重难点专训06 圆锥曲线与向量、导数综合问题五大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点专训06 圆锥曲线与向量、导数综合问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 向量共线分点问题（焦点弦型） 2 题型2 圆锥曲线+向量+最值问题 8 题型3 导数法求切线方程 14 题型4 面积最值（抛物线焦点弦） 18 题型5 圆锥曲线+向量+导数综合压轴题 23 重难专题分层过关练 32 巩固过关 32 创新提升 40 解题方法及技巧提炼 类型一：向量共线与分点问题 【问题特征】题干给出向量等式（如AF = λFB），要求直线方程或参数值。 【解题通法】将向量共线条件翻译成坐标关系 → 联立方程用韦达定理 → 建立参数方程求解 → 检验判别式。 【关键技巧】利用“和差消元”：由x₁+x₂ = S和x₁-x₂的比例关系（由向量分点得到），联立求出x₁、x₂关于参数的表达式，再用x₁x₂ = P建立方程。 类型二：向量数量积与最值/范围问题 【问题特征】求OA·OB、PA·PB等数量积的取值范围或最值。 【解题通法】用韦达定理表示数量积 → 化简为关于k的函数f(k) → 利用导数或代数方法求值域 → 注意斜率不存在的情况。 【易错点】范围问题必须考虑斜率不存在的情形！很多考生只算了斜率存在的情况，漏掉端点值。 类型三：圆锥曲线的切线问题（导数法） 【问题特征】求曲线在某点的切线方程、过曲线外一点的切线方程、切线斜率的范围等。 【解题通法】隐函数求导 → 代入切点坐标得斜率 → 写点斜式方程。 【常用结论】椭圆＝1在(x₀,y₀)处切线：＝1；抛物线y²=2px在(, y₀)处切线：yy₀=p(x+x₀)。 类型四：函数与导数综合（压轴第三问） 【问题特征】是否存在某参数使不等式恒成立、求某代数式的最大值/最小值、证明某不等式。 【解题通法】将目标式整理为关于t的函数f(t) → 求导f′(t) → 分析单调性 → 求极值与端点值 → 得出范围。 【上海特色】上海卷偏好“分离参数法”：将参数λ分离到不等式一侧，另一侧为关于k的函数，求其值域即可。 题型通法及变式提升 题型1 向量共线分点问题（焦点弦型） 1．（2025·上海黄浦·二模）椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 【详解】（1）依题意，，而，则直线的方程为， 即，所以点到直线的距离. （2）由，得点在以线段为直径的圆上，， 由消去得，即， 当时，，，因此点，共2个； 当时，，解得，， 因此点，共4个， 所以当时，点的个数为2；当时，点的个数为4. （3）设，由，且在线段上，得， 则，解得，而， 由点在上，得，即， 整理得，即，由，得，解得， 所以的取值范围是. 2．（2026·上海静安·二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．设椭圆，的左、右焦点分别为、，，的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点O作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于A、B两点，证明：原点O到直线的距离为定值； (3)过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点始终共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）由题意知 ，即 . 又因为离心率 ，所以 ，所以 . 故椭圆 的方程为 . （2）证明：设 。 因为 ，所以 . 设直线 的方程为 ， 联立方程组 ，消去 得 ， 由韦达定理得 . 代入 ，即 ， 整理得 。 代入韦达定理结果并化简得 。 原点 到直线的距离 所以原点 到直线 的距离为定值 . （3）存在定点 ，理由如下： 由（1）知 ，设直线 的方程为 ， 设 ，则 ， 联立方程组 ，消去 得 ， 由韦达定理得 . 设 ，若 三点共线，则 ， 即 ，整理得 . 将 代入上式，化简得 . 代入韦达定理结果，得 . 化简得 ，解得 . 所以存在定点 ，使得 三点始终共线. 3．（2026·上海崇明·二模）已知椭圆． (1)求椭圆C的离心率； (2)已知椭圆右顶点为A，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若，求点M的坐标； (3)已知，过点的直线交椭圆C于D，E两点，直线DG交直线于点H，证明:轴． 【详解】（1）记椭圆 的长轴长为，短轴长为，焦距为 ， 则，所以离心率. （2）由题知，，设，， 因为，， 所以，得， 代入椭圆方程得，解得（负根舍去） （3）易知，当直线斜率为0时， 为长轴端点，与右焦点重合，满足题意； 设直线的方程为，， 联立得：， 由得或， 则， 所以，则， 设，因为三点共线，则，， 所以，则， 所以，所以轴. 4．（2025·上海杨浦·一模）已知椭圆：，过动点的直线交轴于点，交椭圆于，（点在第一象限），过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点.    (1)若椭圆的离心率为，求的值； (2)已知，且是线段的垂直平分线，求的值； (3)已知，点是线段的中点，且，求直线的斜率. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，又，所以. （2）因为，且是线段的垂直平分线， 所以是线段的中点. 所以可设，则，. 所以，. 由. 又点在第一象限，所以，所以，即. 又点在椭圆上，所以. 又，所以. （3）因为，所以椭圆：. 如图，作出符合题意的图形，    因为点是线段的中点，可设，，则. 设，因为. 因为都在椭圆上，所以. 因为点在第一象限，所以. 所以，，. 因为，所以直线的方程为：. 由. 由. 所以. 可得，即直线的斜率为. 题型2 圆锥曲线+向量+最值问题 5．（2026·上海·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)求点到抛物线准线的距离； (2)若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； (3)设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 【详解】（1）由题意得，准线方程为， 则点到抛物线准线的距离为. （2）当斜率不存在时，直线方程为， 设，，联立方程组， 解得，可得， 当斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，由焦半径公式得， 综上可得，的最小值为. （3）如图，作出符合题意的图形， 设直线方程为，设，， 联立方程组，可得， 可得，由韦达定理得， 设线段中点为，由中点坐标公式得， 由题意得线段中点到轴的距离为 ， 而，而， 得到，而， 可得，解得或， 当时，满足，此时， 当时，此时， 解得，此时， 综上可得，线段中点到轴的距离的取值范围为. 