重难点专训02 线性回归方程与独立性检验综合应用五大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点专训02 线性回归方程与独立性检验综合应用 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 求线性回归方程 2 题型2 利用回归方程预测 3 题型3 独立性检验（卡方） 6 题型4 相关系数计算 8 题型5 综合应用题 11 重难专题分层过关练 13 巩固过关 13 创新提升 16 解题方法及技巧提炼 类型一：求线性回归方程 【解题步骤】①计算x̄、ȳ；②计算Σxᵢ²和Σxᵢyᵢ；③代入公式求b；④由a = ȳ - b·x̄求a；⑤写出回归方程ŷ = bx + a。 【技巧】计算前先列表，逐行计算xᵢ、yᵢ、xᵢ²、xᵢyᵢ，最后求和，避免口算出错。 类型二：利用回归方程预测 【解题步骤】将给定的x值代入回归方程，求出ŷ即可。注意：预测值是估计值，不是精确值。 【易错点】回归方程的适用范围一般在样本数据的x取值范围内，超出范围的预测要谨慎（外推风险）。 类型三：独立性检验 【解题步骤】①根据题意列出2×2列联表；②代入卡方公式计算χ²；③与临界值比较，得出结论。 【关键】公式中的a、b、c、d位置不能放错！ad-bc是主对角线乘积减副对角线乘积。 类型四：回归与检验综合 【问题特征】先给一组数据求回归方程，再给列联表做独立性检验，两问独立。 【解题通法】分别按各自的步骤计算即可，两问之间没有必然联系。注意第一问算错会影响第二问的信心，但两问的数据是独立的。 题型通法及变式提升 题型1 求线性回归方程 1．已知两组数据和，其中且时，；且时，，，我们研究这两组数据的相关性，在集合中取一个元素作为a的值，使得相关性最强，则a=（    ） A．8 B．11 C．12 D．13 2．为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系．设，与的数据如表格所示，得到与的线性回归方程，则（    ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A． B． C． D． 3．某张纸上记录了一组成对数据，但有部分数据模糊不清无法辨认．已知其线性回归方程为，相关系数，则模糊的数据可能是（    ）． 数据 0.7 0.9 1.3 1.4 1.7 数据 9.1 10.4 10.9 A． B． C． D． 4.某种产品2014年到2018年的年投资金额（万元）与年利润（万元）的数据统计如下，由散点图知，与之间的关系可以用线性回归模型拟合，已知5年利润的平均值是4.7． 年份 2014 2015 2016 2017 2018 年投资金额万元 1 2 3 4 5 年利润万元 2.4 2.7 6.4 7.9 (1)求表中实数的值； (2)求关于的线性回归方程． 参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 题型2 利用回归方程预测 5．某汽车研发公司的工程师为了解一款新型汽车在不同行驶速度x（km/h）下油耗y（L/100km）的变化规律，进行了相关实验，记录不同速度下的油耗数据的散点图如下： (1)根据散点图求y关于x的经验回归方程（精确到0.01）； (2)根据线性回归方程，绘制残差图，并分析线性回归方程的拟合效果（若残差的平方和小于0.775，则说明拟合效果良好，否则拟合效果较差）. 附：，. 6．某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，该团队建立了两个模型：①；②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到右侧散点图，如图.令，，计算得如下数据： 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型： (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?（结果精确到0.01） 附：对于一组数据，样本相关系数 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 7．为响应环境保护政策，某工厂引入减排技术，减少工厂周边有害颗粒物的密度．已知2014年到2022年的历史检测数据如下： 年份x （年） 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 颗粒物浓度y 101.02 87.02 57.46 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 4.61 4.46 4.05 3.08 2.46 2.18 1.61 1.53 1.35 记年份为，颗粒物浓度，．某团队建立了两个回归预测模型，并用最小二乘法求得关于的回归方程：①；②，其中是常数，是自然常数，假设． (1)设和的相关系数为，设和的相关系数为，和在与哪个区间内？从相关系数的角度，模型①和模型②，哪一个更好？请计算并说明理由． (2)在报告中给出了关于的回归方程：，请根据数据，计算参数K，并预测2026年的颗粒物浓度．（精确到0.01） 8．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了次试验，得到数据如下： 零件的个数x（个） 2 3 4 5 加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式， (1)求关于的线性回归方程； (2)求各样本的残差； (3)试预测加工个零件需要的时间. 题型3 独立性检验（卡方） 9．（26-27高三上·上海·开学考试）某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人的购买情况，得到如下列表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 100 20 女性 50 30 80 总计 50 200 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ (2)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立；若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了B款车的人数为，求：的数学期望与方差． 附：． 10．为了解某地高中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区20000名学生中抽取500人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围 学业成绩 优秀 5 38 37 3 1 不优秀 117 125 118 36 20 (1)该地区20000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少，并估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长； (2)是否有0.95的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ 附：，. 11．（25-26高三下·上海·阶段检测）中国社会福利与养老服务协会、当代社会服务研究院与社会科学文献出版社6日共同发布《银发经济蓝皮书：中国银发经济发展报告（2024）》．报告预计，中国将在2030年前后进入超级老龄化社会，到2060年，老年人口约占总人口的37.4%，随着我国人口老龄化的不断加深，养老问题已成为社会关注的焦点．现在某社区采用分层抽样的方法对老年人居家养老的情况进行调查，其结果如下： 男性 女性 合计 居家养老 60 100 160 不居家养老 n 20 40 合计 80 m 200 (1)求m，n； (2)若显著性水平，是否有95%的把握能认为“居家养老与性别有关”？ (3)已知在被调查的男性老人中有5名是单身，其中有2名不居家养老，现在从这5名男性老人中随机抽取3人，设在抽到的3人中不居家养老的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：参考公式：，其中，． 12．（2026·上海浦东新·三模）某高中一年级有540名学生，其中男生360名，女生180名．为调研学生的“加三”学科选科意向，学校按性别分别抽样，抽取了名学生填写问卷． (1)若抽取的学生中男生要30人，求的值； (2)若，且问卷中要求学生在物理与历史中选且只选一种，同时在地理与生物中也选且只选一种，统计得如下列联表： 选物理 选历史 总计 选地理 26 9 35 选生物 48 7 55 总计 74 16 90 （i）据此判断是否有95%的把握认为“选物理还是历史”与“选地理还是生物”有关； （ii）已知选物理的74名学生中有18名是女生，现从选历史的16名学生中再随机抽取4名参与访谈．用表示受访学生中男生的数量，求的期望． 参考公式：，． 题型4 相关系数计算 13．（2026·上海虹口·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果精确到0.0001） 参考数据：若，则，． 14．（2026·上海·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力、设备生产的零件的直径为（单位）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求的分布与期望： (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果保留到0.0001） 参考数据：若，则，． 15．某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 入园游客量（百人） (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； (2)求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；； 16．某公司研发了一款新型智能机器人，一经投放市场颇受欢迎，为了更好地服务广大用户，该公司对这款机器人的某个性能指数x（）与用户的喜欢程度y（）进行调查统计，得到如下数据表： x 5 6 7 8 9 y 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 (1)请根据上表提供的数据，利用相关系数r，判断该性能指数与用户的喜欢程度的相关性强弱（当时，x与y的相关性很强）； (2)这款智能机器人的交互性很强，用户可通过语音给机器人发布指令，机器人执行命令的正确率为90%，出错率为10%．当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为90%；当机器人执行命令错误时，使用者满意的概率为30%．如果使用者对某次命令执行结果不满意，求机器人实际正确执行命令的概率（精确到0.01）； (3)该公司科技人员随机抽取一台这款智能机器人进行挑战答题，共准备了4道高难度的问题，若机器人答对的题数不小于3，则挑战成功．已知机器人答对前两道题的概率均为p，答对后两道题的概率均为q，每次答题结果互不影响．当时，求机器人挑战成功的概率的最大值． 附：相关系数． 题型5 综合应用题 17．为了解学生身体素质的情况，学校随机抽取了100位同学组织了一次体测，结果有20%的同学合格，经过调查，抽取的学生中只有10%的学生每日运动量能达标，每日运动量能达标的学生体测合格率有50%. (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为体测成绩与每日运动量之间有关； 体测合格 体测不合格 合计 运动量达标 运动量未达标 合计 (2)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中合格人数的分布列和期望； (3)为提升学生身体素质，学校决定给每个班级安排任务，规则如下：每天班主任从箱子里抽球，里面有2个白球和2个红球(大小、材质相同)，抽到红球放回，且学生就需要跑步1km；抽到白球则休息，抽完的球不放回，再往里放入一个红球，直至箱子里全部都是红球后结束，记天后任务结束的概率为.求. 附：，. 18．某工厂生产了一批高精尖仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家对仪器进行检测，每台仪器被每位专家评议为＂可靠＂的概率均为，且每台仪器是否可靠及每位专家检测的结果相互独立. (1)为调查某零件A的品质对仪器可靠性的影响，现抽取了50台仪器检测，请根据 下述列联表，判断是否有的把握认为“仪器可靠”与“某零件A达优等”有关？ 仪器可靠 仪器不可靠 合计 零件A达优等 41 4 45 零件A未达优等 2 3 5 合计 43 7 50 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.65 10.828 (2)若，现从某批100台仪器中抽取4台，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列、数学期望和方差； (3)为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测.若三位专家中至少有两位检测结果为不可靠，则仪器报废.其余情况，仪器需要回厂返修.拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费.现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算2.3万元用于检测和维修，试用表示每台机器所需费用的期望，并估计，100台机器所需的总费用是否有可能会超过预算2.3万元？说明理由. 19．人工智能中的文生视频模型Sora(以下简称Sora)，能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示. Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 (1)根据所给数据完成题中表格，依据的独立性检验，判断Sora的应用与视频从业人员的减少有关? (2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora. ①求员工经过培训能应用Sora的概率； ②已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门? 附：其中. 20．某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求. 性别 就餐区域 合计 南区 北区 男 33 10 43 女 38 7 45 合计 71 17 88 (1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？ (2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，. 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 （ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率； （ⅱ）求第（）天他去甲餐厅用餐的概率. 附：，； 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（24-25高三下·上海·阶段检测）在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则（    ） A． B．1 C． D．无法确定 2．（26-27高三上·上海·开学考试）对四组数据进行统计，获得如下散点图，则这四组数据相应的相关系数最小的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）研究线性回归模型时，若成对数据所对应的点均在直线上，则线性相关系数为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）分别对、、三组成对数据做相关性分析，计算出其对应的相关系数分别为、，，则、、三组相关性的强弱从弱到强排序依次为________． 5．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知某独立性检验中，由，计算出，若将列联表中的数据分别变成，计算出的，则是的多少倍______. 6．某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽取20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成的列联表，根据列联表的数据，至少有______的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高与体重之间有关系． 身高 体重 超重 不超重 总计 偏高 4 1 5 不偏高 3 12 15 总计 7 13 20 附表： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 7．某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95％的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生至少有________人． 参考数据：， 8．（24-25高三下·上海金山·阶段检测）某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料（吨）得相关性．在生产过程中收集4组对应数据如表所示，已知关于的经验回归方程为，则表中的值为__________，在样本点处的离差为__________． 3 4 5 6 2.5 3 4 9．（24-25高三下·上海·阶段检测）截至2024年底，我国新能源汽车保有量达到3140万辆，占汽车总量的.某市调查了1000名汽车驾驶员对新能源汽车的偏好程度，调查结果如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 女性驾驶员 100 400 合计 400 1000 (1)请根据所给数据，完成上面的列联表； (2)判断是否有的把握认为偏好燃油汽车或新能源汽车与驾驶员的性别有关； (3)用频率估计概率，在所有参加调查的驾驶员按男性和女性进行分层抽样，随机抽取10名驾驶员，再从这10名驾驶员中随机抽取2人进行问卷调查.抽取的2人中，求在有女性驾驶员参加问卷调查的条件下，恰有1名男性驾驶员也参加问卷调查的概率. 附：， 其中   10．（24-25高三上·上海·期中）学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题．其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择其中道题目回答即可．现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表： 选答④、⑥、⑧、⑩的题目数 1道 2道 3道 4道 人数 (1)现规定：同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人．学校还调查了这位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表： 性别 “公序良俗”达人 非“公序良俗”达人 总计 男性 女性 总计 请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关． (2)从这名学生中任选名，记表示这名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机变量的分布和数学期望． 参考公式：，其中．附表见上图． 创新提升 1．已知线性相关系数r是描述成对数据线性相关程度的统计量，也称为皮尔逊相关系数；一元线性回归分析是基于拟合误差Q取最小值的假设进行的，最终可得回归方程（回归直线）．现有5个数据点，小明对它们进行了一元线性回归分析，得到线性相关系数和回归方程，随后发现自己漏掉了一个数据点且恰好．重新计算6个数据点得到线性相关系数和回归方程，对于下面两个说法： ①一定小于    ②与一定重合 则（   ） A．①正确②错误 B．①正确②正确 C．①错误②正确 D．①错误②错误 2．（24-25高三下·上海·阶段检测）某试验田种植一批水稻，对其进行种植实验．在右表中记录了5组水稻的“播种面积”与“总产量”的相关数据并预测序号6的实验数据，若发现实验序号5的实验数据有误需剔除，则下列说法正确的是（    ）． 实验序号 1 2 3 4 5 6 播种面积 （单位：千公顷） 60.9 71.8 72.9 73.6 75.8 80.0 总产量 （单位：万吨） 37.8 37.4 38.9 40.1 37.3 未知 A．实验样本的相关系数将变小． B．实验样本的相关系数将不变． C．实验序号6的预测结果将变大． D．实验序号6的预测结果将变小． 3．（24-25高二下·上海·期末）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 4．（24-25高三下·上海·阶段检测）向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示： DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 (1)根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ (2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. （ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率. （ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：其中，） 5．（24-25高三下·上海杨浦·开学考试）随着5G时代的全面来临，借助手机，网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查，统计得到以下列联表. 不了解 了解 合计 女生 20 20 40 男生 10 合计 80 (1)取进行独立性检验，判断该校学生对“反诈”知识的了解与性别是否有关； (2)用频率估计概率，样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为，求的分布及数学期望； (3)为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.已知全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”. （i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”； （ii）若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，估计参与本次知识竞赛的学生人数.（四舍五入后取整） 附：（1），其中，； （2）若，则：，，. 6．（24-25高三下·上海·阶段检测）某兴趣小组对高三刚结束的物理测试成绩进行随机调查，将所有选考物理的考生按是否同时选考化学分为A、B两类，并从中随机抽取100名考生的成绩，整理数据如下表（单位：人） 物理成绩学生分类 A类男生 2 8 15 8 B类男生 3 10 20 4 A类女生 3 4 2 1 B类女生 10 6 4 0 (1)估计该校高三学习物理男生人数与女生人数之比； (2)求A类考生物现平均成绩的估计值（同一组中的数据用该组区间中点值代表，结果四舍五入到整数）； (3)把成绩在称为“合格”，成绩在称为“不合格”，是否有95%的把握认为该校考生的本次物理成绩合格与否和性别有关？ 附：，其中． 7．（24-25高三下·上海·阶段检测）第二十二届卡塔尔世界杯足球决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队，某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团，足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各名进行调查，部分数据如下表所示． 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 女生 合计 (1)根据所给数据求出、、、的值，并判断是否有95%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（附） (2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了名男生和名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求人进球总次数的分布和数学期望． 8．（24-25高三上·上海·期末）某区体育老师为了了解初中学生的性别和喜欢篮球是否有关，随机调查了该区1000名初中学生，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示： 性别 是否喜欢篮球 合计 喜欢 不喜欢 男生 350 250 600 女生 250 150 400 合计 600 400 1000 (1)依据的独立性检验，能否认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联； (2)用按性别比例分配的分层随机抽样的方法从参与调查的，喜欢篮球的600名初中学生中抽取12名学生做进一步调查，将这12名学生作为一个样本，从中随机抽取3人，用X 表示随机抽取的3人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望. 附：参考数据 其中 9．（24-25高三上·上海·开学考试）为了缓解高三学生学业压力，学校开展健美操活动，高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健美操，得到如下的列联表. 性别 愿意 不愿意 男生 6 10 女生 18 6 (1)根据该列联表，并依据显著水平的独立性检验，判断能否认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”； (2)在愿意参加的所有学生中，根据性别，分层抽样选取8位学生组织班级健美操队，并从中随机选取2人作为领队，记这2人中女生人数为随机变量，求的分布及期望. 附：. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训02 线性回归方程与独立性检验综合应用 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 求线性回归方程 2 题型2 利用回归方程预测 4 题型3 独立性检验（卡方） 8 题型4 相关系数计算 12 题型5 综合应用题 16 重难专题分层过关练 23 巩固过关 23 创新提升 29 解题方法及技巧提炼 类型一：求线性回归方程 【解题步骤】①计算x̄、ȳ；②计算Σxᵢ²和Σxᵢyᵢ；③代入公式求b；④由a = ȳ - b·x̄求a；⑤写出回归方程ŷ = bx + a。 【技巧】计算前先列表，逐行计算xᵢ、yᵢ、xᵢ²、xᵢyᵢ，最后求和，避免口算出错。 类型二：利用回归方程预测 【解题步骤】将给定的x值代入回归方程，求出ŷ即可。注意：预测值是估计值，不是精确值。 【易错点】回归方程的适用范围一般在样本数据的x取值范围内，超出范围的预测要谨慎（外推风险）。 类型三：独立性检验 【解题步骤】①根据题意列出2×2列联表；②代入卡方公式计算χ²；③与临界值比较，得出结论。 【关键】公式中的a、b、c、d位置不能放错！ad-bc是主对角线乘积减副对角线乘积。 类型四：回归与检验综合 【问题特征】先给一组数据求回归方程，再给列联表做独立性检验，两问独立。 【解题通法】分别按各自的步骤计算即可，两问之间没有必然联系。注意第一问算错会影响第二问的信心，但两问的数据是独立的。 题型通法及变式提升 题型1 求线性回归方程 1．已知两组数据和，其中且时，；且时，，，我们研究这两组数据的相关性，在集合中取一个元素作为a的值，使得相关性最强，则a=（    ） A．8 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【详解】设点坐标为，且， 由题意得前9个点位于直线上，面，则要使相关性更强，应更接近10， 四个选项中11更接近10， 故选：B. 2．为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系．设，与的数据如表格所示，得到与的线性回归方程，则（    ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，， 由与的线性回归方程，得，则， 即，因此，所以. 3．某张纸上记录了一组成对数据，但有部分数据模糊不清无法辨认．已知其线性回归方程为，相关系数，则模糊的数据可能是（    ）． 数据 0.7 0.9 1.3 1.4 1.7 数据 9.1 10.4 10.9 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由相关系数可知变量线性相关性极强，样本点应极接近回归直线： 当时，预测值，则9.4更接近预测值； 当时，预测值，10.2更接近预测值. 故模糊的数据可能是. 4.某种产品2014年到2018年的年投资金额（万元）与年利润（万元）的数据统计如下，由散点图知，与之间的关系可以用线性回归模型拟合，已知5年利润的平均值是4.7． 年份 2014 2015 2016 2017 2018 年投资金额万元 1 2 3 4 5 年利润万元 2.4 2.7 6.4 7.9 (1)求表中实数的值； (2)求关于的线性回归方程． 参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【详解】（1）由题意得，，解得 （2）由题意得，,， ，故， 则， 故所求线性回归方程为． 题型2 利用回归方程预测 5．某汽车研发公司的工程师为了解一款新型汽车在不同行驶速度x（km/h）下油耗y（L/100km）的变化规律，进行了相关实验，记录不同速度下的油耗数据的散点图如下： (1)根据散点图求y关于x的经验回归方程（精确到0.01）； (2)根据线性回归方程，绘制残差图，并分析线性回归方程的拟合效果（若残差的平方和小于0.775，则说明拟合效果良好，否则拟合效果较差）. 附：，. 【详解】（1）由图得，， 则， 故， 则y关于x的经验回归方程为. (2)结合（1），计算得残差如下表： 行驶速度 60 70 80 90 100 110 油耗实际值 7.5 6.8 6.2 5.7 5.4 5 油耗估计值 7.35 6.85 6.35 5.85 5.35 4.85 残差 0.15 0.05 0.15 因此残差分布图如下： 因为， 所以经验回归方程的拟合效果较好. 6．某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，该团队建立了两个模型：①；②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到右侧散点图，如图.令，，计算得如下数据： 20 66 770 200 14 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型： (2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； （ii）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?（结果精确到0.01） 附：对于一组数据，样本相关系数 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，. 【详解】（1）由题意表格数据得， 同理， ∵0.86<0.91，即， 则从相关系数的角度，选择模型②的拟合程度会更好. （2）（i）由（1）得，模型②，可建立关于x的线性回归方程， 则，又， ∴，∴， ∴，即. （ii）由（i）得， 要使下一年销售额达到80亿元，即，， ∴，解得， 故下一年销售额达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元. 7．为响应环境保护政策，某工厂引入减排技术，减少工厂周边有害颗粒物的密度．已知2014年到2022年的历史检测数据如下： 年份x （年） 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 颗粒物浓度y 101.02 87.02 57.46 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 4.61 4.46 4.05 3.08 2.46 2.18 1.61 1.53 1.35 记年份为，颗粒物浓度，．某团队建立了两个回归预测模型，并用最小二乘法求得关于的回归方程：①；②，其中是常数，是自然常数，假设． (1)设和的相关系数为，设和的相关系数为，和在与哪个区间内？从相关系数的角度，模型①和模型②，哪一个更好？请计算并说明理由． (2)在报告中给出了关于的回归方程：，请根据数据，计算参数K，并预测2026年的颗粒物浓度．（精确到0.01） 【详解】（1）年份递增时，颗粒物浓度递减，故与负相关，； ，递减时同步递减，故与负相关，. 令，则，， 计算得，，，， 根据相关系数公式： ， ， 由于，说明与的线性相关性更强，因此模型②的拟合效果更好. （2）对回归方程两边取自然对数得：， 即，回归直线过样本中心点， 将，代入得： , 解得， 因此，则 ， 2026年对应，代入回归方程得： . 8．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了次试验，得到数据如下： 零件的个数x（个） 2 3 4 5 加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式， (1)求关于的线性回归方程； (2)求各样本的残差； (3)试预测加工个零件需要的时间. 【详解】（1）    ，， ∴所求线性回归方程为. （2）计算每个对应的预测值： ， ， ， ； 计算残差： 所以，各样本的残差依次为：. （3）当时，， ∴预测加工个零件需要小时. 题型3 独立性检验（卡方） 9．（26-27高三上·上海·开学考试）某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人的购买情况，得到如下列表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 100 20 女性 50 30 80 总计 50 200 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ (2)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立；若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了B款车的人数为，求：的数学期望与方差． 附：． 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【详解】（1），  ； 零假设：选购新能源汽车的款式与性别无关联， 根据列联表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于； （2）随机抽取1人购买B款车的概率为：， 依题意，， 因此，，. 10．为了解某地高中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区20000名学生中抽取500人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示： 时间范围 学业成绩 优秀 5 38 37 3 1 不优秀 117 125 118 36 20 (1)该地区20000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少，并估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长； (2)是否有0.95的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？ 附：，. 【详解】（1）由表格数据可知，500名学生体育锻炼时长大于1小时的人数为人， 则人， 所以估计该地区20000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为人； 由， 估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长为小时. （2）列联表如下： 其他 合计 优秀 40 44 84 不优秀 154 262 416 合计 194 306 500 提出零假设该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关， 其中， ， 没有足够证据拒绝零假设， 即没有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关. 11．（25-26高三下·上海·阶段检测）中国社会福利与养老服务协会、当代社会服务研究院与社会科学文献出版社6日共同发布《银发经济蓝皮书：中国银发经济发展报告（2024）》．报告预计，中国将在2030年前后进入超级老龄化社会，到2060年，老年人口约占总人口的37.4%，随着我国人口老龄化的不断加深，养老问题已成为社会关注的焦点．现在某社区采用分层抽样的方法对老年人居家养老的情况进行调查，其结果如下： 男性 女性 合计 居家养老 60 100 160 不居家养老 n 20 40 合计 80 m 200 (1)求m，n； (2)若显著性水平，是否有95%的把握能认为“居家养老与性别有关”？ (3)已知在被调查的男性老人中有5名是单身，其中有2名不居家养老，现在从这5名男性老人中随机抽取3人，设在抽到的3人中不居家养老的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：参考公式：，其中，． 【详解】（1）由题意得，解得， ，解得. （2）零假设：居家养老与性别无关， 由题意得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断成立， 因此，没有的把握认为居家养老与性别有关. （3）已知名单身男性老人中，有名“不居家养老”，名“居家养老”， 由题意得“不居家养老”的人数服从超几何分布，其可能的取值为， ，， ， 的分布列如下: . 12．（2026·上海浦东新·三模）某高中一年级有540名学生，其中男生360名，女生180名．为调研学生的“加三”学科选科意向，学校按性别分别抽样，抽取了名学生填写问卷． (1)若抽取的学生中男生要30人，求的值； (2)若，且问卷中要求学生在物理与历史中选且只选一种，同时在地理与生物中也选且只选一种，统计得如下列联表： 选物理 选历史 总计 选地理 26 9 35 选生物 48 7 55 总计 74 16 90 （i）据此判断是否有95%的把握认为“选物理还是历史”与“选地理还是生物”有关； （ii）已知选物理的74名学生中有18名是女生，现从选历史的16名学生中再随机抽取4名参与访谈．用表示受访学生中男生的数量，求的期望． 参考公式：，． 【详解】（1）分层抽样：男生360人，女生180人，比例． 男生抽30人，则女生抽15人，则． （2）（i） 因为，故在置信水平下无显著关联． （ii）样本，按总体比例（男生女生）， 则样本中男生人，女生人． 选物理74人中女生18人，则选物理男生人． 则选历史男生人，选历史女生人． 从16人中随机抽4人，为其中男生数，服从超几何分布． 则． 题型4 相关系数计算 13．（2026·上海虹口·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求； (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果精确到0.0001） 参考数据：若，则，． 【详解】（1）相关系数绝对值越大，相关性越强，因此从强到弱的排序为：②①③； （2）由题意的值可能为：， ，，， 所以，， 所以； （3）由已知，，，， ，则， ， 记“从生产的零件中随机取出10个，至多有一个零件直径小于”为事件， 则. 14．（2026·上海·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力、设备生产的零件的直径为（单位）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求的分布与期望： (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果保留到0.0001） 参考数据：若，则，． 【详解】（1）由， 故按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序为②①③； （2）由题意，个零件中直径大于的有个，不大于的有个， 随机抽取个，的可能取值为，，， ，，， 故的分布为： ； （3）由，， 故， 记个零件中直径小于的个数为，各零件检验独立，故， 则 . 15．某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 入园游客量（百人） (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； (2)求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；； 【详解】（1）由表格中的数据可得，， ， ， ， 则， 由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强. （2），， 故经验回归方程为. 对于表中第个观测，入园游客量为（百人）， 预测值为（百人），残差为（百人） （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为， 由题意可得，，，， . 16．某公司研发了一款新型智能机器人，一经投放市场颇受欢迎，为了更好地服务广大用户，该公司对这款机器人的某个性能指数x（）与用户的喜欢程度y（）进行调查统计，得到如下数据表： x 5 6 7 8 9 y 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 (1)请根据上表提供的数据，利用相关系数r，判断该性能指数与用户的喜欢程度的相关性强弱（当时，x与y的相关性很强）； (2)这款智能机器人的交互性很强，用户可通过语音给机器人发布指令，机器人执行命令的正确率为90%，出错率为10%．当机器人正确执行命令时，使用者满意的概率为90%；当机器人执行命令错误时，使用者满意的概率为30%．如果使用者对某次命令执行结果不满意，求机器人实际正确执行命令的概率（精确到0.01）； (3)该公司科技人员随机抽取一台这款智能机器人进行挑战答题，共准备了4道高难度的问题，若机器人答对的题数不小于3，则挑战成功．已知机器人答对前两道题的概率均为p，答对后两道题的概率均为q，每次答题结果互不影响．当时，求机器人挑战成功的概率的最大值． 附：相关系数． 【详解】（1）由题意知，，， ， ，． 所以 所以该性能指数与用户的喜欢程度的相关性很强． （2）记事件：机器人正确执行命令；事件：使用者对执行结果满意，则 ，，，． 所以， 所以， 故如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，机器人实际正确执行命令的概率约为． （3）设事件：机器人挑战成功，则 ． 由，得 ．令， 因为，，所以，所以 设，当，即或时，． 所以当时，机器人挑战成功的概率的最大值为． 题型5 综合应用题 17．为了解学生身体素质的情况，学校随机抽取了100位同学组织了一次体测，结果有20%的同学合格，经过调查，抽取的学生中只有10%的学生每日运动量能达标，每日运动量能达标的学生体测合格率有50%. (1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为体测成绩与每日运动量之间有关； 体测合格 体测不合格 合计 运动量达标 运动量未达标 合计 (2)从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中合格人数的分布列和期望； (3)为提升学生身体素质，学校决定给每个班级安排任务，规则如下：每天班主任从箱子里抽球，里面有2个白球和2个红球(大小、材质相同)，抽到红球放回，且学生就需要跑步1km；抽到白球则休息，抽完的球不放回，再往里放入一个红球，直至箱子里全部都是红球后结束，记天后任务结束的概率为.求. 附：，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【详解】（1）依题意，完成下列2×2列联表如下： 体测合格 体测不合格 合计 运动量达标 5 5 10 运动量未达标 15 75 90 合计 20 80 100 零假设 体测成绩与每日运动量之间无关， 因， 根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即体测成绩与每日运动量之间有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. （2）该校随机抽取三人，每个人合格的概率为20%，设抽取的三人中合格人数为X， 则，由于测试相互独立，则， 故， ， ，， 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 故的数学期望为. （3）设“第次操作取出白球”， “第次操作取出红球”，， 依题意，， 当时，若天后任务结束， 则第n次取出的是白球，前次操作中，有一次取出白球，其余次均取出红球， 则 ， 经检验，，均满足该式， 所以. 18．某工厂生产了一批高精尖仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家对仪器进行检测，每台仪器被每位专家评议为＂可靠＂的概率均为，且每台仪器是否可靠及每位专家检测的结果相互独立. (1)为调查某零件A的品质对仪器可靠性的影响，现抽取了50台仪器检测，请根据 下述列联表，判断是否有的把握认为“仪器可靠”与“某零件A达优等”有关？ 仪器可靠 仪器不可靠 合计 零件A达优等 41 4 45 零件A未达优等 2 3 5 合计 43 7 50 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.65 10.828 (2)若，现从某批100台仪器中抽取4台，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列、数学期望和方差； (3)为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测.若三位专家中至少有两位检测结果为不可靠，则仪器报废.其余情况，仪器需要回厂返修.拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费.现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算2.3万元用于检测和维修，试用表示每台机器所需费用的期望，并估计，100台机器所需的总费用是否有可能会超过预算2.3万元？说明理由. 【详解】（1）设零假设为：“仪器可靠”与“某零件A达优等”无关． 确定显著性水平，计算 统计决断：由，而，则零假设不成立， 故有把握判定“仪器可靠性”与“某零件A达优等”有关. （2）由题意知的所有可能取值为，且服从参数为的二项分布，所以. ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 4 由二项分布期望公式和方差公式得. （3）会超过预算，理由如下： 每台仪器所需费为元，则的可能取值为100，400. ， ． 所以， 化简得， 令，解得， 当在区间上单调递增， 当在区间上单调递减， 所以当时，的最大值为． 故实施此方案，最高费用为元元，可能会超过预算. 19．人工智能中的文生视频模型Sora(以下简称Sora)，能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示. Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 (1)根据所给数据完成题中表格，依据的独立性检验，判断Sora的应用与视频从业人员的减少有关? (2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora. ①求员工经过培训能应用Sora的概率； ②已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门? 附：其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）依题意，列联表如下： Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 18 72 没有应用 36 42 78 合计 90 60 150 零假设：Sora的应用与视频从业人员的减少独立，Sora的应用前后视频从业人员无差异， 由列联表中数据得，． 根据小概率值的的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关； （2）（i）设＂员工第i轮获得优秀＂，且相互独立． 设＂员工经过培训能应用Sora＂， 则 故员工经过培训能应用Sora的概率是． （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用Sora的人数， 则，因此， 调整后视频部的年利润：（万元）. 令，解得，又，所以． 因此，视频部最多可以调14人到其他部门． 20．某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求. 性别 就餐区域 合计 南区 北区 男 33 10 43 女 38 7 45 合计 71 17 88 (1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？ (2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，. 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 （ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率； （ⅱ）求第（）天他去甲餐厅用餐的概率. 附：，； 【详解】（1）零假设：在不同区域就餐与学生性别没有关联， 根据表中的数据可得，， 依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联. （2）设“第天去甲餐厅用餐”， “第天去乙餐厅用餐”， “第天去丙餐厅用餐”， 则两两独立，， 由题意可得，，，， ，，，， ， （ⅰ）由，结合全概率公式可得， ， 所以张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为. （ⅱ）记第天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为， 则， 由全概率公式可得 故①， 同理可得②， ③，④， 由①②可得，由④可得， 代入②中可得，即， 且， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 即，所以， 于是，当时，， 综上所述，. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（24-25高三下·上海·阶段检测）在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则（    ） A． B．1 C． D．无法确定 【答案】A 【详解】由已知样本数据所对应的点均在直线上， 则，又，所以满足负相关， 即. 故选：A． 2．（26-27高三上·上海·开学考试）对四组数据进行统计，获得如下散点图，则这四组数据相应的相关系数最小的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】题干四幅散点图从左往右依次记为图①、图②、图③、图④， 图①，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近； 图②，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1； 图③，数据点呈负线性相关，且相关性比图①弱，所以； 图④，数据点呈正线性相关，且相关性比图②弱，所以； 所以. 3．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）研究线性回归模型时，若成对数据所对应的点均在直线上，则线性相关系数为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】所有样本点都在直线上，是完全线性相关. 斜率为负，属于完全负相关，所以线性相关系数. 4．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）分别对、、三组成对数据做相关性分析，计算出其对应的相关系数分别为、，，则、、三组相关性的强弱从弱到强排序依次为________． 【答案】 【详解】已知三组相关系数的绝对值为：，，， ， 、、三组相关性的强弱从弱到强排序依次为． 5．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知某独立性检验中，由，计算出，若将列联表中的数据分别变成，计算出的，则是的多少倍______. 【答案】4 【详解】因为， 所以. 故答案为：4. 6．某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽取20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成的列联表，根据列联表的数据，至少有______的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高与体重之间有关系． 身高 体重 超重 不超重 总计 偏高 4 1 5 不偏高 3 12 15 总计 7 13 20 附表： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】95% 【详解】由题意有， 所以至少有95%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高与体重之间有关系， 故答案为：95%. 7．某校对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95％的把握判断是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生至少有________人． 参考数据：， 【答案】45 【分析】设被调查的男女生为人，写出列联表，应用卡方公式求卡方值，结合求参数范围，进而确定被调查的男生为，即可答案. 【详解】设被调查的男女生为人，则男生喜欢抖音有人，女生喜欢抖音有人， 所以列联表如下： 喜欢抖音 不喜欢抖音 总计 男生 女生 总计 则，解得， 因此被调查的男生为，又，则人数是5的正整数倍， 所以大于等于45的5的整数倍都符合题意，调查人数中男生至少有人. 故答案为： 8．（24-25高三下·上海金山·阶段检测）某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料（吨）得相关性．在生产过程中收集4组对应数据如表所示，已知关于的经验回归方程为，则表中的值为__________，在样本点处的离差为__________． 3 4 5 6 2.5 3 4 【答案】 4.5 【详解】，， 当时，，则离差为． 故答案为：；. 9．（24-25高三下·上海·阶段检测）截至2024年底，我国新能源汽车保有量达到3140万辆，占汽车总量的.某市调查了1000名汽车驾驶员对新能源汽车的偏好程度，调查结果如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 女性驾驶员 100 400 合计 400 1000 (1)请根据所给数据，完成上面的列联表； (2)判断是否有的把握认为偏好燃油汽车或新能源汽车与驾驶员的性别有关； (3)用频率估计概率，在所有参加调查的驾驶员按男性和女性进行分层抽样，随机抽取10名驾驶员，再从这10名驾驶员中随机抽取2人进行问卷调查.抽取的2人中，求在有女性驾驶员参加问卷调查的条件下，恰有1名男性驾驶员也参加问卷调查的概率. 附：， 其中   【详解】（1）依题意可得列联表如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 300 300 600 女性驾驶员 100 300 400 合计 400 600 1000 （2）由（1）可得， 所以有的把握认为偏好燃油汽车或新能源汽车与驾驶员的性别有关. （3）抽取的名驾驶员中，女性驾驶员有（人），男性驾驶员有6人， 记有女性驾驶员参加问卷调查的事件为，恰有1名男性驾驶员参加问卷调查的事件为， 则，， 所以， 所以在有女性驾驶员参加问卷调查的条件下，恰有1名男性驾驶员也参加问卷调查的概率为. 10．（24-25高三上·上海·期中）学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题．其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择其中道题目回答即可．现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表： 选答④、⑥、⑧、⑩的题目数 1道 2道 3道 4道 人数 (1)现规定：同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人．学校还调查了这位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表： 性别 “公序良俗”达人 非“公序良俗”达人 总计 男性 女性 总计 请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关． (2)从这名学生中任选名，记表示这名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机变量的分布和数学期望． 参考公式：，其中．附表见上图． 【详解】（1）这100位学生中，“公序良俗”达人有20人，由此补全列联表如下：     性别 “公序良俗”达人 非“公序良俗”达人 总计 男性 13 30 43 女性 7 50 57 总计 20 80 100 零假设：“公序良俗”达人与性别无关， 可得， 所以根据小概率值的独立性检验，我们可推断不成立，即认为“公序良俗”达人与性别有关． （2）由题意，随机变量的可能有，，，， 可得， ， ， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以数学期望. 创新提升 1．已知线性相关系数r是描述成对数据线性相关程度的统计量，也称为皮尔逊相关系数；一元线性回归分析是基于拟合误差Q取最小值的假设进行的，最终可得回归方程（回归直线）．现有5个数据点，小明对它们进行了一元线性回归分析，得到线性相关系数和回归方程，随后发现自己漏掉了一个数据点且恰好．重新计算6个数据点得到线性相关系数和回归方程，对于下面两个说法： ①一定小于    ②与一定重合 则（   ） A．①正确②错误 B．①正确②正确 C．①错误②正确 D．①错误②错误 【答案】C 【详解】当增加一个与回归直线完全拟合的数据点后，这个点没有产生新的拟合误差，整体数据点与回归直线的拟合程度变得更好，所以，不一定，故①错误； 回归方程是基于5个数据点通过最小二乘法（使拟合误差取最小值）得到的，当加入新的数据点，因为它在回归直线上，它不会改变原来使取得最小的直线的位置，所以与一定重合，故②正确. 故选：C 2．（24-25高三下·上海·阶段检测）某试验田种植一批水稻，对其进行种植实验．在右表中记录了5组水稻的“播种面积”与“总产量”的相关数据并预测序号6的实验数据，若发现实验序号5的实验数据有误需剔除，则下列说法正确的是（    ）． 实验序号 1 2 3 4 5 6 播种面积 （单位：千公顷） 60.9 71.8 72.9 73.6 75.8 80.0 总产量 （单位：万吨） 37.8 37.4 38.9 40.1 37.3 未知 A．实验样本的相关系数将变小． B．实验样本的相关系数将不变． C．实验序号6的预测结果将变大． D．实验序号6的预测结果将变小． 【答案】C 【详解】根据表中数据可知：1-4号的数据中，播种面积逐渐增发，总产量整体呈现上升趋势，呈现正相关，但5号数据，播种面积在增大，但产量低，偏离了正相关趋势，当剔除5号数据后，相关性会变强，故AB错误， 由于5号数据削弱了正相关性，导致回归直线的斜率变小，因此剔除后，回归直线的斜率会变大，所以对于试验6号，预测的结果将变大，故C正确，D错误. 故选：C 3．（24-25高二下·上海·期末）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查．在全校学生中随机抽取（是正整数）个学生，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 【答案】 【详解】因为抽取个学生，女生人数是男生人数的， 所以抽取个男生，个女生，为了便于计算，我们令， 设男生人数为，依题意可得列联表如下： 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则，由，解得， 由题知应为6的整数倍， 而根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则男生至少有30人， 故答案为：30. 4．（24-25高三下·上海·阶段检测）向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）.为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示： DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 (1)根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？ (2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. （ⅰ）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率. （ⅱ）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 附：其中，） 【详解】（1）依题意，列联表如下： DeepSeek的应用情况 视频从业人员 合计 减少 未减少 应用 没有应用 合计 零假设为：的应用与视频从业人员的减少独立，的应用前后视频从业人员无差异， 由列联表中数据得，. 根据小概率值的的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为的应用与视频从业人员的减少有关. （2）（i）设“员工第轮获得优秀”，且相互独立. 设“员工经过培训能应用”，则 ， 所以员工经过培训能应用的概率是. （ii）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用的人数， 则，因此， 调整后视频部的年利润为 （万元）， 令，解得，又，所以. 所以视频部最多可以调人到其他部门. 5．（24-25高三下·上海杨浦·开学考试）随着5G时代的全面来临，借助手机，网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查，统计得到以下列联表. 不了解 了解 合计 女生 20 20 40 男生 10 合计 80 (1)取进行独立性检验，判断该校学生对“反诈”知识的了解与性别是否有关； (2)用频率估计概率，样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为，求的分布及数学期望； (3)为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.已知全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”. （i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”； （ii）若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，估计参与本次知识竞赛的学生人数.（四舍五入后取整） 附：（1），其中，； （2）若，则：，，. 【详解】（1）完成列联表： 性别 不了解 了解 合计 女生 20 20 40 男生 10 30 40 合计 30 50 80 零假设该校学生对“反诈”知识的了解与性别无关， 则，依题意，， 因为进行独立性检验，推断不成立，所以判断该校学生对“反诈”知识的了解与性别有关. （2）由（1）知，样本中的男生对“反诈”知识了解的频率为是， 用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人， 对“反诈”知识了解的概率为，则， ， ， ， ， ， ． 则X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 所以． （3）（i）依题意，，因，故该同学可被评为“反诈标兵”； （ii）因, 则估计参与本次知识竞赛的学生人数约为人. 6．（24-25高三下·上海·阶段检测）某兴趣小组对高三刚结束的物理测试成绩进行随机调查，将所有选考物理的考生按是否同时选考化学分为A、B两类，并从中随机抽取100名考生的成绩，整理数据如下表（单位：人） 物理成绩学生分类 A类男生 2 8 15 8 B类男生 3 10 20 4 A类女生 3 4 2 1 B类女生 10 6 4 0 (1)估计该校高三学习物理男生人数与女生人数之比； (2)求A类考生物现平均成绩的估计值（同一组中的数据用该组区间中点值代表，结果四舍五入到整数）； (3)把成绩在称为“合格”，成绩在称为“不合格”，是否有95%的把握认为该校考生的本次物理成绩合格与否和性别有关？ 附：，其中． 【详解】（1）由表中数据可知，男生共有， 女生共有， 由此估计该校高三学习物理男生人数与女人数的比值约为. （2）A类共有：人 类物理平均成绩的估计值为 （3）由表中数据可知，列联表如下： 性别 成绩 合计 及格 不及格 男生 65 5 70 女生 17 13 30 合计 82 18 100 零假设为：该校考生的物理成绩与考生性别无关， 根据表格中数据计算得到 所以有95%的把握认为该校考生的本次物理成绩合格与否和性别有关. 7．（24-25高三下·上海·阶段检测）第二十二届卡塔尔世界杯足球决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队，某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团，足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各名进行调查，部分数据如下表所示． 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 女生 合计 (1)根据所给数据求出、、、的值，并判断是否有95%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（附） (2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了名男生和名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求人进球总次数的分布和数学期望． 【详解】（1）由列联表中的数据可得，， ，， 所以，， 故有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关. （2）人进球总次数的所有可能取值为、、、， ，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 数学期望． 8．（24-25高三上·上海·期末）某区体育老师为了了解初中学生的性别和喜欢篮球是否有关，随机调查了该区1000名初中学生，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示： 性别 是否喜欢篮球 合计 喜欢 不喜欢 男生 350 250 600 女生 250 150 400 合计 600 400 1000 (1)依据的独立性检验，能否认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联； (2)用按性别比例分配的分层随机抽样的方法从参与调查的，喜欢篮球的600名初中学生中抽取12名学生做进一步调查，将这12名学生作为一个样本，从中随机抽取3人，用X 表示随机抽取的3人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望. 附：参考数据 其中 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）零假设：该区初中学生的性别与喜欢篮球无关， 则， 依据的独立性检验，没有理由认为假设不成立， 即不能认为该区初中学生的性别与喜欢篮球有关联； （2）由题意，按性别比例分配的分层随机抽样的方法抽取的12名学生中，男生有7名，女生有5名， 则X的取值可能为：0，1，2，3，且服从超几何分布，， 则， ， 故X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望. 9．（24-25高三上·上海·开学考试）为了缓解高三学生学业压力，学校开展健美操活动，高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健美操，得到如下的列联表. 性别 愿意 不愿意 男生 6 10 女生 18 6 (1)根据该列联表，并依据显著水平的独立性检验，判断能否认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”； (2)在愿意参加的所有学生中，根据性别，分层抽样选取8位学生组织班级健美操队，并从中随机选取2人作为领队，记这2人中女生人数为随机变量，求的分布及期望. 附：. 【详解】（1）列联表如下： 性别 愿意 不愿意 合计 男生 6 10 16 女生 18 6 24 合计 24 16 40 零假设为：是否愿意参加健美操与学生性别无关. 根据列联表中的数据，可得, 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立, 既认为是否愿意参加健美操与学生性别有关联，此判断犯错误的概率不大于0.005. （2）根据列联表可得愿意参加健美操的学生中女生占全部的， ∴选取的8人中，女生有人，男生有人， ∴随机变量的可取值：0,1,2. ∴，，. ∴随机变量的分布列： 0 1 2 数学期望. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $