轴上表示出点，如图所示； ∴点表示的数是或2； 故答案为：或2． （2）如图， ∵点到点、的距离相等， ∴点是线段的中点， ∴点表示的数是1.5． 故答案为：1.5． 【变式10-2】（24-25六年级上·上海松江·期中）数轴上表示有理数a，b，c的点的位置如图所示： (1)请将有理数a，b，c按从小到大的顺序用“”连接起来：_______； (2)如果，，表示数b的点到原点的距离为4，那么_______， _______， _______． (3)在（2）的情况下，如果有一蚂蚁位于有理数c表示的点的位置，要爬行到距离原点三个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 【答案】(1)； (2)，4，； (3)向左爬行1个单位长度或向右爬行5个单位长度． 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、动点问题（一元一次方程的应用）、带有字母的绝对值化简问题 【分析】此题主要考查了数轴以及绝对值的性质，正确利用数形结合得出是解题关键 （1）利用数轴上a，b，c的位置进而得出大小关系； （2）利用绝对值的意义以及结合数轴得出答案； （3）利用（2）中所求得出爬行的方法． 【详解】（1）解：由图可得：； （2）解：∵，，表示数b的点到原点的距离为4，且， ∴由数轴可得：，，； （3）解：由（2）可得：向左爬行1个单位长度或向右爬行5个单位长度，能爬行到距离原点三个单位长度的位置． 【变式10-3】（24-25六年级上·上海长宁·期中）阅读理解： 若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点． (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”） (2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点； (3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？ 【答案】(1)不是，是 (2)或 (3)当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，新定义，解题的关键是理解新定义． （1）根据题意可得：，，推出，根据新定义即可求解； （2）设这个数是，根据题意得：，即可求解； （3）设点运动的时间为，由题意得：，，，分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ，即是[，]的赞点，但不是[，]的赞点， 故答案为：不是，是； （2）设这个数是， 由题意得：， 解得：或， 数或所表示的点是[，]的赞点， 故答案为：或； （3）设点运动的时间为， 由题意得：，，， 点到达点所用的时间为（秒）， 分四种情况： ①当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； ②当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； ③当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； ④当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； 综上所述，当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（22-23六年级下·上海宝山·阶段练习）在下列各数：，13，0，1，，，，，中，负有理数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】有理数的分类 【分析】根据负有理数的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：，是负有理数； 13，0，1，，，，都是正有理数； 不是有理数； 故选A． 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知负有理数的定义是解题的关键． 2．下列意义叙述不正确的是（    ） A．若上升记作，则指不升不降 B．鱼在水中的高度为表示鱼在水下 C．温度上升，指温度下降 D．盈利元表示赚了1000元 【答案】D 【知识点】相反意义的量 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负数表示，结合选项即可选出正确答案． 【详解】解：A．若上升记作，则指不升不降，说法正确，不符合题意； B．鱼在水中的高度为表示鱼在水下，说法正确，不符合题意； C．温度上升，指温度下降，说法正确，不符合题意； D．盈利元表示亏了1000元，说法错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查具有相反意义的量，熟记和理解概念是解题关键． 3．下列各数中是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数，根据整数和分数统称为有理数解答即可． 【详解】解：因为不是整数，也不是分数，所以不是有理数，则A不符合题意； 因为不是整数，也不是分数，所以不是有理数，则B不符合题意； 因为是分数，属于有理数，所以C符合题意； 因为不是整数，也不是分数，所以不是有理数，则D不符合题意． 故选：C． 4．（24-25六年级上·上海·期末）下列计算的过程中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键． 先算括号，再根据除以一个数，等于乘以这个数的倒数，由此即可求解． 【详解】解： ， 故选：D ． 5．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）的计算结果是（    ） A． B．27 C． D．9 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算．根据有理数的乘方运算求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 6．（24-25六年级上·上海闵行·期末）根据算式，，，，不能得到的结论是（   ） A．两个有理数相乘时，同号得正，异号得负； B．两个有理数相乘时，交换乘数的位置，积不变； C．两个有理数相乘时，积的绝对值等于各乘数绝对值的积； D．两个有理数相乘时，其中一个乘数换成它的相反数，所得的积是原来积的相反数． 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，解题关键是熟练掌握有理数的乘法法则． 根据有理数的乘法法则解题即可． 【详解】解：A：观察已知条件中的4个算式可知：两个有理数相乘时，同号得正，异号得负，故此选项不符合题意； B：观察算式可知：没有两个有理数相乘时交换乘数的位置的算式，故此选项符合题意； C：观察算式得到两个有理数相乘时，积的绝对值等于各乘数绝对值的积，故此选项不符合题意； D：观察，可得两个有理数相乘时，其中一个乘数换成它的相反数，所得的积是原来积的相反数，故此选项不符合题意； 故选：B ． 7．（24-25六年级上·上海普陀·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．一个数的相反数等于这个数本身的数只有 B．一个数的平方等于这个数本身的数只有 C．一个数的倒数等于这个数本身的数有和 D．一个数的绝对值等于这个数本身的数一定是正数 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算、相反数的定义、绝对值的几何意义、倒数 【分析】考查绝对值、相反数、倒数以及有理数的乘方意义，准确理解绝对值、相反数、倒数以及有理数的乘方意义是正确判断的前提． 根据绝对值、相反数、倒数以及有理数乘方的意义，这个选项进行判断即可． 【详解】解：∵“0的相反数是0”，故选项A正确； ∵，， ∴一个数的平方等于这个数本身的数是1或0，故选项B不正确； ∵0没有倒数，故选项C不正确； 正数的绝对值等于它本身，0的绝对值等于0，故选项D不正确； 故选：A． 二、填空题 8．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数加法计算，直接根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（24-25六年级上·上海长宁·期中）某一天的早上，测得北京的气温是，上海是，上海比北京高 ． 【答案】 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数减法的实际运用，掌握有理数的减法法则是解题的关键．用上海的气温减去北京的气温即可求解． 【详解】解：， 上海比北京高， 故答案为：． 10．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）用“”将下列各数从大到小进行排列：，，，， ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了比较有理数的大小，掌握正数与负数的大小比较是做题的关键．对于正数比较简单，对于负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：，，，， 故答案为：． 11．（24-25六年级上·上海闵行·期末）的倒数减去1的相反数的差是 ． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算、相反数的定义、倒数 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，相反数和倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求出的倒数和1的相反数，再相减即可得到答案． 【详解】解：的倒数为， ∴的倒数减去1的相反数的差是， 故答案为：． 12．（22-23六年级下·上海虹口·期中）在数轴上点P所表示的数是，到点P的距离等于7个单位的点所表示的数是 ． 【答案】或 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点的距离．分两种情况求出求出到点P的距离等于7个单位长度的点所表示的数即可． 【详解】解：∵点P所表示的数是， ∴到点P的距离等于7个单位的点所表示的数是： 或， ∴到点P的距离等于7个单位的点所表示的数是或． 故答案为：或． 三、解答题 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)0.8； (4)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)0； (2)；(3)；(4)；(5)0；(6)；(7)1；(8) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 17．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（24-25六年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 20．请把下面不完整的数轴补充完整，把下列各数：，，，在数轴上表示出来，并用“”连接起来． 【答案】数轴见解析，． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较．先画好数轴，再在数轴上表示出各个数，再比较大小即可． 【详解】解∶如图所示∶    ∴． 21．（24-25六年级上·上海崇明·期末）玩具店以32元的价格购进30辆汽车模型，针对不同的顾客，售价不完全相同．若以47元为标准价，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如下表： 售出数量/辆 7 6 3 5 4 5 售价/元 0 (1)在这30辆汽车模型中，售价最高的一辆比售价最低的一辆贵多少元？ (2)该玩具店售完这30辆汽车模型能盈利多少元？ 【答案】(1)5元 (2)472元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是理解题意，根据表格列出算式． （1）根据表格中的数据用价格最高的减去价格最低的即可； （2）根据表格中数据列式计算即可． 【详解】（1）解：在这30辆汽车模型中，售价最高的一辆比售价最低的一辆贵： （元）； （2）解：（元）， （元）， ， 答：售完这30辆汽车模型能盈利472元． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（23-24六年级下·上海·期中）下列说法中正确的是（    ） A．任何数都有倒数 B．分数都是有理数． C．平方等于本身的数只有 D．是负数． 【答案】B 【分析】本题考查倒数，有理数，平方，相反数的定义，熟记相关定义是解题的关键．利用倒数，有理数，平方，相反数的定义逐一判断即可解题． 【详解】A、任何不为的数都有倒数，选项不正确； B、分数都是有理数，选项正确； C、平方等于本身的数有和，选项不正确； D、不一定是负数，选项不正确； 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海青浦·期中）均为有理数，则下列说法中正确的个数有（   ） （1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值、有理数的乘方，根据的符号情况，找出反例，逐项判断即可． 【详解】解：当互为相反数时，，但， 故（1）错误； 若，则，故（2）正确； 当a为负数时，若，则， 故（3）错误； 当a为负数，若，则， 故（4）错误； 综上可知，正确的个数有1个， 故选B． 3．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）若，，且，则的值为（   ） A．5 B．5或1 C．1 D．1或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的性质及有理数的加法、乘法，解题的关键是根据，即，异号分情况讨论．由绝对值的性质，先求得x、y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴当，时，； 当，时，． 故选：D． 二、填空题 4．（24-25六年级上·上海青浦·期中）已知，则 ． 【答案】8或/或8 【分析】本题考查有理数的乘方，先计算出x和y的值，再进行乘方运算． 【详解】解：， ， 当时，， 当时，， 故答案为：8或． 5．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）定义：对于一个有理数，我们把称为x的有缘数.若，则若，则.计算的结果为 . 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算．解题关键是理解新定义的含义和有理数的运算法则． 根据新定义，即可求出的值． 【详解】解：∵时，，时，， ∴． 故答案为：3． 6．（22-23六年级下·上海虹口·期中）计算：① ；② ； 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算．①先计算乘方，再计算减法即可；②先计算乘方，再计算加减法即可． 【详解】解：①； ②， 故答案为：， 7．（24-25六年级上·上海·期中）从数，1，，5，中任意选取两个数相乘，其积的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算即可求解，解题的关键是几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 【详解】解：积的最大值是， 积的最小值为， 故答案为：，． 8．（24-25六年级上·上海·期中）已知，为有理数，且，，，四个数中恰好有三个数相等，则的值是 ． 【答案】1006或 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，首先根据推出，得到，再根据已知，，，中恰有三个数相等，得出，进而对到，或，然后分类讨论，进而确定、的值，代入求出结果即可． 【详解】解：根据题意，，为有理数， ∵， ∴， ， 又，，，中恰有三个数相等， ， ，或， 若，则， 或，解得，矛盾， 若，则， 或，解得，矛盾， 当，则， 或，解得或成立， 综上所述，，， 当，时，； 当，时，． 故答案为：1006或． 9．（24-25六年级上·上海·期中）将一个长为，宽为的长方形放置在数轴上．它的初始位置如图所示，此时A点在数轴上所对应的数字为1，现将长方形沿数轴正方向做顺时针翻动．第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．那么第81次翻动长方形后，A点在数轴上对应的数字表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键；由题意易得第三次A点在数轴上所对应的数字表示为，第四次A点在数轴上所对应的数字表示为，第五次A点在数轴上所对应的数字表示为，…..；由此可知每4次转动A点在数轴上向右移动了2个单位长度，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得： 第1次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：．第2次翻动长方形后，A点在数轴上所对应的数字表示为：；第三次A点在数轴上所对应的数字表示为，第四次A点在数轴上所对应的数字表示为，第五次A点在数轴上所对应的数字表示为，…..； ∴每4次转动A点在数轴上向右移动了2个单位长度， ∵， ∴第81次翻动长方形后，A点在数轴上对应的数字表示为； 故答案为． 三、解答题 10．（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，乘除混合运算，含乘方的混合运算，熟记混合运算的运算顺序是解本题的关键. （1）根据有理数加减运算法则计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （3）先计算乘方，绝对值，再计算除法，最后计算加减运算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 11．（24-25六年级上·上海长宁·期中）观察下图： (1)数A的相反数是C，数B的倒数是D，则C表示数_________；D表示数______．在数轴上画出表示数C、D的点； (2)请比较数A、B、C、D的大小，并用“”连接：______． 【答案】(1)，，数轴见解析 (2) 【分析】本题考查数轴，相反数，倒数的定义及有理数的大小比较． （1）根据数轴得到数A和数B，再根据相反数和倒数的定义求出书C和数D，再表示在数轴上即可； （2）利用（1）中数轴，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意：数A为，数B为， ∵数A的相反数是C，数B的倒数是D， C表示数；D表示数； 在数轴上画出表示数C、D的点如图所示： （2）解：由（1）中数轴可得：． 12．（24-25六年级上·上海长宁·期中）一辆公交车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站，下表记录了这辆公交车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数，负数表示下车的人数．该次公交车从起点站出发，到终点站全体下车．已知中间第四站开车时的人数比起点站的人数多了4个，回答以下问题： 停靠 起点站 中间第一站 中间第二站 中间第三站 中间第四站 中间第五站 中间第六站 终点 上下车人数 (1)中间第二站上车人数是_______，下车人数是_______，中间第二站开车时车上人数是_______； (2)请问的值是_______； (3)到达终点站时的人数比起点站的人数多了还是少了？此时的人数比起点站的人数多了（或少了）几分之几？ (4)如果每人次的车票价格是2元，请问这一趟公交车票价总收入为多少元？ 【答案】(1)，， (2) (3)到达终点站时的人数比起点站的人数少了，此时的人数比起点站的人数少了 (4)这一趟公交车票价总收入为92元 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减法的应用及有理数的乘除法的应用，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据表格数据根据正负数的意义，有理数的加减进行计算即可求解； （2）先计算出中间第三站开车时车上人数，再根据中间第四站上车人数结合中间第四站开车时的人数比起点站的人数多了4个，列式计算即可； （3）观察表格中数据，求出到达终点站时的人数，即可解答； （4）根据表格数据，求出所有上车的人数再加上起点站的人数，最后乘以票价即可解答． 【详解】（1）解：由表格可知：中间第二站上车人数是4人，下车人数是6人， 中间第二站开车时车上人数是：（人）； 故答案为：4，6，21 （2）解：中间第三站开车时车上人数是：（人）， 中间第四站上车后人数：（人）， 根据题意：中间第四站开车时的人数为：（人） 则（人） 故； 故答案为： （3）解：到达终点站时的人数为：（人）， ， ， 到达终点站时的人数比起点站的人数少了，此时的人数比起点站的人数少了； （4）解： （元） 答：这一趟公交车票价总收入为92元． 13．（24-25六年级上·上海普陀·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如图，已知点A在数轴上表示的数为，数轴上任意一点B表示的数为x，那么A，B两点的距离可以表示为______； (2)已知点B表示的数为整数x，那么当x为______时，与的值相等； (3)表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你直接写出的最小值，并求出此时所有符合条件的整数x的和． 【答案】(1) (2) (3)7； 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示x的数是表示4和的数的中点，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的x的值的和即可． 【详解】（1）解：由题意得A，B两点的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：∵与的值相等， ∴数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等， ∴数轴上表示x的数是表示4和的数的中点， ∴， 故答案为；． （3）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和， ∴当时，有最小值，的最小值为， ∴符合题意的整数x有，它们的和为， 故答案为：7；。 14．（24-25六年级上·上海松江·期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作3③，读作“3的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”．一般地，我们把个相除记作ⓝ，读作“的圈次方”．根据以上信息，完成下列问题． (1)列式：_______，_______． (2)负数的圈奇次方的结果是_______（填“正数”或“负数”）． (3)将运算结果直接写成乘方的形式：_______． (4)计算：． 【答案】(1)，9； (2)负数； (3)； (4)． 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方运算，有理数的混合运算，正数和负数，熟练掌握有理数的乘方运算法则，有理数的混合运算法则，理解新定义是解题的关键． （1）根据题目中的新定义，可以计算出所求式子的值； （2）把除法转变为有理数的乘方，然后根据有理数的乘方意义解答即可； （3）根据题目中的新定义，可以计算出所求式子的值； （4）根据新定义和有理数的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：③， ． 故答案为：，； （2）解：把负数的圈奇次方转变为乘方形式，根据负数的奇次方表示奇数个负数的乘积，结果是负数． 故答案为：负数； （3）解： ； （4）解： ． 15．（24-25六年级上·上海虹口·期中）阅读下列素材，完成探究任务： 探究“幻圆”、“幻星”之谜 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的“攒九图”中提出“幻圆”的概念．如图是一个“二阶幻圆”模型，将2、3、4、6、7、8、9、11这八个数字填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则它是一个“二阶幻圆”．                  素材2 在一个“二阶幻圆”中，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“二阶幻圆”的幻和．例如，图1中的“二阶幻圆”有4个幻和，它的幻和是25．计算“二阶幻圆”幻和的方法是将图中所有数字之和的2倍，除以幻和的个数．例如，图1中幻和的计算方式为：． 问题解决 任务1 如图2，小明将、4、、8、、12、、16这八个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“二阶幻圆”．请完成下列问题： （1）此“二阶幻圆”的幻和是 _____，x处所填的数字是 ______； （2）y与z两处所填的数字之和是______．           任务2 类似地，如图3是一个“六角幻星”模型，它有6条边，如果每条边上的4个数字之和都相等，那么它是一个“六角幻星”．在一个“六角幻星”中，它的每条边上4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“六角幻星”的幻和．在图3中，小明将、、、、、0、1、2、3、4、5、6这十二个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“六角幻星”．请完成下列问题： （1）此“六角幻星”的幻和是_______； （2）将图3中的“六角幻星”的空缺部分补充完整．________．                  【答案】任务1：（1）4，；（2）或；任务2：（1）2；（2）见解析 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，有理数加法的应用，数字规律探索，熟练掌握以上知识点是关键． 任务一：（1）把所给数字相加乘以2，然后除以4即可求出幻和；根据幻和即可求出x的值； （2）根据幻和求出y的值，然后分两种情况计算即可； 任务二：（1）共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2； （2）利用每条边的和为2将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【详解】解：任务1：（1）此“二阶幻圆”的幻和是： ， x处所填的数字是， 故答案为：4，； （2）， 当时，， 当时，， 故答案为：或； 任务2，（1）“此“六角幻星”的幻和是： ， 故答案为：2； （2）“六角幻星”如图： ， ， ， ∵，d，e，f可能取的数为， ∴． 如图， ． 16．（24-25六年级上·上海杨浦·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】本题主要考查绝对值，代数式，流程图和有理数的混合运算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将的值代入流程，按照步骤依次计算，即可得到答案． （2）分别将两个的值代入计算即可，注意条件运算． （3）观察计算条件，先将输入固定，得到输入，输入的输出值，再根据条件三，算出均输入时，输出值． 【详解】（1）解：将代入流程：， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：若输入的为时，， ∵， ∴， ∴， 若输入的为时，， ∵， ∴， 故答案为：和． （3）解：由三个条件可知，当均为时，输出结果为， 先输入数值为，则可得到当输入时，， ∴当输入时， 同理可得，，， 若输入固定值为，， 同理可得， 答：当输入自然数，输入自然数时，的值是． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$