6．（2026·上海黄浦·二模）已知点、分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点、． (1)求点、的坐标； (2)若，求直线的方程； (3)设直线过点且与垂直，直线与的交点为，求证：存在唯一的常数，使得点与的中心的连线平分线段，并求此时的最大值． 【详解】（1）椭圆的半焦距，故、. （2）由题意可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设、， 将代入，得，则， 故，， 又，， ，解得， 所以直线的方程为或． （3）设线段的中点为，由（2）知，， 直线的斜率， 易知直线的方程为， 将代入直线的方程，可得， 直线的斜率， 因为直线平分线段，则，所以对任意的实数恒成立， 则，解得， 故存在唯一的常数，使得平分线段． 此时， ，所以， 令，则，故（当且仅当时，）， 所以的最大值为． 7．（2025·上海浦东新·三模）已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，. (1)若，求点的坐标； (2)若点的坐标为，求证； (3)求的最小值. 【详解】（1）设，，， 与联立可得，， ，，， 因为，所以， 由可得，故 因为在第一象限，所以，解得， 由得； （2）证明：由题意得，，故， ， ， 则，即； （3）由（1）得，，故， 因为，所以， 当时，，，，故，， ，故，所以⊥，， 则， 由对称性可知， 则， 当时，，， 由得， 将其代入中得， 显然，当时，，当时，， 解得，，， 因为， 其中， 由（2）知， 又，故， 故， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时， 由于， 故. 8．（2025·上海奉贤·二模）如图1，曲线是与组合的． (1)过点，求的渐近线方程； (2)，设，，曲线上找一个点，使得达到最小； (3)若，如图2，存在过点的两条直线，与曲线的交点分别是点、点、点、点，点在第二象限，点在第一象限．是否存在非零实数使得成立，请说明理由． 【详解】（1）将点代入，得，得， 所以，渐近线方程：. （2）因，则，， ①当时，取到最小值时，点一定在上， 设点，则， 则， 当时，则或时，取最小值，此时或， 当时，当时，取最小值，此时； ②当时，取到最小值时，点一定在上， 设点，则， 则 ， 因，则， 故当时， 取最小值，此时. 综上可知，曲线上存在点，使得达到最小. （3）存在非零实数使得成立，理由如下： 设，， 设 由，得，则 ， 由 ，得，则 ， 由，得，则 ， 由，得，则 ， 则 ， 同理可得，， 若存在非零实数使得成立，则，即， 即，则或， 若，则或，此时直线或的方程为，不符合题意，        故当且、均不为零时，存在非零实数使得成立 题型3 导数法求切线方程 9.已知抛物线的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于，两不同点，抛物线在，两点处的切线相交于点，且的横坐标为4，则弦长（    ） A．16 B．26 C．14 D．24 【答案】A 【详解】由题意可得，，则，抛物线方程为，准线方程． 由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为， 设，其中， 由，得． 在点A处的切线方程为，化简得，① 同理可得在点B处的切线为，② 联立①②得，由M的横坐标为4，得， 将AB的方程代入抛物线方程，可得， ，得， ， 则． 故选：A． 10．（24-25高三上·上海·开学考试）已知实数成公比为的等比数列，抛物线上每一点到直线的距离均大于，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】因为实数成公比为的等比数列，所以， 所以，即直线必过点，且斜率， 不妨取抛物线位于轴上方部分，则，，， 由题可知，，则， 设上一点到直线的距离最小， 则处的切线斜率等于直线的斜率，即，所以， 点到直线的距离， 整理得，解得，因为，所以， 根据直线和抛物线得对称性得，， 故答案为：． 11．在平面直角坐标系中，圆是以原点为圆心，为半径的圆，直线与抛物线和圆分别相切于，两点，当最小时，的值为__________. 【答案】 【详解】因为抛物线和圆均关于轴对称， 所以只需研究与抛物线切于第一象限的直线，此时，所以， 设，则直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，则，化简得， 因为， 所以 ． 当且仅当，即，即时，等号成立， 此时． 12．（25-26高三上·上海·期中）如图所示的“四角花瓣”图形可以看作由拋物线绕坐标原点旋转，，后所得三条曲线与共同围成的区域（阴影部分），分别为与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若，阴影部分的面积为，给出以下结论：①；②的面积为；③；④直线被第二象限“花瓣”截得的线段的长可能为.其中正确结论的序号为_________. 【答案】②③ 【详解】设抛物线绕坐标原点顺时针旋转，，后所得三条曲线分别为，，， 抛物线的焦点为，因此的焦点为，的焦点为，的焦点为， 因此，，，， 对于①选项，为曲线与的交点，联立方程，解得，即， 为曲线与的交点，联立方程，解得，即， 又，所以，因此，故①错误； 对于②选项，由上述过程，可得，，所以三角形面积， 故②正确； 对于③选项，根据题意，因为对称性，阴影部分在四个象限的图形全等，因此只讨论第一象限部分， 第一象限部分依然根据对称性，可分为两份，以下只讨论曲线与直线围成的部分，如图， 设该阴影部分面积为，显然， 设，那么导函数，故过点的切线斜率为， 所以过点的切线为，该切线与轴交于点，因此， 则，因此，故③正确； 对于④选项，第二象限的“花瓣”图形由曲线和曲线围城，两者关于对称， 与曲线相交，联立方程化简得，且交点在第二象限， 因此，因此，交点坐标为， 所以“花瓣”图形仅限阴影部分区域，因此，即， 因为曲线和曲线关于对称，所以直线也关于对称， 因此与曲线的交点为， 因此弦长， 设，那么，所以， 因此当或时，即或时，直线与两曲线交于一点，弦长为， 当时，即时，弦长最长，此时，故④错误. 故答案为：②③ 题型4 面积最值（抛物线焦点弦） 13．已知抛物线C：，直线与抛物线交于A，B两点，，且抛物线在A，B处的切线相交于点P，则的面积最大值为（    ） A．8 B．16 C． D．32 【答案】D 【详解】方法一： 设，， 联立，得， 由根与系数的关系得，， 又·，故， 又，∴，∴， 故直线PA的方程为，即， 同理，直线PB的方程为， 联立直线PA，PB方程可得，， 即，，即， ∴点P到直线AB的距离， ∴， 当时，. 方法二： 由阿基米德三角形的性质知. 故选：D 14．如图，有一张较大的矩形纸片分别为AB，CD的中点，点在上，.将矩形按图示方式折叠，使直线AB（被折起的部分）经过P点，记AB上与点重合的点为，折痕为.过点再折一条与BC平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，点的轨迹形成曲线.曲线在点处的切线与AB交于点，则的面积的最小值为_________________. 【答案】 【详解】连接PQ，由题PQ与MQ关于对称，， 所以Q在以P为焦点、直线AB为准线的抛物线上， 如图，以PO中点G为原点，过G与AB平行的直线为轴，与AB垂直的直线为轴建立平面直角坐标系， 则，直线AB：，所以抛物线方程为：，即， 则，由上可设，则抛物线在Q点处切线斜率为， 所以抛物线在Q点处切线方程为， 则令，， 所以由题意，且 ， 所以， 故对恒成立， 所以时单调递减，又当时，， 故时，；时，， 所以时，单调递增；时，单调递减， 所以，则， 所以的面积的最小值为， 故答案为：. 15．某地区新建农田灌溉系统，水渠横断面（垂直于水渠长度方向的截面）采用抛物线型设计（如图所示）：其中的曲线段是顶点为 、开口向上的抛物线弧，曲线段与曲线段关于抛物线的对称轴对称，渠宽 为2米，渠深（ 到直线 的距离）为1米．现要将该水渠向外扩建（只挖土不填土）变成横断面为等腰梯形的水渠，使得水渠底面与地面平行，不考虑其他因素的条件下，当扩建后水渠的底部宽度为__________米时，所挖的土方量最少．（精确到0.01米） 【答案】0.71 【详解】如图，建立平面直角坐标系，由题意知， 当所挖的土方量最少时，梯形的面积最小，且等腰梯形的两腰均与抛物线相切， 设右侧切线与轴交于点，与梯形的上底交于点，切点为. 设抛物线的方程为，将的坐标代入方程可得， 所以曲线段的方程为. 设，因为，所以在处的切线的斜率为， 所以切线的方程为，即， 将代入可得，所以； 将代入可得，所以， 根据等腰梯形的对称性可得其面积为， 当且仅当，即时等号成立， 此时水渠的底部宽度为米. 16．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）已知抛物线的方程为，点为抛物线上一点，过点作两条直线分别与抛物线相交于点、，设、的斜率分别为、，且满足. (1)求抛物线的焦点到准线的距离； (2)证明：直线的斜率； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 【详解】（1）由题意得准线方程为，焦点坐标为， 则抛物线的焦点到准线的距离为. （2）由题意直线的方程可设为， 联立，代入化简得， 由题意，从而，即， 从而，即; 同理可得，， ， 又，所以， 所以. （3）由（2）可知， 设直线为，即 联立，代入化简整理得: , 由故, 从而，， 点到直线的距离， ， 令，则，， 设，则，令，解得（负值舍去） 则当时，,单调递增； 当时，,单调递减； 从而， 即面积的最大值为. 题型5 圆锥曲线+向量+导数综合压轴题 17．已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与交于A、B两点．设在点A、B处的切线分别为，，与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P． (1)设点A横坐标为a，求切线的斜率，并证明； (2)证明：点P必在直线上； (3)若P、M、N、T四点共圆，求点P的坐标． 【详解】(1)点A横坐标为a，则， 因为，，所以点A处的切线斜率为a 所以切线的方程为， 切线与x轴的交点为， 因为，所以， 所以，所以， 当时，亦有； 结论得证. (2)证明：设，，由，得， 所以， 所以直线，直线， 由，得，即两直线的交点， 因为点，，三点共线， 所以，，得， 所以，所以 所以点P在直线上 （3）因为直线，直线， 所以，，由（2）可知， 设的外接圆方程为， 则， 解得，， 所以外接圆方程为 将代入方程，得 又，解得，， 所以点P坐标为 解法二:抛物线的焦点， 由（1）可知，同理可证得， 所以F，M，N，P四点共圆， 所以PF是的外接圆的直径， 因为P、M、N、T四点共圆，所以点在的外接圆上， 所以， 所以，即，得， 所以直线TP方程为，即 又点P在直线上， 则由，得， 所以点P坐标为 18.抛物线上有一动点．过点P作抛物线的切线l，再过点P作直线，使得，直线m和抛物线的另一个交点为Q． (1)当时，求切线的直线方程； (2)当直线与抛物线准线的交点在x轴上时，求三角形的面积（点O是坐标原点）； (3)求出线段关于s的表达式，并求的最小值； 【详解】（1）当时，点，又因为点在抛物线上， 由于点在第一象限，则， 求导，代入，则 所以过点的切线方程为：；    （2）当直线与抛物线准线的交点在x轴上时, 则直线过点，由于（1）的切线方程过点， 则此时切线方程为，又因为， 则的方程为：.    联立，解得或. 故点点， 则， 到直线的距离为：， 则面积为. （3）由于点， 所以点在第一象限，则， 求导，代入，即， 则直线的方程为：， 所以直线的方程为：， 联立抛物线于直线得：，得， 令，则，即， ， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时， 取最小值，即. 19.定义：我们称双曲线的“交换双曲线”为；我们称椭圆的“交换椭圆”为；我们称圆的“交换圆”为． (1)若双曲线的“交换双曲线”为自己本身，双曲线过点，求：双曲线的标准方程； (2)过点且与相切的直线与所有半径为，“交换圆”是自己本身的圆均相切，求：直线的方程与“交换圆”的面积； (3)已知曲线满足，当时与离心率为，长轴长为的椭圆重合，当时，与椭圆的“交换椭圆”重合，若矩形的顶点均在曲线上且关于对称，求证：矩形的面积小于5.2． 【详解】（1）由双曲线C的“交换双曲线”为自己本身，得，设双曲线C的方程为， 而点在双曲线C上，则， 所以双曲线C的方程为. （2）由函数，求导得，设切点为， 则切线的斜率，又，切线的方程为， 由点在切线上，得，即，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，切线的方程为，即； 由“交换圆”是自己本身，得，设该圆的方程为， 由直线与圆相切，得， 所以“交换圆”面积为. （3）由椭圆的长轴为，得，由其离心率，得，则， 不妨设椭圆的焦点在x轴，则其方程为，椭圆的“交换椭圆”方程为， 因此曲线的方程为，依题意，矩形关于对称， 设在椭圆W上，则在“交换椭圆”上， ，由直线平行直线，得直线PN的斜率为1， 直线PN的方程为，即，设， 由，得， 则，，， 于是矩形的面积， 由点P在椭圆W上，得，令，， 由，得，不妨取第一象限部分，则，， 因此， 由，得，则当时，， 所以矩形的面积小于5.2. 20．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合. (1)当时，求的值； (2)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 【详解】（1） 如图，已知当时，点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点. 将代入椭圆方程得，即，解得. 把代入双曲线方程，整理得， 设，则， 即， 解得或（舍去），所以， 即. （2） 当时，椭圆，双曲线. 联立， 解方程组求交点的坐标. 由得， 由得， 两式相减消去得， 代入双曲线方程得， 因为点在第一象限，所以. 设. ， 由得，即.故， 当直线l斜率不存在时，直线l方程为， 此时，则， 成立. 当直线斜率存在时，由题知交点必定在直线两侧，即左侧为与椭圆的交点，右侧为直与双曲线的交点，易知当交点在位于第一象限椭圆上曲线段之间时，，此时，故不可能，舍去； 因为双曲线的渐近线方程为, 故直线与双曲线没有横坐标大于2的交点， 即当交点位于椭圆第二象限时，不可能，舍去； 同理：当直线与椭圆交于轴下方时，也舍去， 综上：直线l方程为， （3） 如图,已知，由（1）知椭圆，双曲线. 直线过点且斜率为，则直线的方程为. 设，由， 根据三角形面积公式， 则， 即. ， 因为双曲线的渐近线方程为，而， 故直线与双曲线右支无交点， 故均为直线与椭圆的交点， 联立， 则， 则， ， 令， 则， 在时成立，故单调递增且，所以递减， 所以当时取得最大值， 又 所以的最大值为. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2025·上海·三模）抛物线中，以为切点的切线方程为______ 【答案】 【详解】已知抛物线方程，将其变形为. 因为点在抛物线上，所以在点处切线的斜率可对求导完成. ，切线过点，则斜率. 根据点斜式方程可得切线方程为，即. 故答案为：. 2．已知双曲线的左､右焦点分别的，过点且倾斜角为的直线交的右支于两点（在轴上方），且满足，则双曲线的离心率是__________（结果用表示） 【答案】 【详解】设，， 由点在双曲线上得，即. 则 ， 同理，，如图，由直线倾斜角为可知，，   ， ， 设，则， ， ， . 故答案为：. 3．已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，且满足，倾斜角为锐角的渐近线与线段交于点，且，则的值为______. 【答案】 【详解】设双曲线C的半焦距为c，即有， 因，则， 即直线与双曲线C交于点P，且点P在第一象限， 由得点，由， 而，得， 代入得：，即，不妨，则， 故，则，因此. 故答案为：. 4．焦点在x轴上的椭圆，离心率为，点分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任一点，则的取值范围为______ 【答案】 【详解】由椭圆的焦点在x轴上，得， 由，解得， 所以椭圆的方程为，则. 设， 则 ， 由可得， 则的取值范围为. 5．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）已知的左、右焦点分别为和，上顶点和右顶点分别为和，与的另一个交点为，若存在实数，使得，则的离心率为________． 【答案】 【详解】由题意可得， 则直线， 联立方程组得，消去得，解得或， 当时，，则点， 当存在实数，使得时，即， 可知， 得，化简得， 由得，解得（舍）. 6．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 【详解】（1）由题设，令，则，即， 所以，故或； （2）若垂直抛物线的准线于，由抛物线的定义知， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 又抛物线的准线时，最小为， 所以的最小值为；    （3）证明：由题设，直线的斜率一定存在，设，， 而，则过的切线斜率为，对应切线为，即， 同理过的切线为，即， 联立，可得，整理得， 由题意，则，， 联立，得，且， 所以，则，， 显然点在直线，即上，得证. 7．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知椭圆的上焦点为，左顶点为，是抛物线上一点，直线与抛物线相切于点． (1)若椭圆的离心率为，求椭圆的方程； (2)设，直线与椭圆相交于两点，且线段中点的横坐标相等，求的最小值； (3)设，抛物线的准线与椭圆相交于轴右侧的点；若同时也是椭圆在点处的切线，求的所有可能值． 【详解】（1）因为椭圆的上焦点为，所以， 由题意，，解得，故的方程为； （2）当时，．故椭圆的方程为． 求导得函数图象在点处的切线方程为，即直线的方程为． 联立直线与椭圆的方程得． 从而线段的中点（若存在）横坐标为． 由题意，．故． 经检验，此时，方程（＊）有两个相异实根．故为所求最小值． （3）由题意可得，抛物线的方程可以看成向上或向下平移个单位长度（向上平移，否则向下平移）， 所以抛物线的准线为，即的纵坐标为．由（2）得直线的方程为． 故．代入椭圆的方程，得． 又因为直线与椭圆相切，联立二者方程并令判别式为0，解得． 代入，得，故， 解得或0．因，故不合要求．从而，相应地， 综上，的所有可能值为2. 8．如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于拋物线对称轴的线段组成.已知，拋物线的顶点到线段所在直线的距离为. (1)请用数学符号语言表达这个封闭图形的边缘； (2)在该封闭图形上截取一个矩形，其中点在线段上，点抛物线上.求以矩形为侧面，为母线的圆柱的体积最大值； (3)求证：抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上. 【详解】(1)如图建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 则曲线过点，所以，故， 所以，曲线的方程为， 线段的方程为， （2）设，则 . 以为母线的圆柱的底面半径满足， 所以， 所以圆柱的体积 . 所以， 所以，当时，其体积取得最大值； (3)证明如下： 因为函数的导函数， 所以，抛物线上任意一点的切线斜率为， 设是抛物线上两条相互垂直的切线，切点分别为， 则其方程分别为 ， 且， 消去，解得， 因为，得. 故抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在直线上. 9．（2026·上海·三模）已知抛物线，为第一象限内上的一点，直线经过点． (1)设，若经过的焦点，求与的准线的交点的坐标； (2)设，已知与轴负半轴相交于点，与有、两个交点，若，求直线的方程； (3)设，已知是在点处的切线，过点作直线使得，是与的另一个交点，试将表示为的函数，并求的最小值． 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，准线为， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 将代入得， 故直线与准线的交点坐标为. （2）设，，由，得到是的中点， 因为，所以， 所以，解得，则， 此时直线的方程为，即. （3）设的方程为，而， 由消去得：，显然 ， ，解得， 于是直线的方程， 由消去得， 设点的纵坐标为， 由，得， 因此， 设，求导得， 当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增； 故. 创新提升 1．设点是等轴双曲线上的任意一点，为坐标原点.考虑以下两个命题：命题①：过点作该双曲线的切线，分别与两条渐近线交于点，则的面积为定值；命题②：过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，则线段的最小值为.下列判断正确的是（    ） A．命题①和命题②都正确 B．命题①正确，命题②错误 C．命题①错误，命题②正确 D．命题①和命题②都错误 【答案】A 【详解】①：对于等轴双曲线，其渐近线方程为， 设点，因为点在双曲线上，所以， 对双曲线方程两边同时对求导， 根据求导公式可得：，则， 所以在点处的切线斜率，    根据点斜式方程可得切线方程为，即. 联立切线方程与渐近线方程，可得， 将代入，得，即，解得， 则，所以. 联立切线方程与渐近线方程，可得， 将代入得，即，解得， 则，所以. 因为两点在渐近线上，所以，则， 根据两点间距离公式，得 . 所以， 又，所以为定值，命题①正确； ②：设点，因为点在双曲线上，所以. 点到渐近线的距离，根据两直线垂直斜率之积为， 可知过点且与渐近线垂直的直线方程为，即. 联立，解得，所以. 点到渐近线的距离， 过点且与渐近线垂直的直线方程为，即 联立，解得，则，    根据两点间距离公式得， 因为，即，所以， 因为，所以时，取得最小值，，命题②正确. 故选：A 2．（2025·上海长宁·二模）椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【详解】设，因为，所以， 当时，， 所以在点处的切线的斜率为， 同理可得当时，在点处的切线的斜率为， 所以椭圆在点处的切线的斜率为， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以，故①是真命题； 因为发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点， 所以两次反射后，第一次回到所经过的路程为， 所以，所以，故②是真命题. 故选：. 3.已知点为椭圆：上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若点不在轴上，求的周长； (2)过右焦点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过，求的方程； (3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，在轴上方是否存在点，使得（）成立?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由题可得. 当不在轴上，由椭圆定义可得：， 则； （2）由题可得直线斜率不为0，因，设， 将直线方程与椭圆方程联立，得， 消去得：，判别式为：. 设，由韦达定理，. 因以为直径的圆经过，则. 又，则. 则， 即 . 则或； （3）设，，由题可得直线斜率不为0，且也经过. 设，由（2）中分析，可得. 又由椭圆对称性，可得与关于轴对称，则. 从而，， 因，则 . 又，则， 结合，， 则， 则，. 即存在满足题意. 4．（2025·上海普陀·一模）设是不全为零的实数，椭圆分别为的左、右两个焦点，直线与交于两点，为坐标原点． (1)若，且四边形为矩形，求的离心率； (2)若，且的周长的最大值为12，求的方程； (3)若，直线与的斜率之积为为上的一点，且，直线与椭圆交于点，且，求的值以及的面积的值． 【详解】（1）由，得，， 将代入椭圆方程得，解得，则， 又四边形是矩形，则，即离心率. （2）由得，，即轴， 则， 当且仅当过右焦点时等号成立，即的周长的最大值为， 即，即， 则方程为 （3）设， 由得，点，又， 则， 因为点在上，所以 则， 又点均在上，则， 由得，即， 则，又，即. 由得，， 又，即直线， 由得，， 则， 则 由得，， 即， 即， 化简整理得，，则， 又原点到直线的距离为， 则 则. 5．（2025·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点是的长轴上的动点，点为上的动点，且异于点． (1)当点位于椭圆的左焦点，且、、能构成三角形时，求的周长； (2)当点位于椭圆的左顶点时，直线与轴交于点，，求实数的值； (3)当点与椭圆的左、右顶点均不重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，过点作直线与椭圆交于、两点，设和分别为弦和弦的中点，若、、、为四个相异的点，，且直线恒过定点，求点的坐标． 【详解】（1）由椭圆方程可知，， 所以的周长为； （2）因为，所以，则，即， 联立，可得，解得或，所以， 因为，所以， 所以； （3）因为，所以， 所以， 所以 ，所以，所以； 当中有一条直线斜率不存在时，此时一定有一条弦的中点和点重合，故不符合条件； 当为坐标原点时，此时均与点重合，故不符合条件； 由上可知，的斜率都存在， 设，， 联立，可得， 所以，所以，所以，所以， 同理可得，即， 所以，所以， 令，解得， 因为直线恒过定点，所以，所以， 所以. 6．（2025·上海金山·三模）已知双曲线过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； (3)若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 【详解】（1）由，得， 则双曲线的方程为，将点代入的方程中，得． 解得，故，所以双曲线的方程为． （2）设直线的方程为，因为点到直线的距离为1， 作出简图如下所示， 所以，即． 设，，由于直线与交于点，所以， 联立整理得． 则，， 且， 故， 所以， 则．故． （3）法一：当直线的斜率为0时，可设其方程为，则，， 则即， 又在双曲线上，所以，联立可得，所以或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 故此时直线的方程为． 当直线的斜率不为0时， 设的方程为，设，， 联立得，其 则，且 而 ， 化简得． 代入（※）式，得， 即，所以或． （ⅰ）当时， 的方程为，此时直线过定点． （ⅱ）当时，的方程为， 此时直线过定点，与是双曲线上异于的两点矛盾，故舍去． 综上，直线过定点． 法二：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点， 可得双曲线方程：，化简得． 设平移后的直线的方程为：，，， 所以， 整理得， 即， 所以， 即，对比可得平移后的直线过定点． 所以直线过定点． 7.已知抛物线：的焦点为，准线为，直线经过点且与交于点、. (1)求以为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆的标准方程； (2)若，求线段的中点到轴的距离； (3)设为坐标原点，为上的动点，直线、分别与准线交于点、.求证：为常数. 【详解】（1） 解：根据题意设椭圆方程为，焦距为， 因为抛物线：的焦点为，且椭圆以为焦点， 所以，因为离心率为，所以， 因为，所以， 所以椭圆标准方程为. （2） 解：因为直线经过点且与交于点、，设，， 因为，所以直线斜率一定存在，设方程为，组成方程组，则有， 则，， 因为，所以，则， 当时，直线方程为，且，所以中点纵坐标为， 此时中点到轴的矩离为. 根据对称性，当时，中点到轴的矩离也为. （3） 由题意设直线方程为，与抛物线组成方程组： ，则， 有，，， 根据题意设，，， 则直线方程为，即， 因为点横坐标为，所以，即， 同理点坐标为， 所以， 化简得 因为，， 所以，即为常数. 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切；若，且，所有幂函数均与抛物线交于点M． (1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足，求：动点R的轨迹方程； (2)设，求：数列前2026项的和； (3)已知直线与某个以点为圆心的相切，当最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）所有幂函数均过点，点在抛物线上，故， 设点，，则，， 由得， 故，所以， 又在抛物线上，且与点不重合， 所以，且，， 即，且， 化简得，且； （2）由题意得，设点，，， 则的半径为，，解得， 因为与外切，则， 即，整理可得， 又，所以，即， 故数列是为首项，公差为2的等差数列， 则，， ， ； （3）存在定点，使得点N，T，S始终三点共线，理由如下： 的方程为，显然与为两切线， 最大时，，由（2）知，，其单调递减，故最大值为， 故切点坐标为， 若过点的其中一条直线斜率不存在，此时直线与抛物线只有1个交点，不合要求， 故过点的直线斜率也不为0， 设过的直线方程为， 联立与得， 设，则， 则，故点横坐标为， 将代入中得， 故，同理可得， 由对称性可知在轴上，不妨设， 则，， 点N，T，S始终三点共线，故， ， ， 化简得，显然， 所以，即时，上式恒成立， 故存在定点，使得点N，T，S始终三点共线. 9．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)若点在抛物线上，求：直线OD与直线DF的夹角； (2)设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； (3)设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求：直线PQ斜率的取值范围． 【详解】（1）点在抛物线上，代入得，解得； ，， 设两直线夹角为，则， 两直线夹角为. (2)抛物线的焦点为，由， 得： 联立直线与抛物线，得， 故，. 因此，. 因在抛物线上，故. 直线与抛物线有两交点，判别式， 代入得：， 又，故. （3）设， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ，则， 则，，故. 直线过，联立与抛物线，得， 故，，即. 同理，直线过，得，，即. 直线的斜率：， 令，， 则. 令，. 函数在上递增： 当（即），，故； 当（即），，故. 综上所述，的取值范围是. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训06 圆锥曲线与向量、导数综合问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 向量共线分点问题（焦点弦型） 2 题型2 圆锥曲线+向量+最值问题 3 题型3 导数法求切线方程 5 题型4 面积最值（抛物线焦点弦） 5 题型5 圆锥曲线+向量+导数综合压轴题 6 重难专题分层过关练 8 巩固过关 8 创新提升 9 解题方法及技巧提炼 类型一：向量共线与分点问题 【问题特征】题干给出向量等式（如AF = λFB），要求直线方程或参数值。 【解题通法】将向量共线条件翻译成坐标关系 → 联立方程用韦达定理 → 建立参数方程求解 → 检验判别式。 【关键技巧】利用“和差消元”：由x₁+x₂ = S和x₁-x₂的比例关系（由向量分点得到），联立求出x₁、x₂关于参数的表达式，再用x₁x₂ = P建立方程。 类型二：向量数量积与最值/范围问题 【问题特征】求OA·OB、PA·PB等数量积的取值范围或最值。 【解题通法】用韦达定理表示数量积 → 化简为关于k的函数f(k) → 利用导数或代数方法求值域 → 注意斜率不存在的情况。 【易错点】范围问题必须考虑斜率不存在的情形！很多考生只算了斜率存在的情况，漏掉端点值。 类型三：圆锥曲线的切线问题（导数法） 【问题特征】求曲线在某点的切线方程、过曲线外一点的切线方程、切线斜率的范围等。 【解题通法】隐函数求导 → 代入切点坐标得斜率 → 写点斜式方程。 【常用结论】椭圆＝1在(x₀,y₀)处切线：＝1；抛物线y²=2px在(, y₀)处切线：yy₀=p(x+x₀)。 类型四：函数与导数综合（压轴第三问） 【问题特征】是否存在某参数使不等式恒成立、求某代数式的最大值/最小值、证明某不等式。 【解题通法】将目标式整理为关于t的函数f(t) → 求导f′(t) → 分析单调性 → 求极值与端点值 → 得出范围。 【上海特色】上海卷偏好“分离参数法”：将参数λ分离到不等式一侧，另一侧为关于k的函数，求其值域即可。 题型通法及变式提升 题型1 向量共线分点问题（焦点弦型） 1．（2025·上海黄浦·二模）椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 2．（2026·上海静安·二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．设椭圆，的左、右焦点分别为、，，的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过原点O作两条相互垂直的射线，与椭圆分别交于A、B两点，证明：原点O到直线的距离为定值； (3)过椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆交于P、Q两点，点M是点P关于x轴的对称点．在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点始终共线？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 3．（2026·上海崇明·二模）已知椭圆． (1)求椭圆C的离心率； (2)已知椭圆右顶点为A，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若，求点M的坐标； (3)已知，过点的直线交椭圆C于D，E两点，直线DG交直线于点H，证明:轴． 4．（2025·上海杨浦·一模）已知椭圆：，过动点的直线交轴于点，交椭圆于，（点在第一象限），过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点.    (1)若椭圆的离心率为，求的值； (2)已知，且是线段的垂直平分线，求的值； (3)已知，点是线段的中点，且，求直线的斜率. 题型2 圆锥曲线+向量+最值问题 5．（2026·上海·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)求点到抛物线准线的距离； (2)若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； (3)设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 6．（2026·上海黄浦·二模）已知点、分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点、． (1)求点、的坐标； (2)若，求直线的方程； (3)设直线过点且与垂直，直线与的交点为，求证：存在唯一的常数，使得点与的中心的连线平分线段，并求此时的最大值． 7．（2025·上海浦东新·三模）已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，. (1)若，求点的坐标； (2)若点的坐标为，求证； (3)求的最小值. 8．（2025·上海奉贤·二模）如图1，曲线是与组合的． (1)过点，求的渐近线方程； (2)，设，，曲线上找一个点，使得达到最小； (3)若，如图2，存在过点的两条直线，与曲线的交点分别是点、点、点、点，点在第二象限，点在第一象限．是否存在非零实数使得成立，请说明理由． 题型3 导数法求切线方程 9.已知抛物线的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于，两不同点，抛物线在，两点处的切线相交于点，且的横坐标为4，则弦长（    ） A．16 B．26 C．14 D．24 10．（24-25高三上·上海·开学考试）已知实数成公比为的等比数列，抛物线上每一点到直线的距离均大于，则的取值范围是__________． 11．在平面直角坐标系中，圆是以原点为圆心，为半径的圆，直线与抛物线和圆分别相切于，两点，当最小时，的值为__________. 12．（25-26高三上·上海·期中）如图所示的“四角花瓣”图形可以看作由拋物线绕坐标原点旋转，，后所得三条曲线与共同围成的区域（阴影部分），分别为与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若，阴影部分的面积为，给出以下结论：①；②的面积为；③；④直线被第二象限“花瓣”截得的线段的长可能为.其中正确结论的序号为_________. 题型4 面积最值（抛物线焦点弦） 13．已知抛物线C：，直线与抛物线交于A，B两点，，且抛物线在A，B处的切线相交于点P，则的面积最大值为（    ） A．8 B．16 C． D．32 14．如图，有一张较大的矩形纸片分别为AB，CD的中点，点在上，.将矩形按图示方式折叠，使直线AB（被折起的部分）经过P点，记AB上与点重合的点为，折痕为.过点再折一条与BC平行的折痕，并与折痕交于点，按上述方法多次折叠，点的轨迹形成曲线.曲线在点处的切线与AB交于点，则的面积的最小值为_________________. 15．某地区新建农田灌溉系统，水渠横断面（垂直于水渠长度方向的截面）采用抛物线型设计（如图所示）：其中的曲线段是顶点为 、开口向上的抛物线弧，曲线段与曲线段关于抛物线的对称轴对称，渠宽 为2米，渠深（ 到直线 的距离）为1米．现要将该水渠向外扩建（只挖土不填土）变成横断面为等腰梯形的水渠，使得水渠底面与地面平行，不考虑其他因素的条件下，当扩建后水渠的底部宽度为__________米时，所挖的土方量最少．（精确到0.01米） 16．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）已知抛物线的方程为，点为抛物线上一点，过点作两条直线分别与抛物线相交于点、，设、的斜率分别为、，且满足. (1)求抛物线的焦点到准线的距离； (2)证明：直线的斜率； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 题型5 圆锥曲线+向量+导数综合压轴题 17．已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与交于A、B两点．设在点A、B处的切线分别为，，与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P． (1)设点A横坐标为a，求切线的斜率，并证明； (2)证明：点P必在直线上； (3)若P、M、N、T四点共圆，求点P的坐标． 18.抛物线上有一动点．过点P作抛物线的切线l，再过点P作直线，使得，直线m和抛物线的另一个交点为Q． (1)当时，求切线的直线方程； (2)当直线与抛物线准线的交点在x轴上时，求三角形的面积（点O是坐标原点）； (3)求出线段关于s的表达式，并求的最小值； 19.定义：我们称双曲线的“交换双曲线”为；我们称椭圆的“交换椭圆”为；我们称圆的“交换圆”为． (1)若双曲线的“交换双曲线”为自己本身，双曲线过点，求：双曲线的标准方程； (2)过点且与相切的直线与所有半径为，“交换圆”是自己本身的圆均相切，求：直线的方程与“交换圆”的面积； (3)已知曲线满足，当时与离心率为，长轴长为的椭圆重合，当时，与椭圆的“交换椭圆”重合，若矩形的顶点均在曲线上且关于对称，求证：矩形的面积小于5.2． 20．（2025·上海青浦·模拟预测）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合. (1)当时，求的值； (2)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程； (3)已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2025·上海·三模）抛物线中，以为切点的切线方程为______ 2．已知双曲线的左､右焦点分别的，过点且倾斜角为的直线交的右支于两点（在轴上方），且满足，则双曲线的离心率是__________（结果用表示） 3．已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线上，且满足，倾斜角为锐角的渐近线与线段交于点，且，则的值为______. 4．焦点在x轴上的椭圆，离心率为，点分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任一点，则的取值范围为______ 5．（25-26高三下·上海虹口·阶段检测）已知的左、右焦点分别为和，上顶点和右顶点分别为和，与的另一个交点为，若存在实数，使得，则的离心率为________． 6．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 7．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知椭圆的上焦点为，左顶点为，是抛物线上一点，直线与抛物线相切于点． (1)若椭圆的离心率为，求椭圆的方程； (2)设，直线与椭圆相交于两点，且线段中点的横坐标相等，求的最小值； (3)设，抛物线的准线与椭圆相交于轴右侧的点；若同时也是椭圆在点处的切线，求的所有可能值． 8．如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于拋物线对称轴的线段组成.已知，拋物线的顶点到线段所在直线的距离为. (1)请用数学符号语言表达这个封闭图形的边缘； (2)在该封闭图形上截取一个矩形，其中点在线段上，点抛物线上.求以矩形为侧面，为母线的圆柱的体积最大值； (3)求证：抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上. 9．（2026·上海·三模）已知抛物线，为第一象限内上的一点，直线经过点． (1)设，若经过的焦点，求与的准线的交点的坐标； (2)设，已知与轴负半轴相交于点，与有、两个交点，若，求直线的方程； (3)设，已知是在点处的切线，过点作直线使得，是与的另一个交点，试将表示为的函数，并求的最小值． 创新提升 1．设点是等轴双曲线上的任意一点，为坐标原点.考虑以下两个命题：命题①：过点作该双曲线的切线，分别与两条渐近线交于点，则的面积为定值；命题②：过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，则线段的最小值为.下列判断正确的是（    ） A．命题①和命题②都正确 B．命题①正确，命题②错误 C．命题①错误，命题②正确 D．命题①和命题②都错误 2．（2025·上海长宁·二模）椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 3.已知点为椭圆：上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若点不在轴上，求的周长； (2)过右焦点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过，求的方程； (3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，在轴上方是否存在点，使得（）成立?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 4．（2025·上海普陀·一模）设是不全为零的实数，椭圆分别为的左、右两个焦点，直线与交于两点，为坐标原点． (1)若，且四边形为矩形，求的离心率； (2)若，且的周长的最大值为12，求的方程； (3)若，直线与的斜率之积为为上的一点，且，直线与椭圆交于点，且，求的值以及的面积的值． 5．（2025·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点是的长轴上的动点，点为上的动点，且异于点． (1)当点位于椭圆的左焦点，且、、能构成三角形时，求的周长； (2)当点位于椭圆的左顶点时，直线与轴交于点，，求实数的值； (3)当点与椭圆的左、右顶点均不重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，过点作直线与椭圆交于、两点，设和分别为弦和弦的中点，若、、、为四个相异的点，，且直线恒过定点，求点的坐标． 6．（2025·上海金山·三模）已知双曲线过点，且离心率为． (1)求的方程； (2)设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； (3)若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 7.已知抛物线：的焦点为，准线为，直线经过点且与交于点、. (1)求以为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆的标准方程； (2)若，求线段的中点到轴的距离； (3)设为坐标原点，为上的动点，直线、分别与准线交于点、.求证：为常数. 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，其中n为正整数，每一个点均位于抛物线 的图像上，点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切；若，且，所有幂函数均与抛物线交于点M． (1)设点Q是抛物线 上不与点M重合的动点，R是线段MQ上一点，且满足，求：动点R的轨迹方程； (2)设，求：数列前2026项的和； (3)已知直线与某个以点为圆心的相切，当最大时，设AB，CD是抛物线 的两条经过切点的动弦，满足AB⊥CD，点S与点T分别为弦AB，CD的中点，是否存在定点N，使得点N，T，S始终三点共线，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)若点在抛物线上，求：直线OD与直线DF的夹角； (2)设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； (3)设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求：直线PQ斜率的取值范围． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $