【专题 01】一元二次方程的解法 期中复习专项训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

2026-2027学年人教版九年级上册数学期中专项训练 【专题01】 一元二次方程的解法 班级： 姓名： 成绩： （本试卷满分90分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. 2x + 1 = 0 B. x² + 2x = x² - 3 C. x² + 3x - 1 = 0 D. 1/x + x = 2 2. 方程 (2x + 1)² = 9 的解为（ ） A. x₁ = 1, x₂ = -2 B. x₁ = -1, x₂ = 2 C. x₁ = 2, x₂ = -1 D. x₁ = -2, x₂ = 1 3. 关于x的方程 (m - 1)x² + 3x - 2 = 0 是一元二次方程，则m满足的条件是（ ） A. m ≠ 1 B. m > 1 C. m < 1 D. m = 1 4.已知m是关于x的一元二次方程 x²-3x-1=0的根，则（m-5）（m+2）的值是（ ） A.7 B.-7 C.9 D.-9 5. 将一元二次方程 x²-8x-m=0配方为（x-n）²=2，则m+n的值（ ） A.-10 B.10 C.14 D.-14 6. 关于x的一元二次方程 x² - 4x + m = 0 有两个相等的实数根，则m的值为（ ） A. 2 B. 4 C. -4 D. 16 7. 关于一元二次方程x² + bx -3 = 0 根的情况说法正确的是（ ） A.一定有两个不相等实数根 B.可能没有实数根 C.可能有两个相等实数根 D.一定没有实数根 8. 小明解方程 x² + bx + c = 0 时，看错了一次项系数b，得到解 x₁ = 2，x₂ = -3；看错了常数项c，得到解 x₁ = 1，x₂ = -5。则原方程的正确解为（ ） A. x = -2 ± √10 B. x = -2 ±√6 C. x = 2 ±√10 D. x = 1 ± √5 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 方程 x² - 9 = 0 的解是________________。 10. 已知方程 x² + 3x + k = 0 的一个根是2，则k = ________，另一个根为________。 11. 已知 x₁、x₂ 是方程 x² - 5x + 6 = 0 的两个根，则 x₁² + x₂² = ________。 12. 方程 x² + 6x - 7 = 0 配方后可化为 (x + a)² = b 的形式，则 a + b = ________。 13. 某商场2月份的营业额为100万元，4月份的营业额为144万元，若每月营业额的增长率相同，则该商场每月营业额的增长率为________________。 三、解答题（本大题共5小题，共51分） 14.（10分）选择适当的方法解方程： (1)4x²+12x+9=81 (2) 2-2x + 4x² = 1-7x 15.（10分）某学校组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 16.（10分）某小区有一个圆形水池，小区环境改造对这个圆形水池进行扩建，把小圆形水池的半径增加1米变成大圆形水池。大圆形水池与小圆形水池的占地面积之比是4:1，求原来小圆形水池的半径。 17.（10分）一块长方形铁片，长16cm，宽12cm，在四角各剪去一个同样大小的正方形，然后将四边折起，做成一个无盖的长方体盒子。若盒子的底面积为96cm²，求剪去的正方形的边长。 18.（11分）关于x的一元二次方程（c+b）x²+2ax+（c-b）=0，其中a、b、c是直角△ABC三边的长。 （1）证明：该一元二次方程有两个相等实数根。 （2）若△ABC是等腰直角三角形，试求这个一元二次方程的根。 答案与解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.【答案】C 【解析】A是一元一次方程；B化简得2x=-3，是一元一次方程；C符合一元二次方程定义（只含一个未知数，未知数最高次数为2的整式方程）；D中含1/x，不是整式方程。 2.【答案】A 【解析】两边直接开平方得2x+1=±3，即2x+1=3或2x+1=-3，解得x₁=1，x₂=-2。 3.【答案】A 【解析】一元二次方程要求二次项系数不为零，即m-1≠0，所以m≠1。 4.【答案】D 【解析】若方程为x²-3x-1=0，则m²-3m=1，(m-5)(m+2)=m²-3m-10=1-10=-9，选D。 5.【答案】A 【解析】若方程为x²-8x-m=0，则(x-4)²=16+m，对比(x-n)²=2得n=4, m=-14, m+n=-10，选A。 6.【答案】B 【解析】有两个相等的实数根，则Δ=0，即(-4)²-4×1×m=0，16-4m=0，解得m=4。 7.【答案】A 【解析】Δ=b²-4×1×(-3)=b²+12。因为b²≥0，所以Δ=b²+12≥12>0，方程一定有两个不相等实数根。 8.【答案】A 【解析】看错b但c正确：由韦达定理c=x₁·x₂=2×(-3)=-6；看错c但b正确：由韦达定理b=-(x₁+x₂)=-(1+(-5))=4。原方程为x²+4x-6=0，由求根公式x=(-4±√(16+24))/2=(-4±√40)/2=-2±√10。 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.【答案】x₁=3，x₂=-3 【解析】x²=9，直接开平方得x=±3。 10.【答案】k=-10，另一根为-5 【解析】将x=2代入方程：4+6+k=0，解得k=-10。方程为x²+3x-10=0，因式分解（x-2)(x+5)=0，另一根为-5。 11.【答案】13 【解析】由韦达定理：x₁+x₂=5，x₁·x₂=6。x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=25-12=13. 12.【答案】19 【解析】x²+6x-7=0，配方：x²+6x+9=16，即(x+3)²=16，所以a=3，b=16，a+b=19。 13.【答案】20% 【解析】设月增长率为x，则100(1+x)²=144，(1+x)²=1.44，1+x=±1.2。x₁=0.2=20%，x₂=-2.2（不合题意，舍去）。 三、解答题（本大题共5小题，共51分） 14.【答案】 (1) 4x²+12x+9=81 注意到左边是完全平方式：(2x+3)²=81 两边开平方得：2x+3=±9 即2x+3=9或2x+3=-9 解得：x₁=3，x₂=-6 (2) 2-2x + 4x² = 1-7x 移相：4x²+5x+1=0 因式分解：（4x+1）（x+1）=0 解得：x₁=-1，x₂=- 15.【答案】应邀请6个球队参加比赛。 设应邀请n个球队参加比赛。 根据单循环赛制，比赛场数为n(n-1)/2 n(n-1)/2=15 n(n-1)=30 n²-n-30=0 (n-6)(n+5)=0 n₁=6，n₂=-5（舍去，球队数不能为负） 答：应邀请6支球队参加比赛。 16.【答案】原来小水池的半径是1m。 设：原来小水池的半径为r m. 列式：（r+2）²：r²=4:1 整理后得：3r²-2r-1=0 解方程得： r=1 答：原来小圆形水池的半径是1m。 17.【答案】剪去的正方形的边长为2cm。 设剪去的正方形边长为x cm。 折成盒子后，底面长为（16-2x）cm，宽为（12-2x）cm (16-2x)(12-2x)=96 192-32x-24x+4x²=96 4x²-56x+96=0 化简得x²-14x+24=0 (x-2)(x-12)=0 x₁=2, x₂=12 当x=12时，12-2x=12-24=-12<0，不合题意，舍去 所以x=2 答：剪去的正方形的边长为2cm。 18.【答案】 （1） 证明： Δ=(2a)²-4(c+b)(c-b) =4a²-4(c²-b²) =4(a²-c²+b²) 在直角△ABC中，由勾股定理得a²+b²=c²（c为斜边） 所以Δ=4(c²-c²)=4×0=0 因此该一元二次方程有两个相等实数根。 （2） 若△ABC是等腰直角三角形，且c为斜边，则a=b 由勾股定理：a²+a²=c²，即c=a√2 代入方程(c+b)x²+2ax+(c-b)=0： (a√2+a)x²+2ax+(a√2-a)=0 两边除以a（a≠0）： (√2+1)x²+2x+(√2-1)=0 因为Δ=0，方程有两个相等实数根： x=-2a/(2(c+b))=-2a/(2a(√2+1))=-1/(√2+1) 分母有理化：x=-(√2-1)/((√2+1)(√2-1))=-(√2-1)/(2-1)=1-√2 所以方程的根为x₁=x₂=1-√2 1 学科网（北京）股份有限公司 $