1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动（举一反三·讲义）物理人教版选择性必修第二册

1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动 模块二 知识精讲 情景导入 用洛伦兹力演示仪演示：不加磁场时电子束沿直线运动；加上沿两线圈中心连线方向的磁场后，电子束的径迹变成了一个圆，如下图所示。 为什么加上磁场后电子束会做圆周运动？这个圆的半径由什么决定？转一圈需要多长时间？ 知识归纳 【知识点1 带点粒子在匀强磁场中的运动】 1、三种运动规律 带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下（电子等微观粒子的重力通常忽略不计），有三种运动情况： 1 若带电粒子的速度方向与磁场方向 （v∥B），在匀强磁场中做匀速直线运动； 2 若带电粒子的速度方向与磁场方向 （v⊥B），在垂直于磁感线的平面内以入射 速度v做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力； ③运动方向与磁场方向既不 也不 时，带电粒子在磁场中做等半径、等螺距的螺旋线运动。 2、圆周运动的计算公式 ①向心力公式：qvB＝m； ②轨道半径公式：r＝； ③周期公式：T＝＝；f＝＝；ω＝＝2πf＝。T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关； ④运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间； ⑤动能：。 3、圆周运动的圆心的确定方法 ①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。 ②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。 ③若已知一个点及运动方向和另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将其中一个速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心。 ④轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。某点的速度垂线与切点法线的交点。如图。 如上图（d）所示，有四个角度关系：①速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)；②圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)；③相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°；④进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等。 4、圆周运动的半径的确定方法 ①物理方程法：半径R＝。 ②几何法：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。如下图所示，R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝。 5、圆周运动的圆心角与时间的确定方法 圆心角的确定：①φ（速度的偏向角）＝θ（圆弧所对应的圆心角）＝2α（弦切角），即φ＝θ＝2α＝ωt，如图所示；②偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α。 运动时间的计算：①由圆心角求，t＝·T；②由弧长求，t＝。 【注意】当带电体的速度一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；当带电体的速度变化时，圆心角大的运动时间长。 6、带电粒子在磁场做圆周运动的分析方法 画轨迹确定圆心。 确定运动过程的关系：①轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，即；②利用数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定半径；③寻找偏转角度与圆心角、运动时间的关系；④寻找带电粒子在磁场中运动时间与周期（T＝）的关系。 运动牛顿运动定律和圆周运动的规律等，进行分析及计算。 7、动态圆模型 ①临界条件：带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直。 ②解题方法如下： ③临界情况：公共弦为小圆直径时，出现极值。当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大；当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端点为入射点和出射点的圆形磁场对应的圆心角最大。 ④放缩圆模型 模型概述：以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法。 适用条件：速度方向一定，大小不同，粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。 特点：轨迹圆圆心共线，如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上。 ⑤旋转圆模型 模型概述：以入射点为圆心，将一半径为R＝的圆进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法。 适用条件：速度大小一定，方向不同。粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝，如图所示。 特点：轨迹圆圆心共圆，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上。 ⑥平移圆模型 模型概述：将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法。 适用条件：速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上。粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示。 特点：轨迹圆圆心共线，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。 【例1】质量为m、带电荷量为q的小物块，从倾角为的绝缘斜面上由静止下滑，物块与斜面间的动摩擦因数为，整个斜面置于方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，如图所示。若带电小物用块下滑后某时刻对斜面的作用力恰好为零，已知重力加速度为g。下列说法中正确的是（　　） A．小物块可能带正电荷 B．小物块在斜面上运动时做匀加速直线运动，且加速度大小为 C．小物块在斜面上做加速度增大的变加速直线运动 D．小物块在斜面上下滑过程中，当小物块对斜面的压力为零时的速率为 【变式1-1】如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（   ） A．t1 < t2 = t3 B．t1 < t2 < t3 C．t1 = t2 > t3 D．t1 > t2 > t3 【变式1-2】如图，两根长直导线竖直插入光滑绝缘水平桌面上的M、N两小孔中，O为M、N连线的中点，连线上的a、b两点关于O点对称。导线均通有大小相等、方向向上的电流。已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度（式中k是常数、I是导线中的电流、r为点到导线的距离）。一带正电的小球以初速度从a点出发沿M、N连线运动到b点，运动中小球一直未离开桌面。小球从a点运动到b点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球在b点所受洛伦兹力的方向与导线垂直 B．小球在a、b之间做往复运动 C．小球所受洛伦兹力一直在减小 D．小球对桌面的压力一直在增大 【变式1-3】如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，两个质量、电荷量绝对值相同的带电粒子a、b从A点沿着半径方向进入磁场，运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，下列说法正确的是（     ） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a、b两粒子的速率相同 C．a、b两粒子的周期相同 D．a、b两粒子所受洛伦兹力大小相同 【变式1-4】如图所示，正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直纸里.一个氢核从ad边的中点m沿着既垂直于ad边又垂直于磁场的方向，以一定速度射入磁场，正好从ab边中点n射出磁场.若将磁场的磁感应强度变为原来的4倍，其他条件不变，则这个氢核射出磁场的位置是（     ） A．在b、n之间某点 B．在n、a之间某点 C．就从a点射出 D．在a、m中点 【变式1-5】如图所示，边长为L的正方形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一带电粒子以速度v从D点射入磁场，速度方向与边夹角，垂直边射出磁场，下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．粒子的比荷为 C．粒子在磁场中的运动时间为 D．减小粒子的速度，粒子不可能从边射出 模块三 课后作业 多选题 1．如图所示，一束电子以不同的速率沿图示方向飞入一正方形匀强磁场区域abcd，下列判断正确的是（     ） A．电子可从cd边射出 B．电子速率越大在匀强磁场中运动的轨道半径越大 C．从a点射出的电子比从b点射出的电子速率小 D．从bc边射出的电子在匀强磁场中运动的时间相等 2．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，半圆弧的半径为R，、与直径共线，a、b两点间的距离等于圆的半径。一束质量为m、电荷量为的粒子，在纸面内从a点以大小不同的速率垂直于射入磁场。不计粒子所受重力及粒子之间的相互作用，，下列说法正确的是（    ） A．若粒子经过圆心O，则粒子射入磁场时的速率为 B．若粒子经过圆心O，则粒子在磁场中的运动时间为 C．若粒子在磁场中的运动时间最短，则粒子射入磁场时的速率为 D．若粒子在磁场中的运动时间最短，则粒子在磁场中的运动时间为 3．如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷为的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A点以的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且，下列选项正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的时间为 B．粒子从N点射出方向与竖直方向呈 C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出 D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为 4．如图所示，有一边长为a的正方形ABCD，在ABCD内的适当区域加一垂直正方形ABCD所在平面的匀强磁场。一束电子以某一速度沿正方形ABCD所在平面、且垂直于AB边射入该正方形区域，已知该束电子从AB边上的任意点入射，都只能从C点沿正方形ABCD所在平面射出磁场，不计电子重力，则关于该区域的磁场方向及最小面积，下列说法正确的是（　　） A．磁场方向垂直于ABCD所在平面向里 B．磁场方向垂直于ABCD所在平面向外 C．磁场的最小面积为 D．磁场的最小面积为 5．如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（　　） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 6．如图所示，L1和L2为两条平行的虚线，L1上方和L2下方都是范围足够大，且磁感应强度相同的匀强磁场，A、B两点都在L2上。带电粒子从A点以初速度v0与L2成角斜向右上方射出，经过偏转后正好过B点，经过B点时速度方向也斜向上，不计重力，下列说法正确的是（　　） A．若将带电粒子在A点时的初速度变大（方向不变），它仍能经过B点 B．带电粒子经过B点时的速度一定跟在A点时的速度大小相同 C．若将带电粒子在A点时的初速度方向改为与L2成角斜向右上方，它将不能经过B点 D．此带电粒子既可以是正电荷，也可以是负电荷 7．真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向如图所示，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）沿着与夹角的方向以一定的速度（大小未知）射入磁场中，从边界射出磁场时与的夹角为。则的大小可能为（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，在直角坐标系xOy中，有一个边长为L的正方形区域，a点在原点，b点和d点分别在x轴和y轴上，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子质量为m，电荷量为q，以速度从a点沿x轴正方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．若粒子从cb边射出磁场，则粒子的速度 B．若粒子恰好从c点射出磁场，则粒子的速度 C．若粒子的速度，则粒子恰好从d点射出 D．若粒子从cd边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间范围是 9．如图所示，一束电子（不计重力）以不同速率沿垂直PQ方向入射横截面为三角形的匀强磁场。下列判断正确的是（     ） A．轨迹不重合的电子，其在磁场中运动的时间可能相同 B．速率越小的电子，其在磁场中运动的时间一定越短 C．轨迹越长的电子，其在磁场中运动的时间一定越长 D．轨迹所对应圆心角越大的电子，其在磁场中运动的时间一定越长 10．物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从x轴上P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A点。A，O两点距离为，入射速度方向与x轴夹角为60°，不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（   ） A． B． C． D． 解答题 11．坐标平面第一象限内存在如图所示的匀强磁场边界，其中为半圆弧，，，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，线段与圆弧相切。一质量为、电荷量为的带负电粒子从坐标原点以不同的初速度沿轴正方向射入磁场，不计粒子的重力。求： (1)粒子刚好打在点时对应的初速度； (2)粒子刚好打在点时，粒子在磁场中的运动时间； (3)若使粒子在磁场中运动的时间最长，求粒子的初速度范围。 12．如图所示，在该区域存在一个方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的圆形磁场区域（图中未画出），一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点以水平向左的初速度（速度未知）射入磁场中，M点在磁场中，一段时间后从N点穿过竖直线MN，在N点时速度方向与MN成角，MN长度为3L，不计粒子重力，求： (1)粒子从M到N所用的时间与在磁场中做圆周运动的半径； (2)从M到N过程中粒子所受洛伦兹力的冲量大小； (3)圆形匀强磁场区域的最小面积。 13．如图所示，真空区域有宽度为，磁感应强度为的矩形匀强磁场，方向垂直于纸面向里。、是磁场的边界，质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）沿着与夹角为的方向垂直射入磁场中，刚好垂直于边界射出，并沿半径方向垂直进入圆形磁场，磁场半径为，方向垂直纸面向外，离开圆形磁场时速度方向与水平方向夹角为。求： (1)粒子射入磁场的速度大小； (2)圆形磁场的磁感应强度。 (3)带电粒子穿过两个磁场所用总时间。 14．如图所示，平面直角坐标系xoy位于竖直平面内，第一象限内有竖直向下的匀强电场；第三象限内有垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度大小为；第四象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子从y轴上的M（0，h）点、以初速度v0沿垂直于y轴方向射入电场，经x轴上的N点时、速度方向与x轴正方向成45°角进入第四象限。粒子重力不计，求： (1)匀强电场的电场强度大小E； (2)粒子第一次经过y轴负半轴时的位置坐标； (3)粒子开始进入磁场到第六次经过y轴所用的时间t。 分析题中情景 做出动态图 确定临界轨迹 分析临界状态 构建三角形或四边形 进行分析和求解 做出草图 第 13 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动 模块二 知识精讲 情景导入 用洛伦兹力演示仪演示：不加磁场时电子束沿直线运动；加上沿两线圈中心连线方向的磁场后，电子束的径迹变成了一个圆，如下图所示。 为什么加上磁场后电子束会做圆周运动？这个圆的半径由什么决定？转一圈需要多长时间？ 知识归纳 【知识点1 带点粒子在匀强磁场中的运动】 1、三种运动规律 带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下（电子等微观粒子的重力通常忽略不计），有三种运动情况： ①若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（v∥B），在匀强磁场中做匀速直线运动； ②若带电粒子的速度方向与磁场方向垂直（v⊥B），在垂直于磁感线的平面内以入射 速度v做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力； ③运动方向与磁场方向既不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中做等半径、等螺距的螺旋线运动。 2、圆周运动的计算公式 ①向心力公式：qvB＝m； ②轨道半径公式：r＝； ③周期公式：T＝＝；f＝＝；ω＝＝2πf＝。T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关； ④运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间； ⑤动能：。 3、圆周运动的圆心的确定方法 ①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。 ②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。 ③若已知一个点及运动方向和另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将其中一个速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心。 ④轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。某点的速度垂线与切点法线的交点。如图。 如上图（d）所示，有四个角度关系：①速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)；②圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)；③相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°；④进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等。 4、圆周运动的半径的确定方法 ①物理方程法：半径R＝。 ②几何法：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。如下图所示，R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝。 5、圆周运动的圆心角与时间的确定方法 圆心角的确定：①φ（速度的偏向角）＝θ（圆弧所对应的圆心角）＝2α（弦切角），即φ＝θ＝2α＝ωt，如图所示；②偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α。 运动时间的计算：①由圆心角求，t＝·T；②由弧长求，t＝。 【注意】当带电体的速度一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；当带电体的速度变化时，圆心角大的运动时间长。 6、带电粒子在磁场做圆周运动的分析方法 画轨迹确定圆心。 确定运动过程的关系：①轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，即；②利用数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定半径；③寻找偏转角度与圆心角、运动时间的关系；④寻找带电粒子在磁场中运动时间与周期（T＝）的关系。 运动牛顿运动定律和圆周运动的规律等，进行分析及计算。 7、动态圆模型 ①临界条件：带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直。 ②解题方法如下： ③临界情况：公共弦为小圆直径时，出现极值。当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大；当运动轨迹圆半径小于圆形磁场半径时，则以轨迹圆直径的两端点为入射点和出射点的圆形磁场对应的圆心角最大。 ④放缩圆模型 模型概述：以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法。 适用条件：速度方向一定，大小不同，粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。 特点：轨迹圆圆心共线，如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上。 ⑤旋转圆模型 模型概述：以入射点为圆心，将一半径为R＝的圆进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法。 适用条件：速度大小一定，方向不同。粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝，如图所示。 特点：轨迹圆圆心共圆，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上。 ⑥平移圆模型 模型概述：将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法。 适用条件：速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上。粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示。 特点：轨迹圆圆心共线，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。 【例1】质量为m、带电荷量为q的小物块，从倾角为的绝缘斜面上由静止下滑，物块与斜面间的动摩擦因数为，整个斜面置于方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，如图所示。若带电小物用块下滑后某时刻对斜面的作用力恰好为零，已知重力加速度为g。下列说法中正确的是（　　） A．小物块可能带正电荷 B．小物块在斜面上运动时做匀加速直线运动，且加速度大小为 C．小物块在斜面上做加速度增大的变加速直线运动 D．小物块在斜面上下滑过程中，当小物块对斜面的压力为零时的速率为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】无外力，物块在粗糙斜面滑动、带电微粒（计重力）在磁场中的运动 【详解】A．根据磁场方向和小物块的运动方向，由左手定则可知，小物块所受的洛伦兹力方向垂直于斜面，因带电小物块下滑后某时刻对斜面的作用力恰好为零，则洛伦兹力方向垂直于斜面向上，根据左手定则判断可知小物块带负电，故A错误； BC．小物块在斜面上运动时，对小物块受力分析，可知小物块所受合力 随着v增大，洛伦兹力增大，增大，a增大，则小物块在斜面上做加速度增大的变加速直线运动，故B错误，C正确； D．小物块对斜面压力为零时，有 解得 故D错误。 故选C。 【变式1-1】如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（   ） A．t1 < t2 = t3 B．t1 < t2 < t3 C．t1 = t2 > t3 D．t1 > t2 > t3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算 【详解】由于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则电子在磁场中运动的时间为 设正方形abcd的边长为l，则，， 则有t1 < t2 = t3 故选A。 【变式1-2】如图，两根长直导线竖直插入光滑绝缘水平桌面上的M、N两小孔中，O为M、N连线的中点，连线上的a、b两点关于O点对称。导线均通有大小相等、方向向上的电流。已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度（式中k是常数、I是导线中的电流、r为点到导线的距离）。一带正电的小球以初速度从a点出发沿M、N连线运动到b点，运动中小球一直未离开桌面。小球从a点运动到b点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球在b点所受洛伦兹力的方向与导线垂直 B．小球在a、b之间做往复运动 C．小球所受洛伦兹力一直在减小 D．小球对桌面的压力一直在增大 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在直导线周围的运动 【详解】ACD．已知长直导线在周围产生的磁场的磁感应强度，根据安培定则，结合磁感应强度的叠加原理可知，直线MON上靠近M处的磁场方向垂直于MN向里，靠近N处的磁场方向垂直于MN向外；小球从a点运动到b点的过程中，磁感应强度大小先减小，过O点后反向增大，根据左手定则可知，带正电的小球受到的洛伦兹力方向开始时竖直向上，大小逐渐减小，过O点后洛伦兹力的方向向下，大小逐渐增大，小球在竖直方向受力平衡，则桌面对小球的支持力逐渐增大，根据牛顿第三定律可知，小球对桌面的压力一直在增大，故AC错误，D正确； B．由于桌面光滑，小球仅在竖直方向上受到重力、洛伦兹力与支持力作用，在沿初速度方向不受外力作用，小球所受外力的合力为零，则小球将做匀速直线运动，故B错误。 故选D。 【变式1-3】如图所示，圆形区域内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，两个质量、电荷量绝对值相同的带电粒子a、b从A点沿着半径方向进入磁场，运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，下列说法正确的是（     ） A．a粒子带正电，b粒子带负电 B．a、b两粒子的速率相同 C．a、b两粒子的周期相同 D．a、b两粒子所受洛伦兹力大小相同 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动 【详解】A．根据题意，由左手定则可知，a粒子带负电，b粒子带正电，故A错误； BC．根据题意，由牛顿第二定律有， 解得， 两个带电粒子质量相等，电荷量绝对值相同，由图可知，粒子轨迹半径较大，则粒子速率较大，两粒子的周期相同，故B错误，C正确； D．粒子所受洛伦兹力 由于粒子速率较大，则粒子所受洛伦兹力较大，故D错误。 故选C。 【变式1-4】如图所示，正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直纸里.一个氢核从ad边的中点m沿着既垂直于ad边又垂直于磁场的方向，以一定速度射入磁场，正好从ab边中点n射出磁场.若将磁场的磁感应强度变为原来的4倍，其他条件不变，则这个氢核射出磁场的位置是（     ） A．在b、n之间某点 B．在n、a之间某点 C．就从a点射出 D．在a、m中点 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】带电粒子在矩形边界磁场中的运动 【详解】氢核在磁场中受到洛伦兹力作用，洛伦兹力提供向心力，即 其中为氢核电荷量，为氢核速度，为磁感应强度，为氢核质量，为轨迹半径。由此可得 当磁感应强度变为原来的倍时，可得新的轨迹半径 即轨迹半径变为原来的四分之一。由于轨迹半径变为原来的四分之一，且氢核从边的中点射入，根据几何关系，氢核将从在a、m中点射出磁场。 故选D。 【变式1-5】如图所示，边长为L的正方形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一带电粒子以速度v从D点射入磁场，速度方向与边夹角，垂直边射出磁场，下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．粒子的比荷为 C．粒子在磁场中的运动时间为 D．减小粒子的速度，粒子不可能从边射出 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动 【详解】A．由图可知，粒子所受洛伦兹力垂直速度方向向下，根据左手定则可知粒子带负电，故A错误； B．如图所示，由轨迹和题设条件找到粒子做匀速圆周运动的圆心O， 根据几何关系，可得粒子做圆周运动的半径 根据洛伦兹力提供向心力 联立解得粒子的比荷，故B正确； C．由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动转过的圆心角为60°，粒子在磁场中的运动时间：，故C错误； D．根据，则速度减小，粒子在磁场中做圆周运动的半径减小，可知当速度减小到一定值时，粒子可以从CD边射出，故D错误。 故选B。 模块三 课后作业 多选题 1．如图所示，一束电子以不同的速率沿图示方向飞入一正方形匀强磁场区域abcd，下列判断正确的是（     ） A．电子可从cd边射出 B．电子速率越大在匀强磁场中运动的轨道半径越大 C．从a点射出的电子比从b点射出的电子速率小 D．从bc边射出的电子在匀强磁场中运动的时间相等 【答案】BD 【难度】0.7 【知识点】带电粒子在匀强磁场中的圆周运动：半径、周期公式、带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算、带电粒子在直边界磁场中运动 【详解】A．由左手定则可知，电子进入磁场顺时针偏转，故电子不可能从cd边射出，A错误； B．由可得，电子在磁场中的偏转半径为 故电子速率越大在匀强磁场中运动的轨道半径越大，B正确； C．由几何关系可知从a点射出的电子比从b点射出的电子半径大，故从a点射出的电子比从b点射出的电子速率大，C错误； D．由可知，粒子在磁场中运动的周期相同，由几何关系可知从bc边射出的电子在匀强磁场中恰好转动半圈，故运动的时间为，时间相等，D正确。 故选BD。 2．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，半圆弧的半径为R，、与直径共线，a、b两点间的距离等于圆的半径。一束质量为m、电荷量为的粒子，在纸面内从a点以大小不同的速率垂直于射入磁场。不计粒子所受重力及粒子之间的相互作用，，下列说法正确的是（    ） A．若粒子经过圆心O，则粒子射入磁场时的速率为 B．若粒子经过圆心O，则粒子在磁场中的运动时间为 C．若粒子在磁场中的运动时间最短，则粒子射入磁场时的速率为 D．若粒子在磁场中的运动时间最短，则粒子在磁场中的运动时间为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在磁场中做圆周运动的相关计算 【详解】AB．若粒子经过圆心O，则粒子轨迹如图 有几何关系知 解得 根据 解得 由几何关系可知粒子在磁场中转过的角度为127°，则时间 故A错误，B正确； CD．当轨迹圆弧所对应的弦与bc半圆形边界相切时，轨迹圆弧所对应的弦与ab的夹角最大，那么轨迹的圆心角最小，运动时间最短，其轨迹如图所示 圆心恰好位于b点，此时 根据 解得 由几何关系可知粒子在磁场中转过的角度为120°，则粒子在磁场中的运动时间为 故C正确，D错误。 故选BC。 3．如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷为的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A点以的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且，下列选项正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的时间为 B．粒子从N点射出方向与竖直方向呈 C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出 D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动、根据粒子运动确定磁场区域的范围 【详解】A．粒子恰好从N点射出，轨迹如下图所示，运动周期为 四边形AONP的圆心角为 粒子在磁场中运动的时间为，故A错误； B．粒子在磁场中速度偏转，从N点射出方向是与竖直方向呈，故B正确； C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，轨迹如下图所示，四边形SCON为菱形，由几何知识可知一定从N点射出，故C正确； D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场以AN为直径时面积最小，最小面积为，故D错误。 故选BC。 4．如图所示，有一边长为a的正方形ABCD，在ABCD内的适当区域加一垂直正方形ABCD所在平面的匀强磁场。一束电子以某一速度沿正方形ABCD所在平面、且垂直于AB边射入该正方形区域，已知该束电子从AB边上的任意点入射，都只能从C点沿正方形ABCD所在平面射出磁场，不计电子重力，则关于该区域的磁场方向及最小面积，下列说法正确的是（　　） A．磁场方向垂直于ABCD所在平面向里 B．磁场方向垂直于ABCD所在平面向外 C．磁场的最小面积为 D．磁场的最小面积为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】根据粒子运动确定磁场区域的范围 【详解】AB．由于电子要在ABCD平面内从C点射出，区域磁场必须垂直区域平面向里，故A正确，B错误； CD．磁场的最小面积是一个以B点为圆心、正方形的边长为半径的四分之一圆和以D点为圆心、正方形的边长为半径的四分之一圆的公共范围，如图所示 由几何关系得最小面积为，故C正确，D错误； 故选AC。 5．如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（　　） A．，垂直纸面向里 B．，垂直纸面向里 C．，垂直纸面向外 D．，垂直纸面向外 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动、磁场方向的不确定形成的多解 【详解】AB．当所加匀强磁场方向垂盲纸面向里时，由左手定则知：负离子向右偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（大圆弧） 由几何知识知 而 所以 所以当离子轨迹的半径小于s时满足约束条件。由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出 所以得 故A错误，B正确； CD．当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则知：负离子向左偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图（小圆弧） 由几何知识知道相切圆的半径为，所以当离子轨迹的半径小于时满足约束条件。 由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出 所以得 故C错误，D正确。 故选BD。 6．如图所示，L1和L2为两条平行的虚线，L1上方和L2下方都是范围足够大，且磁感应强度相同的匀强磁场，A、B两点都在L2上。带电粒子从A点以初速度v0与L2成角斜向右上方射出，经过偏转后正好过B点，经过B点时速度方向也斜向上，不计重力，下列说法正确的是（　　） A．若将带电粒子在A点时的初速度变大（方向不变），它仍能经过B点 B．带电粒子经过B点时的速度一定跟在A点时的速度大小相同 C．若将带电粒子在A点时的初速度方向改为与L2成角斜向右上方，它将不能经过B点 D．此带电粒子既可以是正电荷，也可以是负电荷 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】带电粒子电性不确定形成的多解 【详解】画出带电粒子运动的可能轨迹，B点的位置可能有如图四种 A．根据轨迹，粒子经过边界L1时入射点与出射点间的距离与经过边界L2时入射点与出射点间的距离相同，与速度无关．所以当初速度大小稍微增大一点，但保持方向不变，它仍有可能经过B点，故A错误； B．如图，粒子B的位置在B1、B4，由于洛伦兹力对粒子不做功，则速度跟在A点时的速度大小相等，但方向不同，故B正确； C．如图，设L1与L2之间的距离为d，则A到B2的距离为 x= 所以，若将带电粒子在A点时初速度方向改为与L2成角斜向上，则每次经过一个周期前进的距离为 则经过三个周期后经过B点。故C错误； D．由图可知，分别是正负电荷的轨迹，正负电荷都可能，故D正确。 故选ABD。 7．真空区域有宽度为、磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向如图所示，、是磁场的边界。质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）沿着与夹角的方向以一定的速度（大小未知）射入磁场中，从边界射出磁场时与的夹角为。则的大小可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】临界状态的不唯一形成多解 【详解】粒子从点射出时，轨迹圆心为，半径为，如图所示 根据几何关系有 解得 根据 解得 粒子从点射出时，轨迹圆心为，半径为，根据几何关系有 解得 根据 可得 故选CD。 8．如图所示，在直角坐标系xOy中，有一个边长为L的正方形区域，a点在原点，b点和d点分别在x轴和y轴上，该区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一带正电的粒子质量为m，电荷量为q，以速度从a点沿x轴正方向射入磁场，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．若粒子从cb边射出磁场，则粒子的速度 B．若粒子恰好从c点射出磁场，则粒子的速度 C．若粒子的速度，则粒子恰好从d点射出 D．若粒子从cd边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间范围是 【答案】AC 【难度】0.62 【知识点】带电粒子在矩形边界磁场中的运动 【详解】A．若粒子从cb边射出磁场，则，根据 可得轨迹圆半径 则粒子的速度，故A正确； B．若粒子恰好从c点射出磁场，根据几何关系可知，粒子圆周运动半径为 解得，故B错误； C．若粒子的速度，可得轨迹圆半径 则粒子恰好从d点射出，故C正确； D．根据， 得，若粒子从d点射出，可知圆心角为180°，时间最长，最长时间 若粒子从c点射出，可知圆心角为90°，时间最短，最短时间 若粒子从边射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间范围是，故D错误。 故选AC。 9．如图所示，一束电子（不计重力）以不同速率沿垂直PQ方向入射横截面为三角形的匀强磁场。下列判断正确的是（     ） A．轨迹不重合的电子，其在磁场中运动的时间可能相同 B．速率越小的电子，其在磁场中运动的时间一定越短 C．轨迹越长的电子，其在磁场中运动的时间一定越长 D．轨迹所对应圆心角越大的电子，其在磁场中运动的时间一定越长 【答案】AD 【难度】0.62 【知识点】带电粒子在三角形边界磁场中的运动 【详解】AB．电子进入匀强磁场后，速度方向与磁场方向垂直，洛伦兹力始终与速度方向垂直，因此电子做匀速圆周运动。电子所受洛伦兹力提供向心力 所以 电子做圆周运动的周期为 因此，电子在磁场中的运动时间只与轨迹对应的圆心角有关，与轨迹半径和速率没有直接关系。当电子的速率较小时，轨迹半径较小，电子可能在三角形区域内运动半周后从PQ边射出。此时轨迹对应的圆心角均为，即使两个电子的速率不同、轨迹半径不同，因而轨迹不重合，它们在磁场中运动的时间仍然相同，故A正确，B错误； C．对于做半圆运动的电子，轨迹长度可能因半径不同而不同，但对应圆心角都相同，所以在磁场中运动的时间一定相同，故C错误； D．在磁场中的运动时间 所以轨迹所对应圆心角越大的电子，其在磁场中运动的时间一定越长，故D正确。 故选AD。 10．物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从x轴上P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A点。A，O两点距离为，入射速度方向与x轴夹角为60°，不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】动态圆模型 【详解】带负电粒子斜向右上与x轴成入射，粒子垂直打在，结合几何关系可得 最大半径 当轨迹恰好与相切时，有 最小半径 所以轨迹半径满足 洛伦兹力提供向心力 解得速度范围 故选BC。 解答题 11．坐标平面第一象限内存在如图所示的匀强磁场边界，其中为半圆弧，，，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里，线段与圆弧相切。一质量为、电荷量为的带负电粒子从坐标原点以不同的初速度沿轴正方向射入磁场，不计粒子的重力。求： (1)粒子刚好打在点时对应的初速度； (2)粒子刚好打在点时，粒子在磁场中的运动时间； (3)若使粒子在磁场中运动的时间最长，求粒子的初速度范围。 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.6 【知识点】带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动、动态圆模型 【详解】（1）粒子刚好打在点时，由几何关系知，点为粒子在磁场中做匀速圆周运动对应的圆心，如图所示，则此时粒子的轨迹半径为 由 解得 （2）由（1）知，粒子刚好打在点时的运动周期为 由几何关系得，此时在磁场中运动的偏转角为 则此时在磁场中的运动时间 （3）若要使粒子运动的时间最长，则粒子要打在段或点右侧 若粒子打在点，此时粒子的轨迹半径 由 得 若粒子打在点，此时粒子的轨迹半径 由 得 则粒子的速度范围为或 即或 12．如图所示，在该区域存在一个方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的圆形磁场区域（图中未画出），一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点以水平向左的初速度（速度未知）射入磁场中，M点在磁场中，一段时间后从N点穿过竖直线MN，在N点时速度方向与MN成角，MN长度为3L，不计粒子重力，求： (1)粒子从M到N所用的时间与在磁场中做圆周运动的半径； (2)从M到N过程中粒子所受洛伦兹力的冲量大小； (3)圆形匀强磁场区域的最小面积。 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.57 【知识点】动量定理的内容、带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动、根据粒子运动确定磁场区域的范围 【详解】（1）如图所示 由几何关系可以得到 可得粒子圆周运动的半径为 根据， 可得周期为 粒子从M到D时间 粒子从D到N时间 所以粒子从M到D时间 （2）从M到N，洛伦兹力冲量 又由 得 （3）圆形磁场直径的最小值为MD长度 所以圆形磁场最小面积为 13．如图所示，真空区域有宽度为，磁感应强度为的矩形匀强磁场，方向垂直于纸面向里。、是磁场的边界，质量为、电荷量为的带正电粒子（不计重力）沿着与夹角为的方向垂直射入磁场中，刚好垂直于边界射出，并沿半径方向垂直进入圆形磁场，磁场半径为，方向垂直纸面向外，离开圆形磁场时速度方向与水平方向夹角为。求： (1)粒子射入磁场的速度大小； (2)圆形磁场的磁感应强度。 (3)带电粒子穿过两个磁场所用总时间。 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动、带电粒子在圆（弧）形边界磁场中运动、带电粒子在多个组合边界磁场中的运动 【详解】（1）粒子的轨迹如图所示 粒子在直边界磁场运动时，根据几何关系有 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （2）粒子在圆形磁场运动时，根据几何关系可得半径为 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （3）粒子在双直线边界运动有 粒子在双直线边界运动用时 同理，粒子在圆形边界运动用时 则运动总时间 14．如图所示，平面直角坐标系xoy位于竖直平面内，第一象限内有竖直向下的匀强电场；第三象限内有垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度大小为；第四象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子从y轴上的M（0，h）点、以初速度v0沿垂直于y轴方向射入电场，经x轴上的N点时、速度方向与x轴正方向成45°角进入第四象限。粒子重力不计，求： (1)匀强电场的电场强度大小E； (2)粒子第一次经过y轴负半轴时的位置坐标； (3)粒子开始进入磁场到第六次经过y轴所用的时间t。 【答案】(1)； (2)； (3) 【难度】0.42 【知识点】带电粒子在匀强电场中做类抛体运动的相关计算、带电粒子在交变磁场中的运动 【详解】（1）粒子在第一象限做类平抛运动，到达点时速度与轴成，竖直分速度，竖直方向位移大小​ 解得时间，竖直方向加速度​​，又 联立得​​ （2） 由上问得点坐标，点合速度 粒子进入第四象限，洛伦兹力提供向心力，其中，且 代入得轨迹半径 如上图，速度方向斜向右下，由左手定则得圆心坐标为，圆的方程为： 令（轴），解得，因此第一次经过轴负半轴的坐标为： （3）粒子进入第三象限做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 其中代入得轨迹半径 结合上一问的图，粒子开始进入磁场到第六次经过轴所用的时间，由周期公式得在第四象限中周期：​，转半圈时间 ，转圈时间   ​在第三象限周期：，转圈时间​ 粒子从点进入磁场，运动半圈第1次经过轴，第2、4、6次从第三象限经圈过轴，第3、5次从第四象限经圈过轴，共经过1次第四象限半圈、2次第四象限圈、3次第三象限圈，总时间 整理得 ​ 分析题中情景 做出动态图 确定临界轨迹 分析临界状态 构建三角形或四边形 进行分析和求解 做出草图 第 29 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $